Mô hình hóa và mô phỏng ứng xử cơ học của ống và tấm mỏng có kích cỡ nano mét

Do đó, nghiên cứu sinh đã chọn hướng nghiên cứu tính toán, mô phỏng ứng xử cơ học của một số vật liệu có kích cỡ nano ở dƥng tƩm và ống cho luận án tiến są của mình với tên đề tài là: “M

TRƯỜNG ĐƤI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐƤI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI

LUẬN ÁN TIẾN SĄ CƠ HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS LÊ MINH QUÝ

Hà Nội – 2015

Tôi xin cam đoan toàn bộ nội dung trình bày trong luận án này được nghiên cứu bởi bƧn thân tôi dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS.TS Lê Minh Quý Các số liệu, kết quƧ nêu trong luận án là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bƩt kỳ công trình nào khác

Hà Nội, ngày 21 tháng 09 năm 2015

LỜI CƦM ƠN

Tôi xin chân thành cƧm ơn Bộ môn Cơ học vật liệu và kết cƩu, Viện Cơ khí, Trường Đƥi học Bách khoa Hà Nội đã tƥo điều kiện thuận lợi để tôi thực hiện công trình này

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS Lê Minh Quý

đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ để tôi có thể thực hiện và hoàn thành Luận án này

Tôi xin cƧm ơn Quỹ phát triển khoa học và Công nghệ Quốc gia (Nafosted) đã hỗ trợ kinh phí cho đề tài mã số 107.02.2011.10

và đề tài mã số 107.02.2014.03 để tôi thực hiện nghiên cứu này Cuối cùng tôi xin gửi lời cƧm ơn tới gia đình, bố mẹ, vợ và con gái Châu Anh đã luôn động viên, giúp đỡ tôi trong thời gian qua

Hà Nội, 09/2015 Nguyễn Danh Trường

2.1 CƩu trúc hình học tƩm và ống vật liệu nano dƥng lục giác 18

3.1 Cở sở lý thuyết phương pháp phƫn tử hữu hƥn nguyên tử 30

4.3 Kết quƧ và bàn luận của mô hình sử dụng hàm thế Tersoff 58

Phụ lục 1: Xác định hằng số lực biến dƥng dài từ hàm thế Tersoff 110Phụ lục 2: Ma trận độ cứng phƫn tử của mô hình sử dụng hàm thế điều hòa 110

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT

AFEM Atomic-scale Finite Element Method - Phương pháp phƫn tử hữu

hƥn thang nguyên tử

CNT Carbon NanoTube - Ống cácbon nano

DFT Density Functional Theory - Lý thuyết hàm mật độ

EBonded Thế năng liên kết

ENon-bonded Thế năng phi liên kết

ET Tổng năng lượng của hệ

FEM Finite Element Method - Phương pháp phƫn tử hữu hƥn

G Mô đun đàn hồi trượt (N/m2)

Gs Mô đun đàn hồi trượt hai chiều (N/m) Gs=G.t; t là độ dày vật liệu

MD Molecular Dynamics - Động lực phân tử

MM Molecular Mechanics - Cơ học phân tử

MWCNTs Multi Walled Carbon NanoTubes - Ống cácbon nano đa lớp

SWCNT Single Walled Carbon NanoTube - Ống cácbon nano đơn lớp

SW Stone-Wales – khuyết tật mà một liên kết bị quay đi 90o so với vị

trí bình thường của nó

t Độ dày tƩm và ống vật liệu đơn lớp (nm)

Y Mô đun đàn hồi (N/m2)

Ys Mô đun đàn hồi hai chiều (N/m) Ys=Y.t; t là độ dày vật liệu

DANH MỤC CÁC BẢNG

Trang BƧng 2.1 Tổng hợp các thông số của tƩm và ống vật liệu nano 22BƧng 3.1 Các hằng số lực và chiều dài liên kết ban đƫu của các vật liệu

BƧng 3.2 Mô đun đàn hồi hai chiều Ys (N/m) của graphene phụ thuộc vào

BƧng 4.1 Đặc trưng đàn hồi của tƩm graphene, BN, SiC, BSb tính bởi luận

án và so sánh với kết quƧ của những nghiên cứu khác 53BƧng 4.2 Ʀnh hưởng của tỷ lệ chiều dài (L) trên đường kính ống (D) tới mô

BƧng 4.3 Mô đun đàn hồi hai chiều Ys (N/m) của ống SWCNT, BN, SiC, BSb

theo đường kính ống Tỷ lệ chiều dài trên đường kính cố định

BƧng 4.4 Đặc trưng cơ học khi kéo của tƩm graphene, BN và SiC nguyên

tính bởi luận án và so sánh với các nghiên cứu khác 62BƧng 4.5 So sánh đặc trưng cơ học khi kéo tƩm BN, SiC nguyên và bị

BƧng 4.6 Đặc trưng cơ học khi chịu kéo của tƩm Si nguyên 72BƧng 4.7 So sánh đặc trưng khi kéo của tƩm Si trường hợp nguyên và bị

BƧng 4.8 Đặc trưng khi chịu kéo của ống BN (8,8) và (14,0) phụ thuộc vào

BƧng 4.9 Đặc trưng khi chịu kéo của các ống BN cùng tỷ lệ chiều dài (L)

BƧng 4.10 So sánh góc uốn tới hƥn của ống BN trường hợp ống nguyên và

DANH MỤC CÁC HÌNH ẢNH, ĐỒ THỊ

Trang

nm; b) ống cácbon 2 lớp với đường kính 5,5 nm; c) ống cácbon 7

trúc lục giác: a) tƩm phẳng với góc liên kết luôn là θ=120o; b) tƩm

nguyên tử (a) khuyết tật SW1 (một liên kết song song phương amchair quay 90o); b) khuyết tật SW2 (một liên kết nghiêng 60o so với phương armchair quay 90o); (c) khuyết tật mƩt đi 2 nguyên tử

dƥng dài l ij; b) phƫn tử biến dƥng góc ijk và biến dƥng góc ijk 40

Hình 3.9 Mô hình hai kiểu phƫn tử mô tƧ hàm thế Tersoff: (a) Phƫn tử ba

lực chống lƥi biến dƥng kéo khi sử dụng (nét liền) và không sử

ống (Các đường nằm ngang là mô đun đàn hồi của các tƩm zigzag (nét liền) và tƩm armchair (nét đứt) của vật liệu tương ứng) 57

kéo các tƩm nguyên: (a) graphene; (b) tƩm BN; (c) tƩm SiC 60

trường hợp tƩm nguyên và tƩm bị khuyết tật: (a) phương zigzag ;

chưa xuƩt hiện phá hủy ở biến dƥng =24,8% ứng với ứng suƩt lớn nhƩt; b) tƩm bị phá hủy ở biến dƥng =25,0% 67

đơn trục theo phương zigzag: a) tƩm ở biến dƥng =13,0% ứng với ứng suƩt đƥt giá trị lớn nhƩt; b) tƩm ở biến dƥng =13,4% và c)

tƩm BN, SiC giữa trường hợp tƩm nguyên và tƩm bị khuyết tật 70

hợp nguyên và bị khuyết tật a) theo phương zigzag; b) theo

tƩm Si giữa trường hợp tƩm nguyên và tƩm bị khuyết tật 76

theo phương zigzag ở các biến dƥng: a) =15,0% (giá trị tới hƥn);

Hình 4.14 Đường cong ứng suƩt-biến dƥng khi kéo đúng tâm ống BN(8,8) và

khác nhau, cùng tỷ lệ chiều dài trên đường kính L/D=10: a) ống amrchair và tƩm zigzag; b) ống zigzag và tƩm armchair 85

dài ống L=10D, 15D và 20D: a) Mô men uốn tƥi mặt cắt giữa

góc uốn: a) 89,8o, chưa có dƩu hiệu phá hủy; b) 90,2o đã bị phá

BN(11,11), chiều dài L=10D trường hợp nguyên và bị khuyết tật

BN(19,0), chiều dài L=10D trường hợp nguyên và bị khuyết tật

BN(19,0) bị SW1 phía thớ bị nén, chúng đều bị phá hủy ở phía

MỞ ĐẦU

Lý do chọn đề tài:

Nghiên cứu về vật liệu nano là một trong những ląnh vực nghiên cứu sôi động nhƩt trong khoƧng hai thập niên trở lƥi đây Điều này được thể hiện bằng số lượng các công trình khoa học đã công bố đang ngày càng tăng, thậm chí có nhiều tƥp chí mới ra đời để dành riêng cho việc đăng tƧi các công trình trong ląnh vực này như: Nano; Nano Letters; Nano Research; Nano today; Graphene; 2D Materials; Journal of Computational and Theoretical Nanoscience; Nanoscience and Nanotechnology Letters; Journal of Nano Education, Sự sôi động trong ląnh vực này còn thể hiện qua việc nhiều cường quốc như Mỹ, Nhật đã rót một lượng tiền lớn cho nghiên cứu, thành lập các viện, các trung tâm hoƥt động trong ląnh vực công nghệ nano

Điểm nhƩn quan trọng đánh dƩu bước ngoặt trong ląnh vực nghiên cứu

về vật liệu nano là vào năm 1991, khi tác giƧ Sumio Iijima trình bày công trình khoa học của ông về quá trình tổng hợp tƥo ra ống cácbon nano đa lớp (MWCNTs) đƫu tiên [43] Đến năm 1993, Sumio Iijima và cộng sự công bố việc tổng hợp được ống cácbon nano đơn lớp (SWCNT) Kể từ đó, hàng loƥt các nghiên cứu về ống cácbon nano được thực hiện Nghiên cứu về cơ học, năm 2000 Yu và cộng sự đã thí nghiệm xác định ống MWCNTs có độ bền kéo lên tới 63 GPa và mô đun đàn hồi lên tới 950 GPa [125] Về mặt hình học, MWCNTs bao gồm nhiều ống cácbon nano (CNT) đồng tâm xếp lồng vào nhau, theo đó ống trong có thể trượt dọc trục và hƫu như không có ma sát với ống bên ngoài, do đó có thể coi chúng như là một ổ quay Đặc tính này có thể được ứng dụng để chế tƥo động cơ nhỏ nhƩt thế giới [97] CNT có các tính chƩt về điện giống như kim loƥi và chƩt bán dẫn Các đặc tính điện của CNT phụ thuộc vào đường kính của ống và cặp chỉ số (n, m) (xem mục 2.1) CNT dƥng thành ghế (armchair nanotube, n=m) có các tính chƩt về điện giống

như kim loƥi Nếu hiệu (n–m) là bội số của 3 thì dƥng CNT đó có tính chƩt điện giống với kim loƥi, các dƥng CNT còn lƥi có tính chƩt bán dẫn [65] Theo

lý thuyết, CNT có thể mang dòng điện có mật độ 4.109 A/cm2, cao hơn các vật liệu đồng, nhôm rƩt nhiều lƫn [41] Nghiên cứu cho thƩy CNT có độ dẫn nhiệt tốt theo phương dọc trục, nhưng bên cƥnh đó lƥi cách nhiệt theo phương ngang trục của ống Cụ thể CNT được dự đoán có thể truyền nhiệt lên tới

3500 W/mK theo phương dọc trục [84] (Đồng dẫn nhiệt tốt cũng chỉ khoƧng

400 W/mK) và theo phương ngang trục chỉ là 1,52 W/mK [101]

Bên cƥnh ống nano, các tƩm nano cƩu trúc dƥng lục giác cũng được chứng minh tồn tƥi trên lý thuyết và một vài vật liệu đã tổng hợp được gƫn đây như graphene, boron nitride (BN), silicon carbide (SiC), silicene (Si) Trong đó tƩm graphene đơn lớp có tính chƩt về điện giống như chƩt bán kim loƥi với độ rộng vùng cƩm (band gap) bằng không Nhưng tính chƩt về điện của hai tƩm graphene đặt gƫn nhau thì lƥi như chƩt bán dẫn với độ rộng vùng cƩm có thể thay đổi được phụ thuộc vào từ trường bên ngoài [18] TƩm BN và SiC mới được tổng hợp gƫn đây cho thƩy chúng có đặc tính về điện giống chƩt bán dẫn với độ rộng vùng cƩm nhỏ [59, 100, 119] Tính chƩt về điện của tƩm

Si đơn lớp cũng giống như graphene với độ rộng vùng cƩm bằng không nhưng

do có cƩu trúc low-buckled với những nguyên tử Si nằm trên hai mặt phẳng song song với nhau nên độ rộng vùng cƩm của Si có thể thay đổi tùy thuộc vào từ trường bên ngoài [26, 72] (tƩm graphene ghép đôi mới có tính chƩt này)

Những điều nêu trên cho thƩy những đặc tính rƩt ưu việt của ống và tƩm vật liệu nano, hứa hẹn sẽ có nhiều ứng dụng quan trọng trong nhiều ląnh vực khác nhau Như làm chƩt gia cường cho vật liệu composite, chế tƥo các linh kiện điện tử siêu nhỏ, làm điện cực trong chế tƥo pin Lithium ion, dùng chế tƥo siêu tụ điện, dùng trong bộ cƧm ứng để phát hiện ánh sáng, nhiệt hoặc phát hiện những hóa chƩt độc hƥi với độ nhƥy rƩt cao Tuy vậy, những ứng dụng thú vị vừa nêu đa số mới chỉ dừng ở quy mô phòng thí nghiệm, để tiến

tới sƧn xuƩt đƥi trà cƫn có nhiều nghiên cứu hơn nữa Trong đó nghiên cứu

về đặc trưng cơ học tìm hiểu độ bền, độ cứng, ứng suƩt-biến dƥng của những vật liệu nano trên là rƩt quan trọng Do đó, nghiên cứu sinh đã chọn hướng nghiên cứu tính toán, mô phỏng ứng xử cơ học của một số vật liệu có kích cỡ nano ở dƥng tƩm và ống cho luận án tiến są của mình với tên đề tài là: “Mô hình hóa và mô phỏng ứng xử cơ học của ống và tƩm mỏng có kích cỡ nano mét”

Mục đích, đối tượng và phƥm vi nghiên cứu:

Mô hình hóa và mô phỏng số tìm ứng xử cơ học như mô đun đàn hồi,

mô đun đàn hồi trượt, hệ số Poisson, đường cong liên hệ giữa nội lực, ứng suƩt và biến dƥng, của các ống và tƩm vật liệu nano đơn lớp có cƩu trúc dƥng lục giác thông qua mô phỏng các thí nghiệm kéo, trượt và uốn Một số vật liệu nano được chọn để mô phỏng là: graphene, BN, SiC, BSb, Si

Bên cƥnh mô hình lý tưởng, luận án cũng xét tới khuyết tật mƩt hai nguyên tử liền kề và khuyết tật Stone-Wales xƧy ra riêng lẻ tƥi trung tâm của tƩm hoặc ống

Phương pháp nghiên cứu:

Cho tới nay, việc tiến hành thực nghiệm trên các vật liệu nano là rƩt khó khăn và phức tƥp Do đó phương pháp mô phỏng số trên máy tính ngày càng được coi trọng Mô hình hóa và mô phỏng số các loƥi vật liệu nano hiện nay thường dùng các phương pháp trong cơ học lượng tử cho kết quƧ chính xác cao như lý thuyết hàm mật độ (Density Functional Theory – DFT) hay mô phỏng ở cƩp độ nguyên tử như là phương pháp động lực phân tử (Molecular Dynamics – MD) Ngoài ra, phương pháp phƫn tử hữu hƥn nguyên tử (Atomic-scale Finite Element Method – AFEM) được đề xuƩt khoƧng chục năm trở lƥi đây cũng cho thƩy nhiều ưu điểm đáng chú ý Trong luận án này, nghiên cứu sinh cùng thƫy hướng dẫn đã phát triển phương pháp AFEM để

mô phỏng ứng xử cơ học của các vật liệu nano Kết quƧ thu được sẽ được kiểm chứng bằng cách so sánh với các phương pháp MD, DFT và nhiều

phương pháp tin cậy khác Quá trình xây dựng mô hình cũng như mô phỏng được nghiên cứu sinh lập trình trên phƫn mềm Matlab

Ý nghąa khoa học và thực tiễn của đề tài:

Ở kích thước cỡ nano mét, việc tiến hành thực nghiệm trên các vật liệu nano nêu trên là rƩt khó khăn Thậm chí có những vật liệu mới được phát hiện tồn tƥi trên lý thuyết, chưa chế tƥo được trên thực tế thì việc thực nghiệm là không thể Do đó việc sử dụng mô hình hóa và mô phỏng trong khoa học vật liệu giúp ta chuẩn đoán chính xác và nhanh chóng đặc tính của các vật liệu nano trước khi triển khai sƧn xuƩt và ứng dụng chúng Nó giúp tiết kiệm chi phí cho quá trình thiết kế, sƧn xuƩt thử và sƧn xuƩt hàng loƥt các vật liệu mới này Kết quƧ của luận án có ý nghąa quan trọng đối với các nhà sƧn xuƩt và ứng dụng các vật liệu nano

Chương 2 CƩu trúc nguyên tử và thế năng tương tác

Trong chương này, tác giƧ mô tƧ cƩu trúc hình học của các tƩm và ống vật liệu nano, đồng thời trình bày về thế năng tương tác giữa các nguyên tử

Chương 3 Mô hình phƫn tử hữu hƥn nguyên tử

Chương này trình bày cơ sở lý thuyết của phương pháp phƫn tử hữu hƥn nguyên tử đồng thời thiết lập các mô hình cụ thể cho các vật liệu BN, SiC, graphene, Si, BSb phục vụ cho quá trình mô phỏng ở chương 4

Chương 4 Kết quƧ và bàn luận

Thông qua mô phỏng các thí nghiệm kéo, trượt, uốn, các đặc trưng cơ học như mô đun đàn hồi, hệ số Poisson, ứng suƩt, biến dƥng phá hủy, hình dƥng,

cơ chế phá hủy của một số vật liệu nano đã chọn sẽ được tính toán và thƧo luận trong chương này

Phƫn Kết luận và kiến nghị nêu những đóng góp chính của luận án và hướng phát triển của đề tài nghiên cứu

Các kết quƧ của luận án đã được công bố ở 05 công trình khoa học, trong

đó có 03 bài báo đăng trên tƥp chí quốc tế ISI (02 SCI+01 SCIE)

CHƯƠNG 1 TỔNG QUAN

1.1 Vật liệu nano cấu trúc dạng lục giác

Năm 1991, Sumio Iijima phát hiện ra ống cácbon nano đa lớp (MWCNTs) trong khi đang tiến hành khƧo sát fullerene C60 Công trình đó của ông sau

đó đã được đăng trên tƥp trí Nature [43] Kể từ đó cho tới nay, các nghiên cứu về ống cácbon nano (CNT) phát triển mƥnh mẽ

Hình 1.1 Ống cácbon nano đa lớp: a) ống cácbon 5 lớp với đường kính 6,5 nm; b)

ống cácbon 2 lớp với đường kính 5,5 nm; c) ống cácbon 7 lớp với đường kính 6,5 nm [43]

Ở thí nghiệm đó, Iijima đã thực hiện phóng hồ quang giữa các điện cực cácbon trong khí hêli ở 3000oC, ông đã phát hiện có nhiều cƩu trúc dƥng ống graphite kín hai đƫu và lồng đồng trục với nhau, bao gồm các vòng lục giác,

đó chính là ống cácbon nano đa lớp (Multi walled carbon MWCNTs) (Hình 1.1)

nanotubes-Đến năm 1993 Iijima và cộng sự tiếp tục báo cáo việc tổng hợp được ống cácbon nano đơn lớp (Single walled carbon nanotube – SWCNT) với đường kính 1nm [44]

0.34nm

Hình 1.2 Hình Ƨnh mô phỏng cho: a) SWCNT và b) MWCNTs

Graphite được biết đến và thậm chí rƩt gẫn gũi với chúng ta ở dƥng than chì Nhưng tới tận năm 2004, graphene – tƩm graphite đơn lớp – đƫu tiên mới được bóc tách bởi hai nhà khoa học Kostya Novoselov và Andre Geim [32, 73] Đến 2010 họ đã được trao giƧi Nobel Vật lý cho những đóng góp của

họ trong việc tƥo ra và tiến hành thực nghiệm trên tƩm graphene Công trình nghiên cứu của hai nhà khoa học trên đã chứng minh rằng graphene có các tính chƩt rƩt đặc biệt, bắt nguồn từ thế giới diệu kỳ của vật lý lượng tử

Ngoài graphene và CNT, cho đến nay đã có thêm nhiều vật liệu nano có cƩu trúc dƥng lục giác tương tự đã được dự đoán tồn tƥi trên lý thuyết [23,

38, 93, 110, 114, 126] Trong đó có tƩm và ống BN đã được tổng hợp trên thực tế [76, 100, 103, 108] Mới đây, năm 2012 tƩm SiC với độ dày 0,5–1,5

nm cũng được tƥo ra ở quy mô phòng thí nghiệm [59] Bên cƥnh đó Si cũng được dự đoán tồn tƥi trên lý thuyết ở dƥng cƩu trúc low-buckled (các nguyên

tử Si nằm trên hai mặt phẳng song song với nhau) [17, 36, 93, 107] Si ở dƥng tƩm và dƥng dƧi hẹp đã được tổng hợp trên nền bƥc vào năm 2010 [3, 78] và năm 2012 [29, 77], trên nền Zirconium diboride (ZrB2) năm 2012 [30], trên nền Iridium (Ir) năm 2013 [67]

Sau khi được phát hiện, các vật liệu trên cƫn được tìm hiểu, dự đoán các đặc trưng cơ, lý, hóa để phục vụ cho sƧn xuƩt và ứng dụng chúng Trong đó,

0.34nm

b) MWCNTs a) SWCNT

2-25 nm 1-2 nm

do được phát hiện sớm nhƩt nên CNT và graphene đã có nhiều nghiên cứu về chúng bằng nhiều phương pháp khác nhau Ví dụ, Sahin và cộng sự [93] đã

sử dụng lý thuyết hàm mật độ (DFT) tìm ra mô đun đàn hồi hai chiều của graphene là 335 N/m Kudin và cộng sự [51] cũng dùng phương pháp DFT tính ra mô đun đàn hồi hai chiều của graphene là 345 N/m Sánchez-Portal

và cộng sự [96] đã sử dụng tính toán nguyên lý ban đƫu (ab initio) để tìm đặc trưng đàn hồi, đặc trưng dao động của CNT Họ tính ra được khoƧng cách giữa hai nguyên tử C-C liền kề trên một tƩm graphene ở trƥng thái cân bằng

là 0,1436 nm Nghiên cứu của họ cũng cho thƩy mô đun đàn hồi của SWCNT tăng theo đường kính và tiến tới bằng graphene với giá trị xƩp xỉ 1 TPa và hệ

số Poisson từ 0,12 tới 0,16 cho ống SWCNT armchair (n,n), 0,19 cho ống (10,0) và 0,18 cho ống (8,4)

Tu và Ou-Yang [113] sử dụng lý thuyết vỏ mỏng và xƩp xỉ mật độ địa phương tính ra mô đun đàn hồi SWCNT là 4,7 TPa với độ dày ống 0,075 nm,

hệ số Poisson là 0,34 Yakobson và cộng sự [123] đã sử dụng mô phỏng động lực phân tử (MD) dựa trên hàm thế Tersoff-Brenner [14, 109] tính ra hệ số Poisson 0,19, mô đun đàn hồi hai chiều 360 N/m của tƩm graphene Họ lƩy

độ dày ống là 0,066 nm và tính ra mô đun đàn hồi của ống SWCNT là 5,5 TPa Hai giá trị mô đun đàn hồi 4,7 TPa và 5,5 TPa mà hai nghiên cứu trên tính được là khá bƩt thường vì quá cao Điều này cho thƩy giƧ thiết của họ về

độ dày ống (0,066 nm và 0,075 nm) là không hợp lý Và nhiều công trình khác cho rằng độ dày tƩm và ống nano đơn lớp bằng với khoƧng cách giữa hai lớp ống trong MWCNTs hai lớp là 0,335-0,34nm [1, 39, 58, 64, 130] Hai nhà khoa học Cornwell và Wille [24] cũng đã dùng phương pháp MD

sử dụng hàm thế Tersoff-Brener để tính toán đường cong ứng suƩt-biến dƥng của SWCNT khi chịu nén Kết quƧ của họ cho thƩy ứng suƩt phá hủy khi nén của SWCNT tăng khi bán kính ống tăng và đƥt giá trị xƩp xỉ 45 GPa đối với bán kính ống là 1,663 nm Bên cƥnh đó Cornwell và Wille cũng cho rằng mô đun đàn hồi của của SWCNT giƧm khi đường kính ống tăng, điều này là

không phù hợp với kết quƧ nghiên cứu bằng phương pháp nguyên lý ban đƫu của Sánchez-Portal và cộng sự [96] Guanghua Gao và cộng sự [31] đã dùng phương pháp cơ học phân tử và động lực phân tử tìm đặc trưng dao động, đặc trưng cơ học, cƩu trúc, năng lượng của CNT Họ đã tính ra được mô đun đàn hồi dọc ống cácbon (10,10) là 640,3 GPa, của ống cácbon (12,6) là 673,94 GPa Prylutskyy và cộng sự [86] sử dụng mô phỏng động lực phân tử tính toán mô hình dao động tính ra mô đun đàn hồi của SWCNT là 1,2 TPa cho ống (10,0) và 1,1 TPa cho ống armchair (5,5) Li và Chou [58] dựa trên

cơ học phân tử và các hằng số lực đã tính được mô đun đàn hồi hai chiều của tƩm graphene xƩp xỉ 1 TPa Năm 2004 Pantano và cộng sự [79] đã mô hình hóa CNT đơn lớp như một vỏ mỏng, và sử dụng lý thuyết vỏ tính ra mô đun đàn hồi hai chiều của graphene là 363 N/m

TƩm và ống BN nano đã được nghiên cứu bởi lý thuyết hàm mật độ (DFT) [2, 4, 51, 82, 93, 111], bởi tính toán tight-binding [39], bởi mô phỏng động lực phân tử (MD) [115], bởi mô hình liên tục [74, 102] và bởi cơ học phân tử (MM) [11, 47] Kết quƧ nghiên cứu cho thƩy, mô đun đàn hồi của ống nano

BN đa lớp đo thực nghiệm khoƧng 1,22±0,24 TPa bằng việc quan sát biên độ dao động nhiệt dưới kính hiển vi điện tử truyền qua [21], và giá trị 722 GPa được tính toán bởi sử dụng cộng hưởng trong trường điện từ [106] và bằng 0,5-0,6 TPa khi sử dụng phương pháp dùng kính hiển vi lực nguyên tử [34] Còn mô đun đàn hồi tƩm BN được xác định bằng 811 GPa khi dùng phương pháp đo tán xƥ tia X [12]

Dựa trên phương pháp lý thuyết hàm mật độ, Peng và cộng sự [82] đã đề xuƩt mô hình phi tuyến cho tƩm BN Họ cho rằng tƩm BN có biến dƥng phi tuyến trước khi bị phá hủy bởi biến dƥng lớn Cũng dùng tính toán DFT, Topsakal và Ciraci [111] cho rằng biến dƥng lớn nhƩt của ống armchair BN

là 21% và sau đó nó bị phá hủy giòn Sử dụng mô phỏng MD, Mortazavi và Remond [69] đã tính toán được ứng suƩt phá hủy của ống BN xƩp xỉ 170 GPa, giá trị này vượt gƫn 80% so với tính bằng DFT Trong khi DFT là một

phương pháp chính xác hơn mô phỏng MD, điều này cho thƩy nhược điểm trong nghiên cứu của Mortazavi và Remond [69]

Các vật liệu tƩm và ống nano khác như AlN, GaN, InN và SiC ban đƫu mới được tìm hiểu cƩu trúc, đặc tính vật lý của chúng chứ ít được quan tâm tính toán đặc trưng cơ học [2, 4, 93]

Các vật liệu nano sau khi tổng hợp được thường ở dƥng bó, cụm Việc bóc tách riêng lẻ ra các tƩm và ống nano đơn lớp thường tƥo ra các khuyết tật như khuyết tật mƩt nguyên tử, khuyết tật lệch mƥng, Ʀnh hưởng của khuyết tật tới đặc tính điện từ mới được nghiên cứu cho tƩm BN [20, 110, 124], tƩm SiC [5, 35, 68], tƩm Si [66, 75, 94, 104] và mới đây năm 2014 Berdiyorov và Peters đã nghiên cứu Ƨnh hưởng của khuyết tật tới đặc tính nhiệt của tƩm Si [8] Trong khi đó, Ƨnh hưởng của khuyết tật tới đặc tính cơ học của các vật liệu trên vẫn chưa có nhiều nghiên cứu

Những phân tích nêu trên cho thƩy việc nghiên cứu về các vật liệu nano vẫn còn rƩt mới mẻ, đặc biệt là đối với các vật liệu mới được phát hiện gƫn đây Do đó mục tiêu nghiên cứu của luận án sẽ đi tính toán các đặc trưng cơ học như mô đun đàn hồi, mô đun trượt, hệ số Poisson, đường cong ứng suƩt-biến dƥng có xét tới Ƨnh hưởng của các khuyết tật cho một vài vật liệu mới được phát hiện như: BN, SiC, Si, BSb,… Bên cƥnh bài toán kéo, trượt, bài toán uốn ống BN thành một cung tròn cũng được khƧo sát do vật liệu nano

có nhiều ứng dụng trong việc chế tƥo linh kiện điện tử, trong đó có những chi tiết cƫn có dƥng hình tròn giống như một chiếc nhẫn (nano ring)

1.2 Một số phương pháp mô phỏng vật liệu nano

Những phương pháp thường được dùng để mô phỏng, tính toán đặc trưng của các vật liệu nano có thể được chia làm hai nhóm: nhóm phương pháp ở cƩp độ electron và nhóm phương pháp ở cƩp độ nguyên tử Trong đó, ở cƩp

độ electron thì có phương pháp lý thuyết hàm mật độ (DFT), ở cƩp độ nguyên

tử thì có phương pháp mô phỏng động lực phân tử (MD) là hai phương pháp chuẩn mực được sử dụng nhiều trong các nghiên cứu lý thuyết hoá học, vật lý

và khoa học vật liệu Nhiều nghiên cứu, phương pháp ra đời sau này thường lƩy DFT và MD làm chuẩn để so sánh Và trong luận án này, tác giƧ đã phát triển phương pháp phƫn tử hữu hƥn nguyên tử (AFEM) hay còn được gọi là phương pháp phƫn tử hữu hƥn-động lực phân tử để sử dụng trong nghiên cứu Kết quƧ thu được từ AFEM cũng được so sánh chủ yếu với kết quƧ từ DFT, MD để đánh giá độ tin cậy của phương pháp cũng như mô hình

Phương pháp lý thuyết hàm mật độ dựa trên cơ học lượng tử cho lời giƧi chính xác hơn cƧ, tuy vậy nó lƥi đòi hỏi cƩu hình, khối lượng tính toán rƩt lớn [88] Nói chung, các phương pháp mô phỏng dựa trên cơ học lượng tử tập trung đi tìm nghiệm của phương trình Schrödinger

Tổng quát, trƥng thái của một hệ hƥt có thể được xác định thông qua hàm sóng  thỏa mãn phương trình Schrödinger như sau:

trong đó H là toán tử Hamilton của hệ cơ học lượng tử  là hàm đặc trưng

năng lượng ứng với trị số đặc trưng năng lượng E

Trong cơ học lượng tử, một xƩp xỉ thường được dùng là xƩp xỉ Oppenheimer, nó giƧ thiết là các electron luôn ở trƥng thái bền, chuyển động của chúng nhanh hơn nhiều so với chuyển động của các hƥt nhân Dựa vào

Born-đó, chuyển động của các electron có thể được xem xét riêng, như thể coi các hƥt nhân khi đó đang đứng yên Khi đó với một hệ có N electron, toán tử H

cho mỗi electron được biểu diễn như sau:

DFT là một lý thuyết được dùng để mô tƧ các tính chƩt của hệ electron trong nguyên tử, phân tử, vật rắn, … trong khuôn khổ của lý thuyết lượng tử Trong DFT, các tính chƩt của hệ N electron được biểu diễn qua hàm mật độ electron của toàn bộ hệ (là hàm của 3 biến tọa độ không gian) thay vì hàm sóng (là hàm của 3N biến tọa độ không gian) Vì vậy, lý thuyết hàm mật độ có

ưu điểm lớn trong việc tính toán các tính chƩt vật lý cho các hệ cụ thể xuƩt phát từ những phương trình rƩt cơ bƧn của vật lý lượng tử Nền tƧng cơ bƧn của DFT là năng lượng ở trƥng thái cơ bƧn là một hàm của mật độ electron,

do đó về nguyên tắc có thể mô tƧ hƫu hết các tính chƩt vật lý của hệ electron

qua hàm mật độ Năm 1964, Hohenberg và Kohn [40] cho rằng trƥng thái năng lượng của hệ electron đƥt cực tiểu là một hàm của mật độ electron như sau:

Mô phỏng trong cơ học lượng tử cho kết quƧ rƩt tốt khi ứng dụng nghiên cứu các tính chƩt liên quan đến mật độ và phân bố điện tử Tuy nhiên hƥn chế của phương pháp này là chỉ mô phỏng cho hệ có số lượng nguyên tử nhỏ

Về cơ bƧn mô phỏng động lực phân tử (Molecular Dynamics – MD) là một phương pháp hƥt bởi vì mục tiêu của MD là giƧi phương trình đặc trưng động lượng hƥt dựa trên định luật 2 Newton như sau [63]:

trong đó m i, ri là khối lượng và tọa độ không gian của nguyên tử thứ i E là

thế năng của hệ được cho trước từ thực nghiệm

Phương trình (1.7) có thể được rút ra từ hệ phương trình vi phân thường:

i

i i

Như vậy, nếu biết được trƥng thái ban đƫu, và hàm thế năng của hệ ta hoàn toàn xác định được vị trí và động lượng của các nguyên tử ở các bước thời gian tiếp theo

1.2.3 Phương pháp phần tử hữu hạn nguyên tử

Các phương pháp mô phỏng ở cƩp độ electron và nguyên tử như DFT và

MD nêu trên mặc dù cho độ chính xác cao nhưng nó đòi hỏi nhiều thời gian

và khối lượng tính toán lớn Trong khi cơ học truyền thống áp dụng cho thang vą mô như phương pháp phƫn tử hữu hƥn (FEM) truyền thống lƥi không thể áp dụng cho vật liệu thang nano Bởi vì ứng xử của những vật liệu thang vą mô đã hoàn toàn xác định và tích hợp trong FEM thông qua các mô hình phƫn tử đƥi diện như thanh, tƩm, vỏ… chúng là những mô hình đã được tính toán từ các thí nghiệm thực tế như kéo, nén, uốn, xoắn Điều này, cho

tới hiện tƥi là không thể áp dụng cho những hệ có hữu hƥn các nguyên tử rời rƥc như trong cƩu trúc vật liệu nano

Phương pháp phƫn tử hữu hƥn nguyên tử (tên trong tiếng Anh là: Atomistic finite element method hoặc Atomic-scale finite element method (AFEM) được đưa ra bởi Liu và cộng sự vào năm 2004 [61]), đôi khi còn được gọi là phương pháp phƫn tử hữu hƥn động lực phân tử (Molecular dynamics finite element method) đã được phát triển để phân tích các vật liệu cƩu trúc nano một cách hiệu quƧ thời gian gƫn đây [61, 70, 71, 116, 118] Trong AFEM, nguyên tử được coi như là nút và các chuyển vị của nó được xem như là các chuyển vị của nút Mỗi phƫn tử trong AFEM được xây dựng để mô tƧ cho hàm thế năng Ma trận độ cứng của các phƫn tử đó được thiết lập dựa trên hàm thế năng của chúng Cũng giống như trong FEM, ma trận độ cứng tổng thể trong AFEM được ghép nối từ các ma trận độ cứng phƫn tử Mối liên hệ giữa chuyển vị nút (chuyển vị của các nguyên tử) và ngoƥi lực tác dụng cũng được mô tƧ bởi một hệ phương trình

AFEM cho kết quƧ chính xác tương đương các phương pháp mô phỏng ở cƩp độ nguyên tử khác như MD khi dùng chung một bộ thông số hàm thế Bên cƥnh đó AFEM lƥi cho tốc độ tính toán nhanh (hội tụ sau ít bước lặp) hơn so với phương pháp MD do AFEM sử dụng cƧ đƥo hàm bậc nhƩt và đƥo hàm bậc hai của hàm thế năng khi tính toán cực tiểu hóa năng lượng của hệ

để tìm vị trí cân bằng, trong khi MD chỉ sử dụng đƥo hàm bậc nhƩt của hàm thế năng Điều này cũng đã được khẳng định ở tài liệu tham khƧo [61] Trong tài liệu đó, Liu và cộng sự lƫn đƫu tiên đưa ra phương pháp AFEM Cách chọn phƫn tử của họ lúc này dựa trên cƩu trúc nguyên tử Phƫn tử trong trường hợp này bao gồm một nguyên tử làm trung tâm và tƩt cƧ các nguyên

tử khác có tương tác với nguyên tử trung tâm Cách chọn này khi đó sẽ cho

ra ma trận độ cứng cồng kềnh Tuy họ đã đưa ra được cách để dễ dàng ghép nối các ma trận độ cứng phƫn tử Nhưng việc tính toán được ma trận độ cứng của một phƫn tử gồm nhiều nguyên tử như trong trường hợp này là không

đơn giƧn Tương tự, trong tài liệu [70, 71], Nasdala và cộng sự đã xây dựng phƫn tử bốn nút để mô phỏng cho cƧ thế năng biến dƥng uốn, xoắn và biến dƥng dài giữa các nguyên tử Trong tài liệu [117, 118], Wang và cộng sự đã

đề xuƩt một phƫn tử thanh thẳng với hai nửa khớp đàn hồi ở hai đƫu, mỗi khớp có 6 bậc tự do dẫn tới phƫn tử có 12 bậc tự do Nghiên cứu sinh cho rằng những cách chọn phƫn tử trên là phức tƥp

Tác giƧ cùng người hướng dẫn nhận định AFEM là phương pháp mới, còn nhiều điều có thể phát triển để áp dụng mô phỏng tìm đặc trưng cơ học của các vật liệu nano Cụ thể, luận án sẽ đưa ra cách chọn phƫn tử đơn giƧn, phù hợp với hàm thế điều hòa và hàm thế Tersoff để có thể tính toán ra ma trận

độ cứng một cách thuận lợi nhƩt Trong đó, ma trận độ cứng sẽ được đưa ra dưới dƥng hiển cho hàm điều hòa và hàm ngắt trong hàm Tersoff được loƥi

bỏ cũng là những đóng góp mới của luận án Chi tiết hơn về phương pháp AFEM cũng như việc thiết lập các phƫn tử, mô hình của luận án sẽ được trình bày trong chương 3

1.3 Kết luận chương

Sau sự khám phá ra MWCNTS năm 1991, SWCNT năm 1993, tƩm graphene năm 2004, cho tới nay đã có thêm nhiều vật liệu nano được dự đoán tồn tƥi trên lý thuyết và một vài vật liệu đã tổng hợp được trong thực tế như BN, SiC, Si, Những đặc trưng cơ, lý, hóa của các loƥi vật liệu nano nêu trên bước đƫu đã được tìm hiểu và kết quƧ cho thƩy chúng có rƩt nhiều những đặc tính ưu việt, có nhiều triển vọng ứng dụng thú vị trong các ląnh vực như chế tƥo linh kiện điện tự, vật liệu nano composite,

Bên cƥnh những phương pháp cho độ chính xác cao như lý thuyết hàm mật độ, mô phỏng động lực phân tử, phương pháp phƫn tử hữu hƥn thang nguyên tử (AFEM) có ưu điểm là đơn giƧn và tốn ít thời gian tính toán Do đó, AFEM được sử dụng trong luận án này để mô phỏng tính toán ứng xử cơ học

của các vật liệu nano Luận án sẽ tập trung vào một số vật liệu mới đƣợc phát hiện nhƣ: boron nitride (BN), silicon carbide (SiC), silicene (Si), boron antimonide (BSb),

CHƯƠNG 2 CẤU TRÚC NGUYÊN TỬ VÀ THẾ NĂNG

TƯƠNG TÁC

2.1 Cấu trúc hình học tấm và ống vật liệu nano dạng lục giác

TƩm graphene cũng như các tƩm vật liệu nano có cƩu trúc dƥng lục giác khác có thể được mô tƧ là một tƩm vật liệu mà các nguyên tử trên đó sắp xếp nằm tƥi đỉnh của các hình lục giác xếp khít với nhau tƥo nên dƥng lưới như hình tổ ong (hình 2.1)

Cho tới nay, người ta phát hiện tồn tƥi hai dƥng tƩm là tƩm phẳng (các nguyên tử cùng nằm trên một mặt phẳng, hình 2.1a) và tƩm low-buckled (các nguyên tử nằm trên hai mặt phẳng song song với nhau, hình 2.1b) Nhìn theo phương vuông góc với tƩm, tƩm low-buckled vẫn có cƩu trúc lưới lục giác tương tự như các tƩm phẳng, còn ở hình chiếu cƥnh các nguyên tử trong tƩm low-buckled nằm trên hai mặt phẳng song song với nhau và cách nhau một khoƧng, khoƧng đó gọi là khoƧng low-buckled được ký hiệu là Lowbuckled

(hình 2.1b)

Như vậy kích thước hình học của một tƩm vật liệu nano cƩu trúc lục giác được xác định bởi hai thông số độc lập là chiều dài liên kết ban đƫu l o và khoƧng Lowbuckled Từ đó rút ra được các thông số góc liên kết θ và độ dài véc

tơ đơn vị a a  theo các biểu thức sau: 1, 2

3arccos

2

L buckled o o

l l

Hình 2.1 Hình chiếu bằng và hình chiếu cƥnh của tƩm vật liệu nano cƩu trúc lục

Năm 1995, Dresselhaus và cộng sự [25] đưa ra một hệ thống các tham số biểu diễn hình học để mô tƧ cƩu trúc tƩm graphene trước khi được cuộn thành ống cácbon nano và sau này được dùng cho các vật liệu nano cƩu trúc dƥng lục giác khác (hình 2.2)

Hình 2.2 Thông số hình học một tƩm vật liệu nano cƩu trúc hình lục giác

Theo như Dresselhaus và cộng sự [25], một ống nano xem như được tƥo thành bằng cách cuộn một tƩm vật liệu theo phương véc tơ Ch

trong đó cặp chỉ số n m,  là số bước dọc theo liên kết dích dắc của lưới hình

lục giác và a a 1, 2 là các véc tơ đơn vị Véctơ Ch

xác định độ xoắn của ống Khi

h

C

trùng với phương zigzag ta có ống dƥng zigzag  n, 0 , Ch

trùng với phương armchair ta có ống dƥng armchair  n n, , còn lƥi là các ống dƥng chiral (hình

2.4)

Hình 2.4 Ba dƥng cƩu trúc ống vật liệu nano: (a) Zigzag (10,0); (b) Armchair

(5,5); (c) Chiral (7,3)

Xét về phương diện toán học, một tƩm vật liệu nano gồm N nguyên tử có

(x i , y i , z i) là tọa độ trong không gian của nguyên tử thứ i Trong đó phương

trục z vuông góc với mặt phẳng tƩm Tọa độ của nguyên tử thứ i sau khi

cuộn tƩm thành ống là X Y Z i, ,i i sẽ được xác định qua biểu thức sau:

Như vậy, một ống nano được xác định về kích thước khi biết các thông số

là cặp chỉ số   n m , và chiều dài ống L, các thông số khác được tính phụ thuộc vào   n m , như trong bƧng 2.1

3arccos

2

L buckled o o

l l

tử liền kề (hình 2.5.c) Những khuyết tật này Ƨnh hưởng đáng kể tới các đặc trưng cơ học, ứng xử phá hủy của các vật liệu nano

Hình 2.5 Mô hình tƩm vật liệu có cƩu trúc lưới lục giác cƩu tƥo từ 2 loƥi nguyên

tử (a) khuyết tật SW1 (một liên kết song song phương amchair quay

c)

2.2 Thế năng tương tác giữa các nguyên tử

Thế năng E của hệ các nguyên tử có thể được biểu diễn bằng tổng của thế năng tương tác liên kết (E Bonded) và thế năng tương tác phi liên kết (E Non bonded ) như sau [16, 55]:

Bonded Non bonded

trong đó, thế năng tương tác liên kết E Bonded còn gọi là thế năng tương tác tƫm gƫn tồn tƥi giữa những nguyên tử lân cận nhau như thế năng biến dƥng dài, thế năng biến dƥng góc, Những dƥng hàm thế thường được dùng trong trường hợp này là hàm thế điều hòa, hàm thế Tersoff,

Thế năng tương tác phi liên kết E Non bonded ví dụ như tương tác van der Waals được mô tƧ bởi hàm thế Lennard-Jones, tương tác tąnh điện theo định luật Coulomb,

Dưới đây là một số dƥng hàm thế hay gặp thường được dùng để mô tƧ thế năng tương tác nêu trên

trong đó l ij là khoƧng cách giữa hai nguyên tử ,i j l ij l o là khoƧng cách

giữa hai nguyên tử ,i j khi hệ ở trƥng thái cân bằng k r là tham số lực biến dƥng dài Hàm thế điều hòa dƥng (2.8) chỉ phù hợp cho biến dƥng bé của hệ

2.2.1.2 Hàm thế Morse

Hàm thế Morse là hàm thế tương tác cặp thường được dùng cho tương tác giữa hai nguyên tử không có liên kết trực tiếp với nhau Nó có dƥng như sau:

 là chiều sâu thế năng (e E ijmin)

Nhìn vào biểu thức (2.10) dễ thƩy giá trị E ij giƧm rƩt nhanh về 0 khi khoƧng cách r ij tăng Nói cách khác, giá trị E ij gƫn như không đáng kể ở khoƧng cách r ij lớn (khoƧng >3 lƫn r m) Do đó hàm thế Lennard-Jones thuộc nhóm hàm thế tương tác gƫn Ngược lƥi hàm thế tương tác xa là những hàm thế mô tƧ năng lượng tương tác giữa hai nguyên tử có xu hướng giƧm khá chậm khi khoƧng cách giữa hai nguyên tử tăng lên Khi đó năng lượng tương tác giữa hai nguyên tử cách xa nhau vẫn rƩt đáng kể, không thể bỏ qua, ví dụ như hàm thế tương tác điện Coulomb

Hàm thế Lennard-Jones là một hàm thế đơn giƧn với hai tham số Nghiên cứu của Qian và cộng sự [87] cho vật liệu graphite chỉ ra rằng ở bán kính tương tác <3,4 Å hàm thế Lennard-Jones cho kết quƧ mô phỏng không tốt

Do đó hàm thế này thường chỉ dùng mô phỏng thế năng tương tác giữa các

nguyên tử không có liên kết trực tiếp với nhau như là mô phỏng lực van der Waals [33]

Một nhược điểm của hàm thế Lennard-Jones nói riêng và các hàm thế tương tác cặp nói chung là chỉ phụ thuộc vào khoƧng cách giữa hai nguyên

tử Nghąa là độ bền liên kết giữa nguyên tử i và j sẽ không bị Ƨnh hưởng khi xuƩt hiện thêm nguyên tử k tương tác với chúng Điều này là không hợp lý

Và nhược điểm này đã được khắc phục ở các hàm thế tương tác đa nguyên tử như hàm thế Tersoff, Brenner

2.2.2 Bán kính ngắt của thế tương tác

Trong hệ N nguyên tử, nguyên tử i có thể sẽ tương tác với N1 nguyên tử

j khác i Điều này dẫn tới khối lượng tính toán rƩt lớn Trong khi thế năng

tương tác giữa các nguyên tử ở xa nhau không còn đáng kể, đặc biệt với những hàm thế tương tác gƫn Do đó một bán kính ngắt được đề xuƩt để một nguyên tử chỉ còn tương tác với n nguyên tử lân cận nằm trong bán kính ngắt đó, với n khi đó sẽ nhỏ hơn nhiều so với toàn bộ N nguyên tử của hệ

trong đó ijk là góc có đỉnh là nguyên tử j tƥo bởi hai liên kết thẳng ji và jk

ijk o khi hệ ở vị trí cân bằng Hàm thế điều hòa dƥng (2.12) chỉ phù hợp

cho biến dƥng bé của hệ Để tính toán các ứng xử phi tuyến ở biến dƥng lớn,

ta cƫn tới các hàm thế dƥng phi tuyến Ví dụ như dƥng cƧi tiến của (2.12) như sau [71]:

Hàm thế này được đề xuƩt lƫn đƫu tiên bởi Tersoff [109] năm 1989 để

mô tƧ năng lượng tương tác giữa các nguyên tố Si,Ge và C Và sau này được

đề xuƩt cho các nguyên tố khác như: Al, B, N, Ga, Khi đó, thế năng tương tác của hệ các nguyên tử là một hàm của tọa độ các nguyên tử như sau:

một số tài liệu viết lƥi hàm ngắt ở phương trình (2.14c) ở dƥng sau:

Trong biểu thức 2.14b, f A   r ij ,f R r ij tương ứng là các thành phƫn tương

tác cặp hút và đẩy giữa 2 nguyên tử i và j , b ij là thành phƫn xét tới Ƨnh

hưởng của các nguyên tử liền kề với nguyên tử i ngoài j Trong đó các thành

phƫn tương tác đẩy và hút được định nghąa như 2.14d với dƥng hàm số r ij

e  ,

do đó hàm Tersoff là hàm thế năng tương tác gƫn và lúc này hàm ngắt được

đề xuƩt như 2.14c để giới hƥn số lượng nguyên tử liền kề có tương tác với nhau, việc này giúp giƧm thiểu đáng kể khối lượng tính toán khi mô phỏng Chi tiết hơn về hàm thế Tersoff được đưa ra trong tài liệu tham khƧo [109] Sau khi được đề xuƩt, hàm thế Tersoff đã cho thƩy nhiều ưu điểm và mô phỏng tốt tương tác của các liên kết cộng hóa trị giữa các nguyên tử C, Si, Ge [27, 60, 109]; liên kết B-N [50, 98]; liên kết Si-C [27, 80]; liên kết Zn-O, Zn-

Zn, O-O [28]; liên kết Al-N, Ga-N, In-N [7] Những dẫn chứng trên cho thƩy hàm thế Tersoff hoặc dƥng như Tersoff đã và đang được sử dụng nhiều trong việc mô phỏng mô hình vật liệu nano Do vậy, nghiên cứu sinh và người hướng dẫn cũng đã chọn hàm thế Tersoff để mô phỏng tương tác giữa các nguyên tử trong luận án này