Toán 11 Chương 1 Bài 3: Một số phương trình lượng giác thường gặp

Đây là một dạng toán nền tảng không chỉ trong phạm vi khảo sát hàm số lượng giác mà còn được ứng dụng trong việc giải phương trình lượng giác, sự đơn điệu của hàm số lượng giác, ....[r]

eLib.vn: Thư viện trực tuyến miễn phí 1

MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP

1 Lý thuyết

1.1 Phương trình bậc nhất với một hàm số lượng giác

a) Định nghĩa:

Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác là phương trình có dạng

0

at b trong đó a,b là các hằng số a0và t là một trong các hàm số lượng giác

Ví dụ: 2 sin 1 0; os2 1 0; 3 tan 1 0; 3 cot 1 0

2

b) Phương pháp: Đưa về phương trình lượng giác cơ bản

1.2 Phương trình bậc hai đối với sinx, cosx, tanx, cotx

a) Dạng phương trình

2

2

2

2

  

  

  

  

b) Cách giải

Đặt: tsinx ( -1 t 1)

cos (-1 t 1)

tan

c to

  





c) Chú ý

Nếu a là một số cho trước mà tan xác định thì phương trình tanx = tana có nghiệm

x =  kp thoả điều kiện cosx0

Phương trình tanP(x) = tanQ(x) thì cần phải chú ý đến điều kiện cosP(x)  0 và

cosQ(x)  0

1.3 Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx

a) Dạng phương trình

a x b xc

Điều kiện có nghiệm: 2 2 2

a b c

b) Cách giải

Cách 1: Chia hai vế của (1) cho 2 2

a b , ta được:

 

eLib.vn: Thư viện trực tuyến miễn phí 2

Vì

sin

cos

a

a b b

a b





 





 



Phương trình trở thành:

Đặt

a b

 ta được phương trình lượng giác cơ bản

Hoàn toàn tương tự ta cũng có thể đặt 2 2

cos

sin

a

a b b

a b





 





 



Cách 2:

2

x

x  k 

2

x

x  k  k

Đặt tan

2

x

t Khi đó sin 2 2

1

t x t



2

2

1 cos

1

t x t







Phương trình trở thành:

2

2



       

Giải (2) theo t, tìm được t thay vào tan

2

x

t suy ra x Cách 3:

Nếu a0 chia 2 vế cho a rồi ta đặt tan b

a

 

2 2

  

Phương trình trở thành: sin sin cos

os

c





Đặt sin ccos

a

   ta được phương trình lượng giác cơ bản sin(x)sin

eLib.vn: Thư viện trực tuyến miễn phí 3

2 Bài tập minh họa

2.1 Dạng 1: Giải phương trình bậc nhất

Giải các phương trình sau:

a) 2sinx 1 0

b) os2 1 0

2

c x 

c) 3 tanx 1 0

d) 3 cotx 1 0

e) 2 cosxsin 2x0

Hướng dẫn giải:

5

2 6



  



  



2

3

x   x   x   x  k k

e) cosxsin 2x 0 cosx2sin cosx x 0 cosx1 2sin x0

2 cos 0

, 1

2

5 6

x x

  



 







  



2.2 Dạng 2: Giải phương trình bậc hai

Giải các phương trình sau:

a) 2

2sin xsinx 3 0

b) 2

cos x cosx 

3sin 2 x7 cos 2x 3 0

1

os

eLib.vn: Thư viện trực tuyến miễn phí 4

Hướng dẫn giải:

a) 2

2sin xsinx 3 0(1)

Đặt tsinx, điều kiện t 1 Phương trình (1) trở thành:

2

1

2

t nhan

t t

t loai

 



   

 



Với t=1, ta được sinx  1 x k2k 

cos x cosx 

Đặt tc xos , điều kiện t 1 Phương trình (2) trở thành:

2

2

2







   







2

t 

3sin 2x7 cos 2x  3 0 3 1 cos 2 x 7 cos 2x 3 0

2 3cos 2 7 cos 2 0 cos 2 3cos 2 7 0

cos 2 0

3cos 2 7 0

x x





   



x  x k  x  k k

*) Giải phương trình: 3cos 2 7 0 cos 2 7

3

Vì 7 1

3  nên phương trình 3cos 2x 7 0 vô nghiệm

Kết luận: vậy nghiệm của phương trình đã cho là , 

x  k k

1

os

Điều kiện: cosx0 (*)

Đặt ttanx

eLib.vn: Thư viện trực tuyến miễn phí 5

Khi đó phương trình trở thành: 2  

0

3

t t





 





+ Với t 1 tanx1 ,

4

x  k k

+ Với t 3 tanx 3 ,

3

x  k k

So sánh với điều kiện (*) suy ra nghiệm của phương trình là:

4

x k

,

3

x k k 

2.3 Dạng 3: Giải phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx

Giải các phương trình sau:

a) 2 sin 3x 6 cos 3x2

b) 2 3 sin xcosx 2 3

c) 2 2 sin xcosxcosx 3 cos 2x

Hướng dẫn giải:

a) 2 sin 3x 6 cos 3x2(1)

(1)sin 3x 3 cos 3x 2 sin 3 tan cos 3 2

3

2

2

,

k

k k

           

         

Vậy nghiệm của (1) là 2

k

x    

k

x    k  b) 2 3 sin xcosx 2 3 (2)

2

x

x  k 

Xét cos 0

2

x 

Đặt tan

2

x

t Khi đó sin 2 2

1

t x t



2

2

1 cos

1

t x t







eLib.vn: Thư viện trực tuyến miễn phí 6

Phương trình (2) trở thành:   2



 

2

1

3

t

t

      





        





+ Với 1 tan 1

2

x

x

2

x

x

Vậy nghiệm của (2) là 2

2

x k 

3

x  k  k  c) 2 2 sin xcosxcosx 3 cos 2x (3)

2 2 sin cosx x 2 2 cos x 3 cos 2x

2 sin 2x 2 1 cos 2x 3 cos 2x

2 sin 2x 2 1 cos 2x 3 2

Điều kiện có nghiệm của phương trình: 2 2 2

a b c

Khi đó:   2 2

2 2 1  3 2  5 2 2  11 6 2 (không thỏa) Vậy phương trình đã cho vô nghiệm

3 Luyện tập

3.1 Bài tập tự luận

Câu 1 Giải các phương trình sau:

a) 3 cosx 2 0

b) sin 2 3 0

2

x 

c) 3 cotx 1 0

d) tanx 30

e) 2 sinxsin 2x0

Câu 2: Giải các phương trình sau:

a) 2

3sin xsinx 4 0

2cos x5cosx 2 0

c) 2

sin 2x7 cos 2x 6 0

eLib.vn: Thư viện trực tuyến miễn phí 7

1

s ni x  otx  3 0

Câu 3: Giải các phương trình sau:

a) 3sin 3x4 cos 3x5

b) 2 3 sin xcosx 2 3

3.2 Bài tập trắc nghiệm

Câu 1 Giải phương trình 2 cosx 3 0

6

x   k  k

6

x   k k

3

x   k  k

3

x   k k

Câu 2 Giải phương tình 3 tan 3x 3 0

k

k

k

x   k

k

x   k

Câu 3 Khẳng định nào sau đây là đúng về nghiệm của phương trình 2

2cos x3cosx 1 0

A Phương trình có một họ nghiệm

B Phương trình có hai họ nghiệm

C Phương trình có ba họ nghiệm

D Phương trình vô nghiệm

Câu 4 Giải phương trình 2

3 tan x (1 3) tanx 1 0

A

4

x k

6

x  k k

4

x k 

6

x k  k

C

3

x k

6

x  k k

4

x k 

3

x k  k

Câu 5 Giải phương trình 3cosx4 sinx 5

A x    k2 , k với cos 3

5

 

B x    k2 , k với sin 3

5

 

eLib.vn: Thư viện trực tuyến miễn phí 8

C x    k2 , k với cos 3

5

 

D x    k2 , k với sin 3

5

 

5sin 2x6cos x13

A xk,k B xk2 , k C x  k2 , k D Vô nghiệm

2sin x3 3 sin cosx xcos x4

4

x  k k

B xk,k C ,

3

x  k k D Vô nghiệm

Câu 8 Tìm tất cả các họ nghiệm của phương trình cos cos 5x xcos 2 x cos x4

A xk,k B ,

2

k

x  k

3

k

x  k

D A, B, C đều sai

Câu 9 Giải phương trình sinxsin 2xcosxcos 2 x

k

x  

và x  k,k

k

x  

và x  k2 , k

6

x k 

6

x  k  k

D Vô nghiệm

Câu 10 Giải phương tình tanxtan 2xsin 3 cos x x

A xk,k B ,

2

k

x  k

3

k

x  k

4

k

x  k

4 Kết luận

Bài học này giới thiệu đến các em những nội dung cơ bản nhất về một số phương trình

lượng giác thường gặp Đây là một dạng toán nền tảng không chỉ trong phạm vi khảo sát

hàm số lượng giác mà còn được ứng dụng trong việc giải phương trình lượng giác, sự đơn điệu của hàm số lượng giác,