Chuyên đề hàm số và các bài toán liên quan - Toán học

Xác định giá trị của tham số m để đồ thị hàm số trên có cực đại, cực tiểu tạo thành.. Một tam giác vuông.[r]

4 Dang Thanh Nam

Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam

CHUYÊN ĐỀ 1:

Dang Thanh Nam

Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam

6 Dang Thanh Nam

Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam

Dang Thanh Nam

Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam

- Bài toán khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

- Bài toán về tính đơn điệu của hàm số

- Bài toán về điều kiện nghiệm của phương trình, hệ phương trình( được trình bày chi tiết trong chương 2)

- Bài toán về sự tương giao của đồ thị hàm số

- Bài toán về cực trị hàm số

- Bài toán về tiếp tuyến với đồ thị hàm số

- Bài toán về các điểm đặc biệt

BÀI TOÁN KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ

Dưới đây trình bày mẫu cách khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số của ba dạng hàm số là hàm đa thức bậc ba, hàm trùng phương và hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất

8

Hàm số nghịch biến trên các khoảng  ; 2và 0; 2 ; đồng biến trên các khoảng

 2; 0và  2; 

- Cực trị: Hàm số đạt cực tiểu tại x  2;y CT  3,đạt cực đại tại x0;y CÐ 1

x





 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị  C của hàm số đã cho

Trình bày:

Hàm số đồng biến trên các khoảng  ; 1và  1; 

- Giới hạn và tiệm cận: lim lim 2;

10

Hàm số f x đồng biến trên khoảng ( ) a b; khi và chỉ khi f '( )x 0, x a b; 

Hàm số f x nghịch biến trên khoảng ( ) a b; khi và chỉ khi f '( )x 0, x a b; 

Ta thường biến đổi bất phương trình f x  thành hai vế một vế là hàm của '( ) 0 xcòn một vế chứa tham số m

Có hai dạng bất phương trình sau

Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định khi và chỉ khi y'0m2 4 0  2 m 2

Để hàm số nghịch biến trên khoảng ;1thì ta phải có m 1 m1

Kết hợp 2 điều kiện trên suy ra  2 m1

+ Nếu m 0 y' có nghiệm phân biệt0 x  m x, 0,x m

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng  m; 0 ,  m; Vậy hàm số đồng biến trên khoảng

1; 2 khi và chỉ khi m 1 m 1

Vậy giá trị cần tìm của mlà ;1

12

Bài 6.Cho hàm số 3   2  

yx   m x  m xm Tìm tất cả các giá trị của tham số mđể hàm số đồng biến trên khoảng 0; 

Vậy hàm số đồng biến trên mỗi khoảng ;x1 , x2; Vậy hàm số đồng biến

trên đoạn 2;  khi và chỉ khi

y m x  m x  m xm Tìm các giá trị của tham số mđể hàm số đồng biến trên tập xác định

1.2 Cho hàm số

4

x m y

1.4 Cho hàm số y x33x2mx Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số 4

nghịch biến trên khoảng 0; 

a Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định của nó

b Hàm số đồng biến trên khoảng 0, 

KHẢO SÁT SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA PT, HPT

Phương pháp:

Xét hàm số f x liên tục trên miền ( ) D

- Nếu f x đơn điệu tăng hoặc đơn điệu giảm trên ( ) Dkhi đó phương trình f x  nếu có ( ) 0nghiệm thì đó là nghiệm duy nhất

- Nếu tồn tại a b, D thỏa mãn f a f b  khi đó phương trình ( ) ( ) 0 f x  có nghiệm ( ) 0

16

Phương trình tương đương với : 5  2

x  x  x Với x 0 x12  Khi đó để 1phương trình có nghiệm thì x5  1 x 1

Vậy ta xét nghiệm của phương trình trên khoảng 1, 

f   f   f f  Vậy phương trình đã cho có nghiệm thực duy nhất.

Bài 2 Chứng minh rằng phương trình x.2x  có nghiệm thực duy nhất trong khoảng 1 0,1

1.2 Chứng minh rằng phương trình  2 

4x 4x 1  có đúng ba nghiệm thực phân biệt 1

1.3 Chứng minh rằng với mỗi nguyên dương n thì phương trình

xx  x   x n   luôn có nghiệm thực duy nhất thuộc khoảng 0,1

1.6 Chứng minh rằng phương trình : lgxsinxcó đúng một nghiệm thực trên đoạn

      có nghiệm thực duy nhất trong khoảng 0, 4

1.8 Cho n2 ,k k  Chứng minh rằng phương trình :

1.11 Chứng minh rằng với A B C là ba góc của một tam giác thì phương trình sau luôn có 4 , ,

nghiệm phân biệt

BÀI TOÁN VỀ SỰ TƯƠNG GIAO

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường congy f x( )và yg x( )

Khi đó số giao điểm của hai đường cong chính là số nghiệm của phương trình (*)

Trong kì thi Tuyển sinh Đại học và Cao đẳng chỉ xét bài toán giao điểm của đường thẳng với đồ thị của hàm số bậc ba, hàm trùng phương và đồ thị của hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất Kiến thức cần vận dụng:

Hai đường cong tiếp xúc nhau:

Hai đường cong  C :y f x( )và  C' :yg x( )tiếp xúc nhau khi và chỉ khi hệ phương trình:

19

0

yax bx cxd có hai điểm cực trị thỏa mãn y CD y CT 0

i.1- Nếu phân tích phương trình (*) thành

b

a c

a d

i.4- Một cách tương tự phương trình (*) có ba nghiệm lập thành cấp số nhân thì 2

1 3 2

x x x , lúc này ta thay vào (3),…

i.1- Phương trình (*) có bốn nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) có 2 nghiệm phân

biệt đều dương

2

0

00

Kí hiệu g x( )x2 x m x; 11,x2và x là các nghiệm của (*) 3

Yêu cầu bài toán thỏa mãn khi và chỉ khi

Bài 3 Cho hàm số yx33x2mx1 (1) (m là tham số )

Tìm mđể đường thẳng d y  cắt đồ thị hàm số (1) tại ba điểm phân biệt : 1 A0;1 , B C sao cho ,các tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1) tại Bvà Cvuông góc với nhau

Lời giải:

Phương trình hoành độ giao điểm:x33x2mx 1 1

Khi đó hoành độ của B C là nghiệm của phương trình (*) ,

Hệ số góc của tiếp tuyến tại B C lần lượt là ,

x x



Xét hàm số

1 Hàm số luôn đồng biến hoặc luôn nghịch biến

2 Hàm số có cực đại, cực tiểu nhưng yCÐy CT  0

Bạn đọc tự làm theo hướng này và so sánh với kết quả trên

Bài 8 Cho hàm số 3  

yx mx C Tìm mđể đồ thị C mcắt trục hoành tại một điểm duy nhất

+ Đường thẳng dcắt  C tại ba điểm phân biệt khi và chỉ khi 0k 9(**)

Khi đó các giao điểm của dvà  C là

Kí hiệu g x( )x22mx m  Khi đó đường thẳng 2 dcắt đồ thị C mtại ba điểm phân biệt khi

và chỉ khi phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt, khác 0

2

(1)2

27

Bài 12 Cho hàm số 3 2  

yx  x  C

Gọi dlà đường thẳng đi qua điểm A2; 0có hệ số góc k Tìm kđể đường thẳng dcắt đồ thị

 C của hàm số tại 3 điểm phân biệt A B C sao cho tiếp tuyến của , ,  C tại B C vuông góc với ,nhau

phương trình (1) luôn có ít nhất một nghiệm dương

Từ đó suy ra phương trình (*) có ít nhất 2 nghiệm phân biệt.Đó là đpcm

Bài 17 Tìm m sao cho đồ thị hàm số 4 2  

yx  m x  m C Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m

để C mcắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt A B C D có hoành độ lần lượt là , , , x1x2 x3x4

sao cho tam giác ACKcó diện tích bằng 4 Biết rằng K3, 2 

31

Ta có

3 3

Phần 1: Giữ nguyên phần đồ thị  C bên phải trục tung

Phần 2: Lấy đối xứng phần 1 qua trục tung

32

Để đường thẳng dcắt  C1 tại bốn điểm phân biệt thì dphải nằm trong miền giới hạn bởi hai đường thẳng trên

- Đường thẳng thứ nhất đi qua điểm M2; 0và A0; 2 có hệ số góc là k  1 1

- Đường thẳng thứ hai là tiếp tuyến với  C1 ứng với x 0, ta xác định k 2

Ta có

3

2 2

x

k x

1.5 Tìm m để đồ thị hàm số yx4mx2m cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt có 1

y x  m x  m x C tại giao điểm A của C m với trục tung tạo

với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 1

3

1.10 Tìm m để đường thẳng d y: m cắt đồ thị hàm số y x42x2  tại bốn điểm phân 3

biệt M N P Q có hoành độ lần lượt , , , x1 x2 x3 x4sao cho MN NP PQ là độ dài ba , ,cạnh tam giác

1.11 Giả sử đồ thị hàm số 4   2

yx  m x  m cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt, khi m 0gọi Alà giao điểm có hoành độ lớn nhất ; tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại Acắt trục tung tại B Tìm m để tam giác OABcó diện tích bằng 24

1.12 Tìm m để đồ thị hàm số 3   2  2   

yx  m x  m  m x m m cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ lớn hơn 1

1.13 Chứng minh rằng đồ thị hàm số yx36x29xm cắt trục hoành tại ba điểm phân

biệt x1x2 x3 thỏa mãn 0x1 1 x2  3 x4  4

1.14 Tìm m để đồ thị hàm số 3   2    

yx  m x  m x m cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ x x x hỏa mãn 1, 2, 3 x12x22x323x x x1 2 3 53

1.15 Chứng minh rằng khi m thay đổi đường thẳng d m :ymxm2luôn cắt

m

C yx  m x  m m xm tại một điểm Acó hoành độ không đổi Tìm

m để d cắt m C mtại một điểm nữa khác A mà tiếp tuyến của C mtại hai điểm đó song song với nhau

y x  m x  m C Tìm tất cả các giá trị của tham số mđể

C mcắt trục hoành tại bốn điểm cách đều nhau

1.19 Tìm m để đồ thị hàm số 3   2

yx  m x  m cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt đều có hoành độ nhỏ hơn 3

1.20 Chứng minh rằng với m 0thì đồ thị hàm số yx42m x2 22m m 4luôn cắt trục

hoành tại ít nhất hai điểm phân biệt

1.21 Tìm tất cả các giá trị củ tham số m để đường thẳng d y: mx2m cắt đồ thị hàm số 4

yx  x  x tại ba điểm phân biệt

34

1.22 Tìm m để đồ thị hàm số yx33x2mx 2 m cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt

, ,

A B C sao cho tổng hệ số góc các tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại , , A B C bằng 3

1.23 Tìm tất cả các cặp số m n, sao cho trong các giao điểm của đồ thị hàm số

yx  x mx m C tại ba điểm phân biệt A1; 2 , , B Csao cho tiếp tuyến với

 C tại B C lần lượt cắt ,  C tại M N và tứ giác , BMNClà hình thoi

y x  m x  m xm C Tìm những giá trị của tham số

m để đường thẳng d y:   x m cắt C mtại ba điểm phân biệt A0,m, ,B C, đồng thời

OAlà phân giác trong góc BOC

1.27 Tìm những giá trị của tham số m để đồ thị hàm số yx33x23mxm cắt trục hoành

tại ba điểm phân biệt A B C có , , hoành độ tương ứng thỏa mãn

và B Gọi k k lần lượt là hệ số góc của các tiếp tuyến với 1, 2  C tại Avà B Tìm mđể tổng

Ta có  ' m2 2m 2 0, Suy ra m dluôn cắt  C tại hai điểm phân biệt với mọi m.

Gọi x x là nghiệm của (*), ta có 1, 2

Avà B Gọi k k lần lượt là hệ số góc của các tiếp tuyến với 1, 2  C tại Avà B Tìm mđể tổng

Ta có  ' m2 2m 2 0, Suy ra m dluôn cắt  C tại hai điểm phân biệt với mọi m

Gọi x x là nghiệm của (*), ta có 1, 2

AB  m   AB Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi m 0

Vậy giá trị nhỏ nhất của AB  2khi và chỉ khi m 0

sao cho I là trung điểm của MN.Tìm k

     (dox  1không là nghiệm)

Yêu cầu bài toán thỏa mãn khi và chỉ khi phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt x x thỏa 1, 2mãn

37

Gọi dlà đường thẳng đi qua I 1;1 có hệ số góc k Tìm kđể dcắt  C tại hai điểm phân biệt

M và Nsao cho độ dài MNbằng 3 10

38 Dang Thanh Nam

Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam

 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số mđể đường thẳng

 d :yxm cắt đồ thị  C tại hai điểm phân biệt A B sao cho , 2 2 37

d y xm tại hai điểm phân biệt A B thuộc một đường ,  H cố định Dường thẳng

dcắt trục hoành tại hai điểm M N Tìm những giá trị của m để , S OAB 3S OMN





tại hai điểm phân biệt M N và cắt hai đường tiệm cận lần lượt tại , A B Chứng minh ,rằng MANB

 và điểm A  2; 4 Viết phương trình đường thẳng d

cắt đồ thị hàm số  C tại hai điểm phân biệt B C sao cho tam giác , ABCđều

1.7 Tìm m để đường thẳng d y:  x 2m cắt đồ thị hàm số 2 1

2

x y x

Loại 1 : Điều kiện hàm số y f x( )có cực trị

Phương trình f x  có ít nhất 2 nghiệm phân biệt trở lên '( ) 0

Loại 2 : Điều kiện để một điểm là cực trị của hàm số

Cho hàm số y f x( )điểm M x y 0; 0   C là điểm cực trị của hàm số khi đó f x'( )0  0

M là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số

Loại 3 : Đường thẳng đi qua các điểm cực trị của hàm số

Xét với hàm số đa thức bậc 3 :yax3bx2cx d có đạo hàm y'3ax2 2bx c

Lấy ychia cho y ta được '

Lưu ý : Với các hoành độ cực trị không phụ thuộc tham số thì ta không cần thiết phải làm theo

cách này, nhưng có chứa tham số thì đây là lựa chọn khôn ngoan

Loại 4 : Các điểm cực trị thỏa mãn một điều kiện chẳng hạn lập thành tam giác vuông, tam giác

đều,…Lúc này chúng ta dựa vào tính chất của tam giác

Dạng toán : Liên quan đến điều kiện tồn tại cực, cực tiểu- tọa độ cực trị

Phương pháp :

- Để hàm số có cực trị khi và chỉ khi phương trình y  có hai nghiệm phân biệt ' 0

- Một điểm x là điểm cực tiểu của hàm số thì 0  

 0 0

Khi đó hai điểm A B , nằm cùng phía với d hoặc   C khi và chỉ khi T  0hoặc V  0

Hai điểm A B , nằm khác phía đối với d hoặc   C khi và chỉ khi T  0hoặc V  0

Đặc biệt :

Hai điểm cực trị nằm khác phía với trục tung thì pt y  ' 0có hai nghiệm trái dấu

Hai điểm cực trị nằm khác phía đối với trục hoành thì y yCÐ CT  0hoặc phương trình y  0có

ba nghiệm phân biệt

+ Nếu m 0hàm số chỉ có cực tiểu tại x 0

+ Nếu m 0thì hàm số chỉ có cực tiểu tại x 0

+ Nếu m 0thì hàm số có 3 cực trị, nên không thỏa mãn

y x  x có  2  

y  x   x xđổi dấu từ âm sang dương khi đi qua 0 Vậy nên hàm số đạt cực tiểu tại x 0

43

Vậy m  1là giá trị cần tìm

Bình luận : Rất nhiều học sinh cũng như cả các thầy cô không hiểu rõ điều kiện để hàm số đạt

cực trị tại một điểm ; và tất nhiên như trên khi nói điều kiện để hàm số đạt cực tiểu tại x 0thì học sinh lại viết :

Để hàm số đạt cực tiểu tại x 0khi và chỉ khi '(0) 0

''(0) 0

y y

chứ không có điều ngược lại

Do đó khi tìm được giá trị của tham số m thì ta phải thử lại xem có thỏa mãn điều kiện đổi dấu của y hay không '

3

m

m m

Phương trình y  có ' 0  m272 nên hàm số luôn đạt cực trị tại hai điểm 0 x x 1, 2

Điểm cực đại và điểm cực tiểu của hàm số cách đều trục tung khi và chỉ khi

y x  mx  m  x Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số

có cực đại, cực tiểu sao cho xCÐ,x CTlà độ dài các cạnh góc vuông của một tam giác vuông có độ

Khi đó gọi tọa độ hai điểm cực trị là A x y  1; 1  ; B x y2; 2

Lấy ychia cho y 'ta được : 1 2

, vậy để hàm số có cực trị khi và chỉ khi m  0

Khi đó gọi tọa độ hai điểm cực trị là  3    3

và trung điểm của ABlà  3

2 2

Lời giải :

Khi đó tọa độ điểm cực đại  3 2 

A m m  m m và điểm cực tiếu  3 2 

B m m  m mYêu cầu bài toán tương đương với

Bài 15 Tìm các giá trị thực của tham số m để điểm cực đại, cực tiểu của hàm số

Khi đó tọa độc hai điểm cực trị là 4 3    

y x  mx  m x  Với giá trị nào của tham số m để hàm số chỉ

có cực tiểu mà không có cực đại

y x mx  Xác định m để hàm số có cực tiểu mà không có cực đại

1.7 Chứng minh rằng với mọi tham số m hàm số yx4mx3mx2mx không đồng thời 1

y x  m x  m x m  Tìm những giá trị của tham

số m để hàm số đạt cực tiểu tại điểm x 0 1; 2

y x  mx  m  x Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số

có cực đại, cực tiểu sao cho xCÐ,x CTlà độ dài các cạnh góc vuông của một tam giác vuông có độ dài cạnh huyền bằng 5

50

1.16 Tìm m để đồ thị hàm số 3   2

y  x  m  x  x  m  có cực đại, cực tiểu đối

xứng nhau qua đường thẳng 1

1.28 Tìm m để các điểm cực trị của đồ thị hàm số yx33x2  nằm về hai phía đối với 2

đường tròn x2y22mx4my5m2  1 0

A B sao cho tổng độ dài MA MB nhỏ nhất với M3; 2

1.30 Chứng minh rằng với mọi giá trị thực của tham sốm thì đồ thị hàm số

Khi đó tọa độ hai điểm cực trị là M x y 1; 1;N x y 2; 2

Lấy ychia cho y , ta được : ' 1 ' 1 12 1  1

Bài 3 Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m thì đồ thị hàm số

y   x  mx m  , có   1 m Nên luôn có hai nghiệm phân biệt hay hàm

số luôn có cực trị với mọi m

Khi đó gọi tọa độ hai điểm cực trị là A x y 1; 1;B x y 2; 2