Luận án Tiến sĩ Vật lý: Nghiên cứu chuyển pha gom cụm của các loài sinh vật bằng các mô hình vật lý thống kê

Nghiên cứu về các hành vi của các loài sinh vật nói chung và chuyển pha trong các hệ này nói riêng là một vấn đề mở, vẫn còn nhiều hiện tượng chưa được giải thích một cách thấu đáo. Các mô hình vật lý vẫn chưa được ứng dụng nhiều trong các bài toán phức tạp liên ngành. Vì vật tác giả tiến hành nghiên cứu đề tài Nghiên cứu chuyển pha gom cụm của các loài sinh vật bằng các mô hình vật lý thống kê. Mời các bạn cùng tham khảo.

VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM

HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ

-***** -

NGUYỄN PHƯỚC THỂ

NGHI£N CøU CHUYÓN PHA GOM CôM CñA C¸C LOµI SINH VËT B»NG C¸C M¤ H×NH VËT Lý THèNG K£

LUẬN ÁN TIẾN SĨ VẬT LÝ

HÀ NỘI – 2016

HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ

…… ….***…………

NGUYỄN PHƯỚC THỂ

NGHI£N CøU CHUYÓN PHA GOM CôM CñA C¸C LOµI SINH VËT B»NG C¸C M¤ H×NH VËT Lý THèNG K£

LUẬN ÁN TIẾN SĨ VẬT LÝ Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và Vật lý toán

Mã số: 62 44 01 03

Người hướng dẫn khoa học:

HÀ NỘI – 2016

bố trong bất kỳ công trình nào khác

Tác giả:

Nguyễn Phước Thể

ii

LỜI CÁM ƠN

Để hoàn thành luận án này tôi xin chân thành cảm ơn TS Ngô Văn Thanh đã luôn quan tâm sát sao, cùng tôi thực hiện các ý tưởng và giúp đỡ rất nhiều trong quá trình làm NCS Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến GS TSKH Nguyễn Ái Việt người thầy đầu tiên tiếp nhận và chỉ hướng cho tôi để định hình mục tiêu nghiên cứu trong luận án, đồng thời là giáo viên hướng dẫn luận án

Tôi xin chân thành cảm ơn NGƯT Lê Công Cơ, Cô Nguyễn Thị Lộc trường Đại Học Duy Tân đã giúp đỡ tôi rất nhiều về vật chất và tinh thần trong thời gian tôi làm NCS

Tôi xin chân thành cảm ơn các Thầy giáo, Cô giáo và lãnh đạo Học viện Khoa học và Công nghệ, bộ môn Vật lý lý thuyết – Vật lý toán của Viện Vật

Lý đã tạo mọi điều kiện học tập, nghiên cứu cho tôi trong quá trình làm NCS Cuối cùng, tôi xin chân thành cảm ơn toàn thể gia đình, gia tộc luôn đồng hành, động viên và giúp đỡ tôi rất nhiều trong suốt quá trình theo đuổi

và thực hiện ước mơ của mình

iii

MỤC LỤC

LỜI CAM ĐOAN i

LỜI CÁM ƠN ii

MỤC LỤC iii

LIỆT KÊ CÁC HÌNH VẼ vii

MỞ ĐẦU 1

Chương 1 HÀNH VI TẬP THỂ CỦA CÁC LOÀI SINH VẬT 5

1.1 Tổng quan 5

1.1.1 Hành vi tập thể 5

1.1.2 Hệ tự tổ chức 8

1.1.3 Hệ có con đầu đàn 9

M ố h nh i ập thể của các loài sinh vật 9

1.2.1 Schooling 9

1.2.2 Flocking 10

1.2.3 Swarming 12

1.3 Giới thiệu các mô hình lý thuyết 12

1.3.1 Mô hình SPP 12

1.3.2 Mô hình TT 15

1.3.3 Mô hình CS 17

1.4 Kết luận 19

iv

Chương 2 CHUYỂN PHA VÀ CÁC PHƯƠNG PHÁP MÔ PHỎNG

20

2.1 Chuyển pha và các mô hình spin 20

2.1.1 Chuyển pha 20

2.1.2 Các mô hình spin 28

2.2 Phương pháp mô phỏng đ ng học phân tử 31

2.2.1 Khái niệm 32

2.2.2 Phương trình chuyển động và thế năng tương tác 33

2.2.3 Các thuật toán giải phương trình chuyển động 33

2.2.4 Thuật toán Verlet 34

2.2.5 Thuật toán Leap – Frog 35

2.3 Phương pháp mô phỏng Monte Carlo 35

2.3.1 Nguyên tắc cơ bản của phương pháp mô phỏng Monte Carlo 36

2.3.2 Lấy mẫu đơn giản 37

2.3.3 Lấy mẫu quan trọng 38

2.3.4 Các phương pháp biểu đồ 39

2.4 Kết luận 44

Chương 3 NGHIÊN CỨU CHUYỂN PHA TRONG CÁC HỆ TỰ TỔ CHỨC 45

3.1 Giới thiệu chung 45

3.2 Hiệu ứng góc quan sát 49

3.2.1 Góc quan sát và góc mù 49

3.2.2 Phát triển mô hình 52

v

3.2.3 Kết quả mô phỏng 54

3.3 Đề xuất các mô hình mới để nghiên cứu chuyển pha gom cụm của các loài sinh vật 66

3.3.1 Mô hình spin XY 67

3.3.2 Mô hình q-Potts 77

3.4 Kết luận 89

KẾT LUẬN CHUNG 92

NHỮNG ĐÓNG GÓP MỚI CỦA LUẬN ÁN 94

TÀI LIỆU THAM KHẢO 97

vi

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT

CS (Cucker and Smale) : Mô hình Cucker - Smale

KT (Kosterlitz-Thouless) : Chuyển pha Kosterlitz-Thouless

MC (Monte Carlo) : Mô phỏng Monte Carlo

MD (molecular dynamic) : Động học phân tử

SW (Spin waves) : Sóng spin

SAW (Self Avoiding Walks) : Các bước đi tự tránh

SPP (self-propelled particles) : Các hạt tự sắp xếp

TT (Toner and Tu) : Mô hình Toner - Tu

vii

LIỆT KÊ CÁC HÌNH VẼ

Hình 1-1 Hình ảnh về hành vi tập thể của đàn cừu [65] 5

Hình 1-2 Hành vi schooling của đàn cá [63] 10

Hình 1-3 Hành vi flocking của đàn chim [174] 10

Hình 1-4 Mô hình lực tương tác: miền 1 là lực đẩy, miền 2 chủ yếu là lực sắp xếp với lực hút yếu, miền 3 là lực hút mạnh và miền 4 không có tương tác [170] 16

Hình 1-5 Giản đồ pha trong không gian a-b [170] 17

Hình 2-1 Xoáy lý tưởng trong mô hình XY [97] 25

Hình 2-2 Đường viền quanh tâm xoáy [97] 26

Hình 3-1 Sự phụ thuộc của thông số trật tự vào nhiễu [177] 47

Hình 3.2 Một số trạng thái động học của nhóm [177] 48

Hình 3-3 Góc quan sát đối với con gần nhất từ cá thể V1 ngược lại V2 và cá thể V2 hướng tới cá thể V1 [28] 49

Hình 3-4 Phân bố theo chiều các con gần nhất [28] 50

Hình 3-5 Thông số trật tự phụ thuộc nhiễu tương ứng với các góc quan sát xác định [64] 51

Hình 3-6 Góc quan sát của cá thể thứ i, ký hiệu là một nửa góc quan sát 54

Hình 3-7 Thông số trật tự biến thiên theo nhiễu (tính theo đơn vị ) với góc quan sát và tổng số cá thể 56

Hình 3-8 Variance của thông số trật tự phụ thuộc vào nhiễu (tính theo đơn vị ) với góc quan sát và 56

Hình 3-9 Thông số trật tự phụ thuộc vào nhiễu với các góc quan sát và 58

Hình 3-10 Variance phụ thuộc vào nhiễu với các góc quan sát và 58

viii

Hình 3-11 Giản đồ pha trong không gian với N = 100, 400 và 900 Pha

(I) và (II) ứng với góc quan sát của con mồi và vật săn 59

Hình 3-12 Thông số trật tự phụ thuộc vào nhiễu với các kích thước của hệ và 60

Hình 3-13 Thông số trật tự phụ thuộc vào nhiễu với các kích thước của hệ và 61

Hình 3-14 Nhiễu tới hạn như là hàm của nghịch đảo của kích thước hệ 1/N đối với 62

Hình 3-15 Variance phụ thuộc vào nhiễu với các kích thước của hệ và 63

Hình 3-16 Variance phụ thuộc vào nhiễu với các kích thước của hệ và 63

Hình 3-17 Sự phụ thuộc của vào N tính theo tỷ lệ 64

Hình 3-18 Giá trị cực đại của phụ thuộc vào N với và 65

Hình 3-19 Giá trị cực đại của phụ thuộc vào N với và 65

Hình 3-20 Chuyển động tịnh tiến (a) và quay (b) của cá thể thứ i 70

Hình 3-21 Thông số trật tự của hệ phụ thuộc vào nhiễu với N = 100 72

Hình 3-22 Mật độ của hệ phụ thuộc vào nhiễu với N = 100 72

Hình 3-23 Ảnh chụp vị trí và định hướng của các cá thể ở nhiễu bé 74

Hình 3-24 Hình ảnh phân bố các cá thể cá trong đàn ở nhiễu thấp từ chụp từ clip thực nghiệm [63] 74

Hình 3-25 Ảnh chụp vị trí và định hướng của các cá thể ở pha II, 75 Hình 3-26 Hình ảnh phân bố các cá thể cá trong đàn ở nhiễu trung bình từ chụp từ clip thực nghiệm [63] 75

Hình 3-27 Ảnh chụp vị trí và định hướng của các cá thể ở pha III, 76

ix

Hình 3-28 Hình ảnh phân bố các cá thể cá trong đàn ở nhiễu thấp từ cắt từ clip

thực nghiệm [63] 76

Hình 3-29 Sơ đồ các véc tơ định hướng với trạng thái 79

Hình 3-30 Thông số trật tự phụ vào thuộc nhiễu với kích thước hệ 82 Hình 3-31 Mật độ phụ thuộc vào nhiễu với kích thước hệ 82

Hình 3-32 Ảnh chụp cấu hình của hệ tại nhiễu 83

Hình 3-33 Ảnh chụp cấu hình của hệ tại nhiễu 84

Hình 3-34 Ảnh chụp cấu hình của hệ tại nhiễu 84

Hình 3-35 Thông số trật tự phụ thuộc vào nhiễu với kích thước hệ và 85

Hình 3-36 Mật độ phụ thuộc vào nhiễu với kích thước hệ và 86

Hình 3-37 Hàm phân bố theo năng lượng với các kích thước và tại vùng nhiễu thấp 87

Hình 3-38 Hàm phân bố theo năng lượng với các kích thước và tại vùng nhiễu cao 88

Hình 3-39 Thông số trật tự tương ứng với mô hình mạng khí (lattice gas) có và mô hình mạng (lattice) có 89

1

MỞ ĐẦU

Ngày nay, cùng với sự phát triển của Khoa học và Công nghệ thì vấn đề

về Sinh thái – Môi trường đặt ra nhiều thách thức cho con người Chẳng hạn như vấn đề tăng trưởng - tuyệt chủng của các loài, biến đổi gen, bệnh lạ do các chủng virut mới, khí thải độc hại và hiệu ứng nhà kính… Đã có nhiều cách tiếp cận từ các ngành khoa học khác nhau để nghiên cứu vấn đề này, các nhà sinh học thường quan tâm đến một số vấn đề liên quan đến sự tiến hóa, hành vi của các loài Các nghiên cứu hóa học thường quan tâm đến vấn đề khí thải, ô nhiễm Cách tiếp cận toán học thường dựa trên cơ sở toán thống kê để xây dựng các mô hình áp dụng cho các bài toán như dân số, tương tác vật săn

- con mồi… Các nhà nghiên cứu vật lý cũng đã có nhiều đóng góp quan trọng như vấn đề hiệu ứng nhà kính, bức xạ, giải thích một số hành vi của các loài sinh vật dựa trên cơ sở các mô hình, lý thuyết đã có

Một trong những chủ đề rất thú vị của hệ sinh thái là hành vi tập thể của các loài sinh vật, thu hút sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà khoa học trong những năm qua Các loài sinh vật nói chung thường sinh sống trong một

tổ chức bầy đàn, ví dụ, đàn kiến, đàn cá, đàn chim, bầy ong… Những câu hỏi đặt ra ở đây về nguồn gốc, đặc tính của hành vi này là gì? cơ chế hình thành như thế nào? Nghiên cứu hành vi của các loài sinh vật có thể cung cấp những thông tin quan trọng về nhóm, những thông tin cần thiết về môi trường thông qua các biểu hiện cụ thể của nhóm Trong đó, các hành vi tập thể như flocking, schooling hay swarming đã được nghiên cứu rộng rãi trong vài chục năm trở lại đây Để nghiên cứu vấn đề này, các nhà toán học đề xuất các mô hình giải tích dựa trên cơ sở các phương trình động lực học cổ điển Tuy nhiên, đối với các hệ với số lượng các cá thể rất lớn, phương pháp này sẽ rất khó để đưa ra lời giải chính xác Nghiên cứu hành vi bởi các lý thuyết sinh học thì không

lý thuyết vật lý được áp dụng để giải thích các hiện tượng và quy luật của các

hệ phức tạp trong các lĩnh vực khoa học khác, đặc biệt là hệ sinh thái Mô hình vật lý đầu tiên được đề xuất bởi Vicsek và các cộng sự [183] là nghiên cứu về hành vi chuyển pha của một nhóm động vật dựa trên cơ sở mô hình spin XY, mô hình này hiện nay là nền tảng cơ bản cho các nghiên cứu đặc tính bầy đàn của hệ tự tổ chức (nhóm không có cá thể đầu đàn)

Nghiên cứu về các hành vi của các loài sinh vật nói chung và chuyển pha trong các hệ này nói riêng là một vấn đề mở, vẫn còn nhiều hiện tượng chưa được giải thích một cách thấu đáo Các mô hình vật lý vẫn chưa được ứng dụng nhiều trong các bài toán phức tạp liên ngành Bởi vậy, chúng tôi chọn hướng nghiên cứu này làm chủ điểm với tiêu đề của bản luận án :

―Nghiên cứu chuyển pha gom cụm của các loài sinh vật bằng các mô

hình vật lý thống kê‖

Ta biết rằng, đối với các loài sinh vật mà đặc biệt là sinh vật bậc cao, chúng có thể tương tác với nhau và với môi trường bằng các giác quan Trong

đó, khả năng quan sát của mắt có tính chất rất quan trọng và quyết định đến

sự vận động, đặc biệt là hành vi tập thể Trong các loài sinh vật, cấu trúc mắt của một số động vật rất khác nhau, có thể phân thành hai nhóm: (i) các động vật có mắt nằm phía trước mặt, (ii) các động vật với mắt ở hai bên mặt của đầu Cấu trúc mắt cũng như khả năng quan sát của chúng ảnh hưởng trực tiếp đến hành vi của các loài sinh vật Đã có một số các nghiên cứu về khả năng quan sát của mắt như, Hall (1986), Ballerini (2008), Hemelrijk (2012) Họ

3

nghiên cứu trên chim Sáo đá, Mòng biển, cá Trích, cá Tuyết… và xác định được góc quan sát tối ưu của một số loài Gần đây, một nghiên cứu rất đáng chú ý của Gao và các cộng sự về ảnh hưởng của góc quan sát đến hành vi chuyển pha [64] Họ cho thấy rằng, giá trị tới hạn của trường ngoài (nhiễu) tăng khi giảm góc quan sát Tuy nhiên, kết quả này tồn tại mâu thuẫn về ý nghĩa vật lý, bởi vì khi góc quan sát giảm thì số lượng tương tác của các cá thể lân cận lên một cá thể đang xét sẽ bị giảm đi, dẫn đến giá trị tới hạn của nhiễu giảm Để giải quyết mâu thuẫn này, chúng tôi sử dụng lại mô hình của Vicsek, khảo sát sự phụ thuộc của thông số trật tự vào nhiễu tương ứng với các góc quan sát khác nhau

Đến nay các nghiên cứu dùng mô hình Vicsek làm cơ sở chỉ tập trung vào việc giải thích hành vi chuyển pha từ trật tự sang mất trật tự tại vùng nhiễu cao Tuy nhiên, theo quan sát thực tế về hành vi gom cụm (flocking) của các loài sinh vật ở trạng thái bình thường (không bị nhiễu từ bên ngoài) thì hệ ở trạng thái tự do, phân bố ngẫu nhiên, các con vật tỏa ra xung quanh để tìm kiếm thức ăn Hành vi này tương ứng với pha mất trật tự trong hệ vật lý Khi

bị tác động từ bên ngoài thì chúng gom cụm lại và sắp xếp trật tự (pha trật tự) Hành vi chuyển pha từ mất trật tự sang trật tự này không thể giải thích được

từ mô hình của Vicsek Thêm vào đó, theo quan sát thực nghiệm người ta dự đoán chuyển pha của hệ là chuyển pha loại I, bởi vì hành vi này diễn ra rất nhanh Trong khi đó, từ mô hình Vicsek thì chuyển pha xảy ra là liên tục (chuyển pha loại II)

Để giải quyết những hạn chế này, chúng tôi đã đề xuất hai mô hình mới:

Mô hình thứ nhất chúng tôi xây dựng là từ cơ sở mô hình spin XY,

Hamiltonian của hệ được định nghĩa bởi các thế tương tác giữa các cá thể với nhau bao gồm tương tác trao đổi, thế Morse và thế hóa học

Mô hình thứ hai dựa trên cơ sở mô hình Potts đồng hồ q trạng thái

(q-Potts) Chúng tôi giả thuyết rằng, mỗi cá thể như một hạt với hai bậc tự do:

4

một là tham số bên ngoài đặc trưng cho định hướng của chuyển động; hai là tham số nội tại để mô tả cho trạng thái bị kích thích hoặc không bị kích thích của mỗi cá thể dưới tác động của nhiễu Trạng thái nội tại là tham số điều khiển tương tác của các cá thể Các kết quả thu được phù hợp với quan sát thực nghiệm và đã khắc phục được những nhược điểm của mô hình spin XY Nội dung của bản luận án được trình bày trong 3 chương Tổng quan về hành vi tập thể của các loài sinh vật cũng như các mô hình lý thuyết sẽ được trình bày trong Chương 1 Lý thuyết chuyển pha và các phương pháp mô phỏng trên máy tính sẽ được trình bày trong Chương 2, với đầy đủ các thuật toán ứng dụng trong mô phỏng Chương 3 trình bày những kết quả nghiên cứu về hiệu ứng góc quan sát đối với chuyển pha gom cụm, trình bày chi tiết

về các mô hình mới được đề xuất và ứng dụng của chúng trong nghiên cứu chuyển pha gom cụm của các loài sinh vật, đặc biệt là chuyển pha ở vùng nhiễu thấp

Hình 1-1 Hình ảnh về hành vi tập thể của đàn cừu [65]

Tương tác giữa các thành phần có thể mô tả đơn giản bởi lực hút/đẩy, sắp xếp hoặc phức tạp như là kết hợp của các tương tác đơn giản này xảy ra giữacác thành phần lân cận với nhau trong không gian và thời gian Dưới một số điều kiện nhất định thì các hành vi tập thể được hình thành Các hình ảnh được biết rõ trong thế giới tự nhiên về vấn đề này là đàn cá đang bơi, đàn chim bay lượn, đàn kiến hay bầy cừu với số lượng có thể từ vài chục con đến vài triệu con Các hành vi động học tập thể hình thành trong một cộng đồng

xã hội, trong đó các hành vi bầy đàn mà không có con đầu đàn vẫn tạo ra vận động có tổ chức gọi là tự tổ chức Một số hành vi đặc trưng là flocking, schooling hay swaming đã được nghiên cứu trong một thời gian dài cho đến nay [1], [3], [6]-[12], [14]-[44],[52]-[58], [69], [88], [93], [144], [171], [183]

6

Nghiên cứu về hành vi tập thể của các loài sinh vật đến nay đã thu hút nhiều nhà khoa học với cách tiếp cận khác nhau như: sinh học, vật lý, toán học Trên phương diện sinh học, các nhà nghiên cứu cho rằng các cá thể thường di chuyển theo chiều và tốc độ của các con gần nhất, quan trọng là giữ khoảng cách với nhau Hamilton và Vine vào năm 1971 đã nghiên cứu chi tiết cấu trúc hình học của nhóm động vật [79], [184] Họ đưa ra quan điểm về hành vi của các cá thể trong nhóm dẫn đến tính tập thể như sau: (1) Các cá thể

có xu hướng chuyển động vào tâm nhóm để tránh rủi ro và bị ăn thịt Các cá thể có đặc tính ích kỷ, cố gắng dùng những con khác làm vỏ bọc (2) Khi có

sự nguy hiểm do vật săn, các cá thể chuyển động gần nhau, cạnh tranh vị trí trung tâm Khi có thức ăn, chúng có xu hướng di chuyển ra bên ngoài nhóm,

mở rộng không gian, kích thước nhóm để cạnh tranh nguồn thức ăn Thông thường, các cá thể đủ lượng thức ăn sẽ di chuyển vào tâm nhóm còn các cá thể đói di chuyển ra ngoài (3) Các cá thể chuyển động theo nhóm còn có mục đích là lấy thông tin từ các cá thể khác như: thức ăn, thú săn, đồng thời có lợi

về mặt năng lượng cũng như hợp tác săn mồi… Đáng chú ý là một số nghiên cứu của Partridge và các cộng sự về tương tác giữa các cá thể trong đàn [132]-[133], họ nghiên cứu về cấu trúc của đàn cá và kết luận rằng, các cá thể

giữ một khoảng cách nhất định với các con lân cận được diễn tả bởi ―lực đẩy”

cục bộ giữa các cá thể

Vào năm 1987, Reynolds đã đề xuất một mô hình đơn giản bao gồm 3 quy tắc: phân chia, sắp xếp và tự hợp để mô tả chuyển động của một hệ sinh vật trên máy tính [146] Quy tắc phân chia để các cá thể tránh va chạm khi quá đông đúc, quy tắc sắp xếp mô tả sự điều chỉnh hướng chuyển động của mỗi cá thể, và tự hợp để đảm bảo các cá thể không bị tách ra khỏi đàn Mô hình đã được ứng dụng thành công trong việc diễn tả chuyển động của bầy chim trên máy tính giống như trong quan sát thực tế

Để giải thích quá trình chuyển động tập thể, các nhà nghiên cứu vật lý đã

có một di sản lý thuyết về các hệ nhiều hạt Các lý thuyết này cũng có thể áp

7

dụng để diễn tả hành vi tập thể của các loài sinh vật thông qua một số định nghĩa về tương tác Tuy nhiên, các mô hình vật lý được đề xuất phải đảm bảo rằng, các thông số mô hình và kết quả chuyển động là không chỉ phụ thuộc vào đặc điểm sinh học mà thể hiện tất cả bản chất hạt trong vật lý Các hướng nghiên cứu hiện nay của các nhà vật lý đối với hình thức động học này là dựa trên các hiện tượng tương tự như quy tắc sắp xếp của các spin trong mô hình sắt từ, dòng chất lưu hay sự truyền nhiệt…

Những năm đầu của thập niên 90 trong thế kỷ trước, tại phòng thí nghiệm

ở Budapest, nhà vật lý Tomas Vicsek đã quan sát các chuyển chuyển động của các đàn vi khuẩn, côn trùng, chim, cá… Cùng với các cộng sự thuộc lĩnh vực sinh học ở Đức và Isreal, họ đã đề xuất mô hình tự hợp (mô hình SPP: self-propelled particles) với hai thông tin chủ đạo trong chuyển động của

nhóm sinh vật là quy tắc sắp xếp và nhiễu [41]-[43], [86], [136], [138], [141],

[142], [180]-[183] Các các thể sắp xếp để chuyển động theo chiều chuyển động trung bình của các con lân cận và tránh va chạm Nhiễu là thông tin quan trọng để điều khiển độ trật tự của từng cá thể Song song với đề xuất mô hình, họ xây dựng một chương trình và mô phỏng trên máy tính để diễn tả chuyển động của một đàn chim Trong mô phỏng, mỗi con chim được giả thuyết chuyển động theo chiều và tốc độ các con lân cận của nó, với một khoảng cách tối thiểu không đổi Giống như một hạt sắt từ, mỗi con chim tương tác với các cá thể lân cận gần nhất Từ cơ sở lý luận và thực hiện mô phỏng trên máy tính, Vecsek đề xuất một dạng mới về sự chuyển pha cho các

hệ tự tổ chức Đó là chuyển pha từ trạng thái trật tự sang mất trật dưới ảnh hưởng của trường ngoài (nhiễu) với số cá thể từ vài chục đến vài trăm con Vấn đề là hầu hết các quan sát trong đời sống thực ở cấp độ vĩ mô, kích thước không gian và số lượng cá thể lớn (từ vài ngàn đến vài triệu con), làm sao chúng thay đổi đồng bộ trong một thời gian ngắn là một vấn đề rất khó hiểu Năm 1995, J Toner và Y Tu bị hấp dẫn bởi mô hình Vicsek, họ đề xuất

lý thuyết để giải thích hành vi bầy đàn [170]-[174] Hai nhà vật lý xem các con chim chuyển động giống như các hạt của chất lưu trong hệ vật lý Họ sử

Đối với các nghiên cứu toán học, trong những năm gần đây vấn đề hành

vi động học tập thể cũng được chú ý, hướng nghiên cứu điển hình là phát triển

từ mô hình Cucker & Smale (mô hình CS) đề xuất năm 2007 Các tác giả đã nghiên cứu hệ sinh học trên cơ sở các phương trình động học cổ điển [36], [74]-[76], [118], [119] Mô hình CS hình thành từ quy tắc cốt lõi là quá trình chuyển động diễn tiến liên tục trong không gian và thời gian, với các điều kiện tối thiểu để hình thành vận động tập thể

1.1.2 Hệ tự tổ chức

Tự tổ chức (self-organized) là một quá trình hình thành vận động tập thể bởi các quy tắc tương tác cục bộ từ một hệ hỗn loạn ban đầu Quá trình này

là tự phát, không có sự chỉ đạo hoặc kiểm soát bởi bất cứ tác nhân hoặc hệ con từ bên trong hoặc bên ngoài Nó thường được kích hoạt bởi một sự biến đổi bất thường tại một vị trí nào đó và được khuếch đại bởi sự phản hồi liên tục, kết quả là đặc tính tổ chức cho hệ tự hình thành [85], [126], [128], [131], [134], [145], [162], [175], [182], [189], [191] Khi tồn tại các nhóm lớn, các

cá thể đạt được sự đồng thuận mà không cần con đầu đàn điều khiển toàn bộ

hệ thống, các hành vi tập thể của hệ được hình thành từ hành vi của mỗi cá thể Tự tổ chức xảy ra nhiều trong các loài sinh vật bậc thấp và cả trong một

số loài động vật bậc cao như đàn cá

Về phương diện lý luận, người ta đưa ra các mô hình đơn giản nhất để nghiên cứu, giải thích cho các hành vi tập thể Vấn đề quan trọng là phải đề xuất các quy tắc, quy luật tương tác để giải thích được những kết quả quan sát thực tế Từ đó, có thể xây dựng một lý thuyết đúng nhất để áp dụng vào một lớp lớn các hệ khác nhau, kể cả các tương tác xã hội và các lĩnh vực khoa học khác nhau Nắm được quy luật tự tổ chức cho một hệ nhất định nào

đó, ta có thể đề xuất cơ chế điều chỉnh lỗi cho hệ qua các tác động thích hợp

9

1.1.3 Hệ có con đầu đàn

Trái lại với hệ tự tổ chức, trong một nhóm sinh vật có một hoặc một số con đầu đàn, nó có ưu thế nổi bật, có đầy đủ thông tin và khả năng thực hiện lãnh đạo đàn gọi là hệ có tổ chức [89], [101], [162], [179] Điển hình cho hệ này trong sinh học là đàn chim, đàn ong… Tín hiệu từ con đầu đàn phát đi sẽ điều khiển định hướng di chuyển của các cá thể trong đàn Để hiểu rõ hơn về khái niệm tổ chức, ta xét một nhóm người làm việc, đó là tổ chức hoặc chính xác hơn là hành vi có tổ chức nếu mỗi người làm việc chịu tác động một cách

rõ ràng của người lãnh đạo (ví dụ sắp xếp của ―ông chủ‖) để tạo nên sản phẩm

Năm 2005, Couzin và các cộng sự đã đề xuất một mô hình đơn giản để

mô tả làm cách nào một vài cá thể có thể dẫn đầu một nhóm và sau đó phát triển bởi các tác giả khác Họ khảo sát một nhóm nhỏ khoảng 200 cá thể và toàn bộ cá thể này đều chuyển đến mục tiêu với chỉ 10 con đầu đàn [33] Trong các nghiên cứu về sinh học gần đây cho thấy rằng, quá trình ra quyết định tập thể là sự kết hợp giữa hai loại quy tắc [139]: cá thể lãnh đạo (individual-based) và tự tổ chức (self-organized) Quy tắc thứ nhất đặc trưng cho sự khác biệt về trạng thái vận động, đó là sự khác biệt về địa vị xã hội, sinh lý, tình trạng sức mạnh… Quy tắc thứ hai tương ứng với sự tương tác, phản ứng đơn giản giữa các cá thể Mô hình này dự đoán rằng, một phong trào tìm kiếm thức ăn được dẫn dắt bởi các cá nhân cụ thể, thậm chí có thể phân cấp lãnh đạo trong các hệ thống lớn các cá thể Khi gia tăng kích thước của một hệ, các quá trình ra quyết định và thực hiện mệnh lệnh sẽ hiệu quả hơn [22], [99]

1.2 M ố hành vi tập thể của các loài sinh vật

1.2.1 Schooling

Trong hệ các loài động vật, nếu một nhóm các cá thể cùng loài, cùng kích thước, chuyển động cùng tốc độ và cùng chiều gọi là hành vi schooling Hành

1.2.2 Flocking

Hình 1-3 Hành vi flocking của đàn chim [179].

Trong vật lý, hành vi flocking (Hình 1-3) là hành vi chuyển động tự hợp của một đàn sinh vật cùng loài được hình thành từ một số tương tác giữa các

11

thành phần trong hệ khi bị tác động từ bên ngoài Nói chung, hành vi flocking được sử dụng như nhau cho bất kỳ loại chuyển động tự hợp nào trong các hệ sinh học và vật lý Flocking được xem như là một bản sao của chuyển động ngẫu nhiên, hỗn độn trong hệ vật lý mà ta thường sử dụng là lý thuyết nhiệt động học để khảo sát Điển hình cho hành vi này là các loài động vật con mồi (bị ăn thịt): ở trạng thái bình thường, các cá thể phân bố ngẫu nhiên, mật độ thưa; khi bị tấn công từ bên ngoài (do vật săn) thì các cá thể gom cụm và sắp xếp trật tự; nếu cường độ tác dụng quá mạnh thì hệ chuyển từ hình thức gom cụm sang tán loạn theo các hướng khác nhau ngẫu nhiên

Để hiểu rõ hành vi này thì một hình thức tốt nhất là kế thừa một số định nghĩa cơ bản từ lý thuyết vật lý thống kê Tuy nhiên, trước khi áp dụng các lý thuyết vật lý đối với chuyển động tập thể, chúng ta sẽ có một số nhận xét tổng quát về hành vi này dựa trên các công trình nghiên cứu đã biết [19], [21], [32], [56], [57], [75], [78], [81], [84], [93], [100], [107], [111], [135], [143], [162],

[171], [174], [177], [181] đó là:

- Hệ gồm một số lớn các cá thể chuyển động trong không gian d chiều, tất

cả các hạt đều cố gắng di chuyển theo các con lân cận của nó Chiều của mỗi cá thể phụ thuộc vào tương tác trao đổi, sắp xếp giữa nó với các con lân cận

- Các tương tác xảy ra là tương tác gần, mỗi cá thể chỉ chịu ảnh hưởng bởi các cá thể lân cận của nó, khoảng từ 6 đến 7 cá thể trong một khoảng cách xác định, Kích thước này được giả thiết bé hơn nhiều kích

thước không gian của hệ L

- Các cá thể di chuyển không hoàn hảo, lỗi được tạo ra ở mọi thời điểm, ở

đó được đặc trưng bởi nhiễu ngẫu nhiên

- Mô hình có tính đối xứng quay, như nhau theo mọi hướng

Tổng kết các mô hình hiện nay ta thấy rằng, hành vi flocking đã được nghiên cứu theo hai hướng: tập thể (các mô hình Eulerian [73], [129] và continuum [117], [170]) hoặc cá thể (các mô hình agents-based [4], [6], [84], [90], [129]) Theo hướng tập thể, flocking được nghiên cứu trên cơ sở là

12

phương trình mô tả dòng chảy của chất lưu, hiện tượng đối lưu – khuếch tán, truyền nhiệt Theo hướng cá thể, bằng cách sử dụng các phương trình mô tả chuyển động ngẫu nhiên với các tương tác giữa các cá thể là tương tác gần Cách tiếp cận này để diễn tả lại các quan sát thực tế của một hệ sinh học mà vẫn có thể suy luận, hiểu rõ hơn các cơ chế, các đặc trưng của chúng

1.2.3 Swarming

Swarming là hành vi các sinh vật có kích thước tương tự, chúng tụ tập tạo thành bầy đàn đông đúc để cùng chung sống, duy trì nòi giống, chống lại vặt săn, tiết kiệm năng lượng … chẳng hạn như bầy kiến, tổ ong, đàn cá [30], [43], [55], [69], [72], [92], [98], [103], [106], [108], [113], [160], [165], [193], [194] Trong hành vi Swarming, các cá thể có thể có kích thước và vận tốc có thể khác nhau Về hình thức luận, nguồn gốc của hình thức vận động này là

do bản năng sinh tồn, các cá thể luôn có xu hướng chuyển động vào tâm, sử dụng các con khác làm lá chắn để tự vệ Trong các mô hình vật lý, hành vi này được giải thích bằng các quy tắc hút/đẩy, sắp xếp Trong đó sắp xếp đóng vai trò rất quan trọng, ngoài ra cũng cần kể đến tương tác hút/đẩy và nhiễu để giải thích hành vi này, điển hình là các mô hình SPP, TT Swarming là hành

vi bầy đàn của các loài sinh vật mà trong đó flocking và schooling là các trường hợp đặc biệt của nó

1.3 Giới thiệu các mô hình lý thuyết

1.3.1 Mô hình SPP

Mô hình SPP (self-propelled particles) được đề xuất bởi Viscek, mục đích của mô hình là thành lập các điều kiện "tối thiểu", cần thiết để giải thích hành

vi tập thể của các loài sinh vật, điển hình là hành vi chuyển pha [147]-[154],

nhiễu, quy tắc sắp xếp thiết lập trên cơ sở mô hình spin XY, nhiễu có vai trò như nhiệt độ là tham số điều khiển Cụ thể như sau:

Xét một hệ N phần tử trong một mạng vuông, kích thước không gian L

với điều kiện biên tuần hoàn (PBCs) Các phần tử chuyển động với một vận tốc tuyệt đối không đổi và chiều chuyển động là chiều trung bình với các

13

cá thể lân cận trong vòng tròn bán kính R Tại mỗi bước thời gian của quá

theo các công thức sau:

(1.1)

ở đây ký hiệu là phép tính trung bình của vận tốc của các cá thể j trong vòng tròn bán kính R quanh các thể i và chính nó, là một véc tơ đơn vị lấy theo chiều chuyển động trung bình Nhiễu có thể nhận các giá trị thay đổi bằng cách đưa vào một góc ngẫu nhiên tương ứng với chiều

trung bình của các hạt quanh hạt i trong vòng tròn bán kính R Góc của chiều

chuyển động trung bình tại thời điểm được xác định bởi

đều trong khoảng , với nhận giá trị từ -1 đến 1

Để nghiên cứu chuyển pha, Vicsek sử dùng thông số trật tự được định nghĩa bởi công thức

Tương tự như lý thuyết nhiệt động học, chuyển pha trong mô hình SPP là chuyển pha liên tục từ trật tự sang mất trật tự khi tăng cường độ nhiễu Giá trị tới hạn của bằng 1 khi nhiễu thấp và bằng 0 khi nhiễu cao, giá trị này thay đổi liên tục tại giá trị nhiễu tới hạn Đến nay, mô hình SPP được áp dụng theo hai hướng nghiên cứu cơ bản: (1) sử dụng các mô hình có quy tắc sắp

xếp và (2) các mô hình không có quy tắc sắp xếp rõ ràng

14

a) Các mô hình không có quy tắc sắp xếp rõ ràng

Hầu hết các kết quả nghiên cứu về hệ tự tổ chức từ mô hình SPP, trong đó

có sự sắp xếp được sử dụng [179] Tuy nhiên, theo rất nhiều nghiên cứu gần đây, chuyển động của các hạt có thể trở nên trật tự khi không cần quy tắc sắp xếp [72], [73], [109], [137], [158], thay vào đó là áp dụng các quy tắc tương

tác hút/đẩy, trong đó, đẩy để tránh va chạm, hút để duy trì tổ chức Điều kiện

cần đối với bất kỳ mô hình nào được đề xuất phải đảm bảo rằng, việc áp dụng phải phù hợp với vận động thực tế của sinh vật Lấy ví dụ về phạm vi áp dụng này, ta thấy các dạng thế như thế Coulomb, thế hấp dẫn chỉ tạo ra những lực hút, đẩy dẫn đến hiện tượng đông cứng, không thể diễn tả được hành vi của sinh vật, trong khi đó có thể áp dụng thế Morse, Lenard-Jones có thể áp dụng

để mô tả tương tác của các loài sinh vật

Mô hình đơn giản nhất không có quy tắc sắp xếp rõ ràng như sau: các hạt

cố gắng duy trì một vận tốc tuyệt đối và tương tác giữa chúng là lực đẩy khi quá gần (chỉ xét tương tác từng cặp) Các phương trình tương ứng là [179]

Trong các mô hình này, thông tin rất quan trọng là cách sắp xếp của các

cá thể kết hợp với các thế tương tác dạng lực hút/đẩy Mỗi hạt trong hệ không

tương tác với các hạt bất kỳ mà chỉ liên hệ với n hạt gần nhất (n thường chọn

là 6 hoặc 7 [179], giá trị này chỉ tương đối bởi vì khoảng tương tác thay đổi)

từ trật tự sang mất trật tự tại vùng nhiễu cao và chuyển pha xảy ra là liên tục (chuyển pha loại II)

1.3.2 Mô hình TT

Do các hạt không thể có định hướng trước, vì vậy, tất cả các chiều của không gian đều có trọng số như nhau Để đưa ra các phương trình chuyển động phức tạp, một gradient không-thời gian mở rộng có thể được áp dụng bằng cách giữ lại các các số hạng bậc thấp của vận tốc và mật độ Các biểu diễn này thực hiện bằng cách chỉ xét khoảng cách, thời gian dài các tính chất của hệ [171], [172] Kết quả các phương trình là

(1.8)

và

Phương trình trên có các số hạng: ứng với pha không trật tự và

ứng với pha trật tự, có một giá trị khác không, là hằng số khuếch tán và một nhiễu ngẫu nhiên Các số hạng ở vế trái và phải của phương trình tương tự đối lưu dẫn xuất của trường vận tốc trong phương trình

Navier-Stokes Áp suất P phụ thuộc vào mật độ được cho bởi phương trình

ở đây là mật độ trung bình xác định và là hệ số giãn nở áp suất Hầu hết các kết quả có đặc tính phi tuyến Để áp dụng đối với mô hình tổ chức

16

trong các hệ sinh học, các số hạng tương tác được đưa vào để ngăn cản sự đông cứng là

với là khoảng cách trung bình giữa các cá thể Xét tương tác giữa các hạt i

và j, nếu khoảng cách > thì chúng đẩy nhau, nếu thì chúng hút nhau Trọng số là tham số mô hình được định nghĩa từ lực hút-đẩy

Để xác định sự tồn tại của các pha, Y Tu đề xuất mô hình thế tương tác 4 miền như trong Hình 1-4 Từ đó xác định lực tác dụng lên hạt tại một vị trí bất

kỳ trong một không gian kích thước xác định [174] Cụ thể, ngoại lực trên cá

thể thứ i được tính tại mỗi bước thời gian được xác định là

(1.12)

a và b là các tham số đặc trưng cho lực sắp xếp và lực tự hợp giữa các cá thể

và Phương trình (1.12) biểu diễn dạng lực xác định theo miền

để nghiên cứu hành vi flocking Trong đó, là vận tốc cá thể và là véc tơ

đơn vị dọc theo đường tương tác giữa các cá thể i và j, là nhiễu ngẫu nhiên,

nó là một véc tơ lực có độ lớn và chiều ngẫu nhiên

Hình 1-4 Mô hình lực tương tác: miền 1 là lực đẩy, miền 2 chủ yếu là lực sắp xếp với lực hút yếu, miền 3 là lực hút mạnh và miền 4 không có tương tác [174]

17

Hành vi flocking thu được từ mô hình TT gồm 5 pha khác nhau mà nó

phụ thuộc vào tham số a, b được biểu diễn trong mặt phẳng a-b như trong

Hình 1-5 Kết quả là:

- b rất nhỏ: các hạt chuyển động không phụ thuộc nhau, không tạo nhóm,

về cơ bản là ngẫu nhiên tương ứng với Pha khí trong vật lý

- a, b nhỏ: các hạt không chuyển động phụ thuộc nhau tương ứng với Pha lỏng, nhưng vận tốc khối tâm của hệ bằng 0

- a lớn, b nhỏ: các hạt không chuyển động phụ thuộc nhau, Pha lỏng,

nhưng vận tốc khối tâm của hệ khác 0

- a lớn, b lớn: các vị trí không thay đổi tương ứng với Pha rắn, nhưng vận

tốc khối tâm của hệ khác 0

- a nhỏ, b lớn: các vị trí không thay đổi, Pha rắn, nhưng vận tốc khối tâm

18

, ở đó các thành phần đặc trưng cho tương tác của các con chim i

và j với nhau Các thành phần của A lấy giá trị trong khoảng từ (0…1]

Trong đó

ở đây Điều cần lưu ý là ma trận A thay đổi theo thời gian do vị trí của

các con chim thay đổi theo thời gian Để thuận lợi cho cách dùng hình thức

này, tác giả đề xuất ma trận Laplacian của A là , ở đây D là một

ma trận chéo trong đó thành phần chéo thứ i được định nghĩa là,

mô tả hành vi flocking luôn tồn tại lời giải đơn nhất đối với mọi Để thu được kết quả tổng quát đối với các điều kiện flocking ta phải tìm được

trị riêng của ma trận Laplacian L

Xét trọng số tương tác được định nghĩa có dạng nếu i và j có liên

kết, nếu như không có liên kết Đặt D là ma trận chéo, cùng kích

Các hành vi điển hình được nghiên cứu rộng rãi trong thời gian gần đây là schooling, flocking và swarming Các mô hình vật lý toán áp dụng tốt cho nghiên cứu các hành vi này hiện nay là SPP, TT hay CS với hai thông tin chủ đạo là quy tắc sắp xếp và nhiễu

Trong chương tiếp theo chúng tôi sẽ trình bày về các cơ sở lý thuyết vật lý trong việc nghiên cứu hành vi của các loài sinh vật Đó là những cơ sở lý thuyết quan trọng để chúng tôi xây dựng, đề xuất các mô hình mới nhằm giải quyết một số vấn đề phức tạp trong các lĩnh vực khoa học khác

a) Chuyển pha loại I

Lý thuyết Landau về chuyển pha có ý nghĩa cơ bản là năng lượng tự do được biểu diễn dưới dạng bội của thông số trật tự Năng lượng tự do được biểu diễn đến bậc 6 của thông số trật tự thì hệ trải qua chuyển pha loại I nếu

và , cụ thể là

Trong đó, biểu diễn sự phụ thuộc vào nhiệt độ của pha nhiệt độ cao gần điểm chuyển pha Trong chuyển pha loại I, các đại lượng này thay đổi một cách gián đoạn khi đi qua điểm tới hạn [5], [95]

 Độ cảm từ

Độ cảm từ đặc trưng cho sự phản ứng đối với từ trường B và nó được định

nghĩa bởi biểu thức

Để tính toán độ cảm từ, năng lượng tự do được mở rộng như sau:

(2.17)

Ta có

Tại nhiệt độ tới hạn, Do đó, ta thu được kết quả sau cho

độ cảm từ tại điểm chuyển pha

b) Chuyển pha loại II

Trong trường hợp thông số trật tự biến đổi nhỏ quanh điểm chuyển pha, ta

có thể bỏ qua lũy thừa bậc 6 Năng lượng tự do của hệ là

ở điều kiện tới hạn

c) Chuyển pha xoáy Kosterlitz-Thouless

Chuyển pha xoáy Kosterlitz-Thouless (KT) là chuyển pha trong mô hình spin XY 2 chiều [95], [97], [116] Nó là chuyển pha từ cặp xoáy thuận/nghịch

ở nhiệt độ dưới giá trị tới hạn và thành không có cặp xoáy thuận/nghịch khi nhiệt độ trên giá trị tới hạn Khảo sát một tập nhiệt độ tới hạn đối với mô hình

25

spin, người ta quan sát thấy tồn tại loại chuyển pha này Tuy nhiên, chuyển pha xoáy trong mô hình XY là mạnh hơn rất nhiều so với mô hình Heisenberg [155]

Để khảo sát dạng đơn giản của chuyển pha xoáy trong mô hình XY, ta xét

một mạng vuông kích thước L Hamiltonian của hệ là

trong đó, và tổng được tính trên các nút mạng lân cận gần nhất Chúng ta lấy và là góc của spin thứ i với một trục đã chọn Khai triển quanh điểm cực tiểu địa phương của H, ta có

ở đây, là toán tử vi phân bậc nhất, là một hàm xác định các nút mạng,

và tổng được xác định trên tất cả các vị trí Nếu xét hệ có cấu hình như trên

trong đó, | |R là bán kính của hệ Do đó, với một cấu hình biến đổi chậm thì

năng lượng tăng theo hàm logarit của kích thước hệ

Khai triển trên toàn miền từ đến , giá trị

tăng theo luật Do đó, nếu bây giờ ta xét một cấu hình xoáy có

ở đây, tổng được lấy theo các đường viền kín trên mạng và số q được định

nghĩa là tổng độ dài của phân bố xoáy nằm trong đường viền Nếu như chỉ có

một xoáy đơn nằm trong một đường viền như trên Hình 2-2 thì q = 1

Hình 2-2 Đường viền quanh tâm xoáy [97]

Bây giờ ta xét , với xác định phân bố góc của các spin trong cấu hình cực tiểu địa phương, và là độ lệch so với giá trị hàm phân bố Năng lượng của hệ bây giờ là

với các điều kiện

Rõ ràng là khi có giá trị như nhau trên tất cả các nút mạng, thì cấu hình

có năng lượng cực tiểu tuyệt đối tương ứng với với mọi đường viền khả

dĩ Chúng ta thấy từ phương trình (2.36) rằng, nếu như chúng ta co đường viền bé lại sao cho nó chỉ đi qua 4 nút mạng như trong Hình 2-2 thì ta sẽ thu được độ dài của xoáy mà tâm của nó định xứ trên một mạng nhân bản tại các nút mạng , các nút mạng nằm tại tâm của các hình vuông trên mạng gốc (ban đầu) [97] Từ đó, ta có thể xác định được hàm phân bố xoáy

ở đây, là bán kính của hệ, là giá trị cut-off cùng bậc với hằng số mạng a,

và là hàm Green của mạng vuông, bởi vậy Số hạng cuối cùng trong công thức (2.41) đòi hỏi điều kiện , nghĩa là xoáy toàn phần của hệ bị triệt tiêu, tương ứng với điều kiện trung hoà về điện của hệ Số hạng đầu tiên trong biểu thức trên mô tả kích thích sóng spin (SW) và nó làm triệt tiêu trật tự tầm xa Số hạng thứ hai là năng lượng tương tác của các xoáy và

nó là nguyên nhân gây ra chuyển pha

Nếu bỏ qua tất cả các cấu hình xoáy, chúng ta sẽ thu được hàm tương quan spin-spin dưới dạng

, (2.42) trong đó

a) Mô hình spin Ising

Mô hình spin Ising là một mô hình nghiên cứu sắt từ trong cơ học thống

kê Mô hình gồm các spin, nó có thể ở một trong hai trạng thái  hoặc , mỗi spin tương tác với hầu hết các spin lân cận của nó Mô hình Ising là một trong các mô hình thống kê đơn giản nhất để nghiên cứu sự chuyển pha

Để rõ hơn ta xét một mạng tinh thể, một cấu hình spin là một sự

sắp xếp của các giá trị spin trên mỗi nút mạng, tại mỗi vị trí j của mạng có một spin S j nhận giá trị bằng 1 hoặc 1 Trọng số tương tác J ij = J(ij) không đổi đối với phép tịnh tiến nhưng phụ thuộc vào trường ngoài h i Mô hình được định nghĩa bởi Hamintonian

bất kỳ ký hiệu là ― ‖, thì để đơn giản ta lấy đơn vị năng lượng là J Khi đó

mô hình được xác định hoàn toàn bởi biểu đồ và dấu của J Mỗi biểu đồ sẽ

xác nhận một mô hình spin Ising sắt từ khi và một mô hình Ising phản sắt từ khi Một cách tổng quát hơn, tương tác có thể có độ lớn không

đổi J nhưng dấu thay đổi phụ thuộc vào cạnh, vì vậy Lúc này mô hình spin chuyển về một biểu đồ có dấu

Mô hình Ising sắt từ hai chiều trên một mạng vuông được định nghĩa bằng cách đặt tại mỗi nút mạng một spin Năng lượng của hệ là

với Chú ý rằng chỉ tính tổng tương tác giữa mỗi vị trí với lân cận bên phải của nó và lân cận phía dưới, mỗi cạnh chỉ được tính một lần Mô hình Ising trường trung bình là mô hình Ising trên một biểu đồ hoàn chỉnh, ở đó mỗi đỉnh được nối với tất cả các đỉnh còn lại

Các spin sẽ ―ngẫu nhiên‖ khi năng lượng nhiệt lớn hơn độ dài tương quan

b) Mô hình spin XY

Mô hình XY cổ điển còn được gọi là mô hình quay cổ điển hay mô hình

O(2) Trong mô hình XY, các spin cổ điển hai chiều tại các vị trí mạng

được biểu diễn bởi một véc tơ trên một mặt hai chiều, nếu tham số hoá trong toạ độ cực với giả thiết spin có giá trị đơn vị, ta có

(cos ( ),sin ( ))