TÀI LIỆU LÝ THUYẾT XÁC SUẤT và THỐNG KÊ TOÁN

TÀI LIỆU LÝ THUYẾT XÁC SUẤT và THỐNG KÊ TOÁN TÀI LIỆU LÝ THUYẾT XÁC SUẤT và THỐNG KÊ TOÁN TÀI LIỆU LÝ THUYẾT XÁC SUẤT và THỐNG KÊ TOÁN TÀI LIỆU LÝ THUYẾT XÁC SUẤT và THỐNG KÊ TOÁN TÀI LIỆU LÝ THUYẾT XÁC SUẤT và THỐNG KÊ TOÁN TÀI LIỆU LÝ THUYẾT XÁC SUẤT và THỐNG KÊ TOÁN TÀI LIỆU LÝ THUYẾT XÁC SUẤT và THỐNG KÊ TOÁN TÀI LIỆU LÝ THUYẾT XÁC SUẤT và THỐNG KÊ TOÁN TÀI LIỆU LÝ THUYẾT XÁC SUẤT và THỐNG KÊ TOÁN

TÀI LIỆU LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN

Môn học Lý thuyết xác suất và thống kê toán bao gồm 2 phần: Lý thuyết xác suất và Thống kê toán

• Lý thuyết xác suất:

+ Chương 1: Biến cố và xác suất của biến cố

+Chương 2: Đại lượng ngẫu nhiên

• Thống kê Toán

+Chương 3: Lý thuyết mẫu và bài toán ước lượng tham số lý thuyết của Đại lượng ngẫu nhiên.

+Chương 4: Kiểm định giả thuyết thống kê

Đề thi kết thúc học phần 90 phút nhưng hiện tại đã được giảm tải còn 60 phút

Dưới đây là lý thuyết và lời giải 1 số bài tập phần Biến cố và xác suất của biến cố và thường là câu 1 trong đề

Tài liệu dùng để hỗ trợ học tập, không dùng để quay cóp

Lý thuyết Biến cố và xác suất của biến cố

1 Số tổ hợp chập k của n phần tử khác nhau (k, n là các số tự nhiên k ≤ n)

Giả sử tập hợp A có n phần tử Mỗi tập hợp con gồm n phần tử của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử đã cho

Ví dụ: Một lớp có 30 bạn, chọn ngẫu nhiên 10 bạn tập văn nghệ

 Có cách chọn

2 Phép thử và biến cố

- Phép thử: Thực hiện công việc quan sát, thí

nghiệm

- Biến cố: Là kết quả của phép thử hay kết cục

Ví dụ: Tung 1 con xúc sắc => thực hiện 1 phép thử.

Giả sử xuất hiện mặt 1 chấm => là biến cố của phép thử

Giả sử xuất hiện mặt 2 chấm => là biến cố của phép thử

• Các loại biến cố

+ Biến cố chắc chắn(U): là biến cố chắc chắn xảy ra sau khi thực hiện phép thử

Ví dụ: Tung 1 con xúc xắc => Thực hiện 1 phép thử

Gọi U là biến cố “ xuất hiện mặt có số chấm nguyên dương và nhỏ hơn 7” => đây chính là biến cố chắc chắn

+ Biến cố không thể có(V): là biến cố không bao giờ xảy ra sau khi thực hiện phép thử

Ví dụ: Tung 1 con xúc xắc => Thực hiện 1 phép thử

Gọi V là biến cố “ xuất hiện mặt có số chấm lớn hơn 7” => đây chính là biến cố không thể có

+ Biến cố ngẫu nhiên: là biến cố có thể xảy ra hoặc không xảy ra sau khi thực hiện

phép thử Kí hiệu: A,B,C… A1; A2 ; A3,….

Ví dụ: Một bạn sinh viên đi thi môn Toán cao cấp

Gọi A là biến cố “ bạn sinh viên thi qua môn”

Gọi B là biến cố “bạn sinh viên thi trượt môn”

 A và B chính là 2 biến cố ngẫu nhiên, có thể xảy ra hoặc không thể xảy ra sau phép thử

3 Mối quan hệ giữa các biến cố

a, Tổng của các biến cố:

A1 + A2 + + An : biến cố tổng xảy ra khi và chỉ khi có ít nhất 1 trong n biến cố xảy ra sau phép thử

b, Tích của các biến cố:

A1A2 An : biến cố tích xảy ra khi và chỉ khi tất cả các biến cố cùng xảy ra sau phép thử

c, Quan hệ xung khắc: 2 biến cố A và B được gọi là xung khắc với nhau nếu chúng không đồng thời xảy ra sau phép thử

AB=V

d, Quan hệ đối lập:

Biến cố đối của biến cố A ký hiệu

A và được gọi là đối với nhau nếu có 1 và chỉ 1 biến cố xảy ra sau phép thử

Ví dụ

Chọn ngẫu nhiên 1 sinh viên trong lớp

Gọi A là biến cố “sinh viên được chọn là nam ”

Gọi B là biến cố “sinh viên được chọn là nữ”

 A và B là hai biến cố đối lập

e, Hệ đầy đủ các biến cố: Các biến cố A1, A2,…,An được gọi là 1 hệ đầy đủ các biến nếu có 1 và chỉ 1 biến cố xảy ra sau phép thử

Chú ý: 2 biến cố đối lập với nhau lập thành 1 hệ đầy đủ các biến cố

f, Một số mối quan hệ khác

A + A =A A.A = A

A + U =U A.U =A

A + V =A A.V =V

A.(B + C) = AB + AC

Quy tắc đối ngẫu Đờ mooc găng:

4 Xác suất

• Xác suất của biến cố A là P(A)=

Trong đó m là các trường hợp thuận lợi cho biến cố A

n là tất cả các trường hợp xảy ra

Ví dụ: Một lớp có 30 bạn trong đó có 10 bạn nam và 20 bạn nữ Chọn ngẫu nhiên

1 bạn

Xác suất bạn được chọn là bạn nữ là:

• 0 ≤ P ( A ) ≤ 1

P(U) =1

P(V)= 0

P(

• Xác suất có điều kiện của biến cố A với điều kiện biến cố B xảy ra

P(A/B)= với P(B)>0

• Quan hệ độc lập

Biến cố A và biến cố B được gọi là độc lập với nhau nếu: P(A/B)=p(A)

Biến cố A và biến cố B được gọi là phụ thuộc nếu: P(A/B)p(A) hoặc P(B/A)P(B)

• Công thức tính xác suất của 1 tích

TH1: Các biến cố độc lập

P(A.B)=P(A).P(B)

P(A.B.C)=P(A).P(B).P(C)

TH2: Các biến cố phụ thuộc

P(A.B)=P(B).P(A/B)=P(A).P(B/A)

P(A.B.C)=P(A).P(B/A).P(C/A.B)

• Công thức tính xác suất của 1 tổng

TH1: Các biến cố xung khắc

P(A+B)=P(A)+P(B)

P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)

TH2: Các biến cố không xung khắc

P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A.B)

P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)

5 Công thức xác suất đầy đủ và công thức Bayes

Giả sử A1, A2,…,An là 1 hệ đầy đủ các biến cố và B là một biến cố xảy ra trong cùng phép thử

Công thức xác suất đầy đủ

P(B)=P(A1)P(B/A1)+ P(A2)P(B/A2)+… + P(An)P(B/An)

Công thức Bayes

P(/B)=

Một số bài giải mẫu

Bài 1: Người ta vận chuyển 1 lô hàng gồm 8 sản phẩm của máy 1, 5 sản phẩm của

máy 2 và 7 sản phẩm của máy 3 Trong quá trình vận chuyển khả năng sản phẩm của máy 1, máy 2, máy 3 bị xây xước lần lượt là 1,7% ;1,9% và 1,5% Nơi nhận được lô hàng lấy 1 sản phẩm ra để kiểm tra

a, Tính xác suất để sản phẩm lấy ra bị xây xước

b, Nếu sản phẩm lấy ra bị xây xước , hỏi khả năng sản phẩm đó của máy nào là lớn nhất

Bài làm

a,Gọi A i là biến cố “ sản phẩm lấy ra của máy i” i=

 A 1 ,A 2 ,A 3 là 1 hệ đầy đủ các biến cố

Ta có:

P(A 1 )=

P(A 2 )

Gọi B là biến cố “để sản phẩm lấy ra bị xây xước”

Ta có

P(B/A 1 )=0,017

P(B/A 2 )=0,019

P(B/A 3 )=0,015

Áp dụng công thức xác suất đầy đủ

P(B)=P(A 1 )P(B/A 1 )+ P(A 2 )P(B/A 2 )+ P(A 3 )P(B/A 3 )

=0,4x0,017+0,25x0,019+0,35x0,015= 0,0168

Vậy xác suất để sản phẩm lấy ra bị xây xước là 0,0168

b, Áp dụng công thức Bayes

P(A 1 /B)=

P(A 2 /B)=

P(A 3 /B)=

 P(A 1 /B)> P(A 2 /B)> P(A 3 /B)

Vậy nếu sản phẩm lấy ra bị xây xước thì khả năng đó là sản phẩm của máy 1 là lớn nhất

Bài 2: Người ta phỏng vấn khách hàng về 1 sản phẩm định đưa ra thị trường và

thấy có 50% trả lời Sẽ mua, 36% trả lời Có thể sẽ mua và 14% trả lời Không mua Kinh nghiệm cho thấy tỷ lệ khách hàng thực sự mua sản phẩm tương ứng với các cách trả lời trên là: 48%, 21%,1% Gặp ngẫu nhiên 1 khách hàng

a, Tính xác suất để khách hàng này thực sự mua sản phẩm

b, Biết rằng khách hàng này thực sự mua sản phẩm, khả năng khách hàng đó trả lời

Sẽ mua là bao nhiêu

Bài làm

Gọi A 1 là biến cố “ khách hàng trả lời Sẽ mua”

A 2 là biến cố “ khách hàng trả lời Có thể sẽ mua”

A 3 là biến cố “ khách hàng trả lời Không mua”

 A 1 ,A 2 ,A 3 là 1 hệ đầy đủ các biến cố

Ta có:

P(A 1 )=0,5

P(A 2 )

P(A 3 )

Gọi B là biến cố “khách hàng thực sự mua sản phẩm”

Ta có

P(B/A 1 )=0,48

P(B/A 2 )=0,21

P(B/A 3 )=0,01

Áp dụng công thức xác suất đầy đủ

P(B)=P(A 1 )P(B/A 1 )+ P(A 2 )P(B/A 2 )+ P(A 3 )P(B/A 3 )

=0,5x0,48+0,36x0,21+0,14x0,01= 0,317

Vậy xác suất để khách hàng thực sự mua sản phẩm là 0,317

b, Áp dụng công thức Bayes

P(A 1 /)=

Vậy nếu khách hàng thực sự mua sản phẩm, khả năng khách hàng trả lời sẽ mua

là 0,3807

Bài 3: Có 3 máy cùng sản xuất 1 loại sản phẩm Khả năng tạo ra chính phẩm của máy 1, máy 2, máy 3 lần lượt là 90%, 95% và 92% Từ 1 lô hàng gồm 5 sản phẩm của máy 1, 7 sản phẩm của máy 2 và 8 sản phẩm của máy 3, người ta lấy ra 1 sản phẩm để kiểm tra

a, Khả năng sản phẩm được kiểm tra là chính phẩm bằng bao nhiêu

b, Nếu sản phẩm được kiểm tra không phải chính phẩm, tính xác suất để đó là sản phẩm do máy 3 sản xuất

Bài làm

a,Gọi A i là biến cố “ sản phẩm lấy ra của máy i” i=

 A 1 ,A 2 ,A 3 là 1 hệ đầy đủ các biến cố

Ta có:

P(A 1 )=

P(A 2 )

P(A 3 )

Gọi B là biến cố “để sản phẩm được kiểm tra là chính phẩm”

Ta có

P(B/A 1 )=0,9

P(B/A 2 )=0,95

P(B/A 3 )=0,92

Áp dụng công thức xác suất đầy đủ

P(B)=P(A 1 )P(B/A 1 )+ P(A 2 )P(B/A 2 )+ P(A 3 )P(B/A 3 )

=0,25x0,9+0,35x0,95+0,4x0,92= 0,9255

Vậy xác suất để sản phẩm lấy ra bị xây xước là 0,9255

b, Áp dụng công thức Bayes

P(A 3 /)=

Vậy nếu sản phẩm lấy ra kiểm tra không phải chính phẩm, xác suất để để đó là sản phẩm do máy 3 sản xuất là 0,4295

Bài 4: Năm nay công ty Minzy Construction sẽ tham gia đấu thầu hai dự án Biết

rằng khả năng công ty trúng thầu dự án xây dựng tổ hợp khách sạn Samention Riverside là 80% Nếu công ty trúng thầu dự án này thì khả năng trúng thầu tiếp dự

án xây khu nghỉ dưỡng Amanda Resort là 90% Ngược lại nếu công ty không trúng thầu dự án xây dựng tổ hợp khách sạn Samention Riverside này thì khả năng trúng thầu tiếp dự án xây khu nghỉ dưỡng Amanda Resort chỉ là 55%

a, Tính xác suất công ty chỉ trúng thầu đúng 1 dự án

b, Giả sử công ty chỉ trúng thầu đúng 1 dự án Tính xác suất để đó là dự án tổ hợp khách sạn Amanda Resort

Bài làm

Gọi A 1 là biến cố “ công ty trúng thầu dự án xây dựng tổ hợp khách sạn Samention Riverside”

A 2 là biến cố “ công ty trúng thầu dự án xây khu nghỉ dưỡng Amanda Resort”

Ta có:

P(A 1 )=0,8

P(A 2 /A 1 )=0,9

P(A 2 /)=0,55

Gọi B là biến cố “ công ty chỉ trúng thầu 1 dự án”

B=A 1 A 2

 P(B)=P(A 1 A 2 )

= P(A 1 )+P(A 2 ) vì (A 1 A 2 = A 1. A 2. )

=P(A 1 )P(+P().P(A 2 /)

= P(A 1 )[1-P(+[1-P()].P(A 2 /)

=0,8x(1-0,9)+(1-0,8)x0,55=0,19

Vậy xác suất để công ty chỉ trúng thầu 1 dự án là 0,19

b, Cần tính P(A 2 /B)

P(A 2 /B)=

Ta có A 2 B=A 2 (A 1 A 2 )= A 1 A 2 +A 2 A 2 =A 1 V+A 2

=V+A 2= A 2

 P(A 2 /B)==

=

Bài 5: Có 2 thùng đựng sách, thùng 1 có 8 quyển sách tự nhiên và 6 quyển sách xã

hội, thùng 2 có 4 quyển sách tự nhiên và 4 quyển sách xã hội Trong quá trình vận chuyển thùng 1 bị rơi mất 2 quyển sách Sau đó người ta chuyển 1 số sách từ thùng 1 sang thùng 2 sao cho số sách 2 thùng bằng nhau

a, Tính xác suất để sau khi chuyển sách từ thùng 1 sang thùng 2 sao cho số sách 2 thùng bằng nhau thì số quyển sách tự nhiên và số quyển sách xã hội ở thùng 2 vẫn bằng nhau

b,Nếu sau khi chuyển sách từ thùng 1 sang thùng 2 sao số quyển sách tự nhiên và

số quyển sách xã hội ở thùng 2 vẫn bằng nhau, thì khả năng thùng 1 bị rơi mất 2 quyển sách xã hội là bao nhiêu

Bài làm

a,Gọi A i là biến cố “thùng 1 rơi i quyển sách tự nhiên” i=

 A 0 ,A 1 ,A 2 là 1 hệ đầy đủ các biến cố

Ta có

P(A 0 )=

P(A 1 )=

P(A 0 )=

Gọi B là biến cố “sau khi chuyển sách từ thùng 1 sang thùng 2 sao cho số sách 2 thùng bằng nhau thì số quyển sách tự nhiên và số quyển sách xã hội ở thùng 2 vẫn bằng nhau”

Ta có

P(B/A 0 )=

P(B/A 1 )=

P(B/A 2 )=

Áp dụng công thức xác suất đầy đủ

P(B)=P(A 0 )P(B/A 0 )+ P(A 1 )P(B/A 1 )+ P(A 2 )P(B/A 2 )

= ……….

Vậy xác suất để sau khi chuyển sách từ thùng 1 sang thùng 2 sao cho số sách 2 thùng bằng nhau thì số quyển sách tự nhiên và số quyển sách xã hội ở thùng 2 vẫn bằng nhau là…

b, Áp dụng công thức Bayes

P(A 0 /B)=

Vậy……

Bài 6: Một mạch điện gồm 2 linh kiện điện tử hoạt động độc lập nhau Xác suất

mỗi linh kiện điện tử bị hỏng trong khoảng thời gian T lần lượt là 0,01 và 0,02 Biết rằng mạch điện bị hỏng nếu có ít nhất 1 linh kiện điện tử bị hỏng

a, Tính xác suất mạch điện bị hỏng

b, Biết rằng mạch điện bị hỏng Tính xác suất để chỉ có linh kiện thứ 2 bị hỏng

Gợi ý

a,Gọi A i là biến cố “linh kiện điện tử thứ i bị hỏng” i=

Ta có

P(A 1 )=0,01

P(A 2 )=0,02

Gọi B là biến cố “ mạch điện bị hỏng”

B= A 1 A 2 +A 1 A 2

 P(B)=P(A 1 A 2 +A 1 A 2 )

=P(A 1 A 2 )+P(A 1 A 2 )

=P(A 1 )P(P(A 2 )+ P(A 1 ) P(A 2 )

= P(A 1 )[1- P(A 2 )]+[1- P(A 1 )]P(A 2 )+ P(A 1 ) P(A 2 )=……

Vậy……

b,

P(A 2 /B)=

Ta có A 2 B=A 2 (A 1 A 2 +A 1 A 2 )= A 1 A 2 +A 1 A 2

=A 1 V++A 1 A 2 =V++A 1 A 2 =+A 1 A 2

 P(A 2 /B)=

=

Vậy……

Một số bài tập tham khảo

Bài 1: Thiết bị phòng cháy chữa cháy của 1 toàn chung cư gồm hệ thống phun nước tự động và hệ thống chuông cảnh báo với khả năng bị hỏng của các hệ

thống này tương ứng là 0,1 và 0,15 nhưng khả năng cả 2 hệ thống bị hỏng là 0,04 Tính xác suất:

a, có đúng 1 hệ thống bị hỏng

b, cả 2 hệ thống đó hoạt động tốt

Bài 2:Một vận động viên tham gia về đích theo 2 cách, hoặc đi đường rừng, hoặc chọn vượt thác Biết rằng 65% anh ta đi theo đường rừng.Nếu đi theo đường rừng, xác suất anh ta về đúng giờ quy định là 0,75, nếu chọn vượt thác thì xác suất anh

ta về đúng giờ quy định là 0,7

a, tính xác suất để vận động viên đó về đúng giờ quy định

b, biết vận động viên đó về đúng giờ quy định, tính xác suất để anh ta di theo đường rừng

Bài 3: một lô hàng gồm 16 sản phẩm loại A và 4 sản phẩm loại B được vận chuyển cho khách hàng Khách hàng chỉ nhận được 18 sản phẩm Sau đó khách hàng lấy 1 sản phẩm ra để kiểm tra

a, Tính xác suất để sản phẩm lấy ra kiểm tra là sản phẩm loại A

b, Biết rằng sản phẩm lấy ra kiểm tra là sản phẩm loại A, tính xác suất lô hàng

bị rơi 2 sản phẩm loại B trong quá trình vận chuyển

Bài 4: Bắn liên tiếp 3 phát đạn vào 1 mục tiêu Xác suất trúng mục tiêu của mỗi phát đạn đều bằng 0,45 Nếu trúng ít nhất 2 phát đạn thì mục tiêu bị tiêu diệt Nếu trúng 1 phát đạn thì xác suất mục tiêu bị tiêu diệt là 0,7 Tính xác suất để mục tiêu bị tiêu diệt bởi 3 phát đạn trên