Bước đầu đã thực nghiệm và có kết quả nhất định, nhất là việc bồi dưỡng học sinh khá giỏi, phần nào đã giúp cho học sinh định hình được một Angorit giải toán ở thể loại BĐT, phát huy tíc[r]
Trang 1********* Kinh nghiệm dạy học môn đại số 7 *********
Kinh nghiệm dạy học Rèn kỹ năng giải các dạng của bài toán: “ Bất đẳng thức”
cho học sinh lớp 7 thcs
Phần I: Đặt vấn đề
1 Cơ sở lý luận
- Mục tiêu của bộ môn toán học trong chương trình THCS là trang bị cho học sinh những tri thức, kĩ năng, phương pháp toán học phổ thông, cơ bản và thiết thực Từ đó hình thành ở học sinh kĩ năng, tư duy vận dụng các công thức toán học, đồng thời góp phần vào việc phát triển năng lực và bồi dưỡng phẩm chất trí tuệ cho HS
- Đặc biệt trước yêu cầu đổi mới phương pháp của Bộ giáo dục và đào tạo “Thầy thiết
kế - trò thi công” trong đó lấy học sinh làm trung tâm nghĩa là HS phải có tinh thần tự giác, hăng say, cố gắng, nghị lực cao trong quá trình tiếp cận kiến thức Phải thực sự suy nghĩ và làm việc một cách tích cực, độc lập đồng thời có mối quan hệ hợp tác giữa các cá nhân trên con đường tìm tòi phát hiện kiến thức Còn giáo viên khuyến khích HS tự học, áp dụng những phương pháp giáo dục hiện đại để bồi dưỡng cho học sinh năng lực tư duy, sáng tạo năng lực giải quyết vấn đề”
- Với các nhiệm vụ dạy học và yêu cầu giáo dục thế hệ trẻ hiện nay: trong mỗi nhà trường phổ thông việc rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh là một vấn đề mà các thầy giáo, cô giáo, cùng các bậc phụ huynh đặc biệt quan tâm Hơn nữa bản thân các em học sinh cũng mong muốn trang bị cho mình một kỹ năng giải toán tốt nhất để tự mình có thể chiếm lĩnh được tri thức toán học trong kho tàng toán học của nhân loại
- Bộ môn toán ở bậc Trung học cơ sở (THCS) có các bài toán về Bất đẳng thức theo trục đồng tâm từ lớp 6 – 7 đến 8 – 9 Bất đẳng thức (BĐT) là một trong những mảng kiến thức khó của môn Toán THCS nhưng cũng không kém phần hấp dẫn bởi tính độc đáo của các phương pháp giải chúng Thông qua các bài tập về BĐT học sinh có thể hiểu kỹ và sâu sắc hơn khi nào một biểu thức có giá trị dương hoặc giá trị âm, khi nào biểu thức này lớn hơn biểu thức kia và ngược lại, tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức Từ
đó là nền tảng cho việc giải và biện luận phương trình, bất phương trình, mối liên hệ giữa các yếu tố trong tam giác, tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức sau khi học sinh học lên các lớp trên Và chính trong quá trình giải bài tập đó, năng lực suy nghĩ, tính độc lập, sáng tạo của học sinh được phát triển đa dạng mạnh mẽ vì ở các bài tập này các cách giải không hoàn toàn có một mẫu quy tắc nào như ở các mảng kiến thức khác; do
đó đòi hỏi học sinh phải có một lối suy nghĩ lôgíc, liền mạch kết hợp giữa các kiến thức cũ
và mới một cách linh hoạt sáng tạo
2- Cơ sở thực tiễn
Từ thực tế giảng dạy của bản thân cùng với sự trao đổi giữa đồng nghiệp Đặc biệt qua thực tế các bài kiểm tra, bài thi của học sinh gần đây tôi thấy đa số các em học sinh chưa có kỹ năng thực sự trong việc giải các dạng toán của bài toán BĐT Không những thế các em còn hay nhầm lẫn giữa các phương pháp giải dạng toán này Chính vì vậy muốn rèn
kĩ năng giải toán cho học sinh thì mỗi thầy giáo, cô giáo phải không ngừng tích luỹ cho
Trang 2********* Kinh nghiệm dạy học môn đại số 7 *********
mình những phương pháp giảng dạy hiệu quả nhất Đặc biệt là việc phân loại dạng toán và
đối với mỗi loại toán, mỗi dạng toán đó ta phải đa ra một phương pháp giải cụ thể để học sinh bắt chước giải toán trước khi có kĩ năng giải toán thực sự
Vì vậy tôi chọn đề tài:
Rèn kỹ năng giải các dạng của bài toán: “ Bất đẳng thức”
cho học sinh lớp 7 thcs
3- Phạm vi đề tài
Trong khuôn khổ bài viết tôi xin trình bày một số dạng toán đơn giản của bài toán bất đẳng thức có tính khả thi cho học sinh lớp 7, với lượng kiến thức vừa phải để các em học sinh đủ điều kiện tiếp cận và làm nền tảng cho các dạng toán, bài toán phát triển cao hơn sau này khi các em học lên lớp trên
Phần 2: giải quyết vấn đề A.Mục tiêu
Nhằm giúp các em học sinh :
+ Có phương pháp giải các dạng của bài toán BĐT một cách có hệ thống
+ Vận dụng được một số BĐT cơ bản trong việc giải các dạng của bài toán bất đẳng thức + Từ đó rèn luyện và nâng cao khả năng tư duy sáng tạo của học sinh, kỹ năng giải bài tập toán đặc biệt trong các dạng của bài toán BĐT
+ Giúp các em có lòng say mê học môn toán hơn
B Nội dung
Phần A: Những kiến thức cơ bản về Bất đẳng thức
1/ Định nghĩa:
a/ Định nghĩa 1:
Khi hai biểu thức A và B được nối với nhau bởi dấu “>” hoặc dấu “<” hoặc dấu “³ "
hoặc dấu “Ê” thì ta nói ta có một Bất đẳng thức:
A > B hoặc A < B hoặc A ³ B hoặc A Ê B
b/ Định nghĩa 2:
Ta nói rằng biểu thức A lớn hơn biểu thức B khi và chỉ khi hiệu của A và B là một số dương
A > B Û A – B > 0 Tương tự : A ³B Û A – B ³0
A < B Û A – B < 0
A Ê B Û A – B Ê 0
ở đó : A, B là các vế của BĐT
A là vế trái (vế trước)
Trang 3********* Kinh nghiệm dạy học môn đại số 7 *********
B là vế phải (vế sau)
2/ Tính chất cơ bản :
ã Quan hệ “>” và “<” có tính chất bắc cầu:
+ a > b và b > c thì a > c
` + a < b và b < c thì a < c
ã Quan hệ “³ ” và “Ê” có tính chất:
+ Tính phản xạ:
Với mọi số thực a ta có: a ³ a hoặc a Ê a
+ Tính phản xứng:
Nếu a ³ b và b ³ a thì a = b
Nếu a Ê b và bÊ a thì a = b
+ Tính bắc cầu:
Nếu a ³ b và b ³ c thì a ³ c
Nếu a Ê b và b Ê c thì a Ê c
ã Tính chất:
1 a > b Û b < a
2 a > b Û a ± m > b ± m
3 a + c > b Û a > b – c
4 a > b , c > d ị a + c > b + d
a > b , c < d ịa – c > b - d
5 Tổng quát :
ù
ù ỵ
ù
ù ý ỹ
>
>
>
n
n
2 2
1 1
b a
b a
b a
ị a1 + a2 + + an > b1 + b2 + + bn
6 a > b Û ac > bc với mọi c > 0
a > b Û ac < bc với mọi c < 0
7
ỵ ý
ỹ
³
>
³
>
0 d c
0 b
a
ị ac > bd
8 a > b ≥ 0 ị an > bn với mọi n ẻ N*
9 a > b ≥ 0 ị a > b
Trang 4********* Kinh nghiệm dạy học môn đại số 7 *********
10 a > b và ab > 0 ị
a
1 <
b
1
3/ Các bất đẳng thức thường gặp:
3.1 Ta có: a2 ³ 0; - a2 ≤ 0 Với mọi a ẻ R Dấu = xảy ra khi a = 0
3.2 a ³ 0 " a ẻ R Dấu = xảy ra khi a = 0
- a Ê a Ê a Dấu = xảy ra khi a = 0
a + b Ê a + b Dấu = xảy ra khi ab ≥ o
a-b ³ a -b Dấu = xảy ra khi a = 0, a ³ b
Phần B: Một số loại toán thường gặp về Bất đẳng thức
I Khi nào một biểu thức có giá trị dương hoặc giá trị âm?
Dạng 1: Biểu thức có dạng tổng, hiệu:
Ví dụ 1: Tìm các giá trị của x, xao cho:
a) Biểu thức A = 2x – 2 có giá trị dương
b) Biểu thức B = 9 – 3x có giá trị âm
HD giải:
a) A > 0 Û 2x – 2 > 0 Û2x > 2 Û x > 1 Vậy với x > 1 thì A > 0
b) B < 0 Û 9 – 3x < 0 Û - 3x < -9 Ûx > 3 Vậy với x > 3 thì B < 0
Ví dụ 2: Tìm các giá trị của x, xao cho:
a) Biểu thức C = 2x + 1 có giá trị dương
b) Biểu thức D = 9 + 3x có giá trị âm
HD giải:
a) C > 0 Û2x + 1 > 0 Û 2x > -1 Ûx > 1
2
- Vậy với x > 1
2
- thì C > 0
b) D < 0 Û 9 + 3x < 0 Û 3x < - 9 Û x < - 3 Vậy với x < - 3 thì D < 0
Chú ý: Khi tìm x thoả mãn các yêu cầu của bài toán, ta cần áp dụng linh hoạt các tính chất
của bất đẳng thức Tuy nhiên cần chú ý tính chất khi nhân hoặc chia cả hai vế của BĐT với cùng một số âm thì BĐT đổi chiều
Dạng 2: Biểu thức có dạng tích:
Ví dụ 3: Tìm các giá trị của x để biểu thức: A = ( x – 2 ).( x + 1 ) có giá trị âm?
HD giải:
Cách 1: A < 0 khi các thừa số x – 2 và x + 1 trái dấu nhau Cụ thể x – 2 < 0 và x + 1 > 0
hoặc x – 2 > 0 và x + 1 < 0
A < 0 Û 2 0
1 0
x x
- <
ỡ
ớ + >
ợ hoặc 2 0
1 0
x x
- >
ỡ
ớ + <
ợ
1
x x
<
ỡ
ớ >
-ợ hoặc 2
1
x x
>
ỡ
ớ <
Û- 1 < x < 2 Vậy với – 1 < x < 2 thì A < 0
Chú ý: ta có thể kết hợp các giá trị của x trên trục số Với x < 2, ta lấy các giá trị x < 2 và
loại đi các giá trị x > 2 ( phần gạch chéo trên trục số) Và x > - 1, ta lấy các giá trị x > - 1
Trang 5********* Kinh nghiệm dạy học môn đại số 7 *********
và loại đi các giá x < - 1 (phần gạch chéo trên trục số ) Phần còn lại trên trục số (phần không bị gạch chéo) là giá trị của x thoả mãn
Với 2 1 x x > ỡ ớ < -ợ ta kết hợp các giá trị của x trên trục số như sau:
Ta thấy trên trục số đều bị gạch chéo, do đó không có giá trị nào của x thoả mãn Cách 2:Ta thấy x – 2 < x + 1 nên A < 0 xảy ra khi số nhỏ âm ( x – 2 < 0 ) và số lớn dương ( x + 1 > 0 ) A < 0 Û 2 0 1 0 x x - < ỡ ớ + > ợ Û 2 1 x x < ỡ ớ > -ợ Û- 1 < x < 2 Vậy với – 1 < x < 2 thì A < 0 Ví dụ 4: Khi nào thì biểu thức B = x2 + 3x có giá tri dương? HD giải: Ta biến đổi B thành một tích bằng cách áp dụng tính chất phân phối: B = x(x +3) Cách 1: B > 0 khi các thừa số x và x + 3 cùng dấu Ta thấy x < x + 3 nên B > 0 xảy ra khi: số nhỏ dương ( khi đó số lớn cũng dương), hoặc số lớn âm ( khi đó số nhỏ cũng âm) B > 0 Û x > 0 hoặc x + 3 < 0 Û x > 0 hoặc x < - 3 Vậy B > 0 khi x > 0 hoặc x < - 3 Cách 2: Chú ý rằng x = 0 và x = - 3 làm cho các thừa số x và x + 3 bằng 0 Do đó ta xét ba khoảng giá trị của x như sau: *) Với x < - 3 thì cả hai thừa số x và x + 3 đều âm, do đó B > 0 *) Với – 3 < x < 0 thì hai thừa số x và x + 3 trái dấu, do đó B < 0 *) Với x > 0 thì cả hai thừa số x và x + 3 đều dương, do đó B > 0 Vậy B > 0 khi x > 0 hoặc x < - 3 Lưu ý: Ta có thể viết các kết quả trên trong bảng xét dấu sau: x - 3 0
x - - 0 +
x + 3 - 0 + +
x(x + 3) + 0 - 0 + Dựa vào bảng xét dấu ta thấy rõ được khi x > 0 hoặc x < - 3 thì B > 0
Ví dụ 5: Tìm các giá trị của x để biểu thức: A = (4 x – 2 ).(2 x2 + 1 ) có giá trị âm?
HD giải: Ta thấy x2 ³ 0với mọi x ẻ R
ị 2x2 ³ 0 với mọi x ẻ R
ị 2x2 + > 1 0 với mọi x ẻ R
Do đó để A có giá trị âm khi 4x – 2 < 0 4 2 1
2
ị < ị <
-1 0 1 2 3 4 -2
-1 0 1 2 3 4 -2
Trang 6********* Kinh nghiệm dạy học môn đại số 7 *********
Vậy với x 1
2
< thì A < 0
Dạng 3: Biểu thức có dạng thương:
Ví dụ 6: Tìm các giá trị của x để biểu thức A = 3
1
x x
-+ có giá trị âm?
HD giải: A < 0 khi các thừa số x – 3 và x + 1 trái dấu nhau.Ta thấy x – 3 < x + 1 nên A
< 0 xảy ra khi số nhỏ âm ( x – 3 < 0 ) và số lớn dương ( x + 1 > 0 )
A < 0 Û 3 0
1 0
x x
- <
ỡ
ớ + >
3 1
x x
<
ỡ
ớ >
-ợ Û- 1 < x < 3
Vậy với – 1 < x < 3 thì A < 0
Ví dụ 7: Tìm các giá trị của x để biểu thức B = 3
1
x x
-+ có giá trị dương?
HD giải: B > 0 khi các thừa số x - 3 và x + 1 cùng dấu Ta thấy x - 3 < x + 1 nên B > 0 xảy
ra khi: số nhỏ dương ( khi đó số lớn cũng dương), hoặc số lớn âm ( khi đó số nhỏ cũng
âm)
B > 0 Û x - 3 > 0 hoặc x + 1 < 0
Û x > 3 hoặc x < - 1
Vậy B > 0 khi x > 3 hoặc x < - 1
Ví dụ 8: Tìm các giá trị của x để các biểu thức sau:
a) 2 3
x C
x
-=
+ có giá trị âm?
b) 2 1
x D
x
+
=
- có giá trị dương?
c) 2 1
x E
x
-=
- có giá trị dương?
HD giải:
a) Ta thấy x2 ³ 0với mọi x ẻ R
ị 2x2 ³ 0 với mọi x ẻ R
ị 2x2 + > 1 0 với mọi x ẻ R
Do đó để C < 0 khi x – 3 < 0 ị <x 3 Vậy với x < 3 thì C < 0
b) Ta thấy x2 ³ 0với mọi x ẻ R
ịx2 + > 1 0 với mọi x ẻ R
Do đó để D > 0 khi 2x – 3 > 0 2 3 3
2
ị > ị > Vậy 3
2
x> thì D > 0
c) Ta có 2 1 ( 1)( 1)
x E
Do đó để E > 0 khi ( 1)( 1) 0
x
- + >
ỡù ớ
- >
1 0
1 0
x x x
- >
ỡ ù
ịớ + >
ù - >
ợ
hoặc
1 0
1 0
x x x
- <
ỡ
ù + <
ớ
ù - >
ợ
Trang 7********* Kinh nghiệm dạy học môn đại số 7 *********
+)
2
x
ỡ ù
ù
ù + > ị ù > - ị > - ị >
ợ
+)
1 0
1 0
x
x
x
- <
ỡ
ù + <
ớ
ù - >
ợ
2
x
x
ỡ ù
ỡ
ù ù
ị ớ < - ị ớ < - ị
ợ
Không có giá trị nào của x
Vậy với x > 1 thì E > 0
Ii Khi nào A > b hoặc a < b?
Ta thấy việc xét A > B hoặc A < B chính là tìm giá trị của biến để biểu thức A – B có giá trị dương hoặc âm
Ví dụ 9: Cho biểu thức A = 5
9
x x
+ + Tìm các giá trị của x để A > 1
HD giải:
Ta thấy để A > 1 suy ra 4
9
x+ < 0 mà 4 > 0 nên x + 9 < 0 Ûx < - 9
Vậy x < - 9 thì A > 1
Cách 2: Ta thấy A > 1 Û A – 1 > 0
Û 5
9
x x
+ + - 1 > 0 Û 5 ( 9)
9
x
+ - + + > 0 Û 5 9
9
x
+ -+ > 0
Û 4
9
x
-+ > 0 Vì - 4 < 0 nên x + 9 < 0 Ûx < - 9
Vậy x < - 9 thì A > 1
Ví dụ 10: Với giá trị nào của x thì 3 1 1 5
4x- > 2x+ ?
HD giải: Xét hiệu hai vế: (3 1) (1 5) 0
4x- - 2x+ >
Û 3 1 1 5 0
4x- - 2x- > Û 3 1 (1 5) 0
4x 2x
ổ - ử- + >
1
6 0
4x- >
4x> Û x > 24 Vậy với x > 24 thì có bất đẳng thức đã cho
Ví dụ 11: So sánh a2 và a số nào lớn hơn?
HD giải:
Xét hiệu a2 – a = a.(a – 1) Chú ý rằng a = 0 và a = 1 làm cho các thừa số a và a – 1 bằng 0
Do đó ta xét các trường hợp sau:
Trang 8********* Kinh nghiệm dạy học môn đại số 7 *********
+) a < 0 thì a và a – 1 đều âm, khi đó a2 – a > 0 nên a2 > a
+) 0 < a < 1 thì a > 0 và a – 1 < 0, khi đó a2 – a < 0 nên a2 < a
+) Nếu a > 1 thì a và a – 1 đều dương, khi đó a2 – a > 0 nên a2 > a
+) Nếu a = 0 hoặc a = 1 thì a2 = a
Ví dụ 12: Chứng minh rằng trong hai số dương
a) Số nào lớn hơn thì có bình phương lớn hơn
b) Số nào có bình phương lớn hơn thì số đó lớn hơn
HD giải:
a) Cho x > y > 0 Khi đó ta phải chứng minh x2 > y2.
Nhân hai vế của x > y với số dương x ta được: x2 > xy (1)
Nhân hai vế của x > y với số dương y ta được: xy > y2 (2)
Từ (1) và (2) suy ra ta có: x2 > y2
b) Cho x > 0, y > 0 và x2 > y2 Khi đó ta cần chứng minh: x > y
+ Giả sử x < y khi đó theo câu a ta có: x2 < y2 , điều này trái với giả thiết x2 > y2
+ Giả sử x = y khi đó x2 = y2, điều này trái với giả thiết x2 > y2
Do đó x > y
Lưu ý: Việc chứng minh ý b ở trên ta đã dùng phương pháp chứng minh phản chứng
*) Phản chứng là phương pháp chứng minh gián tiếp: để chứng minh kết luận bài toán là
đúng, ta chứng minh điều trái lại với nó là sai
*) Do đó ta có thể chứng minh bằng phản chứng theo ba bước:
+ Bước 1: Giả sử có điều trái với kết luận của bài toán
+ Bước 2: Từ giả sử trên và từ giả thiết của bài toán ta suy ra điều mâu thuẫn
+ Bước 3: Kết luận : Vậy kết luận của bài toán là đúng
Ví dụ 13: Chứng minh rằng nếu 0 < a < 1 thì a >a
HD giải:
a
> >
< < ịớ ịớ
< - <
ị a.(a -1) < 0
ị a2 – a < 0
ị a2 < a
ị a < a (điều phải chứng minh)
III Tìm giá trị lớn nhất (gtln), giá trị nhỏ nhất(gtnn) của biểu thức
Muốn tìm GTNN hoặc GTLN của một biểu thức ta phải thực hiện hai yêu cầu sau:
1) Muốn tìm GTNN của biểu thức A:
+ Chứng tỏ rằng A ³ m ( m là hằng số ) với mọi giá trị của biến
+ Chỉ rõ dấu “ = ” được xảy ra khi nào
Lưu ý: Để chứng tỏ A ³ m, ta thường dùng đến các bất đẳng thức: x2 ³ 0; x ³ 0
2) Muốn tìm GTLN của biểu thức B:
+ Chứng tỏ rằng B Ê m ( m là hằng số ) với mọi giá trị của biến
+ Chỉ rõ dấu “ = ” được xảy ra khi nào
Lưu ý: Để chứng tỏ B Ê m, ta thường dùng đến các bất đẳng thức: - x2 Ê 0; - x Ê 0
A Tìm GTLN và GTNN của các biểu thức không chứa dấu giá trị tuyệt đối
Trang 9********* Kinh nghiệm dạy học môn đại số 7 *********
Ví dụ 14: Tìm GTNN của biểu thức A = 2(x +3)2 – 7
HD giải:
Ta có: (x + 3)2 ³ 0 với mọi x
ị 2(x + 3) 2 ³ 0 với mọi x
Do đó 2(x + 3) 2 - 7 ³ - 7 với mọi x
Vậy GTNN của A bằng – 7 khi và chỉ khi 2(x + 3) 2 = 0 Û x + 3 = 0 Ûx = - 3
Ví dụ 15: Tìm GTLN của biểu thức B = 5 - 3(2x - 1)2
HD giải:
Ta có: (2x - 1)2 ³ 0 với mọi x
ị 3(2x - 1) 2 ³ 0 với mọi x
Do đó 5 - 3(2x - 1) 2 Ê 5 với mọi x
Vậy GTLN của B bằng 5 khi và chỉ khi 3(2x - 1) 2 = 0 Û 2x - 1 = 0 Ûx = 1
2
Ví dụ 16: Với giá trị nguyên nào của x thì biểu thức C = 1
3
x- có GTNN? Tìm giá trị đó?
HD giải:
+ Xét x – 3 > 0 ị x > 3 thì C > 0
+ Xét x – 3 < 0 ị x < 3 thì C < 0
Vì C là số âm (C < 0) nên C nhỏ nhất khi số đối của nó là 1 1
3 3
- - phải lớn nhất +) Với x > 3 thì 1
3 x- < 0 (*) +) Với x < 3 thì 3 – x là số nguyên dương Nên 1
3 x- lớn nhất Û 3 – x nhỏ nhất
Û 3 – x = 1 Û x = 2
Khi x = 2 ị 1
3 x- = 1 (**)
Từ (*) và (**) suy ra: 1
3 x- có GTLN bằng 1 khi x = 2
Do đó: GTNN của C = - 1 khi x = 2
Ví dụ 17: Với giá trị nguyên nào của x thì biểu thức D = 10
3
x x
có GTLN? Tìm giá trị đó?
HD giải:
Biến đổi D = 3 7 3 7 1 7
-Biểu thức D có GTLN khi và chỉ khi 7
3 x- có GTLN
+) Xét x > 3 thì 7
3 x- < 0 (1) +) Xét x < 3 thì 7
3 x- > 0
Ta thấy 7
3 x- có GTLN Û 3 – x có GTNN
Mà 3 – x là số nguyên dương, 3 – x có GTNN khi 3 – x = 1 Ûx = 2
Trang 10********* Kinh nghiệm dạy học môn đại số 7 *********
Khi x = 2 ị 7 7
3 x =
Từ (1) và (2)suy ra: 7
3 x- có GTLN bằng 7 khi x = 2
Do đó: GTLN của D = 8 khi và chỉ khi x = 2
B Tìm GTLN và GTNN của các biểu thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối
B.1 Một số kiến thức cần nhớ về giá trị tuyệt đối (GTTĐ)
+) Định nghĩa: a nếu a ³ 0
a =
- a nếu a < 0 +) Tính chất: *) Nếu a = 0 thì a = 0, nếu a ạ 0 thì a > 0
Ta có: GTTĐ của một số thì không âm: a ³ 0
*) Nếu a ³ 0 thì a = a, nếu a < 0 thì a > a
Ta có: GTTĐ của một số thì lớn hơn hoặc bằng số đó: a ³ a
*) a b+ Ê a +b (dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi ab ³ 0)
a b- ³ a -b (dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi ab ³ 0)
B.2: Ví dụ:
Ví dụ 18: Tìm GTNN của A = 2 3x- - 1 7.
HD giải:
Ta có: 3x- ³ 1 0 với mọi x
ị 2 3x- ³ 1 0với mọi x
Do đó 2 3x- - ³ - 1 7 7 với mọi x
A = - 7 khi và chỉ khi 3x – 1 = 0 Û x = 1
3
Vậy GTNN của A bằng – 7 khi và chỉ khi x = 1
3
Ví dụ 19: Tìm GTLN của B = 9 3 4 - x- 2
HD giải:
Ta có: 4x- ³ 2 0 với mọi x
ị 3 4x- ³ 2 0với mọi x
Do đó 9 3 4 - x- Ê 2 9 với mọi x
B = 9 khi và chỉ khi 4x – 2 = 0 Û x = 1
2
Vậy GTLN của B bằng 9 khi và chỉ khi x = 1
2
Ví dụ 20: Tìm GTNN của C = 10
5
x - với x là số nguyên
HD giải:
+) Xét x > 5 thì C > 0