Đề thi môn Chuyên khối 11 HK1

Tính diện tích thiết diện đó theo a.[r]

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

TRƯỜNG THPT CHUYÊN ĐỀ THI MÔN CHUYÊN HỌC KÌ I NĂM HỌC 2015 – 2016

Môn thi: Toán – Lớp 11; Thời gian: 150 phút

Câu 1 (1,5 điểm) Giải phương trình

sin xcos xcosxsinx cosx1

Câu 2 (1,5 điểm) Cho x y z, , là 3 số thỏa mãn sinxsinysinz 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

P  x y z

Câu 3 (1,5 điểm) Cho tập E 1; 2; 3 

Có bao nhiêu số tự nhiên có 7 chữ số đôi một khác nhau sao cho trong mỗi số đều có cả ba chữ số của tập E, đồng thời không có

bất kì hai chữ số nào của E đứng cạnh nhau?

Câu 4 (1,5 điểm) Cho dãy số  x n n 1

 được xác định bởi

2

1 2, n 1 2 n 3 n 4, 1

x  x  x  x  n 

Chứng minh rằng x   n với mọi n 1.

Câu 5 (2,0 điểm) Cho hình chóp S ABC. . Gọi E là trung điểm BC, H là trung

điểm AE, O là trung điểm SH. Lấy hai điểm A B', ' lần lượt nằm trên hai cạnh SA

và SB sao cho OA B' '

cắt đoạn thẳng SC tại C'

a) Nêu cách xác định điểm C '.

b) Tính giá trị của biểu thức 2. ' ' '.

SA SB SC P

SA SB SC

Câu 6 (2,0 điểm) Cho hình hộp ABCD A B C D ' ' ' ' có tất cả các mặt là hình vuông cạnh a. Gọi E F, lần lượt là trung điểm của B C' ' và A B' Dựng thiết diện tạo bởi

D EF' 

với hình hộp đã cho Tính diện tích thiết diện đó theo a

- HẾT

-Thí sinh không được sử dụng tài liệu Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm!

Họ và tên thí sinh: ; Số báo danh:

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

TRƯỜNG THPT CHUYÊN ĐÁP ÁN ĐỀ THI MÔN CHUYÊN HỌC KÌ I

NĂM HỌC 2015 – 2016

Môn thi: Toán – Lớp 11; Thời gian: 150 phút

Câu Đáp án Điểm Câu

1

(1,5đ

)

Giải phương trình

sin xcos xcosx sinx cosx1

Phân tích phương trình đã cho về dạng

sinx cosx sin3x cos3x 1 0 1,0

Từ đó giải được nghiệm của phương trình là

x k x  k  x k  k  0,5

Câu

2

(1,5đ

)

Cho x y z, ,

là 3 số thỏa mãn sinxsinysinz 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

P  x y z

Đặt xa y, b z, c

Ta có sinasinbsinc1; P sin3asin3bsin3c 0,5 Trước hết ta chứng minh bất đẳng thức

 3

3 3

4

u v

u v  

với u v, thỏa mãn u v 0 (1)

Thật vậy (1) tương đương với u v  2 u v  0

0,5

Chú ý rằng, từ đẳng thức sinasinbsinc1 suy ra có ít nhất 1 trong

3 số sin , sin , sina b c dương, giả sử sinc  0. Rõ ràng ta cũng có

sinasinb0 Khi đó áp dụng (1) ta được

3 3

3

Từ đó suy ra

1. 9

P 

Dấu đẳng thức xảy ra khi

1

3

x  y 

0,5

Câu

3

(1,5đ

)

Cho tập E 1; 2; 3 

Có bao nhiêu số tự nhiên có 7 chữ số đôi một khác nhau sao cho trong mỗi số đều có cả ba chữ số của tập E, đồng thời không có bất kì hai

chữ số nào của E đứng cạnh nhau?

Giả sử số có 7 chữ số thỏa mãn ycbt là a a a a a a a1 2 3 4 5 6 7. Suy ra 3 chữ số

của tập E phải là 3 chữ số được liệt kê dưới đây:

0,5

1 a a a1, , ;3 5

2 a a a1, , ;3 6

3 a a a1, , ;3 7

4 a a a1, , ;4 6

5 a a a1, , ;4 7

6 a a a1, , ;5 7

7 a a a2, , ;4 6

8 a a a2, , ;4 7

9 a a a2, , ;5 7

10 a a a3, , 5 7

Số các số thỏa mãn ycbt trong mỗi trường hợp từ TH 1 đến TH 6 đều

bằng 3!.A 74 5040

Số các số thỏa mãn ycbt trong mỗi trường hợp từ TH 7 đến TH 10 đều

bằng  4 3

3! A  A 4320

0,5

Từ đó ta có kết quả của bài toán 6 5040 4 4320 47520    0,5

Câu

4

(1,5đ

)

Cho dãy số  x n n 1

 được xác định bởi

2

1 2, n 1 2 n 3 n 4, 1

x  x   x  x  n 

Chứng minh rằng x   n với mọi n 1.

Ta có x 2 8 và

x   x  x   x   x x x   0,5

Suy ra x n2, x n

là các nghiệm của phương trình bậc hai

X  x X x  

0,5

Theo định lý Viet ta có x n2 x n 4x n1, hay x n2 4x n  x n,n 1

Câu

5

(2,0đ

)

Cho hình chóp S ABC . Gọi E là trung điểm BC, H là trung điểm AE, O là

trung điểm SH. Lấy hai điểm A B', ' lần lượt nằm trên hai cạnh SA và SB sao

cho OA B' '

cắt đoạn thẳng SC tại C '

a) Nêu cách xác định điểm C '.

b) Tính giá trị của biểu thức 2. ' ' '.

SA SB SC P

SA SB SC

a) Trong SAE,

gọi I A O' SE

Trong SBC,

gọi C'B I' SC

Khi đó C 'OA B' ' SC

1,0

b) Ta chứng minh

SB SC  SI

Thật vậy, ta có

0,5

SB SC  S  S  S  SB SE  SC SE

SB SC SI SB SC SB SC

SB SC SE SB SC



SE SB SC SB SC SB SC



Chứng minh tương tự ta có

'

SA SE SH

SA  SI  SO

Từ đó suy ra

P

0,5

Câu

6

(2,0đ

)

Cho hình hộp ABCD A B C D ' ' ' ' có tất cả các mặt là hình vuông cạnh a. Gọi ,

E F

lần lượt là trung điểm của B C' ' và A B' Dựng thiết diện tạo bởi D EF'  với hình hộp đã cho Tính diện tích thiết diện đó theo a

Gọi I D E' A B' ', đường thẳng IF cắt BB AA', ' lần lượt tại M và

N Khi đó thiết diện tạo bởi D EF' 

với hình hộp đã cho là tứ giác

'

MED N

1,0

Vì D EF' 

cắt hai mặt phẳng song song BCC B' ' , ADD A' '

theo hai

Ta có M là trọng tâm của tam giác BIA' nên

2.

BM

1.

AN

AA 

Sử dụng định lý Pitago ta tính được

0,5

Kẻ MM EE', '

vuông góc với ND' theo thứ tự tại M ' và E '. Đặt

2

2

2 2 2

10

9

6

a

x h

a

y h

a

x y







Từ đó suy ra

2 '

MED N

0,5