Giải bài tập SGK Toán 11 Bài 3: Một số phương trình lượng giác thường gặp

eLib.vn: Thư viện trực tuyến miễn phí 1 BÀI 3: MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP.. 1. Phương pháp giải.[r]

Trang 1

eLib.vn: Thư viện trực tuyến miễn phí 1

BÀI 3: MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP

1 Giải bài 1 trang 36 SGK Toán Đại số & Giải tích 11

Giải phương trình: 2

0

sin x sinx− =

1.1 Phương pháp giải

Đặt nhân tử chung, đưa phương trình về dạng tích và giải các phương trình lượng giác cơ bản

2 sin sin

2



= +



=  = − + 

1.2 Hướng dẫn giải

2

2 2

x

x k

k Z



=





=





=





 = +



Vậy nghiệm của phương trình là x=k hoặc 2 ( )

2

x= + k  kZ

Giải các phương trình sau

2cos x−3cosx+ = 1 0

b) 2sin x2 + 2sin x4 = 0

a) Đặt t=cosx, đưa về phương trình bậc hai ẩn t, giải phương trình bậc hai ẩn t sau đó giải các phương trình lượng giác cơ bản của cos

b) Sử dụng công thức nhân đôi sin 4x=2 sin 2 cos 2x x

Đặt nhân tử chung, đưa phương trình về dạng tích

Giải các phương trình lượng giác cơ bản của sin và cos

Câu a: Đặt t=cosx t,  −[ 1;1] ta được phương trình

( ) ( )

2

1

2



 =



− + = 

 =



3

x=  + k  k

Câu b: Ta có

Trang 2

2 sin 2 2 sin 4 0

2 sin 2 2 2 sin 2 cos 2 0

2 sin 2 1 2 cos 2 0

sin 2 0

1 cos 2

2 2

3

4

2

3

8

x

x x

x

x k

k

x

k Z



=



 



=







=









 =



 =  +



Vậy nghiệm của phương trình là

2

k

x= 

8

x=   +k kZ

a) 2( ) 2 ( ) 2 0

8cos x+2sinx− = 7 0

2tan x+3tanx+ = 1 0

d) tanx −2cotx + 1 = 0

• Sử dụng công thức lượng giác cơ bản đã học

• Đặt ẩn phụ \(t = \cos \frac{x}{2}\,\,\,\left( {t \in \left[ { - 1;1} \right]} \right)\), đưa về

phương trình bậc hai ẩn t, giải phương trình suy ra các nghiệm t

• Giải các phương trình lượng giác cơ bản của cos: \(\cos x = \cos

\alpha \Leftrightarrow x = \pm \alpha + k2\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\)

Câu a: Ta có

2

x

t=cos t − thì phương trình trở thành

Trang 3

( ) ( )

3

4

t t



=





Vậy nghiệm của phương trình là: x=k4(kZ)

Câu b: Ta có

2

Đặt t = sinx, t ∈ [-1 ; 1] thì phương trình trở thành

( )

2

1 2

1 4

sin

2 6

5

2 6

sin

1

4 1

4

t

k Z



 =



− − =  

 = −



 = +









2

x  x  +k kZ

Đặt t = tanx thì phương trình trở thành

2

1

2

t

t t

t

= −



 + + = 

 = −



4

1

1 tan

arctan 2

2

x



 = − +

= −



2

x k







Trang 4

2

tan 2 cot 1 0

2

tan

x

Đặt t = tanx thì phương trình trở thành

2

( ) 4

arctan 2

t

t t

t x

x

k Z tm



=

 + − =   = −



=





 = +





Giải các phương trình sau:

a) 2sin x sinxcosx2 + −3cos x2 = 0

b) 3sin x2 −4sinxcosx+5cos x2 = 2

2

sin x−sin x+ cos x=

d) 2cos x2 −3 3sin x2 −4sin x2 = −4

a x b+ x x c+ x=d

2

x=  = +x  k k

có là nghiệm của (1) hay không Xét cosx 0, chia hai vế của (1) cho 2

cos x ta được:

2

tan tan (1 tan )



Đặt t = \tan x

Phương trình ( )1 trở thành: 2

(a d t− ) + + − =bt c d 0(2)

Giải phương trình (2) theo t từ đó suy ra x theo t = \tan x

Câu a: Ta nhận thấy cosx = 0 không là nghiệm của phương trình Chia hai vế cho cos2x ta được

2

1

3

2

tan x tanx

tanx

=







 = −



3 2

k

x arctan k



 = +





Câu b: Ta nh ận thấy cosx = 0 không là nghiệm của phương trình

Trang 5

3sin x+4sinxcosx+5cos x=2, nên chia hai vế phương trình cho cos2x ta

3tan x−4tanx+ =5 2(1+tan x)

2

tan x tanx

Đặt t = tanx

4 3 0

3

[t

t

=

− + = 

=

t= tanx= tanx=tan  = +x  k k

t= tanx=  =x arctan +k k

(3)

k

x arctan k



 = +





Câu c:

sin x+sin x− cos x= sin x+ sinxcosx− cos x= (3)

2

=  = +  không là nghiệm của (3)

0,

cosx  chia hai vế của (3) cho 2

,

cos x ta được 2

2

sin x sinx

cos x cosx cos x

tan x tanx

Đặt t = tanx, ta có phương trình

4



( 5)

k

x arctan k



 = +





Câu d:

2

cos x sin x sin x

cos x sinxcosx cos x

cos x sinxcosx

cosx cosx sinx

2

3

cosx sinx





=





Trang 6

,

1

k





Vậy phương trình có nghiệm là 2 ,

6

k

 = +







 = +



a) cosx− 3sinx= 2

b) 3sin x3 − 4cos x3 = 5

c) 2sin x2 +2cos x2 − 2= 0

d) 5cos x2 + 12sin x2 − 13 = 0

Xét phương trình: sina x b+ cosx=c(1)

Điều kiện có nghiệm: 2 2 2

a +b  c

Chia hai vế của (1) cho 2 2

,

a +b ta được:

Vì

sin

cos

a

a b b

a b







 Phương trình trở thành

sin sinx cos cosx c cos x c

Đặt

=

+ ta được phương trình lượng giác cơ bản

Hoàn toàn tương tự ta cũng có thể đặt

cos

sin

a

a b b

a b







 Khi đó phương trình trở thành: sinxcos cosxsin 2c 2 sin(x ) 2c 2

Câu a: cosx− 3 sinx= 2

Trang 7

1 sin cos cos sin

1

x

k



Câu b: Ta có 3sin 3 4 cos 3 5 3sin 3 4cos 3 1

Đặt cos 3,sin 4

2

x− =  x− = +  k   = + +x   k  k

Câu c: Ta có

1 sin cos

2 1

2 sin

1 sin

x

k





Câu d: Ta có

5cos 2 12sin 2 13 0

12sin 2 5cos 2 13

sin(2 ) 1 sin ;cos

3

2

,

4 2



Giải phương trình

Trang 8

a) tan(2 x + 1 ) tan(3 1 x − ) = 1

4

tanx+tan x+ =

Câu a: Sử dụng công thức tan sin

cos

x x

x

= và cos(a b+ =) cos cosa b−sin sina b để biến đổi phương trình

Câu b: Sử dụng công thức tan sin ; sin( ) sin cos cosa.sin

o

c s

x

cos cos cos( ) cos( )

2

a b= a+ +b a b− để biến đổi phương trình

Câu a

Với điều kiện

2 ,

2

k

 +  +







 −  +



hay

1

, 1

k x

k k x

  − +







  + +



cos(2 1) cos(3 1) sin(2 1) sin(3 1) 0

2

tan x tan x

sin x sin x

cos x cos x

cos x

x  k k

,

10 5

k

10 5

k

Câu b

Điều kiện

0

4

cosx cos x 









4

tanx tan x 

+  + =

sinx cos x   cosx sin x  cosx cos x 

1

sin x   cos x   cos  

  + =   + + − 

2

sin x   cos x  

  + −  + =

Trang 9

5sin x 5cos x

2

sin x

 





  + − = 





,

k







Định dạng
Số trang	9
Dung lượng	334,99 KB