Tóm tắt luận án Tiến sĩ Toán học: Phương pháp lặp giải bài toán biên hai điểm cho phương trình và hệ phương trình vi phân cấp bốn

Mục tiêu của luận án là phát triển phương pháp lặp kết hợp với các phương pháp khác để thiết lập định tính và đặc biệt là phương pháp giải số một số bài toán biên hai điểm đối với phương trình và hệ phương trình vi phân phi tuyến cấp bốn nảy sinh trong lý thuyết uốn của dầm, trong đó không cần đến điều kiện tăng trưởng tại vô cùng, điều kiện Nagumo,... của hàm vế phải.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC

VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM

HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ

…… ….***…………

NGÔ THỊ KIM QUY

PHƯƠNG PHÁP LẶP GIẢI BÀI TOÁN BIÊN HAI ĐIỂM CHO PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Công trình được hoàn thành tại: Học viện Khoa học và Công nghệ -

Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam

Người hướng dẫn khoa học 1: GS TS Đặng Quang Á

Người hướng dẫn khoa học 2: PGS TS Hà Tiến Ngoạn

Có thể tìm hiểu luận án tại:

- Thư viện Học viện Khoa học và Công nghệ

- Thư viện Quốc gia Việt Nam

MỞ ĐẦU

1 Tính cấp thiết của luận án

Nhiều bài toán trong vật lý, cơ học và một số lĩnh vực khác được mô tả bởicác phương trình và hệ phương trình vi phân với các điều kiện biên khác nhau

Có thể chia phương trình vi phân cấp bốn thành hai dạng: phương trình vi phâncấp bốn không đầy đủ và phương trình vi phân cấp bốn đầy đủ Phương trình

vi phân cấp bốn mà trong đó hàm vế phải chứa ẩn hàm và chứa đầy đủ các đạohàm các cấp của nó (từ cấp một đến cấp ba) được gọi là phương trình vi phâncấp bốn đầy đủ Ngược lại, phương trình được gọi là phương trình vi phân cấpbốn không đầy đủ

Bài toán biên đối với phương trình vi phân đã thu hút được sự quan tâm củacác nhà khoa học như Alve, Amster, Bai, Li, Ma, Feng, Minhós, Một số nhàtoán học và cơ học Việt Nam, như Đặng Quang Á, Phạm Kỳ Anh, Nguyễn VănĐạo, Nguyễn Đông Anh, Lê Xuân Cận, Nguyễn Hữu Công, Lê Lương Tài, cũngnghiên cứu các phương pháp giải bài toán biên cho phương trình vi phân

Trong số các phương trình vi phân thì phương trình vi phân phi tuyến cấpbốn được quan tâm rất nhiều trong thời gian gần đây vì nó là mô hình toán họccủa nhiều bài toán trong cơ học Dưới đây chúng tôi điểm qua một số bài toánbiên đối với phương trình vi phân phi tuyến cấp bốn

Đầu tiên, xét bài toán về dầm trên nền đàn hồi được mô tả bởi phương trình

vi phân phi tuyến cấp bốn dạng

u(4)(x) = f (x, u(x), u00(x)) (0.0.2)

hoặc

u(4)(x) = f (x, u(x), u0(x)) (0.0.3)trong đó u là độ võng của dầm, 0 ≤ x ≤ L Các điều kiện biên tại hai đầu củadầm được cho phụ thuộc vào ràng buộc của bài toán Đã có một số kết quả nghiêncứu về định tính của các bài toán biên đối với các phương trình vi phân trên như

sự tồn tại, tính duy nhất và tính dương của nghiệm Đáng chú ý phải kể đến cácbài báo của Alves và cộng sự (2009), Amster và cộng sự (2008), Bai (2004), Li(2010), Ma và cộng sự (1997), , ở đó phương pháp nghiệm trên và nghiệm dưới,phương pháp biến phân, các định lý điểm bất động được sử dụng Trong các bài

báo này điều kiện về tính bị chặn của hàm vế phải f (x, u, v) hoặc về bậc tăngtrưởng của nó tại vô cùng là không thể thiếu được.

Trong các bài báo đã nhắc đến ở trên, phương trình vi phân cấp bốn khôngchứa đạo hàm cấp ba Khoảng hơn chục năm trở lại đây, phương trình vi phâncấp bốn đầy đủ, cụ thể là phương trình

u(4)(x) = f (x, u(x), u0(x), u00(x), u000(x)) (0.0.6)thu hút sự quan tâm của nhiều tác giả (xem Ehme và cộng sự (2002), Feng vàcộng sự (2009), Li và cộng sự (2013), Li (2016), Minhós và cộng sự (2009), Pei

và cộng sự (2011), ) Các kết quả chính trong các bài báo trên là nghiên cứu sựtồn tại, tính duy nhất và tính dương của nghiệm Các công cụ được sử dụng là lýthuyết bậc Leray-Schauder (xem Pei và cộng sự (2011)), định lý điểm bất độngSchauder trên cơ sở sử dụng phương pháp đơn điệu với nghiệm dưới và nghiệmtrên (xem Bai (2007), Ehme và cộng sự (2002), Feng và cộng sự (2009), Minhós

và cộng sự (2009)) hoặc giải tích Fourier (xem Li và Liang (2013))

Tuy nhiên, trong tất cả các bài báo nêu trên, các tác giả cần đến một giả thiếtrất quan trọng là hàm f : [0, 1] × R4 → R thỏa mãn điều kiện Nagumo và một

số điều kiện khác về tính đơn điệu và tăng trưởng tại vô cùng Cần lưu ý rằng,trong phương pháp đơn điệu, giả thiết tìm được nghiệm dưới và nghiệm trên luônluôn cần thiết nhưng việc tìm chúng nói chung không dễ dàng

Các bài toán về hệ phương trình vi phân cấp bốn được nghiên cứu chưa nhiều,chẳng hạn Kang và cộng sự (2012), L¨u và cộng sự (2005), Zhu và cộng sự (2010),trong đó các tác giả xét phương trình vi phân chỉ chứa các đạo hàm cấp chẵn.Với các điều kiện phức tạp, bằng việc sử dụng định lý chỉ số điểm bất động trênnón, các tác giả đã thu được sự tồn tại nghiệm dương Tuy nhiên, các kết quả đạtđược là có tính lý thuyết thuần túy vì không có ví dụ nào minh họa sự tồn tạinghiệm

Minhós và Coxe (2017, 2018) là các tác giả đầu tiên xét hệ hai phương trình

vi phân cấp bốn đầy đủ Tác giả đã đưa ra các điều kiện đủ cho tính giải đượccủa hệ bằng việc sử dụng phương pháp nghiệm dưới, nghiệm trên và Định lý điểmbất động Schauder Chứng minh kết quả này rất cồng kềnh và phức tạp, đòi hỏiđiều kiện Nagumo đối với các hàm f và h

Mặc dù đã có các thành tựu quan trọng đạt được trong việc nghiên cứu địnhtính và tìm lời giải của các bài toán biên phi tuyến, song sự phát triển của cáclĩnh vực ứng dụng như cơ học, vật lý, sinh học, luôn đặt ra các bài bài toánmới phức tạp trong phương trình cũng như các điều kiện biên Các bài toán này

có ý nghĩa quan trọng trong khoa học và thực tiễn Hơn nữa, trong các bài báo

kể trên, các điều kiện đưa ra phức tạp và khó kiểm tra, trong đó hạn chế về điềukiện Nagumo và điều kiện tăng trưởng tại vô cùng của hàm vế phải Với phươngpháp đơn điệu, giả thiết tìm được nghiệm dưới và nghiệm trên luôn luôn cần thiếtnhưng việc tìm chúng nói chung không dễ dàng Mặt khác, một số bài báo chưa

có ví dụ minh họa cho các kết quả lý thuyết Chính vì thế, việc tiếp tục nghiêncứu cả về mặt định tính và định lượng các bài toán mới cho phương trình và hệphương trình vi phân cấp bốn với các điều kiện biên khác nhau là rất có ý nghĩa

khoa học và thực tiễn.

Đó là lý do vì sao chúng tôi chọn đề tài: "Phương pháp lặp giải bài toán biênhai điểm cho phương trình và hệ phương trình vi phân cấp bốn"

2 Mục tiêu và phạm vi nghiên cứu của luận án

Mục tiêu của luận án là phát triển phương pháp lặp kết hợp với các phươngpháp khác để thiết lập định tính và đặc biệt là phương pháp giải số một số bàitoán biên hai điểm đối với phương trình và hệ phương trình vi phân phi tuyếncấp bốn nảy sinh trong lý thuyết uốn của dầm, trong đó không dùng đến điềukiện tăng trưởng tại vô cùng, điều kiện Nagumo của hàm vế phải

3 Phương pháp và nội dung nghiên cứu

Sử dụng cách tiếp cận đưa các bài toán biên phi tuyến về phương trình toán

tử đối với hàm dựa trên vế phải, cùng với các công cụ của toán giải tích, giải tíchhàm, lý thuyết phương trình vi phân, chúng tôi nghiên cứu sự tồn tại, duy nhất

và một số tính chất đối với nghiệm của một số bài toán đối với phương trình và

hệ phương trình vi phân phi tuyến cấp bốn không đầy đủ và đầy đủ

Cũng trên cơ sở phương trình toán tử, chúng tôi xây dựng phương pháp lặptìm nghiệm của các bài toán và chứng minh sự hội tụ của phương pháp

Một số ví dụ được đưa ra, trong đó biết trước hoặc không biết trước nghiệmđúng, để minh họa tính đúng đắn của các kết quả lý thuyết và thực hiện tínhtoán trên máy tính điện tử để kiểm tra sự hội tụ của các thuật toán

4 Kết quả đạt được của luận án

Luận án đề xuất phương pháp nghiên cứu định tính và phương pháp lặp giảibài toán biên đối với phương trình và hệ phương trình vi phân phi tuyến cấp bốnkhông đầy đủ và đầy đủ nhờ sử dụng cách tiếp cận đưa bài toán về phương trìnhtoán tử đối với hàm dựa trên vế phải Các kết quả đạt được là:

• Thiết lập được sự tồn tại, duy nhất và một số tính chất đối với nghiệm của cácbài toán dưới các điều kiện dễ kiểm tra

• Đề xuất phương pháp lặp giải các bài toán này và chứng minh sự hội tụ củaphương pháp với tốc độ cấp số nhân

•Đưa ra một số ví dụ minh họa cho khả năng ứng dụng của các kết quả lý thuyết,trong đó có các ví dụ mà sự tồn tại hoặc tính duy nhất nghiệm của chúng khôngđược bảo đảm bởi các tác giả khác do không thỏa mãn các điều kiện trong cácđịnh lý của họ

• Các thực nghiệm tính toán minh họa tính hiệu quả của phương pháp lặp.Luận án được viết trên cơ sở các bài báo [1]-[6] trong danh mục các công trìnhcủa tác giả liên quan đến luận án

5 Cấu trúc của luận án

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, nội dung chính của luận

án gồm 3 chương:

Chương 1 trình bày các kiến thức bổ trợ bao gồm một số định lý điểm bấtđộng; phương pháp đơn điệu giải bài toán biên đối với phương trình vi phân; hàmGreen đối với một số bài toán và phương pháp số giải phương trình vi phân Cáckiến thức cơ bản trong Chương 1 đóng vai trò rất quan trọng, làm nền tảng chocác kết quả sẽ được trình bày trong Chương 2 và Chương 3

Trong Chương 2, bằng cách tiếp cận đưa các bài toán biên phi tuyến về phươngtrình toán tử đối với hàm dựa trên vế phải, chứ không phải đối với ẩn hàm, chúngtôi đã thiết lập sự tồn tại, duy nhất và một số tính chất của nghiệm đối với một

số bài toán cho phương trình vi phân phi tuyến cấp bốn không đầy đủ và đầy đủ.Cũng trên cơ sở phương trình toán tử, chúng tôi xây dựng phương pháp lặp tìmnghiệm của các bài toán và chứng minh sự hội tụ của phương pháp Một số ví dụ,trong đó biết trước hoặc không biết trước nghiệm đúng được đưa ra đã minh họacho tính đúng đắn của các kết quả lý thuyết và hiệu quả của phương pháp lặp.Tiếp tục phát triển các kỹ thuật của Chương 2, trong Chương 3, đối với hệhai phương trình vi phân phi tuyến cấp bốn không đầy đủ và đầy đủ, chúng tôicũng thu được các kết quả về sự tồn tại, duy nhất nghiệm và sự hội tụ của phươngpháp lặp Các kết quả này làm phong phú thêm và khẳng định tính hiệu quả củacách tiếp cận đưa các bài toán biên phi tuyến về phương trình toán tử đối vớihàm dựa trên vế phải

Trong luận án, các kết quả lý thuyết đã được kiểm tra bằng các thực nghiệmtính toán được lập trình trong môi trường MATLAB 7.0 trên máy tính PC vớiCPU Intel Core i3, 4GB RAM

Chương 1

Kiến thức bổ trợ

Chương này trình bày một số kiến thức chuẩn bị cần thiết cho các chương tiếptheo được tham khảo từ các tài liệu Ladde (1985), Melnikov và cộng sự (2012),Samarskii và cộng sự (1989), Zeidler (1986)

Trong mục này, chúng tôi trình bày ba định lý điểm bất động có ứng dụngnhiều trong nghiên cứu sự tồn tại, duy nhất nghiệm của các phương trình vi phân:Định lý điểm bất động Banach, Định lý điểm bất động Brouwer, Định lý điểmbất động Schauder

với phương trình vi phân

Một trong các phương pháp khá phổ biến nghiên cứu định tính (sự tồn tại,duy nhất) của nghiệm và xây dựng nghiệm gần đúng của phương trình vi phân

là phương pháp đơn điệu Phương pháp đơn điệu sử dụng nghiệm dưới và nghiệmtrên đối với bài toán biên phi tuyến đã thu hút sự chú ý của các nhà nghiên cứutrong những năm gần đây Phương pháp này phổ biến vì nó không chỉ đưa racách chứng minh các định lý tồn tại mà còn dẫn đến các kết quả so sánh khácnhau, đó là kỹ thuật hiệu quả để nghiên cứu các tính chất định tính của nghiệm

Ý tưởng chung của phương pháp này là xuất phát từ hai hàm α và β tươngứng được gọi là nghiệm dưới (lower solution) và nghiệm trên (upper solution) củabài toán, người ta xây dựng nhờ quá trình lặp hai dãy hàm αk và βk hội tụ đơnđiệu từ hai phía tới các hàm u và u thỏa mãn điều kiện

α ≤ α1 ≤ α2 ≤ ≤ αk ≤ ≤ u ≤ u ≤ ≤ βk ≤ ≤ β2 ≤ β1 ≤ β

Trong trường hợp u = u, bài toán có nghiệm duy nhất trong dải < α, β >, nếukhác, bài toán có nghiệm cực trị dưới và nghiệm cực trị trên

1.3 Hàm Green đối với một số bài toán

Hàm Green có ứng dụng rộng rãi trong nghiên cứu các bài toán giá trị biên.Đặc biệt, hàm Green là công cụ quan trọng để chỉ ra sự tồn tại và duy nhấtnghiệm của các bài toán

Xét bài toán giá trị biên tuyến tính thuần nhất

(i) Trên [a, t) và (t, b], G(x, t) là hàm liên tục, có các đạo hàm liên tục tới cấp n

và thỏa mãn phương trình (1.3.1) trên (a, t) và (t, b), tức là:

Định lý sau chỉ ra điều kiện về sự tồn tại và duy nhất của hàm Green

Định lý 1.6 (Melnikov và cộng sự (2012)) (Tồn tại và duy nhất) Nếu bài toángiá trị biên thuần nhất trong (1.3.1)-(1.3.2) chỉ có nghiệm tầm thường thì tồn tạiduy nhất hàm Green tương ứng với bài toán

Xét phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất

với các điều kiện biên thuần nhất

Định lý sau thể hiện mối quan hệ giữa tính duy nhất nghiệm của (1.3.3)-(1.3.4)với bài toán thuần nhất tương ứng

Định lý 1.7 (Melnikov và cộng sự (2012)) Nếu bài toán giá trị biên thuần nhấttương ứng với (1.3.3)-(1.3.4) chỉ có nghiệm tầm thường thì bài toán (1.3.3)-(1.3.4)

có nghiệm duy nhất biểu diễn dưới dạng

y(x) =

Z b aG(x, t)f (t)dt,

trong đó G(x, t) là hàm Green của bài toán thuần nhất tương ứng

Để giải các bài toán biên đối với phương trình vi phân, người ta chỉ có thể tìmđược nghiệm giải tích của chúng trong một số rất ít các trường hợp đặc biệt cònđại đa số các trường hợp buộc phải sử dụng phương pháp giải gần đúng Phươngpháp sai phân là một trong những phương pháp số giải gần đúng phương trình

vi phân Ý tưởng chung của các phương pháp sai phân là đưa bài toán vi phân

về bài toán rời rạc trên một lưới điểm dẫn đến việc giải hệ phương trình đại sốtuyến tính

Bài toán giá trị biên đối với các phương trình vi phân cấp hai, bằng phươngpháp sai phân ba điểm dẫn đến giải hệ phương trình có ma trận hệ số dạng bađường chéo Một trong các phương pháp trực tiếp hữu hiệu giải hệ này là phươngpháp truy đuổi (một dạng đặc biệt của phương pháp khử) Trong mục 1.4 chúngtôi trình bày chi tiết phương pháp truy đuổi giải hệ ba đường chéo (xem Samarskii

và cộng sự (1989))

Chương 2

Phương pháp lặp giải bài toán biên

đối với phương trình vi phân

phi tuyến cấp bốn

Các bài toán giá trị biên đối với phương trình phi tuyến cấp bốn với các điềukiện biên khác nhau đã được nghiên cứu trong một số bài báo trong những nămgần đây Sự tồn tại nghiệm của các bài toán này được thiết lập nhờ sử dụng lýthuyết bậc Leray-Schauder (Pei và Chang (2011)), định lý điểm bất động Schaudertrên cơ sở sử dụng phương pháp đơn điệu với nghiệm dưới và nghiệm trên, chẳnghạn, Bai (2007), Ehme và cộng sự (2002), Feng và cộng sự (2009), Minhós và cộng

sự (2009) hoặc giải tích Fourier (Li và Liang (2013)) Trong các bài báo này điềukiện về tính bị chặn của hàm vế phải hoặc về bậc tăng trưởng của nó tại vô cùng

là không thể thiếu được Trong các bài báo nêu trên, các tác giả đưa bài toánban đầu về phương trình toán tử đối với ẩn hàm u(x) Khác với cách tiếp cận đó,trong các bài báo [1]-[4], chúng tôi đưa bài toán ban đầu về phương trình toán tửđối với hàm dựa trên vế phải ϕ(x) = f (x, u(x), v(x), ) Ý tưởng này bắt nguồn

từ một bài báo trước đây của tác giả Đặng Quang Á (2006) khi nghiên cứu bàitoán Neumann đối với phương trình kiểu song điều hòa Xét trong miền bị chặnthích hợp, chúng tôi không dùng đến điều kiện tăng trưởng tại vô cùng, điều kiệnNagumo của hàm vế phải Khi đó, toán tử đối với ϕ dưới một số điều kiện dễkiểm tra của hàm f trong miền bị chặn là toán tử co Theo nguyên lý ánh xạ co,bài toán ban đầu có duy nhất nghiệm và đảm bảo sự hội tụ của phương pháp lặptìm nghiệm xấp xỉ Tính dương của nghiệm và tính đơn điệu của dãy lặp cũngđược chỉ ra Một số ví dụ, trong đó nghiệm chính xác của bài toán đã biết hoặcchưa biết được đưa ra để minh họa cho các kết quả lý thuyết thu được

Các kết quả của chương này được trình bày trong các bài báo [1]-[4] trongdanh mục các công trình của tác giả liên quan đến luận án Cần nói thêm rằng,trong bài báo của tác giả Đặng quang Á và Trương Hà Hải (2016) đã phát triểnphương pháp trên với phương trình elliptic cấp bốn phi tuyến

2.1 Bài toán biên đối với phương trình vi phân

phi tuyến cấp bốn không đầy đủ

Phần này tập trung nghiên cứu bài toán biên đối với phương trình vi phânphi tuyến cấp bốn không đầy đủ mô tả độ võng của dầm trên nền đàn hồi với haiđầu được gối-tựa đơn giản dạng

u(4)(x) = f (x, u(x), u00(x)), 0 < x < 1,u(0) = u(1) = u00(0) = u00(1) = 0 (2.1.1)

trong đó f : [0, 1] ×R2 → R là hàm liên tục Bài toán đã thu hút sự quan tâm của

nhiều tác giả vì nó có ý nghĩa quan trọng trong cơ học, chẳng hạn Aftabizadeh(1986), Ma và cộng sự (1997), Bai và cộng sự (2004), Li (2010) Trong các bàibáo này, điều kiện về tính bị chặn của hàm vế phải hoặc về bậc tăng trưởng của

nó tại vô cùng là không thể thiếu được

Trong bài báo [2], chúng tôi cũng xét bài toán (2.1.1) Khác với cách tiếp cậncủa các tác giả khác, chúng tôi đưa bài toán ban đầu về phương trình toán tử đốivới hàm dựa trên vế phải và chứng tỏ rằng toán tử này trong một số điều kiện

dễ kiểm tra có tính chất co Điều này bảo đảm bài toán gốc có nghiệm duy nhấtsinh bởi điểm bất động của toán tử và sự hội tụ của phương pháp lặp xây dựngnghiệm gần đúng

Để nghiên cứu bài toán (2.1.1), với ϕ ∈ C[0, 1], ta xét phương trình toán tử

Bổ đề 2.1 Giả sử v và u là nghiệm của các bài toán (2.1.4), (2.1.5) Khi đó, ta

(ii) Nếu ϕ(x) ≥ 0 trong [0, 1] thì −kϕk/8 ≤ v(x) ≤ 0 và 0 ≤ u(x) ≤ kϕk/64

|f (x, u2, v2) − f (x, v1, u1)| ≤ L1|u2 − u1| + L2|v2 − v1| (2.1.11)với mọi (x, ui, vi) ∈ DM, i = 1, 2

|f (x, u2, v2) − f (x, v1, u1)| ≤ L1|u2 − u1| + L2|v2 − v1| (2.1.18)với mọi (x, ui, vi) ∈ DM+, i = 1, 2

1 Cho xấp xỉ ban đầu

||uk − u|| ≤ q

k

64(1 − q)||ϕ1 − ϕ0||, (2.1.24)trong đó ulà nghiệm chính xác của bài toán (2.1.1) vàq được xác định bởi (2.1.12)

Bổ đề 2.2 (Tính chất đơn điệu) Giả sử tất cả các điều kiện của Định lý 2.1 đượcthỏa mãn Hơn nữa, giả thiết rằng hàm f (x, u, v) tăng theo u và giảm theo v vớimọi (x, u, v) ∈ DM Khi đó, nếu ϕ(1)0 , ϕ(2)0 ∈ B[O, M ] là các xấp xỉ ban đầu và

ϕ(1)0 (x) ≤ ϕ(2)0 (x) với mọi x ∈ [0, 1] thì các dãy u(1)k , u(2)k tạo ra bởi quá trình lặpthỏa mãn tính chất

Với các giả thiết của Bổ đề 2.2, nếu bắt đầu từ ϕ0 = ϕmin thì ta thu được dãy uk

tăng, ngược lại, nếu bắt đầu từ ϕ0 = ϕmax thì ta thu được dãy uk giảm, cả hai dãynày hội tụ tới nghiệm chính xác u(x) của bài toán Do đó, nếu ϕmin ≥ 0 thì bàitoán có nghiệm không âm, ngược lại, nếu ϕmax ≤ 0 thì bài toán có nghiệm khôngdương

Các ví dụ trong một số bài báo của các tác giả Bai (2004), Ma và cộng sự(1997) thỏa mãn các điều kiện của chúng tôi đặt ra, do đó bài toán có nghiệmduy nhất, trong khi họ chỉ chứng minh được tồn tại nghiệm Hơn nữa, các điềukiện chúng tôi đưa ra rất dễ kiểm tra Thực nghiệm số trên các ví dụ này cho