Nghiên cứu tính bền vững trong hệ thống điều khiển đa biến tháp chưng cất

+ Trên cơ sở phân tích giá trị suy biến, xác định các hệ số khuếch đại, xác định điểm không của hệ MIMO, phân tích tính bền vững theo chuẩn H∞ của hệ MIMO để tiến hành thiết kế bộ điều k

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI

LỜI CAM ĐOAN

*********

Tôi xin cam đoan những kết quả trong luận văn là do bản thân tôi thực hiện dựa trên sự hướng dẫn của thày giáo hướng dẫn khoa học và các tài liệu tham khảo đã trích dẫn

Học viên

L ời nói đầu

Điều khiển đa biến là một lĩnh vực ứng dụng quan trọng của kỹ thuật điều khiển trong các quá trình công nghiệp trong thực tế Vấn đề thiết kế cấu trúc điều khiển cho quá trình đa biến bao giờ cũng là một vấn đề phức tạp và cũng là chủ đề nghiên cứu mang tính thời sự

Điều khiển đa biến không phải là một lĩnh vực mới nhưng luôn chiếm lĩnh vị trí hàng đầu trong tự động hoá công nghiệp Vấn đề thiết kế hệ thống điều khiển bền vững cho quá trình đa biến là vấn đề luôn được quan tâm của các kỹ sư thiết kế hệ thống

Hy vọng luận văn này cũng sẽ hữu ích cho những người đã có kiến thức về điều khiển SISO kinh điển khi nghiên cứu hệ MIMO

Tác giả xin chân thành cảm ơn thầy giáo Hoàng Minh Sơn người đã tận tình giúp đỡ

và hướng dẫn tác giả đường đi nước bước trong quá trình viết luận văn, Xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo của bộ môn Điều khiển tự động trường Đại học Bách Khoa Hà Nội, tác giả xin cảm ơn anh Nguyễn Hoài Nam và các thầy cô giáo của bộ môn Đo lường & Điều khiển tự động – Khoa Điện tử trường Đại học Kỹ thuật Công nghiệp đã tạo điều kiện tốt nhất để tác giả có thể hoàn thành luận văn đúng kỳ hạn Đồng thời, để hoàn thành được luận văn này, một phần công sức vô cùng to lớn và

có ý nghĩa cả về tinh thần lẫn vật chất đã giúp tác giả hoàn thành khoá luận là sự cảm thông sâu sắc, sự động viên giúp đỡ của bố mẹ, anh, chị đã khiến tác giả có đủ thời gian và tự tin để yên tâm nghiên cứu về đề tài được giao

Do khả năng của bản thân cũng còn nhiều hạn chế, nên mặc dù đã được sự hướng dẫn nhiệt tình của thầy giáo hướng dẫn cũng như của đồng nghiệp, gia đình, sự cố gắng, nỗ lực của bản nhân song luận văn chắc chắn không tránh khỏi những thiếu sót Rất mong được sự quan tâm góp ý của các thầy cô giáo, các bạn đồng nghiệp để luận văn được hoàn thiện hơn nữa

Xin chân thành cảm ơn Thái nguyên, 20/10/2008

1.3 Cách tiếp cận (phương pháp nghiên cứu) 10

1.4 Nội dung nghiên cứu, nhiệm vụ cụ thể của luận văn 11

Chương 2 Tổng quan về hệ đa biến

2.1.1 Biểu diễn hệ thống đa biến bằng hệ phương trình trạng thái 13

2.1.2 Bi ểu diễn hệ đa biến bằng mô hình hàm truyền đạt 17

2.4 Số điều kiện và ma trận khuếch đại tương đối RGA 30

2.4.3 Phân tích ma trận RGA và các thông số liên quan 35 2.5 Một số khái niệm cơ bản về tính bền vững trong hệ đa biến 35

2.5.1 Sự ”thoả hiệp” trong thiết kế phản hồi đa biến 35

Chương 3 Giới thiệu mô hình tháp chưng

3.6.1 Phân tích quá trình chưng cất thông qua mô hình 56

3.6.2 Vai trò và tác động của nhiễu đối với quá trình chưng cất 58

3.6.3 Phân tích tính bền vững của quá trình chưng cất 61

3.6.4 Phân tích tính bền vững của quá trình chưng cất 64

Chương 4 Phương pháp điều khiển tách kênh

4.2 Vấn đề điều khiển truyền thẳng của quá trình chưng cất 71 4.3 Bộ điều khiển SVD và các bộ bù trước, bù sau 72

5.3 Bộ quan sát trạng thái Kalman (Lọc Kalman) 78

5.3.2 Thi ết kế bộ quan sát trạng thái cho đối tượng tuyến tính 80 5.4 Nội dung bộ điều khiển LQG (Linear Quadratic Gaussian) 82

5.4.1 Phát bi ểu bài toán thiết kế bộ điều khiển LQG 82

5.5 Thiết kế bộ điều khiển tối ưu LQG cho đối tượng nghiên cứu 87

5.6 Tổng kết về vấn đề bền vững của các bộ điều khiển kinh điển 93

Chương 6 Thiết kế bộ điều khiển theo tiêu chuẩn H∞

6.1.3 Cấu trúc các bộ điều khiển vòng kín theo chuẩn H∞ trên cơ sở khâu

quan sát

102 6.2 Thiết kế bộ điều khiển bền vững cho đối tượng trên cơ sở tối ưu H∞ 107

SVD Singular Value Decomposition – Phép phân tích giá tr ị suy biến RGA Relative Gain Array – Ma tr ận khuếch đại tương đối

LQR Linear Quadraric Regulator

LQG Linear Quadraric Gaussian

Danh m ục các hình vẽ, đồ thị Hình v ẽ, đồ thị Trang Hình v ẽ, đồ thị Trang

Tài li ệu tham khảo:

Ti ếng Việt

[1] Sơn H.M.: Cơ sở hệ thống điều khiển quá trình NXB Bách Khoa, Hà Nội, 2006

[2] Phước N.D.: Lý thuyết điều khiển tuyến tính NXB Khoa học & Kỹ thuật, 2005

[3] Phước N.D.: Lý thuyết điều khiển nâng cao NXB Khoa học & Kỹ thuật, 2007

[4] Quang, N.P.: Matlab & Simulink dành cho k ỹ sư điều khiển tự động NXB Khoa học &

Kỹ thuật, 2006

[5] Sơn, H.M.: Phát triển thư viện phần mềm tính toán điều khiển chất lượng cao Chuyên

mục các công trình khoa học, tạp chí tự động hoá ngày nay, 05/2001

[6] Toản, P.X.: Các quá trình, thiết bị trong công nghệ hoá chất và thực phẩm Tập 3

NXB Khoa học & Kỹ thuật, 2002

Ti ếng Anh

[7] Sigurd Skogestad, Ian Postlethwaite: Multivarible Feedback Control – Analisys and

Design.Wiley, Chichester – NewYork, 1986

[8] Glover, K and McFarlane, D.: Robust stabilization of normalized coprime factor

plant descriptions with H∞ bounded uncertainty IEEE Transactions on Automatic

[11] Sigurd Skogestad: Dynamics and Control of Distillation Columns – A Tuorial

Introduction Trans Ichtác giảE, Vol 75 Part A, Sep 1997

[12] Sigurd Skogestad , Manfred Morari, and John C.Doyle: Robust Control of III –

Conditioned Plants: High- Purity Distillation IEEE Transaction on Automaic Control,

Vol.33 (12), 1988

[13] Matlab Control Systtác gi ả Toolbox User’s Guide Version R2008a, The Mathworks,

2008

[14] Maciejowski, J.M.: Multivarible Feedback Design Addison – Wesley, 1989

[15] Smith, O.J.M: Feedback Control Systems, McGraw-Hill, NewYork, 1958

Chương 1 M Ở ĐẦU

1.1 Đặt vấn đề

Có thể nói lý thuyết về điều khiển đa biến đã ra đời từ rất lâu, nhưng hiện tại, ở Việt Nam, thông tin về điều khiển các hệ thống đa biến trong các cuốn sách còn khá là hạn chế

Khi nghiên cứu và thiết kế bộ điều khiển cho các đối tượng trong thực tế, ta đã có được rất nhiều công cụ lý thuyết cũng như thực tiễn để áp dụng Tuy nhiên, đa phần

ta mới chỉ xét đơn thuần đó là các hệ SISO (hệ có một đầu vào và một đầu ra), hoặc

là nghiên cứu các hệ thống đa biến nhưng dưới dạng đa biến trạng thái hoặc có thể điều chế dưới dạng tách kênh

1.2 M ục tiêu của luận văn

- Nghiên cứu một số vấn đề tiêu biểu của điều khiển quá trình đa biến

- Áp dụng lý thuyết để khảo sát tính bền vững của mô hình đối tượng

- Kiểm chứng, đánh giá khả năng có thể áp dụng vào thực tế

- Nh ững điều luận văn đạt được:

+ Hiểu sâu hơn về đặc điểm và bản chất của hệ MIMO

+ Nắm được một số phương pháp tổng hợp và thiết kế cho hệ MIMO

+ Trên cơ sở phân tích giá trị suy biến, xác định các hệ số khuếch đại, xác định

điểm không của hệ MIMO, phân tích tính bền vững theo chuẩn H∞ của hệ MIMO

để tiến hành thiết kế bộ điều khiển tối ưu và bền vững cho đối tượng nghiên cứu

1.3 Cách tiếp cận (phương pháp nghiên cứu)

Thông qua nghiên cứu lý thuyết về điều khiển tối ưu và điều khiển bền vững, các lý thuyết đó sẽ được áp dụng vào đối tượng nghiên cứu của luận văn là tháp chưng cất Sau đó, kiểm chứng tính đúng đắn cũng như chất lượng đạt được trên miền thời gian và trên miền tần số của các bộ điều khiển đã được thiết kế theo các thuật toán

đã nghiên cứu trong lý thuyết nói trên để hiểu sâu thêm về lý thuyết tối ưu và bền vững cho các hệ thống đa biến mà cụ thể ở đây là điều khiển quá trình đa biến

Sử dụng các toolbox của Matlab để thiết kế mô phỏng và đánh giá các chỉ tiêu chất lượng của hệ thống

…

Hình 1.1: Sơ đồ cấu trúc điều khiển đa biến tập trung

1.4 N ội dung nghiên cứu, nhiệm vụ cụ thể của luận văn

Hầu hết mỗi quá trình công nghiệp đều có nhiều biến vào và ra, trong đó một biến vào có thể ảnh hưởng đến nhiều biến ra và một biến ra có thể chịu ảnh hưởng của nhiều biến vào

Chúng ta xét 1 hệ thống đa biến có m đầu vào và l đầu ra Khi đó mô hình hàm truyền đạt cơ bản là: y(s) = G(s).u(s) Trong đó y là vector (lx1); u là vector (mx1)

và G(s) là một ma trận có kích thước l x m

Nếu ta thay đổi ở đầu vào thứ nhất u1, nó sẽ ảnh hưởng tới tất cả các đầu ra y1, y2,

…,y l , đó là do có sự tương tác (interaction) giữa các đầu vào và các đầu ra Một hệ

thống gọi là không tương tác (non-interacting) nếu như đầu vào u1 chỉ ảnhhưởng

đến y1, u2 chỉ ảnhhưởng đến y2, v.v

Sự khác nhau chủ yếu giữa hệ SISO và hệ MIMO là số chiều của hệ MIMO Tuy nhiên, mặc dù có yếu tố phức tạp của số chiều, nhưng nhiều ý tưởng và các kỹ thuật

đã được trình bày trong các hệ SISO có thể được mở rộng cho các hệ đa biến

Phép phân tích giá trị suy biến (Singular Value Decomposition – SVD) cung cấp một cách thức mô tả chiều trong hệ đa biến một cách hữu ích và ta sẽ thấy rằng hầu hết các hệ SISO có kết quả liên quan đến giá trị biên độ có thể được ứng dụng cho các hệ MIMO bằng cách quan tâm tới giá trị suy biến cực đại

Một ngoại lệ đối với vấn đề này là điều kiện ổn định của Bode, nó không có sự tổng quát hoá theo khía cạnh các giá trị suy biến Điều này liên quan đến một thực tế là

rất khó tìm giá trị chính xác của pha cho các hàm truyền đạt MIMO

Để kiểm chứng tính đúng đắn của nội dung nghiên cứu, luận văn nghiên cứu một đối tượng cụ thể là quá trình chưng cất của tháp chưng luyện hai cấu tử thông qua thiết kế bộ điều khiển cho đối tượng này bộ điều khiển được thiết kế trọng tâm là

bộ điều khiển tối ưu LQG và bộ điều khiển bền vững đa biến

1.5 B ố cục luận văn

Cấu trúc nội dung luận văn gồm 4 chương, với nội dung các chương được thể hiện

như sau: Chương 1 giới thiệu chung về đề tài Chương 2 trình bày về một số thuật

toán áp dụng trong điều khiển đa biến như phép phân tích giá trị suy biến SVD,

RHP - Zeros,…, m ột số khái niệm về bền vững trong hệ đa biến Chương 3 giới

thiệu về đối tượng nghiên cứu của luận văn: Tháp chưng luyện hai cấu tử Chương

4 gi ới thiệu về phương pháp thiết kế bộ điều khiển tách kênh, SVD, Chương 5 đi

sâu vào giới thiệu và thiết kế tối ưu LQG Nội dung chính của chương 6 là trình bày phương pháp thiết kế bộ điều khiển bền vững cho đối tượng thực là quá trình chưng cất của tháp chưng với 2 đầu vào và 2 đầu ra đã được giới thiệu trong chương 3 và các kết quả đạt được

Thông qua ví dụ về bài toán điều khiển quá trình chưng cất của tháp chưng tác giả muốn thể hiện sự cần thiết của việc phải phân tích kỹ lưỡng ảnh hưởng của yếu tố

bất định trong các hệ MIMO

Chương II: T ỔNG QUAN VỀ HỆ ĐA BIẾN

Nội dung của phần đầu chương 2 là mô tả các quy tắc để xác định các hàm truyền đạt đa biến Mặc dù hầu hết các công thức trong hệ SISO được áp dụng cho hệ MIMO nhưng chúng ta vẫn phải sử dụng những kiến thức đã biết để có thể nắm bắt

được Sau đó, giới thiệu về phép phân tích giá trị suy biến SVD và chỉ ra cách nó có

thể được dùng để nghiên cứu số chiều trong hệ thống đa biến, số điều kiện, ma trận

RGA, mô hình RHP- Zeros ( Right half plane – zeros: điểm 0 ở nửa bên phải trục ảo) trong hệ đa biến và chỉ ra sự ảnh hưởng của điểm không này có thể bị dịch chuyển từ một kênh đầu ra tới kênh đầu ra khác như thế nào Phần cuối chương 2, luận văn trình bày về tính bền vững của hệ đa biến

2.1 Các d ạng mô tả hệ thống đa biến

2.1.1 Biểu diễn hệ thống đa biến bằng hệ phương trình trạng thái

a Mô hình tr ạng thái phi tuyến

Mô hình trạng thái là một hình thức mô tả rất tổng quát, phù hợp cho hệ đơn biến và

đa biến, tuyến tính cũng như phi tuyến Một quá trình với m biến vào (vector vào u),

p bi ến ra (vector ra y) và n biến trạng thái (vector biến trạng thái x) có thể được biểu

diễn với mô hình phi tuyến trong không gian trạng thái như sau:

Trong đó f và g là các vector hàm đa biến Phương trình thứ nhất gọi là phương

trình trạng thái, phương trình thứ 2 có tên là phương trình đầu ra

Phương trình trạng thái thực chất là một hệ phương trình vi phân trong đó chỉ xuất hiện đạo hàm cấp 2

b Mô hình tr ạng thái tuyến tính

Bản chất của bài toán điều chỉnh là duy trì trạng thái của quá trình tại một điểm làm việc cân bằng Như vậy, thay vì mô hình phi tuyến, trong đại đa số trường hợp ta có thể sử dụng một mô hình tuyến tính đại diện cho quá trình trong lân cận điểm làm việc đó Mô hình tuyến tính này có thể được xây dựng với quan điểm xấp xỉ hoá ngay từ mô hình phi tuyến

Nếu một mô hình trạng thái phi tuyến biểu diễn trong (2.1) có điểm cân bằng ( )x u ,hay x = f x u( ), =0và khả vi tại ( )x u , ta có th, ể xấp xỉ về một mô hình tuyến tính cho phạm vi làm việc lân cận( )x u thông qua phép khai tri, ển Taylor Đặt:

Các ma trận A và B được gọi là ma trận Jacobi của vector hàm f(x,u), C và D là các

ma trận Jacobi của vector hàm g(x,u)

Ma trận Jacobi của mộ vector hàm f(x) bất kỳ, :f Rn→R , vm ới

Lưu ý rằng ∆x, ∆u và ∆y hoàn toàn có thể được coi là các biến đặc trưng của hệ

thống nếu như ta lấy , vµ x u ylàm các điểm quy chiếu

Thực tế, với các mô hình tuyến tính ta luôn sử dụng các biến trênh lệch thay cho các biến giá trị thực Vì vậy, để đơn giản hoá cách viết mà không sợ nhầm lẫn, ta thay lại các ký hiệu ∆x, ∆u và ∆y trở lại lần lượt bằng x, u và y Khi đó ta có:

Các phương trình trong (2.7) chính là dạng mô hình trạng thái tuyến tính quen thuộc

Ma trận A được gọi là ma trận hệ thống, B được gọi là ma trận vào (hay ma trận

điều khiển), C là ma trận ra (hay ma trận quan sát) và D là ma trận liên thông

Ta có thể biểu diễn mô hình hệ thống trong không gian trạng thái dưới dạng sơ đồ khối như sau:

Chú ý: Đối với mô hình trạng thái đơn biến, ma trận vào trở thành vector (cột), ma trận ra trở thành vetor hàng và ma trận liên thông là 1 số vô hướng Trong trường hợp này người ta hay sử dụng cách viết:

x

, , ,

để biểu diễn mô hình trạng thái của một hệ G Một mô hình thể hiện ở các ma trận

hằng số A, B, C và D Ngược lại, các phần tử ma trận của một mô hình trạng thái tham số biến thiên là các hàm theo thời gian Đối với các quá trình thực, sự biến

thiên đầu vào không thể gây tác động ngay tức khắc tới biến ra, vì vậy D luôn là

Hình 2.1: Mô hình trạng thái liên tục minh hoạ bằng sơ đồ khối

Có nhiều cách biển diễn một hệ tuyến tính trong không gian trạng thái Trong số các dạng mô tả cùng một quan hệ vào/ ra, một cách mô tả với số biến trạng thái thấp nhất được gọi là thực thi tối thiểu

* Nhận xét về các ma trận A, B, C, và D:

Ma trận A đặc biệt là các giá trị riêng của nó có vai trò đặc biệt quan trọng đối với diễn biến trạng thái của hệ thống Nếu các giá trị riêng của A đều có phần thực âm, thành phần tự do sẽ tắt dần và hệ được gọi là ổn định, ngược lại chỉ cần 1 giá trị riêng của A nằm trên hoặc nằm bên phải trục ảo, hệ sẽ mất ổn định Các giá trị riêng

và cũng là các điểm cực của hệ thống được xác định từ phương trình đặc tính :

I : ma tr ận đơn vị cùng kích thước với A

Cặp ma trận (A, B) còn nói lên tính điều khiển được (trạng thái) và tính ổn định được

Cặp ma trận (A, C) còn nói lên tính quan sát được và tính nhận biết được của hệ thống

Khi xét tới nhiễu quá trình d(t) và nhiễu đo n(t), mô hình trạng thái của một hệ thống được biểu diễn như sau:

+ Ưu điểm của phương pháp sử dụng mô hình trạng thái:

Cách mô tả cũng như các phương pháp phân tích và thiết kế có thể áp dụng một cách thống nhất cho cả hệ đơn biến và đa biến Đặc biệt, các phương pháp phân tích

và thiết kế hệ thống điều khiển được hỗ trợ rất mạnh bằng các công cụ đại số tuyến tính hiện đại

+ Nhược điểm:

Khó tiến hành nhận dạng trực tiếp bởi các biến trạng thái không phải lúc nào cũng

có thể dễ dàng đo được

Mô hình trạng thái rất nhạy cảm với sai lệch tham số Một sai số nhỏ trong các phần

tử ma trận tham số cũng có thể phản ánh một sự thay đổi lớn về đặc tính quá trình

Ngược lại, một sự biến thiên nhỏ trong đặc tính quá trình cũng có thể làm thay đổi giá trị tất cả phần tử của ít nhất một ma trận tham số

Vì vậy, hiện nay, các phương pháp thiết kế với mô hình trạng thái hầu như không được áp dụng thực tế trong lĩnh vực điều khiển quá trình

2.1.2 Biểu diễn hệ đa biến bằng mô hình hàm truyền đạt

Cho một hệ với m biến vào và p biến ra, ma trận truyền đạt được định nghĩa là một

ma trận pxm với các phần tử là hàm truyền đạt cho từng kênh vào ra:

Hình 2.2 Quy ước hệ thống điều khiển hồi tiếp âm

Với hệ thống hồi tiếp âm trong hình 2.2, chúng ta định nghĩa L là hàm truyền đạt hệ

Trong hình 2.2, T là hàm truyền từ r tới y và S là hàm truyền từ d 1 t ới y

Đôi khi S và T còn được gọi là hàm nhạy đầu ra và hàm bù nhạy đầu ra

Thường ký hiệu: L 0 = L = G.K (O: Out put)

S 0 = S = (I + L) -1 = I/(I + L); T 0 = T = L/(I + L)

Định nghĩa L I = K.G I: Input to the plant (Đầu vào của đối tượng)

T I : Hàm truyền đạt từ d2 tới u: TI = L I /(I + L I )

S I = (I + L I ) -1 Hàm nhạy đầu vào của đối tượng

Hiển nhiên với hệ SISO thì LI = L; S I = S và T I = T

Hàm truyền G(s) là hàm của biến

Laplace s và có thể được sử dụng để

đại diện cho một hệ thống động học

Tuy nhiên, nếu ta thay s = s0 thì khi đó ta có thể thấy G(s0) đơn giản chỉ là một ma trận phức, và ta hoàn toàn có thể phân tích được nó bởi các công cụ tiêu chuẩn trong

đại số ma trận Đặc biệt là khi thay s = jω, lúc đó G(jω) thể hiện đáp ứng dưới dạng tín hiệu hình sin có tần số ω

Lĩnh vực tần số là ý tưởng cho hướng nghiên cứu các hệ thống đa biến tại bất kỳ tần

số được lựa chọn nào Xét hệ thống G(s) trong hình 2.3 ta có: y(s) = G(s)d(s)

Ở đây ta sử dụng khái niệm đầu vào là d thay vì dùng u để tránh nhầm lẫn với ma

trận U được sử dụng dưới đây trong phép phân tích giá trị suy biến Đối với ma trận truyền đạt G(jω) có các phần tử gij (jω) ta có:

- gij (jω) thể hiện đáp ứng dạng sin từ đầu vào j tới đầu ra i

Để rõ ràng hơn, ta tác động tại đầu vào j một tín hiệu sin vô hướng được cho dưới

dạng: d j (t) = d j0sin(ωt+α j)

Tín hiệu này là tín hiệu liên tục và được áp dụng kể cả khi t = –∞ Khi đó, đáp ứng

liên tục của tín hiệu đầu ra tại kênh thứ i cũng là tín hiệu dạng sin có cùng tần số:

y j (t) = y i0sin(ωt+β i) với biên độ (khuếch đại) và pha thu được từ số phức gij (jω) như sau:

1 2

i

l

y y

y

y y

ωωω

ωω

2.2.1 S ự phụ thuộc của hệ số khuếch đại vào hướng trong các hệ thống đa biến

Đối với hệ SISO y = Gd, tại tần số lựa chọn ta có:

( )

G j d

ω

hệ số khuyếch đại phụ thuộc tần số ω, nhưng khi hệ thống là tuyến tính, nó mang

tính độc lập với biên độ đầu vào |d(ω)| Những điều này không thể đem áp dụng làm mẫu cho hệ MIMO vì hệ MIMO có các tín hiệu đầu vào và đầu ra đều dưới dạng vector Vì thế chúng ta cần "tổng hợp" biên độ của các phần tử trong vector bằng

cách sử dụng một số chuẩn Ở đây ta chọn chuẩn bậc 2, khi đó tại tần số đã chọn ω, biên độ của vector tín hiệu đầu vào là:

Một lần nữa ta lại thấy hệ số khuếch đại phụ thuộc vào tần số ω và nó độc lập với

biên độ đầu vào ||d(ω)||2 Tuy nhiên, với một hệ MIMO còn có thêm các bậc tự do

và hệ số khuếch đại cũng phụ thuộc vào hướng đầu vào d

Ví dụ:

Cho một hệ thống 2 đầu vào, 10

20

d d d

2.4, ở đó có sử dụng tỉ số d20/d10 là một biến độc lập để mô tả hướng đầu vào Ta thấy rằng, hệ số khuếch đại thay đổi giữa 0.27 và 7.34 phụ thuộc vào tỉ số d20/d10 Giá trị cực đại của hệ số khuếch đại trong (2.22) khi hướng của đầu vào được thay

đổi là giá trị suy biến (singular value) cực đại của G:

2.2.2 Đánh giá độ suy giảm của hệ số khuếch đại thông qua các giá trị riêng

Trước khi bàn về các giá trị suy biến ta muốn chứng tỏ rằng các biên độ của các giá trị riêng của một ma trận truyền đạt, λi(G j( )ω ), không đưa ra một ý nghĩa hữu dụng nào trong việc tạo ra hệ số khuếch đại SISO, |G(jω)| Trước hết, các giá trị riêng chỉ có thể được tính toán đối với ma trận vuông, và thậm chí đôi khi chúng có thể là rất sai lạc Để thấy điều này xét hệ thống y = Gd với :

tơ đầu vào d = [0;1] chúng ta có véc tơ đầu ra y = [0;100]

Vấn đề đặt ra là các giá trị riêng đo được hệ số khuếch đại đối với trường hợp đặc biệt khi các đầu vào và đầu ra cùng hướng cụ thể là hướng của véc tơ giá trị riêng

Để thấy được điều này, đặt t i là một véc tơ giá trị riêng của G và xét đầu vào d = t i

Khi đó đầu ra y = Gt i = λ i t i trong đóλ i là giá trị riêng tương ứng, và do đó |λi| đo

được hệ số khuếch đại theo hướng t i Điều này rất hữu ích đối với việc phân tích tính ổn định nhưng không hữu ích với việc xét ổn định

Hình 2.4 : Khuếch đại ||G1d||2/||d||2 là một hàm của d20/d10 cho G1 trong (2.25)

Để tìm những sự khái quát hoá của |G| trong trường hợp G là một ma trận, chúng ta

cần một khái niệm một chuẩn ma trận, kí hiệu là ||G|| Hai tính chất quan trọng phải được thoả mãn đối với chuẩn ma trận là bất đẳng thức trong tam giác

G1+G2 ≤ G1 + G2

và tính chất nhân bội G G1 2 ≤ G1 G2

2.3 Khái niệm giá trị suy biến và phép phân tích giá trị suy biến SVD

2.3.1 Khái niệm giá trị suy biến

Xét một hệ tuyến tính tĩnh m biến vào và l biến ra (m≥ l):

Trong đó M là ma trận khuếch đại với kích thước l x m, u là vector đầu vào và y là vector đầu ra với số chiều tương ứng số biến vào / ra Nếu tất cả các hàng của M độc lập tuyến tính với nhau (tức hạng của M bằng l) và u không bị giới hạn, vector y

có thể được điều khiển một cách tuỳ ý, song trong thực tế có một số vấn đề như sau:

• Khi các hàng của M không độc lập tuyến tính với nhau (ma trận M suy biến) ánh xạ tuyến tính Mu sẽ không bao hết không gian vector của y, hay nói một

cách khác là vector ra y không thể điều khiển được hoàn toàn theo ý muốn

Tuy nhiên, giới hạn giữa sự suy biến và không suy biến nhiều khi không lớn, nhất là bởi vì M cũng chỉ là mô hình xấp xỉ Song ta cần một giá trị định lượng nào đó để nói lên tính chất “gần” hay “xa” với sự suy biến của một ma trận Tất nhiên, vì M có thể không vuông nên giá trị định thức hoặc các trị riêng của nó khó có thể sử dụng được ở đây

• Khi u bị giới hạn trong một miền nào đó (mà thực tế bao giờ cũng vậy),

phạm vi điều khiển được của y cũng bị giới hạn theo (xtác giả minh hoạ trên hình B-2), nhưng để xác định phạm vi giới hạn điều khiển được của y ta cần một phương pháp thích hợp Thực chất, phạm vi giới hạn điều khiển được của y trong trường hợp này phụ thuộc rất nhiều vào tính chất“gần” hay “xa” với sự suy biến của ma trận M

Một cách tổng quát, các giá trị suy biến σi (i = 1…n) của một ma trận số phức M được định nghĩa là căn bậc hai của các giá trị riêng của ma trận M H M N ếu M là một

ma trận số thực ta chỉ việc thay MH M b ằng M T M Như ta sẽ thấy, các giá trị suy biến

là thước đo thích hợp để chỉ ra khoảng cách gần hay xa với “sự suy biến” của một

đích tối thiểu cần đạt được là để tránh trễ đầu vào, ta muốn σ(G) lớn hơn 1 tại tất cả

các tần số nằm trong dải điều khiển

Lưu ý: Với sự lựa chọn của các đầu ra điều khiển được đã chỉ ra rằng giá trị mong

muốn đạt được là σ(G) có thể có giá trị lớn thậm chí cả khi trễ đầu vào không liên quan đến nó.Giá trị suy biến nhỏ nhất của đối tượng được về phân tích khả năng thi hành đã được đưa ra thảo luận bởi Morari (1983) và Yu và Luyben (1986), gọi

σ(G(jω)) là “Chỉ số đàn hồi Morari”

2.3.2 Phép phân tích giá tr ị suy biến SVD

Ở đây ta quan tâm đến sự giải thích vật lí của nó khi được áp dụng cho đáp ứng tần

số của một hệ MIMO G(s) với m đầu vào và l đầu ra

Xét một tần số cố định ω trong đó G(jω) là một ma trận phức (m x l) hằng số và để

đơn giản ta kí hiệu là G thay vì G(jω)

Các giá trị suy biến được xác định tốt nhất qua phép phân tích giá trị suy biến

(singular value decomposition, SVD)

Một ma trận (phức) U được gọi là đồng nhất nếu: UH = U–1

Tất cả các giá trị riêng của ma trận đồng nhất có giá trị tuyệt bằng 1 và do đó tất cả các giá trị suy biến của nó có giá trị bằng 2 (ta sẽ thấy điều đó qua định nghĩa dưới đây)

Định nghĩa phép phân tích giá trị suy biến:

với Ulxl và V mxm là các ma trận đồng nhất và ma trận ∑lxm chứa đựng ma trận đường chéo ∑1 với giá trị suy biến σi thực, không âm và được sắp xếp theo thứ tự giảm dần:

Ma trận đồng nhất U và V là cơ sở trực chuẩn dạng không gian dạng cột (đầu ra) và

không gian dạng hàng của ma trận M Ở đây, các vector cột của V biểu thị bởi vi

được gọi là phải hay các vector suy biến đầu vào và các cột vector của U biểu thị

bởi ui được gọi là trái hay các vector suy biến đầu ra

Lưu ý rằng phép phân tích này không phải là duy nhất, khi M = U’∑V’H với:

{ }

1

U′=US V′=VS− S diag e= θ và θi là m ột số thực bất kỳ cũng là một SVD

của M Tuy nhiên, giá trị suy biến σi′là duy nhất

Giá trị suy biến là căn bậc hai của giá trị riêng lớn nhất k = min(l, m) của cả MMH

Xuất phát từ (2.26), ta viết được:

Nhìn từ lý thuyết hệ thống, nếu ma trận M là đặc tính tần số của hệ tại một tần số ω

tức G(jω), ta sẽ có thể đưa ra một số diễn giải sâu hơn:

• Các vector đầu vào có chiều trùng với cột đầu tiên của V sẽ được khuếch đại nhiều nhất tại tần số đó, kết quả đầu ra là vector có chiều trùng với cột đầu của

U

• Các vector đầu vào có chiều trùng với cột cuối của V sẽ được khuếch đại ít nhất tại tần số đó, kết quả đầu ra là vector có chiều trùng với cột cuối cùng của U Thuật toán phân tích giá trị suy biến đã được phát triển rất tốt, cho phép thực hiện rất tin cậy với hiệu suất cao Các công cụ tính toán điều khiển hiện đại như matlab đều cài sẵn thuật toán này

Xét mô hình trạng thái ổn định của một tháp chưng cất như sau:

Từ vector suy biến đầu vào thứ nhất v1 = [0.707 –0.708], ta thấy rằng hệ số khuếch đại là 197.2 khi ta tăng giá trị tại một đầu vào lên 1 đơn vị và giảm đầu vào kia đi một lượng tương đương Mặt khác, từ vector đầu vào suy biến thứ hai v1 = [–0.708 –0.707]T, ta thấy rằng nếu ta tăng cả 2 đầu vào với cùng 1 giá trị thì khi đó hệ số khuếch đại chỉ là 1.39 nguyên nhân của điều này là đối tượng có 2 đầu vào tương

phản nhau Do đó, quá trình tháp chưng chất là điều kiện yếu (ill-condition) ít nhất ở

trạng thái ổn định và số điều kiện là 197.2/1.39 = 141.7

2.3.3 Giới thiệu về điểm không của hệ đa biến

Thông qua một ví dụ dưới đây về hệ đa biến, luận văn muốn thể hiện một đánh giá thực tế là hệ nhiều biến cũng có các điểm không thậm chí là sự tồn tại của chúng có thể không phải có trước từ các phần tử của G(s) Vì với hệ SISO chúng ta thấy rằng các điểm không gây ra những hạn chế cơ bản về điều khiển

Các điểm không của hệ MIMO được định nghĩa là những giá trị của s làm cho G(s)

mất hạng, và chúng ta có thể tìm thấy hướng của điểm không bằng cách nhìn vào

hướng mà ở đó ma trận G(s) có hệ số khuếch đại bằng không

Đối với các hệ thống vuông, thực chất các điểm cực và điểm không của hệ thống

chính là điểm cực và điểm không của định thức G(s) Tuy nhiên phương pháp đơn

giản này có thể không đúng trong một số trường hợp, vì nó có thể loại bỏ những điểm cực và điểm không tại cùng một vị trí một cách không đúng với các hướng khác nhau

Hàm quá độ ứng với mỗi đầu vào như hình 2.6a và b Chúng ta thấy rằng hệ thống

là có tương tác, nhưng với hai đầu vào này không có đáp ứng ngược trở lại để thể hiện sự có mặt của các điểm không Tuy nhiên hệ thống có một điểm không đa biến tại z = 0.5 SVD của G(0,5) là :

Hình2.6 Đáp ứng vòng hở của G(s) trong (2.34)

0.5

2 2 0.89 0.45 0 0 0.71 0.711.65

= − 

  Do đó điểm không liên kết với cả hai đầu vào và với cả hai đầu ra Sự có mặt của điểm không đa biến cũng được quan sát từ đáp ứng thời gian trong hình 2.6c, trong đó có sự thay

đổi đồng thời ở hai đầu vào theo hướng ngược nhau, u = [1 –1] T Chúng ta thấy rằng y2 thể hiện một đáp ứng ngược lại trong đó y1 duy trì bằng không đối với sự thay đổi đầu vào này Để thấy được các điểm không ảnh hưởng đến đáp ứng hệ kín

như thế nào chúng ta xét một bộ điều khiển cực tiểu hóa chuẩn H∞ của ma trận

/0

0

Bi Bi

i P

Hình 2.7 Các khả năng thiết kế cho đối tượng 2 x 2 trong (2.34) với RHP - Zeros

Theo thiết kế này, ta có được giá trị N = 2.80 theo chuẩn H∞ và các kết qủa về giá trị suy biến của hàm nhạy S được thể hiện bằng các đường nét liền trong hình 2.7a

Đáp ứng của hệ kín đối với giá trị đặt r = [1 –1] T được thể hiện bằng nét liền trong hình 2.7b

Thiết kế 2 Đối với các hệ MIMO, có thể chuyển hết các ảnh hưởng xấu (ví dụ như

đáp ứng ngược) của một điểm không tới một kênh ra cụ thể Để chứng tỏ điều này

chúng ta thay đổi trọng số ωP2, do đó đầu ra thứ hai sẽ quan trọng hơn Chúng ta làm việc này bằng cách tăng yêu cầu dải tần trong kênh vào thứ 2 lên 100 lần

Thi ết kế 3 Chúng ta cũng có thể đổi chỗ hai trọng số để tác động mạnh vào đầu ra

thứ nhất thay vì đầu ra thứ 2 Trong trường hợp này ( không mô phỏng) chúng ta nhận được đầu ra thứ 1 với chất lượng tốt hơn, nhưng đầu ra thứ 2 rất là xấu so với thiết kế 2 Hơn thế nữa, chuẩn H∞ là 6.73, trong khi đó đối với thiết kế 2 chỉ là 2.92

Do đó chúng ta thấy rằng trong ví dụ này để có được điều khiển chặt đầu ra thứ 2 dễ dàng hơn điều khiển chặt đầu vào thứ nhất Điều này có thể đươc mong muốn từ

hướng ra của điểm không 0.89

0.45

= − 

 chủ yếu là hướng của đầu ra 2

+ Nh ận xét 1: Từ ví dụ này chúng ta có thể điều khiển ảnh hưởng của điểm không

tới cả hai đầu ra Điều này là đặc điểm của các điểm không đa biến, nhưng có những trường hợp trong đó điểm không gắn liền với kênh đầu ra cụ thể và không thể chuyển ảnh hưởng của nó sang kênh khác Vì thế điểm không này được gọi là

điểm pinned zero

+ Nh ận xét 2: Từ đồ thị các giá trị suy biến trong hình 2.7a ta có thể quan sát được

là chúng ta có thể thu được với thiết kế 2 một sự cải thiện rất lớn trong hướng tốt với sự trả giá của ảnh hưởng xấu là rất ít trong hướng xấu Do đó thiết kế 1 cho thấy

sự thiếu sót của chuẩn H∞: chỉ hướng xấu nhất (giá trị suy biến cực đại) đóng góp vào chuẩn H∞và nó luôn luôn không thể là dễ dàng để có được sự cân đối giữa các hướng khác nhau

2.4 Số điều kiện và ma trận khuếch đại tương đối RGA

2.4.1 Số điều kiện (condition number)

Số điều kiện của một ma trận được định nghĩa là tỷ số giữa giá trị suy biến lớn nhất

và giá trị suy biến nhỏ nhất của nó:

Đối với một hệ phương trình tuyến tính Mx = y, số điều kiện của một ma trận M nói

lên “sự nhạy cảm” của hệ phương trình với sai số trong M hoặc trong y, tức là khả

năng tìm nghiệm x một cách chính xác Số điều kiện của một ma trận càng lớn càng

bất lợi cho việc giải hệ phương trình Ta lấy ví dụ:

ma trận M trở nên suy biến Thêm một lần nữa, ý nghĩa của giá trị suy biến lại được làm rõ

Ứng dụng trong lý thuyết điều khiển, số điều kiện của ma trận hàm đặc tính tần

G(jω) liên quan nhiều tới khả năng điều khiển và giới hạn chất lượng điều khiển Cụ thể là:

• Số điều kiện càng lớn thì hệ càng nhạy cảm với sai lệch tham số mô hình

• Số điều kiện liên quan đến các chỉ tiêu chất lượng (đặc tả trên miền tần số)

có thể đạt được

2.4.2 Ma trận khuếch đại tương đối (RGA)

a Khái ni ệm hệ số khuếch đại tương đối

Hệ số khuếch đại tương đối và ma trận khuếch đại tương đối (Relative Gain Array,

RGA) có ứng dụng quan trọng trong việc phân tích và thiết kế cấu trúc điều khiển phi tập trung Cho một quá trình 2 x 2 có mô hình hàm truyền đạt:

Như vậy hệ số khuếch đại tĩnh từ u1 sang y1 (tức khi u2 = const) của quá trình khi

chưa có điều khiển (vòng hở) là k12. Ta viết:

Hình 2.8: Cấu trúc điều khiển phi tập trung cho quá trình 2x2

Do y2 thay đổi, bộ điều khiển K2 cũng sẽ tìm cách hay đổi u2 để đưa y2 trở lại giá trị xác lập ban đầu Để duy trì ∆y2 = 0 ta phải có:

Có thể diễn giải ý nghĩa của thành

phần thứ hai trong phương trình

(2.44) như sau:

Để duy trì ∆y2 = 0, bộ điều khiển

K2 đã phải thay đổi u2 Sự thay đổi

này dẫn tới tác động ngược trở lại

y2. Như vậy, thành phần thứ nhất là tác động trực tiếp, còn thành phần thứ hai có thể coi là tác động gián tiếp của u1 lên y1 để không làm thay đổi y2 trong khi cả hai mạch đều được khép kín Hệ số khuếch đại tĩnh từ u1 sang y1 trong vòng kín lúc này là:

12 21 22

1

k

k k k

Hệ số khuếch đại tương đối nói lên mức độ tương tác giữa các kênh vào / ra Khi

hai kênh điều khiển không có tương tác hai chiều, tức là k12 = 0 hoặc k21 = 0 ta có

λ11 = 2 Còn khi giữa hai kênh có tương tác càng mạnh thì λ11 càng khác xa giá trị 1, thậm chí có thể có giá trị âm Khi giữa u1 và y1 không có quan hệ gì thì k11 = 0 và

λ11 = 0 Chính vì thế, hệ số khuếch đại tương đối còn được gọi là hệ số tương tác

Ma trận hệ số khuếch đại tương đối hay ma trận tương tác cho quá trình 2x2 được viết thành:

0.6 0.41

Trong trường hợp tổng quát, RGA của một ma trận số phức vuông không suy biến là

một ma trận số phức vuông định nghĩa bởi:

* Không có các đầu vào khác, tức u k = 0, ∀ k ≠ j ta có:

( )

1 0,

Hệ số tỷ lệ giữa hai giá trị trên thể hiện mức độ liên kết giữa uj và y i, hay chính là hệ

số khuếch đại tương đối giữa uj và y i:

Từ đó ta đi tới định nghĩa ma trận RGA như trong (2.47) cho trường hợp s = 0 Tất

nhiên ta cũng có thể định nghĩa ma trận RGA cho trường hợp tổng quát s = jω với ω

là tần số cần quan tâm

Ma trận RGA có các tính chất quan trọng sau đây:

* Tổng các phần tử của một hàng hoặc 1 cột luôn bằng 1:

là một chỉ số cho mức độ tương tác của quá trình

2.4.3 Phân tích ma tr ận RGA và các thông số liên quan

Xét quá trình chưng cất tại trạng thái ổn định, ta có:

Trong trường hợp này γ(G) = 197.2/1.391=141.7 chỉ lớn hơn 1 chút so với

γ*(G)=138.268 Tổng biên độ của các phần tử trong ma trận RGA là ||Λ||sum = 138.275 Xác nhận này cho thấy rằng: ||Λ(G)||sum ≈ γ*(G) khi γ*(G) lớn Số điều kiện

là lớn, nhưng khi giá trị suy biến σ(G) = 1.391 > 1 điều này không phải tự nó dẫn tới một vấn đề điều khiển Tuy nhiên, các phần tử RGA (và γ*(G)) là lớn, nó thể

hiện các vấn đề điều khiển và nền tảng các vấn đề điều khiển là hoàn toàn nếu 1 phân tích chỉ ra rằng G(jω) có các phần tử RGA lớn cũng như trong phạm vi tần số cắt Thực vậy, mô hình động học lý tưởng được sử dụng trong luận văn có các phần

tử RGA lớn tại tất cả các tần số, và ta cũng xác nhận được thông qua mô phỏng sự nhạy cảm mạnh với các kênh nhiễu đầu vào với bộ điều khiển bộ điều khiển phản hồi (inverse-base controller)

2.5 M ột số khái niệm cơ bản về tính bền vững trong hệ đa biến

2.5.1 Sự “ thoả hiệp” trong thiết kế phản hồi đa biến

Trạng thái hàm truyền hệ đa biến dựa trên cơ sở ý tưởng thông qua các giá trị suy biến của hàm truyền, sẽ đưa ra một định nghĩa thoả đáng về độ khuếch đại (phạm vi khuếch đại) của một ma trận hàm truyền

Ta xét cấu trúc một bậc tự do như trên hình 2.9

Đối tượng G và bộ điều khiển K được

nối liền với nhau và được điều khiển

bởi tín hiệu chủ đạo đầu vào r, đầu ra

có nhiễu d và các giá trị nhiễu đo

lường n, y là các đầu ra được điều

khiển và u là các tín hiệu điều khiển

Trong trường hợp hàm nhạy S = (I + GK)–1 và hàm truyền vòng kín T = GK(I +

d

y + +

+ +

Hình 2.9: Cấu trúc phản hồi một bậc tự do

GK)–1 = I – S, ta có mối quan hệ quan trọng sau đây:

Những mối quan hệ này xác định với nhiều đối tượng vòng kín, thêm vào đó, các yêu cầu của K để ổn định G cụ thể là:

1 Để giảm ảnh hưởng của nhiễu quá trình, ta cần σ( )S nhỏ

2 Để giảm ảnh hưởng của nhiễu đo, ta cần σ( )T

3 Để bám giá trị chủ đạo, ta cần σ( )T ≅σ( )T ≅1

4 Để làm giảm bớt năng lượng điều khiển ta cần σ( )KS nhỏ

Nếu yếu tố bất định không cấu trúc trong mô hình đối tượng G được đại diện bởi một sai lệch mô hình nghĩa là GP = G + ∆, thì khi đó mục tiêu xa hơn của vòng lặp

là đặc trưng của yêu cầu tần số thấp trong khi làm giảm nhiễu thường chỉ liên quan tại các tần số cao

Trong kiểu vòng lặp cổ điển, biên độ của hàm truyền vòng hở là L = GK đã được thể hiện cụ thể, nhưng ngược lại với các yêu cầu thiết kế toàn bộ ở trên trong điều kiện hàm truyền vòng kín, Tuy vậy, ta có ( ) ( )1 ( )

≈ tại các tần số mà σ(L) >>1 Nó cũng tuân theo quy luật

trên tại tần số băng thông ( (1 ) ) 2 1.41

Hơn thế, từ T = L(I + L)–1 ta thấy nó tuân theo quy luật σ( )T ≈σ( )L tại các tần số

3 Để bám giá trị đặt tạo ra giá trị suy biến nhỏ nhất của GK lớn, thích hợp với

những tần số tại đó giá trị suy biến nhỏ nhất của GK làσ(GK)>>1

4 Để giảm năng lượng điều khiển tạo giá trị suy biến cực đại σ( )K nhỏ, thích hợp với các tần số tại đó giá trị suy biến cực đại σ(GK)<<1

5 Để ổn định bền vững đối với một biến đổi nhỏ thêm tạo giá trị suy biến của K là

( )K

σ nhỏ; thích hợp với những tần số tại đó giá trị suy biến cực đại σ(GK)<<1

6 Để ổn định bên vững đối với thay đổi nhỏ ở đầu ra đã được khuếch đại tạo giá trị suy biến σ(GK) nhỏ; phù hợp cho những tần số tại đó giá trị suy biến cực đạiσ(GK)<<1 Điển hình là, các yêu cầu hệ hở 1 và 3 là thích hợp và quan trọng

Hình 2.10: Thiết kế cân bằng cho hàm truyền vòng lặp đa biến GK

tại các tần số thấp, trong dải 0≤ ≤ω ω ωl ≤ B trong khi đó 2, 4, 5 và 6 là các điều kiện thích hợp và quan trọng tại những tần số cao ωB ≤ωh ≤ ≤ ∞ω như được minh họa trong hình 2.10 Từ điều này ta thấy rằng tại những tần số ở đó chúng ta muốn các

hệ số khuếch đại cao (tại những tần số thấp) hướng xấu nhất liên quan đến giá trị suy biến cực tiểu của GK, ngược lại khi các tần số tại đó chúng ta muốn các hệ số khuếch đại thấp (tại những tần số cao) hướng xấu liên quan đến giá trị suy biến cực

Đối với các hệ thống SISO, rõ ràng là từ nghiên cứu của Bode (1945) tính ổn định của hệ kín có liên quan chặt chẽ đến hệ số khuếch đại của hệ hở và pha gần tấn số cắt ωC trong đó |GK(jωC ) |= 1 trong trường hợp riêng, độ dốc từ hệ số khuếch đại lớn đến hệ số khuếch đại nhỏ tại tần số cắt bị hạn chế bởi những yêu cầu pha để ổn

định và trong thực tế điều này tương ứng với một độ dốc nhỏ hơn 40dB/dec Vấn đề tiếp theo là liệu có một giới hạn thấp hơn đối với sự chênh lệch giữa ωh và ωl trong hình 2.10

Đối với các hệ MIMO, một mối quan hệ tương tự giữa pha và hệ số khuếch đại tại vùng tần số cắt, nhưng cái này là khái niệm về các giá trị riêng của GK và thu được một hạn chế về độ dốc của biên độ các giá trị riêng của GK, chứ không phải các giá trị suy biến Các ràng buộc về ổn định do đó thậm chí là khó khăn hơn để giải quyết trong các vòng kín đa biến hơn là trong vòng kín kinh điển Để khắc phục được khó khăn này Doyle và Stein đã đề xuất rằng hệ kín nên được thiết kế với một bộ điều khiển đã biết để đảm bảo tính ổn định Họ đã gợi ý bộ điều khiển LQG có thể được dùng trong đó bộ điều khiển được thiết kế bằng cách dùng một thủ tục hồi phục nhạy của Kwakernaak (1969) để đưa ra đặc tính mong muốn trong GK Nhớ rằng

KG nói chung là khác GK, điều này muốn thể hiện rằng biên giới ổn định thay đổi

từ một điểm gãy này tới điểm khác trong một hệ thống đa biến Cả hai thủ tục khôi phục hàm truyền sẽ được đề cập sau đây sau khi điều khiển truyền thống LQG được

mô tả

2.5.2 Giới thiệu về bền vững

Để hiểu sâu hơn về tính bền vững, luận văn có trình bày ví dụ về bài toán điều khiển tháp chưng để chứng tỏ rằng hệ MIMO có thể thể hiện độ nhạy với sự bất định, điều này không xảy ra đối với các hệ thống SISO Luận văn cũng tập trung vào sự bất định đầu vào chéo, điều này tốn tại trong bất cứ hệ thống thực nào và thường hạn chế các đặc tính có thể đạt được bởi vì sự bất định xảy ra ở giữa bộ điều khiển và đối tượng

Dưới đây là mô hình động học lý tưởng của một tháp chưng: