KẾT LUẬN Các bài tập về bất đẳng thức thường là tương đối khó đối với học sinh, nhưng khi hướng dẫn học sinh xong đề tài “một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng của bất [r]
Trang 1PHẦN I – MỞ ĐẦU
Toán học là một môn khoa học tự nhiên, toán học có một vai trò rất quan trọng trong lĩnh vực khoa học, toán học nghiên cứu rất nhiều, rất đa dạng và phong phú, trong đó các bài toán về bất đẳng thức là những bài toán khó Để giải được các bài toán về bất đẳng thức bên cạnh việc nắm vững khái niệm và các tính chất cơ bản của các bất đẳng thức còn phải nắm được cắc phương pháp chứng minh bất đẳng thức
Có nhiều phương pháp để chứng minh bất đẳng thức và ta phải căn cứ vào đặc thù của mỗi bài toán mà sử dụng phương pháp cho phù hợp Mỗi bài toán chứng minh bất đẳng thức có thể áp dụng nhiều phương pháp khác nhau, cũng có bài phải phối hợp các phương pháp một cách hợp lý
Bài toán chứng minh bất đẳng thức đựợc vận dụng nhiều vào các dạng toán giải và biện luận phương trình, hệ phương trình, bất phương trình, hệ phương trình đặc biệt, tìm giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất của biểu thức… và được sử dụng nhiều trong khi ôn tập,
ôn thi ngoại khóa… Vì vậy học sinh cần thiết phải nắm được những kiến thức cơ bản về bất đẳng thức
Trong thực tế giảng dạy ở trường THCS Hồng Lý, học sinh gặp nhiều khó khăn khi giải các bài toán về bất đẳng thức, vì các bài toán chứng minh bất đẳng thức thường không
có cách giải mẫu, không theo một phương pháp nhất định nào nên học sinh không xác định được hướng giải bài toán Mặt khác vì nhận thức của học sinh THCS Hồng Lý còn có nhiều hạn chế và khả năng tư duy chưa tốt do đó học sinh còn nhiều lúng túng và không biết vận dụng kiến thức vào giải các dạng bài tập khác
Trong nội dung của đề tài này tôi xin được tập trung giới thiệu một số phương pháp hay được sử dụng khi chứng minh bất đẳng thức như: dùng định nghĩa, biến đổi tương đương, dùng các bất đẳng thức đã biết, phương pháp phản chứng… và một số bài tập vận dụng nhằm giúp học sinh bớt khó khăn lúng túng khi gặp các bài toán về chứng minh hay vận dụng bất đẳng thức, giúp học sinh khá giỏi lớp 8A và 8B do tôi đảm tráchcó thể định hướng phương pháp chứng minh và hướng thú hơn khi học về bất đẳng thức nói riêng và
bộ môn Toán nói chung
Trong chuyên đề nhỏ này người viết không có tham vọng sẽ trình bày được tất cả các phương pháp chứng minh bất đẳng thức (vì vấn đề này là vô cùng rộng, đa dạng) mà chỉ nêu ra một vài phương pháp điển hình
B NỘI DUNG
I CÁC BẤT ĐẲNG THỨC CƠ SỞ
1 Bất đẳng thức Cauchy(bất đẳng thức Côsi hay bất đẳng thức AM-GM: Arithmatic Mean – Geometric Mean) (**)
Với mọi số thực dương a1, a2, a3,…, an ta có bất đẳng thức:
n
n
n
a a
a
2 1 2
Đẳng thức xảy ra khi a1 = a2 = ….= an
Chứng minh
Rõ ràng bất đẳng thức đứng với n= 2, nếu bất đẳng thức đúng với n số thì cũng đúng với 2n số vì:
n
n
n
n n
n
n
n
a a
2 1 2
2 1 2
1 2
Trang 2Do đó bất đẳng thức cúng đúng khi n bàng một lũy thừa của 2 Mặt khác bất đẳng thức đúng với n số thì cũng đúng với n – 1 số
Thật vậy chỉ cần chọn ; 1 2 1
1 = + + + -= n n s a a a n s a 1 2 n 1 n 1 n 1 2 n 1 s a a a s s n s (n 1) a a a n 1 n 1 - -Þ + ³ Þ ³ -Từ hai nhận xét trên ta có điều phải chứng minh Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tất cả các biến a1, a2, …., an bằng nhau 2 Bất đẳng thức Cauchy – Bunhiacopsky )
)(
( )
( 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 2 2 1 1b a b a n b n a a a n b b b n a + + + £ + + + + + + Dấu đẳng thức xảy ra khi b1=ta1,b2 =ta2, ,b n =ta n(tÎR) Chứng minh Giả sử đã cho (a j,b jÎR;j= 1 ,n) Ta có: 0 ) (
0 ) ( 0 ) ( 2 2 2 2 2 1 1 ³ -³ -³ -n n t b a b t a b t a với "tÎR Suy ra: 0 2
0 2 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 1 ³ + -³ + -³ + -n n n n t a b t b a b t b a t a b t b a t a Cộng vế với vế ta được: 0 )
( )
( 2 )
( 2 2 2 1 1 2 2 12 22 2 2 2 1 +a + +a n t - a b +a b + +a n b n t+ b +b + +b n ³ a Tam thức bậc hai đối với t luôn luôn lớn hơn hay bằng 0 và hệ số của t2 là: 0 2
2 2 2 1 +a + +a n > a cho nên: 0 )
)(
( )
( ' 2 12 22 2 12 22 2 2 2 1 1 + + + - + + + + + + £ = D a b a b a n b n a a a n b b b n Do đó: ( ) 2 ( 12 22 22)( 12 22 2)
2 2 1 1b a b a n b n a a a b b b n a + + + £ + + + + + + Dấu bằng xảy ra khi b j =ta j(tÎR) 3 Bất đẳng thức giá trị tuyệt đối n n a a a a a a1+ 2+ + £ 1 + 2 + + (aj ÎR) Dấu “=” xảy ra khi a1, a2, …, an cùng dấu Chứng minh Nếu aj > 0 với j= 1 ,n hoặc aj< 0 với j= 1 ,n thì hiển nhiên: n n a a a a a a1+ 2+ + £ 1 + 2 + +
Nếu các aj có dấu trái nhau thì để tính a1+a2+ +a n ta tính riêng tổng các số có cùng dấu rồi lấy tổng số lớn trừ tổng số bé Rõ ràng trong trường hợp này thì: n n a a a a a a1+ 2+ + < 1 + 2 + +
Trang 3Dấu “=” xảy ra khi a1, a2, …, =an cùng dấu
II CÁC BẤT ĐẲNG THỨC ĐƯỢC VẬN DỤNG Ở BẬC PHỔ THÔNG
1 Định nghĩa bất đẳng thức
a nhỏ hơn b, kí hiệu a< b
a lớn hơn b, kí hiệu a> b
a nhỏ hơn hoặc bằng b, kí hiệu a £ b
a lớn hơn hoặc bằng b, kí hiệu a ³ b
2 Một số tính chất cơ bản của bất đẳng thức
a, Tính chất 1: a> b Ûb< a
b, Tính chất 2: a> b và b> c Þa> c
c, Tính chất 3: a> b Û a+ c> b+ c
Hệ quả: a> b Û a – c> b – c
a+ c> b Ûa> b – c
d, Tính chất 4: a> b và c> d Þ a+ c> b+ d
a> b và c< d Þ a – c> b – d
e, Tính chất 5: a> b và c> 0 Þ ac> bc
a> b và c< 0 Þ ac< bc
f, Tính chất 6: a> b> 0 ; c> d> 0 Þ ac> bd
g, Tính chất 7: a> b> c Þ an > bn
a> b Þ an > bn với n lẻ
h, Tính chất 8: a> b ; ab> 0 Þ a – b> 0
3 Một số đẳng thức thông dụng
a, Bất đẳng thức Cauchy
Với hai số dương a, b ta có: a+b ³ ab
2 Dấu đẳng thức xảy ra khi a= b
b, Bất đẳng thức Bunhiacopski
Với mọi số a, b, x, y ta có: (ax+by) 2 £ (a2 +b2 )(x2 +y2 )
Dấu đẳng thức xảy ra khi
y
b x
a =
c, Bất đẳng thức giá trị tuyệt đối :
b a b
a + ³ + dấu đẳng thức xảy ra khi ab> 0
III MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
1 Phương pháp 1 : dùng định nghĩa
-Kiến thức : để chứng minh A> B ta xét hiệu A – B rồi chứng minh A – B > 0 Lưu
ý A2 ³ 0 với mọi A ; dấu bằng xảy ra khi A = 0
-Ví dụ:
Bài 1.1:
Với mọi số x, y, z chứng minh rằng: x2 + y2 + z2 + 3 ³2(x+ y+ z)
Giải
Ta xét hiệu H = x2 + y2 + z2 + 3 – 2(x+ y+ z)
Trang 4= x2 + y2 + z2 + 3 – 2x – 2y – 2z
= (x2 – 2x + 1) + (y2 – 2y+ 1) + (z2 – 2z + 1)
= (x – 1)2 + (y – 1)2 + (z – 1)2
Do (x – 1)2 ³ 0 với mọi x
(y – 1)2 ³ với mọi y (z – 1)2 ³ với mọi z Suy ra H= (x – 1)2 + (y – 1)2+ (z – 1)2 ³ 0 với mọi x, y, z
hay x2 + y2 + z2 + 3 ³2(x+ y+ z) với mọi x, y, z
Dấu “=” xảy ra khi x = y = z = 1
Bài 1.2
Cho a, b, c, d, e là các số thực
Chứng minh rằng : a2+ b2+ c2+ d2+ e2 ³ a(b+ c+ d+ e)
Giải
Xét hiệu: H = a2+ b2+ c2+ d2+ e2 – a(b+ c+ d+ e)
2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 (a -b + a -c + a -d + a -e
Do a b) 0 a,b
2
( - 2 ³ "
c a
c
2
( - 2 ³ "
d a
d
2
( - 2 ³ "
e a
e
a
, 0
)
2
( - 2 ³ "
Nên H ³ 0 với mọi a, b, c, d, e
Dấu “=” xảy ra khi a= b
2 Phương pháp 2 : dùng phép biến đổi tương đương
-Kiến thức: Biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với bất đẳng thức
đúng hoặc bất đẳng thức đã được chứng minh là đúng
-Một số bất đẳng thức thường dùng:
(A+ B)2 = A2 + 2AB + B2
(A - B)2 = A2 - 2AB + B2
(A+ B + C)2 = A2 + B2 + C2 + 2AB + 2BC + 2AC
(A+ B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3
(A - B)3 = A3 - 3A2B + 3AB2 - B3
-Ví dụ:
Bài 2.1
Cho a, b là hai số dương có tổng bằng 1 Chứng minh rằng:
3
4 1
1
1
+
+
a
Giải
Dùng phép biến đổi tương đương:
3(a+ 1+ b+ 1) ³ 4(a+ 1)(b + 1)
Û9 ³ 4(ab + a+ b+ 1) ( vì a+ b = 1)
Û 9 ³ 4ab + 8 Û 1 ³ 4ab Û (a+ b)2 ³ 4ab
Bất đẳng thức cuối cùng đúng, suy ra điều phải chứng minh đúng
Trang 5Bài 2.2
Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn: a+ b+ c = 4
Chứng minh rằng: (a+ b)(b +c)(c + a) ³ a3b3c3
Giải
Từ (a+ b)2 ³ 4ab , (a+ b+ c)2 = [(a+b) +c]2 ³ 4(a+ b)c
Suy ra: 16³ 4(a+ b)c Þ 16(a+ b) ³ 4(a+ b)2c ³ 16 abc
Þ a+ b ³ abc tương tự b + c ³ abc và c + a ³ abc
suy ra: (a+ b)(b+ c)(c+ a) ³ a3b3c3
Dấu “=” xảy ra khi a= b= c=
3 4
Bài 2.3
Chứng minh bất đẳng thức:
3 3
3
2
ø
ö ç è
æ +
³
a trong đó a> 0, b> 0
Giải
Dùng phép biến đổi tương tương: với a> 0, b> 0 Þa+ b> 0
3 3
3
2
ø
ö ç
è
æ +
³
a
2 2
2 2
ø
ö ç è
æ +
×
÷ ø
ö ç è
æ +
³ +
-×
÷
ø
ö
ç
è
Û
2 2
2
2 ÷ ø
ö ç è
æ +
³ +
a
Û 4a2 - 4ab+ 4b2 ³a2 + 2ab+b2
Û 3a2 - 6ab+ 3b2 ³ 3 (a2 - 2ab+b2 ) ³ 0
Bất đẳng thức cuối cùng đúng suy ra:
3 3
3
2
ø
ö ç è
æ +
³
Dấu “=” xảy ra khi a= b
Bài 2.4
Cho 2 số a, b thỏa mãn a+ b= 1 Chứng minh rằng: a3+ b3+ab ³
2 1
Giải
Ta có: a3+ b3+ab ³
2
1 Û a3+ b3+ab –
2
1 ³0
Û(a+ b)(a2 – ab+ b2) + ab –
2
1 ³0
Û a2 + b2 –
2
1 ³0 (vì a+ b= 1)
Û 2a2 + 2b2 – 1³0
Û 2a2 + 2(1 – a)2 – 1 ³0 (vì b= a – 1)
Û 4a2 – 4a + 1 ³0 Û (2a – 1)2 ³0
Bất đẳng thức cuối cùng đúng Vậy a3+ b3+ab ³
2 1
Trang 6Dấu “=” xảy ra khi a= b=
2 1
Bài 2.5
Với a> 0, b> 0 Chứng minh bất đẳng thức:
a
b b a b
-Giải
Dùng phép biến đổi tương đương:
a
b b
a
b
-( ) -( )
0 2
0 ) (
0 ) (
0 ) (
)
2
3 3
³ -+
Û
³ +
-+
Û
³ +
-+ -+
Û
³ +
-úû
ù êë
Û
³ +
-+
Û
b a b
a
b ab a
b
a
b a ab b ab a
b
a
b a ab b
a
b a ab b
b
a
a
Bất đẳng thức cuối cùng đúng suy ra:
a
b b a b
-Dấu “=” xảy ra khi a= b
3 Phương pháp 3 : dùng bất đẳng thức quen thuộc
-Kiến thức: dùng các bất đẳng thức quen thuộc như: Cauchy, Bunhiacopsky, bất
đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối để biến đổi và chứng minh
-Một số hệ quả từ các bất đẳng thức trên: x2 + y2 ³2xy; với a, b> 0; + ³ 2
a
b b a
-Các ví dụ:
Bài 3.1
Giả sử a, b, c là các số dương Chứng minh rằng : > 2
+
+ +
+
c a
c
b c
b a
Giải
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có :
a+ (b+ c) ³ 2 a(b+c)
c b a
a c
b
a
+ +
³ +
Tương tự :
c b a
b c
a
b
+ +
³ +
2 ;
c b a
c b
a
c
+ +
³ +
2
Dấu “=” của ba đẳng thức trên không thể đồng thời xảy ra vì khi đó ta có : a= b+ c ; b= c+ a ; c= a+ b nên a+ b+ c = 0 (trái với giả thiết a, b, c đều là số dương)
+
+ +
+
c a
c
b c
b a
Bài 3.2
Cho x, y là 2 số thực thỏa mãn : x2 + y2 = x 1 -y2 + y 1 -x2
Chứng minh rằng : 3x + 4y £ 5
Trang 7Giải
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopsky ta có :
) 1 1
)(
(
) 1 1
(
)
(
2 2
2
2
2 2 2
2
2
2
x y
y
x
x y y x
y
x
-+
-+
£
-+
-=
1
;
£ y
1
2
2 + £
Ta lại có : (3x+ 4y)2 £(32 + 42)(x2+ y2) £25
Þ3x+ 4y £ 5
Đẳng thức xảy ra khi
ï
ï î
ïï í
ì
=
= Û ï
ï î
ï
ï í ì
=
>
>
= +
5 4 5 3
4 3
0 , 0
1
2 2
y
x y
x
y x
y x
điều kiện :
2
5 2
3 £ x£
Bài 3.3
Cho a, b, c ³0 ; a+ b+ c= 1 Chứng minh rằng :
a, a+b+ b+c+ c+a £ 6
b, a+ 1 + b+ 1 + c+ 1 < 3 , 5
Giải
a, áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopsky với hai bộ 3 số ta có :
( a+b 1 + b+c 1 + c+a 1)£ ( 1 + 1 + 1[( a+b) 2 + ( b+c) 2 + ( c+a) 2]
6
6 ) 2 2 2 ( 3 )
£ + + + +
+
Þ
= + +
£ + + + +
+
Þ
a c c b
b
a
c b a a
c c b b
a
Dấu “=” xảy ra khi a= b= c=
3 1
b, áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có :
1 2 2
1 ) 1
(
a
Tương tự ta có :
1
2
1
;
1
2
1
+
£
+
+
£
+
c
c
b
b
Cộng từng vế của 3 bất đẳng thức trên ta được :
5 , 3 3 2 1
1
a
Dấu đẳng thức xảy ra khi a= b= c= 0(trái với giả thiết a+ b+ c= 1)
Vậy a+ 1 + b+ 1 + c+ 1 < 3 , 5
Bài 3.4
Cho các số dương a, b, c thỏa mãn : a+ b+ c =1
Chứng minh rằng: 1+1+1³ 9
c b a
Giải
Ta có: + > 0 ;a,b> 0
a
b
b
a
Trang 81 1 1 1 1 1 1 1 1 a a b b c c
Dấu “=” xảy ra khi a= b= c=
3 1
Bài 3.5
Cho x, y> 0 Chứng minh rằng:
y x y
x+ ³ +
4 1 1
Giải
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
xy
y
x+ ³ 2
xy
y
x
2
1
1 + ³
y x
y
x
y x
y
x
+
³
+
Þ
³ +
+
Þ
4
1
1
4 ) 1 1
)(
(
Dấu “=” xảy ra khi x= y
4 Phương pháp 4 : dùng các tính chất của bất đẳng thức
-Kiến thức : Dùng các tính chất đã được học để vân dụng vào giải bài tập
-Các ví dụ :
Bài 4.1
Cho hai số x, y thỏa nãm điều kiện : x+ y = 2 Chứng minh rằng x4+y4 ³2
Giải
Theo tính chất bắc cầu ta có : (x2 – y2) ³ 0 Û x4 + y4 ³ 2x2y2
Û 2(x4 +y4 ) ³ (x2 + y2)2 (1)
Ûx2 + y2 ³ 2xyÛ 2(x2 + y2) ³ (x + y)2Û 2(x2 + y2 ) ³ 4 ( vì x+ y= 2)
Û x2 + y2 ³ 2 (2)
Từ (1) và (2) ta có : x4 + y4 ³ 2
Dấu “=” xảy ra khi x= y= 1
Bài 4.2
Cho 0< a, b, c, d< 1
Chứng minh rằng : (1 – a)(1 – b)(1 – c)(1 – d) > 1 – a – b – c – d
Giải
Ta có: (1 – a)(1 – b) = 1 – a – b +ab
do a, b > 0 nên ab> 0 Þ (1 – a)(1 – b) > 1 – a – b
do c<1 nên 1 – c> 0Þ (1 – a)(1 – b)(1 – c) > 1 – a – b)(1 – c)
Û(1 – a)(1 – b)(1 – c) > 1 – a – b – c + ac + bc
Do a, b, c, d > 0 nên 1 – d> 0; ac + bc> 0; ad + bd+ cd>0
Þ(1 – a)(1 – b)(1 – c) > 1 – a – b – c
Þ(1 – a)(1 – b)(1 – c)(1 – d) > (1 – a – b – c)(1 – d)
Þ(1 – a)(1 – b)(1 – c)(1 – d) > 1 – a – b – c – d + ad + bd + cd
Trang 9Þ(1 – a)(1 – b)(1 – c)(1 – d) > 1 – a – b – c (đpcm)
Bài 4.3
Cho 0<a, b, c< 1; chứng minh rằng: 2a3+ 2b3+ 2c3< 3+ a2b+ b2c+ c2a
Giải
Do a, b< 1 nên a3 < a2 < a <1; b3 < b2 < b < 1;
Ta có: (1 – a2)(1 – b)> 0 Þ 1 + a2b > a2 + b
Þ1+ a2b > a3 + b3 hay a3+ b3 < 1 + a2b
Tương tự: b3 + c3 < 1 + b2c; c3 + a3 < 1 + c2a
Þ2a3 + 2b3 + 2c3 < 3 + a2b + b2c + c2a (đpcm)
5 Phương pháp 5 : dùng bất đẳng thức tổng quát chứa lũy thừa các số tự nhiên Bài 5.1
Cho a> b> 0 chứng minh rằng: 19961996 19961996 19951995 19951995
b a
b a b
a
b a
+
->
+
-Giải
Để chứng minh bất đẳng thức trên ta chứng minh bất đẳng thức trung gian sau: nếu a> b>
0 và m, n là hai số tự nhiên mà m> n thì: m m m m n n n n
b a
b a b a
b a
+
->
+
Thật vậy: ta dùng phép biến đổi tương đương để chứng minh:
( ) ( )
Û > Û >
Bất đẳng thức (2) luôn đúng và a> b> 0 nên
b
a
> 1 và m> n Vậy bất đẳng thức (1) luôn đúng
6 Phương pháp 6 : dùng bất đẳng thức tam giác
Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác ta có: a< b+ c (1)
b< a+ c (2) c< a+ b (3)
Từ ba bất đẳng thức về tổng ba cạnh của tam giác ta suy ra được ba bất đẳng thức về hiệu hai cạnh :
a< b+ c (1) Þ a-b <c (4)
b< a+ c (2) Þ b-c<a (5)
c< a+ b (3) Þ c-a <b (6)
- Các ví dụ :
Bài 6.1
Trang 10Cho tam giác ABC có chu vi 2p= a+ b+ c (a,b,c là độ dài ba cạnh của tam giác) Chứng minh rằng : 1 1 1 2 (1 1 1)
c b a c p b p a
-+
-+
-Giải
Ta có : p – a =
2
a c
b+ - > 0 (vì b+ c > a nên b+ c – a> 0) Tương tự : p – b> 0 ; p – c> 0
Áp dụng kết quả bài tập (3.5) ta được:
c b p a p b
p
a
p
4 ) ( ) (
4 1
-+
-³
-+
-Tương tự:
a c p b p
4 1
-+
-b c
p
a
p
4 1
-+
-Do đó: 2 ( 1 1 1 ) 4 (1 1 1)
c b a c p b p a
-+
-+
-) 1 1 1 ( 2 1 1
1
c b a c p b
p
a
-+
-+
-Dấu “=” xảy ra khi p – a = p – b = p – c Ûa = b = c
Khi đó tam giác ABC là tam giác đều
Bài 6.2
Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác Chứng minh rằng:
(a + b – c)(b + c – a)(c + a – b) £ abc
Giải
Bất đẳng thức về ba cạnh của tam giác cho ta viết:
2 2
b a
c- < Þ < - - £
2 2
c b
a- < Þ < - - £
Từ đó:
abc b a c a c b
c
b
a
c b a b a c a c b c
b
a
c b a b a c b a c a c b a c b c b a
c
b
a
c b a b a c a c b
c
b
a
£ -+ -+
-+
Û
£ -+
-+
-+
Û
£ -+ + -+ + -+
-+
Û
£
-) )(
)(
(
) (
) (
)
(
) )(
)(
)(
)(
)(
(
) ( ) ( )
(
2 2 2 2 2
2
2 2 2
2 2 2 2 2
2 2
2
2
Vì a, b, c là ba cạnh của một tam giác nên: a+ b – c > 0
b+ c – a > 0 c+ a – b > 0 abc > 0 Vậy bất đẳng thức đã được chứng minh Dấu “=” xảy ra khi a = b= c
7 Phương pháp 7 : chứng minh phản chứng
-Kiến thức: Giả sử chứng minh bất đẳng thức nào đó đúng, ta hãy giả sử bất đẳng
thức đó sai, sau đó vận dụng các kiến thức đã biết và giả thiết của đề bài để suy ra điều giả
sử vô lý