Ứng dụng maple để xây dựng phần mềm trợ giúp việc giảng dạy và học môn giải tích

Ứng dụng maple để xây dựng phần mềm trợ giúp việc giảng dạy và học môn giải tích Ứng dụng maple để xây dựng phần mềm trợ giúp việc giảng dạy và học môn giải tích Ứng dụng maple để xây dựng phần mềm trợ giúp việc giảng dạy và học môn giải tích Ứng dụng maple để xây dựng phần mềm trợ giúp việc giảng dạy và học môn giải tích Ứng dụng maple để xây dựng phần mềm trợ giúp việc giảng dạy và học môn giải tích Ứng dụng maple để xây dựng phần mềm trợ giúp việc giảng dạy và học môn giải tích Ứng dụng maple để xây dựng phần mềm trợ giúp việc giảng dạy và học môn giải tích Ứng dụng maple để xây dựng phần mềm trợ giúp việc giảng dạy và học môn giải tích Ứng dụng maple để xây dựng phần mềm trợ giúp việc giảng dạy và học môn giải tích Ứng dụng maple để xây dựng phần mềm trợ giúp việc giảng dạy và học môn giải tích

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI

-

HÀ THỊ THANH

ỨNG DỤNG MAPLE ĐỂ XÂY DỰNG PHẦN MỀM TRỢ GIÚP VIỆC GIẢNG DẠY VÀ HỌC MÔN GIẢI TÍCH

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC CHUYÊN NGÀNH TOÁN ỨNG DỤNG

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI

-

HÀ THỊ THANH

ỨNG DỤNG MAPLE ĐỂ XÂY DỰNG PHẦN MỀM TRỢ GIÚP VIỆC GIẢNG DẠY VÀ HỌC MÔN GIẢI TÍCH

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC CHUYÊN NGÀNH TOÁN ỨNG DỤNG

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

GS.TSKH LÊ HÙNG SƠN

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan bản luận văn này là công trình nghiên cứu của riêng tôi Các dữ liệu, kết quả nêu trong luận văn này là hoàn toàn trung thực và có nguồn gốc rõ ràng

Học viên thực hiện

Hà Thị Thanh

MỤC LỤC

CHƯƠNG 1: ỨNG DỤNG CÔNG NGHỆ THÔNG TIN TRONG DẠY HỌC……1

1.1 Vấn đề khai thác sử dụng CNTT trong dạy học toán 2

1.2 Các đặc tính cơ bản 3

1.3 Vận dụng phần mềm Maple trong dạy học Toán 4

1.3.1 Maple hỗ trợ dạy và học khái niệm đặc biệt là những khái niệm khó, trừu tượng 4

1.3.2 Maple hỗ trợ dạy và học giải một số dạng toán khó 7

1.3.3 Khai thác khả năng tính toán phức tạp của Maple để trợ giúp kiểmtra kết quả giải toán 8

1.3.4 Maple hỗ trợ biên soạn, trình bày giáo án dạy Toán 9

1.3.5 Sử dụng phần mềm Maple trợ giúp sinh viên làm quen với công tác nghiên cứu khoa học 10

1.3.6 Sử dụng Maple trong dạy - học toán ở đại học 10

1.3.7 Gói lệnh Student hỗ trợ cho việc dạy và học toán 10

CHƯƠNG 2: MAPLE VÀ CÁC TÍNH NĂNG CƠ BẢN CỦA MAPLE 12

2.1 Giới thiệu sơ lược về Maple 12

2.2 Giao diện và môi trường tính toán 13

2.3 Một số chức năng cơ bản của Maple 15

2.4 Các lệnh cơ bản trong Maple 16

2.5 Một số lệnh tính toán Giải tích 19

2.5.1 Xác định hàm và lệnh map 19

2.5.2 Giới hạn 19

2.5.3 Đạo hàm của hàm số 20

2.5.3.1 Đạo hàm của hàm thông thường 20

2.5.3.2 Đạo hàm của hàm ẩn 21

2.5.4 Tích phân 21

2.5.4.1 Tích phân một lớp 21

2.5.4.2 Tích phân bội 22

2.5.4.3 Phương pháp đổi biến và tích phân từng phần 23

2.5.4.4 Tích phân lặp 25

2.6 Các nhóm lệnh trong một chương trình 25

2.6.1 Biến 25

2.6.2 Lệnh gán 25

2.6.3 Một số lệnh vào ra 26

2.6.4 Lệnh điều kiện rẽ nhánh 26

2.6.5 Các lệnh vòng lặp 27

2.7 Hàm và thủ tục 27

2.7.1 Hàm dựng sẵn 27

2.7.2 Hàm do người dùng xây dựng 28

2.7.3 Thiết lập một chu trình 29

2.8 Đồ thị trong Maple 30

2.8.1 Đồ thị trong không gian hai chiều 30

2.8.1.1 Đồ thị thông thường y = f(x) 30

2.8.1.2 Hiển thị đồ thị hai chiều 31

2.8.1.3 Viết chữ trong đồ thị 31

2.8.1.4 Vẽ đường cong với tiếp tuyến 35

2.8.1.5 Vẽ đường cong theo tham số 36

2.8.1.6 Vẽ đường cong trong tọa độ cực 36

2.8.1.7 Đồ thị hàm ẩn 37

2.8.2 Đồ thị trong không gian ba chiều 38

2.8.2.1 Đồ thị hàm thông thường z = f(x,y) 38

2.8.2.2 Hiển thị các đồ thị 3D 39

2.8.2.3 Vẽ đồ thị trong hệ tọa độ trụ 40

2.8.2.4 Vẽ đồ thị trong tọa độ cầu 41

2.8.2.5 Đồ thị hàm 3D ẩn 41

2.8.3 Một số dạng đồ thị đặc biệt 43

CHƯƠNG 3: ÁP DỤNG MAPLE ĐỂ XÂY DỰNG PHẦN MỀM TRỢ GIÚP VIỆC GIẢNG DẠY VÀ HỌC MÔN GIẢI TÍCH 44

3.1 Khảo sát hàm số 44

3.1.1 Giới thiệu bài toán 44

3.1.2 Một số lệnh trong khảo sát hàm 44

3.1.3 Chươngtrình 47

3.2 Tính tích phân 56

3.2.1 Tích phân một lớp 56

3.2.2 Tích phân kép (tích phân bội hai) 56

3.2.2.1 Bài toán 56

3.2.2.2 Ví dụ 60

3.2.3 Tích phân ba lớp 63

3.2.3.1 Bài toán 63

3.2.3.2 Cách tính tích phân 3 lớp 63

3.2.3.3 Ví dụ 64

3.3 Ứng dụng của tích phân 69

3.3.1 Tích phân một lớp 70

3.3.1.1 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong 70

3.3.1.2.Thể tích khối tròn xoay 71

3.3.2 Tích phân bội 74

3.3.2.1 Diện tích hình phẳng 74

3.3.2.2 Diện tích mặt cong 74

3.3.2.3 Thể tích vật thể 76

KẾT LUẬN 78

TÀI LIỆU THAM KHẢO 78

CHƯƠNG 1: ỨNG DỤNG CÔNG NGHỆ THÔNG TIN TRONG DẠY HỌC

Ứng dụng công nghệ thông tin (CNTT) vào dạy học là một chủ đề lớn, một xu thế mới và sẽ làm thay đổi nền giáo dục Việt Nam một cách cơ bản trong giai đoạn hiện nay và trong tương lai Ứng dụng CNTT đổi mới phương pháp dạy học (PPDH) và đổi mới phương pháp dạy học Toán là một xu thế tất yếu Thực tế đã có nhiều nhà khoa học, toán học, tin học, nhà giáo và nhà quản lý không ngừng xây dựng, thiết kế

và sử dụng các phần mềm quản lý, các phần mềm hỗ trợ giảng dạy, phần mềm tính toán, phần mềm ứng dụng CNTT cho môn Toán để phục vụ việc dạy - học, đổi mới phương pháp dạy học (PPDH) môn Toán Tuy nhiên, tùy theo điều kiện dạy học, nội dung từng bài học, đối tượng nghiên cứu cụ thể mà chúng ta có phương pháp ứng dụng CNTT với các mức độ và hình thức khác nhau sao cho việc dạy - học và kiểm tra, đánh giá kết quả học tập đạt yêu cầu khoa học và hiệu quả mong đợi Ở đây, chúng ta sử dụng thuật ngữ CNTT với nghĩa rộng, bao gồm thiết bị kĩ thuật, chương trình phần mềm, vv

Trước đây, ở trường học người thầy giảng giải rất nhiều, chủ yếu là dạy học đọc - chép, truyền thụ một chiều, người học thụ động, chủ yếu là học thuộc lòng hoặc tuân thủ theo lệnh của thầy là chính Do đó, số lượng người học trong một lớp chiếm lĩnh, nắm vững được tri thức không đáng là bao Với sự bùng nổ thông tin, con người càng phải học tập nhiều môn khoa học hơn Vai trò của người thầy chỉ làm nhiệm vụ hướng dẫn người học tự đi tìm và lĩnh hội tri thức Lối dạy học mà giảng giải nhiều, trong khi quĩ thời gian có hạn cần phải giải quyết tốt để đảm bảo quá trình dạy - học tích cực Nếu xem quãng đường từ điểm khởi phát tới đầu ra của quá trình học tập như là tích của vận tốc học và thời gian, thì tất yếu người dạy và người học phải sử dụng một số phương tiện khác để hỗ trợ, nhằm tăng vận tốc học, mà một trong số đó

là ứng dụng CNTT để hỗ trợ vào quá trình dạy và học Thông qua ứng dụng CNTT chúng ta có thể tăng tốc độ học rút ngắn thời gian dạy, có nhiều thời gian hơn cho việc làm rõ cơ sở toán, ý nghĩa thực tiễn, rèn luyện kĩ năng Nhờ đó mà có thể đảm bảo được mục tiêu dạy - học môn Toán

1.1 Vấn đề khai thác sử dụng CNTT trong dạy học toán

Trong tài liệu The free NCET (1995) learnet (Mathematics and IT - apupil’s entitlement) đã mô tả 6 hướng cơ bản trong việc sử dụng CNTT nhằm cung cấp các điều kiện cho người học toán, cụ thể:

* Học tập dựa trên thông tin ngược: Máy tính có khả năng cung cấp nhanh và chính xác các thông tin phản hồi dưới góc độ khách quan Từ những thông tin phản hồi như vậy cho phép người học đưa ra sự ước đoán của mình và từ đó có thể thử nghiệm, thay đổi những ý tưởng của người học

* Khả năng quan sát các mô hình: Với khả năng và tốc độ xử lý của các phần mềm giúp người học đưa ra nhiều ví dụ khi khám phá các vấn đề trong toán học Máy tính

sẽ trợ giúp người học quan sát, xử lý các mô hình, từ đó đưa ra lời chứng minh trong trường hợp tổng quát

* Phát hiện các mối quan hệ trong toán học: các phần mềm cho phép tính toán biểu bảng, xử lý đồ hoạ, quan sát sự thay đổi một cách chính xác và liên kết chúng với nhau Việc cho thay đổi một vài thành phần và qua các thành phần còn lại đã giúp người học phát hiện ra mối tương quan giữa các đại lượng

* Thao tác với các hình động: Người học có thể sử dụng các phần mềm để biểu diễn các biểu đồ một cách sinh động Việc đó đã giúp cho người học hình dung ra các hình hình học một cách tổng quát từ hình ảnh của máy tính

* Khai thác tìm kiếm thông tin: các phần mềm cho phép người sử dụng làm việc trực tiếp với các dữ liệu thực, từ đó hình dung ra sự đa dạng của nó và sử dụng để phân tích hay làm sáng tỏ một vấn đề toán học

* Dạy học với máy tính: Khi người học thiết kế thuật toán để sử dụng phần mềm giúp tìm ra kết quả thì người học phải hoàn thành dãy các chỉ thị mệnh lệnh một cách rõ ràng, chính xác Họ đã sắp đặt các suy nghĩ của mình cũng như các ý tưởng một cách

rõ ràng

* Sử dùng đồ hoạ với máy tính: Đồ thị trên máy tính là nét mới trong các lớp dạy học toán Kenneth Ruthven bắt đầu lựa chọn, nghiên cứu và phát triển dự án sử dụng đồ hoạ máy tính từ năm 1986 (Ruthven 1990) Tall trình bày con đường sử dụng đồ hoạ

máy tính của ông để dạy học các phép tính từ đầu năm 1980 Phần mềm "Hình ảnh máy tính" do ông phát triển lần đầu tiên cho máy tính BBC Phần mềm này cho phép người học phóng to, thu nhỏ đồ thị với bất kỳ phạm vi nào, qua đó hình thành khái niệm, chẳng hạn gradient của đồ thị Hơn nữa trong thời gian gần đây một vài người tương tự Tall ứng dụng bảng tính, đồ hoạ, các ý tưởng này được báo cáo trong Micromath Một vài nghiên cứu đã chỉ ra rằng nếu giáo viên có sử dụng đồ hoạ CNTT trong quá trình giảng bài thì họ có thể đưa ra các câu hỏi với yêu cầu cao hơn

so với lớp không sử dụng Với sự hỗ trợ của máy tính, giáo viên có thể đề ra các câu hỏi có yêu cầu cao hoặc sử dụng những ví dụ khác nhau, qua đó khai thác vai trò quan trọng của đồ hoạ máy tính trong sự phân tích vấn đề Mặt khác, sử dụng đồ hoạ cho phép ta phân tích các mối liên kết giữa đại số, hình học

1.2 Các đặc tính cơ bản

Toán học là một môn khoa học trừu tượng, do đó khai thác sử dụng phần mềm

và CNTT trong dạy và học toán có những đặc thù riêng Ngoài mục tiêu trợ giúp học sinh lĩnh hội kiến thức thì vấn đề phát triển tư duy suy luận lôgic, óc tưởng tượng sáng tạo toán học và đặc biệt là khả năng tự tìm tòi lĩnh hội kiến thức là một mục tiêu rất quan trọng Sản phẩm của môi trường học tập với sự hỗ trợ của CNTT là những học sinh có năng lực tư duy sáng tạo toán học, có năng lực giải quyết các vấn đề và năng lực tự học một cách sáng tạo Như vậy, việc tổ chức dạy - học với sự hỗ trợ của CNTT và các phần mềm toán học nhằm xây dựng một môi trường dạy - học với 3 đặc tính cơ bản sau:

• Tạo ra một môi trường học tập hoàn toàn mới mà trong môi trường này tính chủ động, sáng tạo của học sinh được phát triển tốt nhất Người học có điều kiện phát huy khả năng phân tích, suy đoán và xử lý thông tin một cách có hiệu quả

• Cung cấp một môi trường cho phép đa dạng hoá mối quan hệ tương tác hai chiều giữa thầy và trò

• Tạo ra một môi trường dạy và học linh hoạt, có tính mở

Trong các hình thức tổ chức dạy - học có sự hỗ trợ của CNTT thì vai trò của

thức tổ chức dạy học truyền thống Về một góc độ nào đó, năng lực của người thầy thể hiện qua hệ thống định hướng giúp học sinh phát hiện và giải quyết vấn đề thông qua hệ thống các câu hỏi Hệ thống các câu hỏi của người thầy phải đáp ứng được các yêu cầu sau:

• Các câu hỏi phải mang tính gợi mở, định hướng giúp cho học sinh con đường xử lý thông tin để đi đến kiến thức mới

• Các câu hỏi phải trợ giúp học sinh củng cố kiến thức mới và tăng cường khả năng vận dụng kiến thức trong thực hành

• Các câu hỏi phải có tính mở để khuyến khích học sinh phát huy tính sáng tạo, khả năng phân tích tổng hợp, khái quát hoá các tri thức đã được trang bị để giải quyết vấn

đề

Điều khác biệt so với các hình thức dạy học truyền thống là quá trình truyền đạt, phân tích, xử lý thông tin và kiểm tra đánh giá kết quả được giáo viên, học sinh thực hiện có sự trợ giúp của các phần mềm và CNTT

1.3 Vận dụng phần mềm Maple trong dạy học Toán

1.3.1 Maple hỗ trợ dạy và học khái niệm đặc biệt là những khái niệm khó, trừu

tượng

 Maple hỗ trợ khâu hình thành khái niệm

Bằng cách sử dụng khả năng của Maple, giáo viên, giảng viên (GV) minh họa trực quan, nhanh chóng tạo ra những đối tượng đa dạng, từ đó so sánh, khái quát hóa

và rút ra định nghĩa

Ví dụ: Dạy học khái niệm hàm số

Chủ đề "Hàm số và đồ thị" giữ vị trí trung tâm, xuyên suốt chương trình môn Toán cả ở phổ thông và đại học, trong đó "Hàm số" là khái niệm then chốt Tuy nhiên, đây cũnglà một khái niệm trừu tượng, khó hiểu Khi dạy, sau khi đưa ra định nghĩa khá trừu tượng “hàm số là một quy tắc cho tương ứngvới mỗi số x (thuộc miền xác định) với một số y (trong miền giá trị) ”, giáo viên thường đưa ra một vài ví dụ hàm số cho dưới dạng công thức (là các đa thức, phân thức với biến x, ) để minh hoạ Học sinh (HS) thường không phân biệt được một cách bản chất giữa các khái

niệm "hàm số", "biểu thức xác định giá trị tương ứng y", Sử dụng Maple, ta có thể giúp cho HS có được cái nhìn bản chất hơn về hàm số, thấy được bản chất của hàm

số nằm ở chỗ quy tắc cho tương ứng (mà thực chất là một ánh xạ) chứ không phải có hay không có biểu thức f(x)

Ví dụ: Khái niệm tích phân xác định và ý nghĩa hình học của nó

>with(plots):with(student): f:=x->x-2*sin(x):

>display(seq(middlebox(f(x),x=-2 2,SoHinh),SoHinh=6 80),insequence=true);

Khi ta kích chuột trên hình vẽ, trên thanh công cụ sẽ xuất hiện thanh điều khiển hình

vẽ Kích chuột trên thanh điều khiển, số hình chữ nhật của tổng Riemann sẽ tăng từ 6 lên 80 và dần dần phủ kín phần mặt giới hạn bởi đường cong

 Hỗ trợ dạy học thể hiện khái niệm

GV khai thác khả năng mô phỏng trực quan quá trình dựng, vẽ, tạo ra đối tượng thỏa mãn định nghĩa khái niệm, nhất là đối với những khái niệm khó tưởng tượng

Ví dụ: Dạy học khái niệm tích phân xác định

Dùng Maple, để tính tích phân của hàm số f(x) với cận là [a, b], ta chỉ cần dùng một câu lệnh [> int(f(x), x = a b) Tuy nhiên, với Maple, ta còn có thể biểu diễn

sự phân hoạch của hàm số f(x) trên đoạn [a, b] Khả năng này của Maple giúp cho

GV dễ dàng hơn trong việc giải thích bản chất nguyên hàm, tích phân cho SV, làm cho SV hiểu khái niệm một cách rõ ràng, chính xác hơn; đồng thời thấy được mối quan hệ và phân biệt được giữa "nguyên hàm" và "tích phân xác định" Khi dạy học

nguyên hàm, tích phân, thông thường cả GV và SV đều theo xu hướng tính tích phân thông qua nguyên hàm Gần như đó là phương pháp duy nhất để tìm ra tích phân xác định Tuy nhiên, với sự hỗ trợ của máy tính, mà ở đây là phần mềm Maple điều ngược lại có thể xảy ra Tức là ta có thể tính nguyên hàm thông qua tích phân xác định, hoặc ít nhất là cũng cho ta hình dung được nguyên hàm của một hàm số bất kỳ nào đó “như thế nào” (kể cả các hàm số mà chúng ta vẫn nói là không tìm được nguyên hàm) Thật vậy, ta biết rằng mọi hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a, b] đều có tích phân xác định trên mọi đoạn con của [a, b], nghĩa là có thể tính được 𝐹(𝑥) =

∫ 𝐹(𝑡)𝑑𝑡𝑎𝑥 từ đó cho thấy nguyên hàm của hàm f(x) trên mọi đoạn là xác định

Chẳng hạn với hàm số 𝑦 =𝑠𝑖𝑛𝑥

𝑥 , nhiều người vẫn cho rằng không tìm được nguyên hàm hay không tính được tích phân Tuy nhiên với sự hỗ trợ của Maple ta hoàn toàn

“thấy” được nguyên hàm của hàm số trên như thế nào, thông qua việc vẽ đồ thị của

nó Công việc đó được Maple thực hiện chỉ bằng một số lệnh

Ví dụ: Minh họa trực quan tốt cho những khái niệm về hình khối không gian

Chẳng hạn như khối tứ diện, các khối tròn xoay: mặt cầu, mặt trụ, mặt nón Trong quá trình dạy học (với việc sử dụng giáo án điện tử), GV có thể khai thác hình ảnh từ Maple để minh họa Đặc biệt có thể liên kết hoặc minh họa trực tiếp trên giao diện làm việc của Maple, khi đó có thể khai thác thêm khả năng xoay các khối hình của Maple Giúp SV dễ hình dung và hình ảnh trở nên sinh động, đồng thời GV cũng giảm bớt được thời lượng vẽ hình

Ví dụ: Maple hỗ trợ vẽ và minh họa bản chất và cách vẽ đồ thị

Với Maple, việc biểu diễn một tập hợp điểm trên mặt phẳng tọa độ tuy rất đơn giản về mặt ý tưởng và thuật toán, nhưng lại rất hữu hiệu khi trợ giúp vẽ đồ thị hàm

số Bởi xét cho cùng, phương pháp chung nhất để vẽ mọi đường cong là xác định một

số điểm (đủ nhiều) rồi nối chúng lại với nhau Vì vậy, sử dụng Maple, GV có thể thực hiện những ý tưởng về dạy học vẽ đồ thị, không những giúp cho HS nắm được bản chất, cách vẽ đồ thị, mà còn bồi dưỡng phát triển tư duy hàm cho các em (ứng với mỗi giá trị của đối số là một giá trị của hàm số)

Ví dụ: Minh họa hình ảnh tự nhiên của các đường conic như giao tuyến của một mặt nón và mặt phẳng cắt nó

>with(plots):

>animate(plot3d,[y/3-10,x=20 t, y=20 t, color=red, style=PATCHNOGRID],

t=18 17,axes=framed,background=plot3d([z*cos(t),z*sin(t),z], z=-20 0,t=-Pi Pi));

Kích chuột trên hình vẽ, ta có thể xem từ nhiều góc độ khác nhau Bằng cách thay đổi phương trình thích hợp của mặt phẳng ta có thiết diện là đường hyperbol hay parabol

 Maple hỗ trợ dạy học tính chất, định lí

Sử dụng Maple, ta có thể giúp cho SV phát hiện mối quan hệ có tính quy luật giữa các yếu tố toán học, rút ra dự đoán về một tính chất mới, từ đó tìm cách khẳng định hoặc bác bỏ và cuối cùng phát biểu định lý

1.3.2 Maple hỗ trợ dạy và học giải một số dạng toán khó

Sử dụng Maple, ta có thể giúp cho SV dự đoán kết quả, từ đó xác định hướng giải bài toán Trong quá trình học Toán, việc kiểm tra tính đúng đắn của một phép toán, một bài toán hay một quỹ tích là rất quan trọng Song có phải lúc nào ta cũng

có thể dễ dàng làm được công việc đó Với những phép tính cồng kềnh, với những bài toán tính đạo hàm hay tích phân phức tạp sau khi đã làm xong một cách rất vất

vả, nếu muốn kiểm tra lại thì quả là khó Nhưng với sự hỗ trợ của Maple thì công việc kiểm tra ra quả thật dễ dàng (chỉ với một câu lệnh) Cũng từ khả năng cho kết

quả một cách nhanh chóng và chính xác của Maple ta thấy rằng có thể dùng Maple

để dự đoán kết quả trong nhiều trường hợp

Chẳng hạn khi giải những phương trình khó, nếu dùng Maple để dự đoán được nghiệm của nó thì có thể tìm ra cách biến đổi để đưa về phương trình đơn giản hơn,

từ đó giải được phương trình ban đầu Với bài toán quỹ tích, nhờ khai thác Maple, chúng ta có thể trợ giúp HS phát hiện được mối quan hệ ràng buộc giữa điểm M với các yếu tố đã cho và dự đoán được "quỹ đạo" của điểm M, từ đó tiếp tục chứng minh

và giải quyết bài toán

Thực tế khi dạy học đạo hàm ở các trường hiện nay, chủ yếu GV cũng chỉ hướng dẫn SV tính thành thạo đạo hàm những hàm số cơ bản phục vụ cho bài toán khảo sát hàm số (và thường cũng là những hàm số có thể dễ dàng tính đạo hàm) Việc làm này đã hạn chế rất nhiều trong việc tìm tòi, khám phá của SV Với công cụ

là phần mềm Maple, cả GV và SV sẽ không còn phải “ngại” những hàm số được coi

là khó khảo sát hoặc tính đạo hàm nữa

Quả thật, với những bài toán khó, nhất là những bài đòi hỏi tính toán phức tạp, biết sử dụng phần mềm một cách hợp lý sẽ giúp cho việc dạy và học toán trở nên thuận lợi và thú vị hơn

1.3.3 Khai thác khả năng tính toán phức tạp của Maple để trợ giúp kiểm tra kết

quả giải toán

 Maple hỗ trợ giảng viên thiết kế nội dung câu hỏi và bài tập

Maple trợ giúp GV tạo ra ngân hàng câu hỏi, bài tập Trong quá trình dạy học, việc tạo ra những bài toán cùng loại là rất quan trọng Đối với từng học sinh, việc có các bài toán cùng loại sẽ giúp các em có điều kiện rèn luyện, từ việc làm quen với nội dung mới, dần tiến đến hình thành kỹ năng và kỹ xảo giải toán Như vậy, nội dung kiến thức đó sẽ luôn được các em học sinh ghi nhớ Đó cũng là cơ sở để học các nội dung sau hiệu quả hơn

Trong quá trình kiểm tra đánh giá, việc tạo ra các bài toán cùng loại sẽ giúp cho giáo viên đánh giá lực học của học sinh một cách công bằng hơn Từ đó không những phát hiện ra những em có khả năng mà còn thấy được những học sinh yếu kém

cũng như sự chênh lệch về học lực trong lớp học (nếu có) để tìm phương pháp dạy học sao cho phù hợp hơn

Tóm lại, việc xây dựng hệ thống câu hỏi hay các bài toán cùng loại là rất quan trọng Trong khi đó, sử dụng sự hỗ trợ của Maple để làm công việc này không khó Giảng viên có thể dùng chức năng tính toán (đạo hàm, nguyên hàm, ) để nhanh chóng tạo ra những bài toán đa dạng cho SV luyện tập trên lớp và ở nhà

Ví dụ: Khi muốn tạo ra nhiều bài toán cùng loại để SV luyện tập kỹ năng tìm nguyên hàm

Đầu tiên, GV dùng Maple để tạo ra nhiều hàm (bằng cách khai báo hàmsố chứa tham số → cho tham số thay đổi) → dùng Maple để tính đạo hàm của chúng

→kết quả thu được nhiều hàm số → GV lấy đó làm cơ sở để yêu cầu SV tìm nguyên hàm → GV lại có thể đối chiếu với hàm số ban đầu để kiểm tra kết quả của SV Đối với các dạng toán trong chương trình đào tạo ở trường Đại học Kinh tế Kỹ thuật Công nghiệp Maple cho kết quả rất tốt, đây là cơ sở giúp GV xây dựng được một cách thuận lợi ngân hàng đề kiểm tra trắc nghiệm gồm những câu hỏi, bài tập khác nhau nhưng tương đương với nhau Đồng thời, GV cũng có thể sử dụng Maple như một công cụ hỗ trợ trong việc kiểm tra, đánh giá kết quả một cách chính xác, nhanh chóng

1.3.4 Maple hỗ trợ biên soạn, trình bày giáo án dạy Toán

Trong môn Giải tích, SV học những dạng hàm số khá phức tạp, không dễ dàng

vẽ được đồ thị Vì vậy, việc dùng Maple có thể giúp cho giảng viên vẽ khá chính xác những đồ thị đó làm cho việc dạy học khảo sát hàm số khá hiệu quả

Cụ thể, sau khi xây dựng hàm số xong, Maple cho phép làm hầu hết các công việc liên quan đến hàm số đó, chẳng hạn như tính giá trị của hàm số tại các điểm nào đó, tính đạo hàm, nguyên hàm và tích phân, tính giới hạn, xét tính liên tục, khảo sát và vẽ

đồ thị, tìm giao điểm của nó với trục tọa độ, với đồ thị của hàm số khác, vẽ được tiếp tuyến của đồ thị hàm số đó tại một điểm bất kỳ trên đồ thị, tìm min và max của hàm

số trong đó một miền nào đó

1.3.5 Sử dụng phần mềm Maple trợ giúp sinh viên làm quen với công tácnghiên

cứu khoa học

Nếu biết khai thác một cách có hiệu quả phần mềm Maple, chúng ta có thể gợi ý và giúp đỡ sinh viên đi sâu tìm tòi và sáng tạo khoa học, có thể xây dựng được những đề tài nghiên cứu khoa học ở mức độ ban đầu Cụ thể là:

- Lập các bảng thống kê, các biểu đồ, sau khi nhập mẫu số liệu có thể tính và xử lý được ngay những tham số thống kê (số trung bình, phương sai, );

- Tra cứu, tìm kiếm, sắp xếp thông tin, dữ liệu trong các hoạt động dạy và học;

- Kiểm tra, đánh giá kết quả tự học, tự nghiên cứu

1.3.6 Sử dụng Maple trong dạy - học toán ở đại học

Trong dạy học tương tác ở đại học có các phương án: Phụ thuộc vào mục đích, nội dung và phương tiện dạy học, có thể nêu ra 3 hình thức và mức độ sau đây:

Dạy trên lớp học cả một môn học, một chương hoặc một nội dung cụ thể Hình thức dạy học này đòi hỏi phải có hệ thống lớp học hiện đại

Chỉ dùng lớp học trong giờ thực hành kết hợp với học lý thuyết bằng các phương pháp dạy học khác

Giáo viên dùng LCD kết nối với máy tính để thực hiện một số khâu trong bài giảng Sinh viên thực hành các tính toán bằng tay theo kịch bản của giáo viên

1.3.7 Gói lệnh Student hỗ trợ cho việc dạy và học toán

• Từ Maple 8, gói lệnh Student được phát triển từ gói lệnh student trước đó nhằm hỗ trợ cho việc dạy và học toán ở đại học và phổ thông Khai thác khả năng của gói lệnh này sẽ đem đến cho giáo viên rất nhiều công cụ hỗ trợ mới trong phương pháp dạy học Có thể nói rằng gói lệnh này đã đề cập đến tất cả các nội dung toán học của đại học và phổ thông, cung cấp nhiều lệnh và thủ tục cho các phép toán và giải thuật xuất hiện trong chương trình giảng dạy, cung cấp nhiều công cụ tương tác dưới dạng Maplet và hỗ trợ việc làm từng bước các phép toán cơ bản của vi tích phân

Gói lệnh Student có 3 gói lệnh con là Calculus1, LinearAlgebra và Precalculus Để nạp từng gói lệnh, làm như sau:

>with(Student[Precalculus]):

• Gói lệnh con Calculus1 là gói lệnh quan trọng nhất của Student Nó chứa các công

cụ hỗ trợ từ hướng dẫn thực hiện các phép tính vi tích phân cho đến khảo sát và vẽ đồ thị hàm; từ việc minh họa vẽ tiếp tuyến đường cong cho đến việc tính diện tích, thể tích mặt tròn xoay, v.v

Ví dụ: Khảo sát hình học và thể tích của vật thể tròn xoay

>with(Student[Calculus1]):

>VolumeOfRevolution(cos(x) + 3, sin(x) + 2, x=0 4*Pi);

>VolumeOfRevolution(cos(x) + 3, sin(x) + 2,x=0 4*Pi,output=integral);

>VolumeOfRevolution(cos(x) + 3, sin(x) + 2, x=0 4*Pi,output=plot):# tính thể tích của mặt tròn xoay xác định bởi hàm trên, kèm theo với hình vẽ

• Sử dụng các Tutor trong các gói của Student và các hỗ trợ tính toán từng bước IntTutor();

Sau khi nhấn Enter, một cửa sổ Maplet hiện ra, cho phép ta nhập hàm và các khoảng cần tính tích phân (nếu là tích phân xác định) Maplet này có thể giúp đưa ra các biến đổi từng bước cho bài toán tính phân và tính ra kết quả cuối cùng

CHƯƠNG 2: MAPLE VÀ CÁC TÍNH NĂNG CƠ BẢN CỦA MAPLE

2.1 Giới thiệu sơ lược về Maple

Maple là một bộ phần mềm chuyên dụng trong tính toán khoa học, minh họa hình học mạnh mẽ, trợ giúp nghiên cứu và giảng dạy Nó phát triển lần đầu tiên vào năm 1980 bởi nhóm Tính toán hình thức tại Đại học Waterloo ở Waterloo, Ontario, Canada Tên "Maple" không phải là tên viết tắt hoặc từ cấu tạo bằng chữ đầu, mà chỉ đơn giản là để chỉ hình tượng Lá phong (tiếng Anh: Maple) trên Quốc kỳ Canada

Từ năm 1988, nó đã được phát triển và thương mại hóa bởi Waterloo Maple Inc (còn được biết đến với tên gọi Maplesoft), một công ty Canada cũng có trụ sở tại Waterloo, Ontario (http://www.maplesoft.com), đã phát triển đến phiên bản 18 được

sử dụng trên rộng rãi trên cả thế giới, những điểm mới trong phiên bản 2016 có trong http://www.maplesoft.com/products/maple/new_features/

Maple có thể nhập biểu thức toán học theo các ký hiệu toán học truyền thống Có thể dễ dàng tạo ra những giao diện người dùng tùy chọn Maple hỗ trợ cho cả tính toán số và tính toán hình thức, cũng như hiển thị Nhiều phép tính số học được thực hiện dựa trên thư viện số học NAG; trong Maple, các chương trình con NAG đã được

mở rộng để cho phép độ chính xác ngẫu nhiên lớn

Maple cũng có một ngôn ngữ lập trình cấp cao đầy đủ Cũng có giao diện cho những ngôn ngữ khác (C, Fortran, Java, MatLab, và Visual Basic) Cũng có một giao diện dành cho Excel Phần lớn Maple được viết bằng ngôn ngữ java Maple chạy trên tất cả các hệ điều hành chính, có trình trợ giúp (Help) rất dễ sử dụng

Ngôn ngữ lập trình Maple là một ngôn ngữ kiểu động Cũng giống như các hệ thống đại số máy tính, các biểu thức hình thức được lưu trữ trong bộ nhớ theo đồ thị không chu trình có hướng (DAG) Ngôn ngữ cho phép các biến có phạm vi nhất định (lexical scoping) Ngôn ngữ có hình thức lập trình hàm, nhưng cũng có hỗ trợ đầy đủ cho lập trình truyền thống, theo kiểu mệnh lệnh

Từ phiên bản 7, Maple cung cấp ngày càng nhiều các công cụ trực quan, các gói lệnh tự học gắn liền với toán phổ thông và đại học Ưu điểm đó khiến ngày càng

có nhiều nước trên thế giới lựa chọn sử dụng Maple trong dạy-học toán tương tác trước đòi hỏi của thực tiễn và sự phát triển của giáo dục

2.2 Giao diện và môi trường tính toán

Một trang làm việc (Worksheet) của Maple bao gồm những thành phần cơ bản:

 Cụm xử lý (Execution group):

Nằm trong ngoặc vuông bên trái của dấu nhắc lệnh, mọi tính toán đều được thực hiện trên các cụm xử lý này Nó có thể chứa các lệnh của maple, kết quả tính toán, đồ thị

Muốn đưa vào Worksheet một cụm xử lý sau đọan văn bản đang chứa con trỏ ta thực hiện như sau:

+ Insert / Execution group / apter cursor hoặc

+ Click chuột vào nút có biểu tượng [> trên thanh công cụ

 Văn bản (Text)

Ta có thể nhập vào văn bản text trong worksheet Ta gõ tiếng Việt trong Maple tương

tự như gõ tiếng Việt trong các phần mềm ứng dụng khác như: Word, Excel Muốn đưa vào Worksheet một đọan văn bản mới sau con trỏ ta thực hiện lệnh:

+ Insert / Paragraph / Apter cursor Hoặc

+ Click chuột vào nút có biểu tượng chữ T trên thanh công cụ

 Đồ thị (Graph)

Maple có khả năng đồ họa trực tiếp có nghĩa là cho phép vẽ đồ thị ngay trong trang worksheet

 Siêu liên kết: (Hyperlink)

Là một mẫu văn bản mà nếu ta kích vào thì sẽ dẫn ta đến một mục khác trong worksheet hiện hành hoặc một worksheet khác Muốn tạo siêu liên kết ta chọn chuỗi

ký tự cần click vào khi liên kết rồi thực hiện như sau:

Format / Convert to / Hyperlink

Sau khi hiện ra hộp thoại ta đưa địa chỉ cần liên kết vào

 Lệnh và kết quả trong Maple (Command and Output)

Lệnh của Maple được đưa vào worksheet sau dấu nhắc lệnh trong cụm xử lí Kết thúc dòng lệnh bằng dấu hai chấm “:” hoặc dấu chấm phẩy “;”

+ Nếu kết thúc dòng lệnh bằng dấu “:” thì kết quả tính toán không hiển thị ra màn hình

+ Nếu kết thúc dòng lệnh bằng dấu “;” thì kết quả sẽ hiển thị ở dòng phía dưới phía sau câu lệnh

Thông thường lệnh của Maple được hiển thị bằng font chữ Courier màu đỏ và kết quả được hiển thị bằng font của Maple Output màu xanh (Đây là định dạng mặc định

và chúng ta có thể thay đổi bằng các chức năng định dạng của Maple)

Muốn thực hiện dòng lệnh nào thì đưa con trỏ về dòng lệnh đó nhấn phím Enter Nếu

có nhiều dòng lệnh trong cụm xử lí thì khi ta nhấn phím Enter tất cả các lệnh trong cụm xử lí đều được thực hiện

Khi cần xuống dòng để viết các lệnh trong cùng một cụm xử lý (Không phải thực hiện các lệnh trong cụm xử lý) ta dùng Ctrl + Enter

Cần thực hiện dòng lệnh theo thứ tự từ trên xuống dưới, vì một số tính toán trong các bước sau có thể lấy kết quả từ bước trước, ngược lại thì không thể được

Lệnh của Maple có hai loại: Lệnh trơ và lệnh trực tiếp

+ Lệnh trực tiếp: Cho ta biết ngay kết quả của lệnh

+ Lệnh trơ: Khi sử dụng lệnh trơ ta chỉ thu được biểu thức tượng trưng và muốn biết trị số của biểu thức đó ta dùng thêm lệnh Value( )

Thường thì giữa lệnh trơ và lệnh trực tiếp khác nhau ở ký tự đầu là

+Lệnh trơ ký tự đầu chữ hoa: Sum(k,k=1 n), Int(expr,x),

+Lệnh trực tiếp ký tự đầu là chữ thường: sum(k,k=1 n), int(expr,x),

 Maple qui định các phép toán bằng các ký tự sau:

Nhỏ hơn <

Nhỏ hơn hay bằng <=

Phép chia / Phép lũy thừa ^

Phép giai thừa !

Lớn hơn hay bằng >=

Bằng = Khác <>

Các toán tử logic: and, or, not Kết quả của các phép toán quan hệ là: True(đúng), False(sai), FAIL (không so sánh được)

 File

Menu này chứa các lệnh tương tự như các trình soạn thảo văn bản thông thường như: New, Open, Save, Save As …Đặc biệt ở đây có lệnh Export As cho phép ta lưu dữ liệu ở các dạng khác nhau như file maplet (khi lập trình có giao diện), file rtf, xuất ra web,

 Edit

Menu này chứa các lệnh liên quan đến soạn thảo, giống như trong Word Ngoài các lệnh thông thường, chúng ta chú ý đến 1 số lệnh đặc biệt sau:

- Nhóm lệnh trong Split or Join: cho phép ta hợp hoặc tách các cụm xử lí Thuật ngữ

"Cụm xử lí" có thể hiểu là một nhóm lệnh bắt đầu bởi dấu nhắc [> Khi đó trang làm việc sẽ bao gồm nhiều cụm xử lí

- Nhóm lệnh Remove Output: Cho phép ta xóa nhanh các kết quả tính toán trên trang làm việc Nhờ tiện ích này mà khi không cần thiết ta có thể xóa các kết quả và lưu file thì kích thước file thu được sẽ nhỏ đi rất nhiều

- Go To Bookmark, chức năng này cho ta tìm nhanh đến Bookmark View

2.3 Một số chức năng cơ bản của Maple

Có thể nêu vắn tắt các chức năng cơ bản của Maple như sau:

• Là một hệ thống tính toán trên các biểu thức đại số;

• Có thể thực hiệc được hầu hết các phép toán cơ bản trong chương trình toán đại học

và sau đại học;

• Cung cấp các công cụ minh họa hình học thuận tiện gồm: vẽ đồ thị tĩnh và động của các đường và mặt được cho bởi các hàm tùy ý trong nhiều hệ tọa độ khác nhau;

• Một ngôn ngữ lập trình đơn giản và mạnh mẽ, có khả năng tương tác với các ngôn ngữ lập trình khác;

• Cho phép trích xuất ra các định dạng khác nhau như LaTex, HTML,

• Một công cụ biên soạn giáo án và bài giảng điện tử, thích hợp với các lớp học tương tác trực tiếp;

• Một trợ giáo hữu ích cho học sinh và sinh viên trong việc tự học;

2.4 Các lệnh cơ bản trong Maple

 Khai triển một biểu thức

Câu lệnh: expand (expr, expr1, expr2 );

+ expr là biểu thức cần khai triển

+ expr1, expr2,… là các dạng biểu thức mà expr khai triển theo nếu có thể được

 Phân tích một biểu thức thành tích

Câu lệnh: factor (expr); hoặc factor (expr, expr1)

+ expr là biểu thức cần phân tích

+ expr1 là các dạng biểu thức mà expr phân tích theo nếu có thể được

 Đơn giản biểu thức

Câu lệnh: simplify(expr): Đơn giản biểu thức expr

simplify(expr,{n1,n2, }): Đơn giản biểu thức expr theo các điều kiện n1, n2, cho trước

simplify(expr,Option): Đơn giản biểu thức expr theo dạng đã chỉ định Trong đó Option:Có các tùy chọn sau

+ trig Lượng giác

+ Power Lũy thừa

+ Ln Logarit neber

+ Exp Hàm e mũ

+ Radical Căn thức

 Tối giản phân thức

Câu lệnh: normal (expr): Tối giản biểu thức expr

normal (expr, expanded): Tối giản biểu thức expr trình bày kết quả dưới dạng khai triển

Tối giản phân thức cũng là đưa nó về dạng chuẩn tắc (normal), tức là giản ước các thừa số chung của tử số và mẫu số Để thực hiện điều này ta dùng hàm normal

 Thay thế giá trị cho biến

Câu lệnh: subs(x = a, expr): Thay giá trị x = a vào biểu thức expr

subs(s1, s2,…, sn, expr): Thay thế tuần tự các giá trị s1, s2,…, sn vào biểu thức expr

subs({s1, s2,…, sn }, expr): Thay thế đồng thời các giá trị s1, s2,…, sn vào biểu thức expr

 Hàm trích lấy vế trái và vế phải của một đẳng thức

Hàm trích lấy vế trái: lhs (f)

Hàm trích lấy vế phải: rhs (f)

Trong đó: f là một phương trình, bất phương trình hay một đẳng thức nào đó

 Hàm gom nhóm các thành phần của một biểu thức

Câu lệnh: collect (f, x): Sắp xếp lại biểu thức f theo biến chỉ định trong x

collect (f, x, procedure): Sắp xếp lại biểu thức f theo biến chỉ định trong x và các hệ

số được biến đổi theo dạng được chỉ định trong procedure

procedure có thể có các giá trị sau:

+ recursive: đầu tiên gom nhóm biểu thức theo x1, tiếp theo trong mỗi số hạng x1 lại gom nhóm theo x2,…

+ distributed: gom nhóm tách biệt ra Đầu tiên gom nhóm biểu thức theo x1 xong rồi đến gom nhóm biểu thức theo x2,…

 Chuyển đổi dạng của biểu thức

Câu lệnh: conrvert (f, form, vars)

Trong đó: + f là một biểu thức bất kỳ

+ vars là các biến mới

+ form có thể có các dạng sau đây:

Airy,Bessel;D;Ei; GAMMA; Heaviside; Matrix; PLOT3Doptions; PLOToptions POLYGONS; RootOf; StandardFunctions; Vector; and; array; base; binary; binomial; bytes; confrac; convert/'*'; convert/'+'; decimal; degrees; diff; disjcyc; double; equality; erf; erfc; exp; expln; expsincos; factorial; float; fullparfrac; global

;hex; horner; hypergeom; int; list; listlist; ln; local; mathorner; matrix; metric; mod2; multiset; name; numericproc; octal; or; parfrac; permlist; piecewise; polar; polynom; pwlist; radians; radical; rational; ratpoly; set; signum; sincos; sqrfree; std; stdle; string; symbol; table; tan; trig; vector

 Tính biệt thức delta của một tam thức bậc hai

Câu lệnh: discrim (expr) expr là một tam thức bậc hai

 Tìm nghiệm nguyên của phương trình, hệ phương trình

Câu lệnh: insolve (eqns, vars)

Trong đó: + eqns là một phương trình hay một hệ phương trình

 Tìm nghiệm gần đúng

Câu lệnh: fsolve (eqns, var, options)

Trong đó: + eqns là một phương trình hay một hệ phương trình

+ vars là các biến của phương trình hay hệ phương trình

+ options là các tùy chọn có th ể là:

maxsols = n: Tìm tối đa n nghiệm (nếu có)

complex: Tìm các nghiệm dạng số phức

interval: Tìm các nghiệm trong khoảng a b nào đó

avoid = s: Tìm các nghiệm khác điều kiện s s có thể là một phương trình, nghiệm của một phương trình hay là một chuỗi các nghiệm được liệt kê

 Tìm nghiệm của hệ phương trình - hệ bất phương trình

Câu lệnh: solve (eqns, vars)

Trong đó: + eqns là một phương trình, bất phương trình hay một hệ phương trình,

hệ bất phương trình nào đó + vars là các biến

Hàm Solve giải phương trình cho cả nghiệm thực và phức

- Câu lệnh Limit(f, x=a): Hàm trơ

Limit(f, x=a, dir): Hàm trơ limit(f, x=a): Hàm cho giá trị trực tiếp limit(f, x=a, dir) : Hàm cho giá trị trực tiếp Trong đó:

+ f là một biểu thức đại số (an algebraic expression)

+ x là biến của hàm f

+ a là một giá trị, hoặc infinity ( + ∞ ), hoặc -infinity (- ∞ )

+ dir chỉ hướng lấy giới hạn

• left - giới hạn bên trái

• right - giới hạn bên phải

• real - giới hạn thực

Trong đó + f là hàm số cần lấy đạo hàm

+ var là biến lấy đạo hàm

- Ví dụ: Tính đạo hàm của hàm số y=xsin(cos(x))

> Diff(x*sin(cos(x)),x):%=value(%);

b Đạo hàm bậc cao và đạo hàm riêng:

- Câu lệnh: diff(expr,x1,x2, ,xn); Diff(expr,x1,x2, ,xn);

diff(expr,[x1,x2, ,xn]); Diff(expr,[x1,x2, ,xn]);

Trong đó: + expr là biểu thức cần lấy đạo hàm

+ x1,x2 các biến lấy đạo hàm

2.5.3.2 Đạo hàm của hàm ẩn

Hàm ẩn là hàm không có công thức biểu diễn một cách tường minh mà chỉ biết được phương trình biểu diễn mối quan hệ giữa chúng và các biến độc lập Hàm xác định bởi phương trình f(x,y)=0, trong đó y là biến phụ thuộc một chiều (hàm) còn x là biến độc lập

- Câu lệnh: implicitdiff(f, y, x): Lấy đạo hàm cấp 1 của y theo một biến x

implicitdiff(f,y,x$k): Lấy đạo hàm bậc k của y theo một biến x implicitdiff(f, y, x1, ,xk): Lấy đạo hàm riêng bậc k của y theo

các biến x1,x2, ,xk

2.5.4 Tích phân:

2.5.4.1 Tích phân một lớp:

a Tích phân bất định:(nguyên hàm của hàm số)

- Câu lệnh: int(f, var); Int(expr, x);

Trong đó: + f: biểu thức dưới dấu tích phân

+ var: biến lấy tích phân

b Tích phân xác định

- Câu lệnh: int(f, x=a b); Int(f, x=a b );

Trong đó: + f: biểu thức cần tính tích phân.(f phải liên tục trên đọan [a,b] hoặc có điểm gián đọan loại 1 trên đọan [a,b])

+ x: biến lấy tích phân + a b: khoảng lấy tích phân

- Ví dụ: (Câu 4, Kì thi THPT quốc gia năm 2015, môn Toán)

Tính tích phân ∫ (𝑥 − 3) ∗ 𝑒1 𝑥𝑑𝑥

0

>

Trong đó: + f: biểu thức lấy tích phân

Tripleint (g, x, y, z, Domain) : Tripleint (g, x = a b, z = e f, y = c d ) ; Trong đó: + g: biểu thức dưới dấu tích phân

+ x, y, z: Các biến lấy tích phân

+ a, b, c , d, e, f : Các cận của miền lấy tích phân + Domain: Miền lấy tích phân

>with(student): f(x,y,z):= x*y*z^2:

Tripleint(f(x,y,z),x,y,z);

Tripleint (f(x,y,z), x, y, z, D);

Tripleint(x*y*z^2, x = 0 1, y = -1 2,z = 0 3 ):%=value(%);

2.5.4.3 Phương pháp đổi biến và tích phân từng phần

a Phương pháp đổi biến số:

- Câu lệnh: with (student):

changevar (s, f); changevar (s, f, u); changevar (t, g, v);

Trong đó:

+ s – là một biểu thức dạng h(x) = g(u) xác định x như hàm của u + f – Là biểu thức được cho dưới dạng thức như Int(F(x), x = a b) + u – Tên biến mới

+ t - Tập các phương trình xác định phép biến đổi nhiều ẩn

+ g – Ký hiệu hình thức của tích phân bội

+ v – Danh sách các biến mới

Chú ý: Tham số thứ nhất trong các lệnh trên là một hay nhiều phương trình xác định biến mới theo biến cũ Nếu có nhiều hơn 2 biến thì biến mới phải được cho ở vị trí của tham số thứ ba Tham số thứ hai là biểu thức chứa Int, Sum, Limit hay Doubleint hoặc Tripleint

- Ví dụ: Dùng phương pháp đổi biến số tính tích phân ∫ ((cos (𝑥) + 1)3sin(𝑥) 𝑑𝑥

Ta thực hiện đổi biến x thành biến u với u = cos(x) + 1

Trong đó: + f: là biểu thức có dạng Int (udv, x)

+ u: là thừa số khả vi của biểu thức dưới dấu tích phân Lệnh trên sẽ cho kết quả dưới dạng uv-Int (vdu, x)

- Ví dụ: (Câu 4, Kì thi THPT quốc gia năm 2015, môn Toán)

Tính tích phân ∫ (𝑥 − 3) ∗ 𝑒01 𝑥𝑑𝑥

>restart: with(student): K:=Int((x-3)*exp(x),x);

Lấy tích phân từng phần với 𝑢 = 𝑥 − 3, 𝑑𝑣 = 𝑒𝑥𝑑𝑥,

> P:=intparts(K,x-3);

> p1:=op(1,P); # Trích lấy phần thứ nhất của biểu thức P

> c1:=op(2,P); # Trích lấy phần thứ hai của biểu thức P

int(int(f(x,y),y=y1(x) y2(x),x=a b);

int(int(int(f(x,y,z),z=z1(x,y) z2(x,y)),y=y1(x) y2(x)),x=a b);

2.6 Các nhóm lệnh trong một chương trình

2.6.1 Biến

- Tên biến: Có thể là một chuỗi ký tự, số hoặc đường gạch dưới (_), có thể chữ thường hoặc chữ hoa, tên biến dài tối đa là 524.271 ký tự đối với chuẩn 32 bit, và 34,359,738,335 đối với chuẩn 64 bit Không có khoảng cách giữa các ký tự

 Không nên bắt đầu tên biến bằng dấu gạch dưới (_) vì nó sẽ trùng với tên biến toàn cục trong Maple

 Không nên kết thúc bằng dấu ngã (~) vì nó sẽ trùng với tên biến trong Maple khi biến đó bị ràng buột bởi điều kiện

 Các tên biến có thể được ghép với nhau bằng toán tử || hoặc bằng hàm cat()

 Chú ý: Maple phân biệt ký hiệu hoa và ký hiệu thường A ≠ a, B ≠ b nên khi sử dụng biến ta phải chú ý đến vấn đề này

 Sau khi thực hiện xong các lệnh trong một cụm xử lý người ta thường dùng lệnh restart để khởi động lại giá trị cho biến

- Khai báo biến

+ Biến cục bộ: local <tenbien1>,[<tenbien2>], ;

+ Biến toàn cục: global <tenbien1>,[<tenbien2>], ;

2.6.2 Lệnh gán

- Câu lệnh: <Tên biến> := <giá trị>;

- Ví dụ:

a:=3; b:= a; tamthuc:=x^2-3*x+1;delta:= discrim(tamthuc,x);

hamtich:=proc(x,y)

local a,b; global c;

a:=x*y; b:=a*x*y; c:=a*b;

end proc;

2.6.3 Một số lệnh vào ra

Lệnh interface: Thông thường Maple cho in ra một biểu thức hay một ký hiệu toán học dưới dạng hoàn chỉnh (prettyprint) Ta có thể xem cách Maple thành lập các biểu thức hay ký hiệu như vậy bằng cách dùng lệnh interface tác động vào tham biến prettyprint để thay đổi lại định dạng khi in ra

Lệnh print: Hiển thị các biểu thức làm tham biến ra màn hình

Lệnh printf: cho phép hiển thị các tham biến ra với các định dạng đặc biệt

Câu lệnh:printf( formatString, expr1, expr2, expr3, );

+ width: số ký tự hiển thị khi in ra

+ precision: số ký tự xuất hiện sau dấu chấm thập phân khi in ra một số thực

+ modifiers: định dạng các giá trị đặc biệt Ví dụ: định dạng Z cho số phức

+ code: định dạng của các tham biến ra như số nguyên (d), số thực (e hoặc f), ký tự (c) hay chuỗi (s)

Lệnh readstat: yêu cầu người sử dụng nhập các biểu thức vào từ bàn phím

2.6.4 Lệnh điều kiện rẽ nhánh

- Câu lệnh: if <điều kiện> then <Nhóm lệnh 1>;

else<Nhóm lệnh 2>;

end if :

2.6.5 Các lệnh vòng lặp

- Câu lệnh: [for<tên biến>] [from<giá trị đầu>] [by<bước tăng>]

[to<giá trị cuối>] do<nhóm lệnh thực hiện>end do;

Hoặc: [for<biến>] [in<expr>] do<Nhóm lệnh>end do;

Trong đó: Với expr là một chuỗi các giá trị, hay một chuỗi các biểu thức nào đó Vòng lặp FOR (vòng lặp có số lần xác định)

- Câu lệnh: While<Điều kiện>do< Nhóm lệnh>end do;

Vòng lặp While ( vòng lặp có số lần không xác định)

- Câu lệnh:[for<tên biến>] [from<giá trị đầu>] [by<bước tăng>]

[to<giá trị cuối>] [while<điều kiện>] do<nhóm lệnh>end do;

- Ví dụ: Tính tổng 10 số tự nhiên đầu tiên

>T:=0: for i from 1 by 1 to 10 do T:=T+i; end do: print(T)

>T:=0: i:=5: while i<11 do T:=T+i: i:=i+1: end do: print(T)

để sử dụng

Khi sử dụng những hàm mà Maple đã nạp sẵn trong bộ nhớ như sin, cos, exp, int…

ta chỉ cần gọi trực tiếp vào cụm xử lý

Ví dụ: A:= sin(x)+tan(x)-x^2; B:= exp(34); C:=int(x^2-1,x=1 4);

Khi sử dụng hàm nằm trong gói công cụ thì ta nạp hàm đó vào bộ nhớ rồi sau đó mới

sử dụng được

Câu lệnh nạp hàm nằm trong gói công cụ vào bộ nhớ: with(Gói công cụ):

Ví dụ: Dùng hàm slope trong gói công cụ student, ta thực hiện

with(student): slope(y=2*x+5,y,x);

Muốn xem tên các hàm trong một gói công cụ thì sau with(Gói công cụ) ta dùng dấu chấm phẩy ; Một số gói công cụ ta thường sử dụng: student, DEtools, PDEtools, LinearAlgebra, geometry, linalg, plottools, plots,…

+ student: Gói công cụ chứa các lệnh cho tính toán từng bước bao gồm tích phân từng phần, quy tắc Simpson, tìm cực trị,…

+ DEtools: Gói công cụ chứa các lệnh làm việc với phương trình vi phân

+ DEPtools: Gói công cụ chứa các lệnh cho phép làm việc với phương trình đạo hàm riêng

+ LinearAlgebra: Chứa các công cụ liên quan đến đại số tuyến tính

+ geometry: Gói công cụ chứa các lệnh liên quan với hình học Euclide 2 chiều

+ linalg: Gói công cụ chứa các lệnh liên quan với ma trận và vectơ

+ stats: Gói công cụ chứa các lệnh dùng trong thống kê

+ plots: Các lệnh cho phép vẽ hình trong không gian 2 và 3 chiều

+ plottools: Gói công cụ chứa các lệnh cho phép làm việc với các đối tượng hình ảnh Câu lệnh nạp hàm trong thư viện vào bộ nhớ: readlib(tên hàm) Khi sử dụng các hàm trong thư viện thì ta cũng nạp hàm cần sử dụng vào bộ nhớ trước rồi mới dùng

Muốn xem ý nghĩa cũng như tập lệnh của gói công cụ hay thư viện nào ta dùng câu lệnh: ?<Tên gói công cụ >; hoặc ? <Tên thư viện >;

+ expr: là một biểu thức Dùng hàm unapply( ): unapply(expr,vars);

expr: biểu thức hoặc phương trình vars: các biến của hàm số Dùng thủ tục proc(vars) expr end proc;

vars: các biến của hàm expr: biểu thức xác định hàm

Ví dụ: Xây dựng hàm hai biến y=3x3+ey-sin(x)+2

 Biến cục bộ: được khai báo sau từ khóa local trong khai báo chu trình, nó chỉ

có giá trị bên trong chu trình mà nó được khai báo

 Các tùy chọn trong chu trình: Các tùy chọn của một chu trình được bắt đầu bởi

từ khóa options và được khai báo ngay sau khai báo biến Một chu trình có thể

có một hoặc nhiều tùy chọn

 Tùy chọn arrow: giúp cho việc định nghĩa hàm bằng chu trình thể hiện qua

kí hiệu mũi tên (chỉ có nghĩa khi đi cùng với tùy chọn operator)

 Tùy chọn copyright: để thêm một ghi chú về bản quyền vào chu trình

 Tùy chọn operator: cho ta phương pháp biểu diễn các hàm toán học (hay ánh xạ) với hình ảnh mũi tên

 Tùy chọn remember: Cho phép liên kết một chu trình với một bảng nhớ

 Tùy chọn trace: Maple sẽ in toàn bộ cách thức thực hiện của chu trình đó

từ khi bắt đầu đến khi kết thúc ra màn hình

2.8 Đồ thị trong Maple

Các lệnh cơ bản:

plot: vẽ đồ thị

animate: vẽ đồ thị chuyển động

plot3d: vẽ đồ thị trong không gian

animate3d: vẽ đồ thị chuyển động trong không gian

2.8.1 Đồ thị trong không gian hai chiều

 rangeH: xác định miền vẽ trên trục hoành (x = a b)

 rangeV: xác định miền vẽ trên trục tung (y = c d)

 options: các tùy chọn về dạng đồ thị, gồm các tùy chọn sau:

 Dạng của hệ trục tọa độ: axes = none; normal; boxed; frame;

 Tô màu cho đồ thị: color = red; blue; green; black; …

 Chọn kiểu đường cho đồ thị: linestyle = 1; 2; 3; 4;

 Chọn số lượng điểm để vẽ cho một đồ thị: numpoits = <n>

 Kiểu điểm để vẽ đồ thị: style = line; point; patch; patchnogrid;

 Độ dày của đường vẽ đồ thị: thickness = 0; 1; 2; 3;

 Tỷ lệ co giãn trên các trục tọa độ: scaling = constrained; unconstrained;

 Chọn hệ trục tọa độ để vẽ đồ thị: coords = cartesian; polar;

 Tiêu đề của đồ thị: title = “tên tiêu đề của đồ thị”

 Chú giải cho đồ thị: legend = “text”

 Viết tiêu đề cho trục tung và trục hoành: labels = [“Tiêu đề trục x”, “Tiêu

đề trục y”]

2.8.1.2 Hiển thị đồ thị hai chiều

Khi vẽ đồ thị đôi khi ta không muốn cho hiển thị ngay đồ thị đó mà ta gán đồ thị đó cho một biến rồi khi cần thiết thì ta sẽ dùng hàm display ( ) để hiển thị các đồ thị đó, đặc biệt hàm này dùng để hiển thị các đồ thị trong gói công cụ plottools, và hiển thị các ghi chú trên đồ thị

- Câu lệnh: with (plottools):

display (L, insequence = true, options) Trong đó: + L: một đồ thị hoặc nhiều đồ thị

+ options: cũng có các tùy chọn như trong plot + insequence = true: cho hiển thị nhiều đồ thị thì các đồ thị sẽ hiển thị theo thứ tự trong dãy liệt kê L Đồ thị được liệt kê trước sẽ hiển thị trước, tuỳ chọn này chỉ có tác dụng trong vẽ đồ thị động (animation), còn trong đồ thị tĩnh thì nó chỉ hiển thị ở đồ thị đầu tiên trong dãy liệt kê

+ insequence=false: hiển thị cùng một lúc tất cả các đồ thị trong dãy L

2.8.1.3 Viết chữ trong đồ thị

- Câu lệnh: with(plots):

textplot ([x, y, text]) Trong đó: + (x, y): Vị trí bắt đầu xuất chuỗi ký tự ra màn hình

+ text: Chuỗi cần xuất ra màn hình

Ví dụ: Vẽ đồ thị hai hàm số sau y=x2 và y=sin(x) trong miền x ∈ [-2,2], trong cùng

hệ toạ độ Đề các

>with(plots):

>plot([x^2,sin(x)], x=-2 2,color=[red,blue], linestyle=[1,1],

numpoints=50, style=line, labels=["truc x","truc y"], labeldirections=[horizontal,vertical],

thickness=3,scaling=constrained, title="DO THI x^2 va sin(x));

Ví dụ: Vẽ đồ thị hai hàm sin(t) và cos(t) trên cùng một hệ trục toạ độ, miền vẽ được xác định trên trục tung và trục hoành

>restart:with(plots):

>plot([sin(t),cos(t)],t=-Pi Pi,-2 2, thickness=[4,3], linestyle=[2,1],

view=[-2 2,-1 1]);

Ví dụ: Vẽ đồ thị hàm y= sin(3x) trong hệ toạ độ cực

>restart: with(plots):

>plot (sin(3*x), x = -Pi Pi, coords = polar, scaling = constrained);

Ví dụ: Vẽ đồ thị hàm số gián đoạn được xác định

>f(x):= piecewise(x>2,1,x<2,-1,0);

>plot(f(x),x=-5 5, color=red,thickness=4);

Nhận xét: Đồ thị hàm số này gián đoạn tại x=2, nhưng khi vẽ thì chương trình tự động nối liền các điểm gián đoạn lại Vì vậy ta thêm thông số discont=true, mặc nhiên sẽ là discont=false