Về thuật toán chiếu giải bài toán chấp nhận được lồi

Ý tưởng của thuật toán là: chiếu trên từng tập Ci hoặc trên tậpxấp xỉ của nó để tạo ra dãy các điểm mà chúng hội tụ tới nghiệm của bài toánchấp nhận được lồi.. Chương này nhắc lại một số

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌCGS.TS TRẦN VŨ THIỆU

Thái Nguyên - 2017

Mục lục

1.1 Không gian Hilbert thực 6

1.1.1 Khái niệm cơ bản 6

1.1.2 Đồng nhất thức và bất đẳng thức cơ bản 8

1.1.3 Toán tử tuyến tính và phiếm hàm 9

1.1.4 Tôpô mạnh và tôpô yếu 9

1.2 Ánh xạ không giãn và toán tử chiếu 11

1.3 Ánh xạ co và dãy đơn điệu Fejér 14

Chương 2 Thuật toán giải bài toán chấp nhận được lồi 19 2.1 Mô tả sơ đồ thuật toán 19

2.2 Tính chất cơ bản của thuật toán 21

2.3 Kết quả hội tụ 23

2.4 Thuật toán chiếu 29

`2 Không gian các dãy số vô hạn

|x| Giá trị tuyệt đối của x ∈ R

(x(n)) hay {xk} Dãy điểm trong H

xk * x0 xk hội tụ yếu tới x0

xk → x0 xk hội tụ mạnh (hội tụ theo chuẩn) tới x0

hx, yi tích vô hướng của hai véctơ x, y ∈ H

[x, y] Đoạn thẳng nối x và y

x ≤ y Véctơ x nhỏ hơn hay bằng véctơ y (xi ≤ yi, ∀i = 1, , n)

x ≥ y Véctơ x lớn hơn hay bằng véctơ y (xi ≥ yi, ∀i = 1, , n)conv{x1, , xk} Bao lồi của các điểm x1, , xk

x ∈ X x là một phần tử của tập X

x /∈ X x không là phần tử của tập X

dC(x) Khoảng cách từ điểm x tới tập C

A + B Tổng véctơ của hai tập A và B

A − B Hiệu véctơ của hai tập A và B

conv S Bao lồi của tập S

convS Bao lồi đóng của tập S

affS Bao afin đóng của tập S

span S Không gian con tuyến tính nhỏ nhất của H chứa S

icr S Lõi bên trong của S (= intaf f SS)

r+

Phần dương của số r ∈ R = max{r, 0}

lim Giới hạn trên (của dãy số thực)

lim Giới hạn dưới (của dãy số thực)

∀x Với mọi x

∃x Tồn tại x

Id Toán tử đồng nhất trong H

PC Toán tử chiếu lên tập C

Fix T Tập điểm bất động của toán tử T

MỞ ĐẦU

Trong toán học và vật lý học hiện đại (ví dụ, chụp X quang điện toán hóa),

ta thường gặp bài toán sau đây với tên gọi là bài toán chấp nhận được lồi(convex feasibility problem), phát biểu toán học chính xác của bài toán nhưsau: Cho H là một không gian Hilbert và C1, C2, , CN là các tập lồi đóngtrong H với giao C = C1 ∩ C2 ∩ ∩ CN 6= ∅ Hãy tìm một điểm x ∈ C?

Có hai loại bài toán chính thường gặp:

1 Các tập Ci đơn giản, theo nghĩa có thể tính được hình chiếu (ánh xạ điểmgần nhất) trên Ci Chẳng hạn, khi Ci là một siêu phẳng hay nửa không gian

2 Không thể tính trực tiếp hình chiếu trên Ci, tuy nhiên có thể mô tả hìnhchiếu trên tập xấp xỉ nào đó rộng hơn Ci Thường, Ci là tập mức dưới của mộthàm lồi nào đó

Tiếp cận hay được sử dụng để giải bài toán chấp nhận được lồi là thuậttoán chiếu Ý tưởng của thuật toán là: chiếu trên từng tập Ci (hoặc trên tậpxấp xỉ của nó) để tạo ra dãy các điểm mà chúng hội tụ tới nghiệm của bài toánchấp nhận được lồi Đó cũng là cách tiếp cận được phân tích, nghiên cứu vàtrình bày trong tài liệu tham khảo [3]

Đề tài luận văn “Về thuật toán chiếu giải bài toán chấp nhận được lồi” nhằmmục đích tìm hiểu và giới thiệu nội dung bài báo [3], trong đó trình bày nghiêncứu cải tiến, hợp nhất và điểm lại các kết quả nghiên cứu trước đó về các thuậttoán chiếu

Luận văn đề cập tới bài toán chấp nhận được lồi trong không gian Hilbert

và thuật toán chiếu giải bài toán Luận văn gồm hai chương:

Chương 1 “Kiến thức chuẩn bị” Chương này nhắc lại một số kiến thức cơbản về không gian Hilbert, ánh xạ không giãn, toán tử chiếu và một số kiếnthức liên quan Tài liệu chính được sử dụng [1] - [4] Trong chương có một sốtiểu mục sau:

1.1 Không gian Hilbert thực: nhắc lại các khái niệm và sự kiện cơ bản (luậthình bình hành, toán tử tuyến tính, sự hội tụ mạnh, hội tụ yếu, )

1.2 Ánh xạ không giãn và toán tử chiếu: Các khái niệm và tính chất (ánh

xạ không giãn bền vững, ánh xạ trung bình, nguyên lý bán đóng, )

1.3 Ánh xạ co và dãy đơn điệu Fejér: Tính chất cơ bản của toán tử dùngtrong sơ đồ lặp và của dãy lặp nhận được.

Chương 2 “Thuật toán giải bài toán chấp nhận được lồi” Chương này đềcập tới các thuật toán (bao gồm thuật toán chiếu) giải bài toán chấp nhậnđược lồi Tài liệu chính được sử dụng [3], [5], [6] Chương 2 có một số tiểu mụcsau:

2.1 Mô tả sơ đồ thuật toán: chính quy tiệm cận, nới lỏng, kỳ dị, trọng số, 2.2 Tính chất cơ bản của thuật toán: Các tính chất, ví dụ và nhận xét.2.2 Các kết quả hội tụ: Định lý lưỡng phân I và sự hội tụ theo tôpô yếu.2.3 Thuật toán chiếu: Nguyên mẫu của thuật toán chiếu hội tụ, hội tụ tuyếntính, định lý lưỡng phân II và sự hội tụ theo tôpô yếu,

Do thời gian có hạn nên luận văn này chủ yếu chỉ dừng lại ở việc tìm hiểu,tập hợp tài liệu, sắp xếp và trình bày các kết quả nghiên cứu đã có theo chủ đềđặt ra Trong quá trình viết luận văn cũng như trong soạn thảo văn bản chắcchắn không tránh khỏi có những sai sót nhất định Tác giả luận văn rất mongnhận được sự góp ý của các thầy cô và các bạn đồng nghiệp để luận văn đượchoàn thiện hơn

Nhân dịp này, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy hướng dẫnGS.TS Trần Vũ Thiệu đã tận tình giúp đỡ trong suốt quá trình làm luận văn.Tác giả cũng xin chân thành cảm ơn các GS, PGS, TS của Khoa Toán-Tin,Trường Đại học Khoa học Thái Nguyên và của Viện Toán học, Viện Công nghệthông tin thuộc Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam đã giảng dạy

và tạo mọi điều kiện thuận lợi trong quá trình tác giả học tập và nghiên cứu

Thái Nguyên, tháng 5 năm 2017

Tác giả luận vănPhạm Thị Giang

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Chương này nhắc lại một số kiến thức cơ bản về không gian Hilbert: Cácđồng nhất thức, bất đẳng thức hữu ích, ánh xạ không giãn, nguyên lý bánđóng, toán tử chiếu, ánh xạ co (co mạnh) và một số kiến thức liên quan Nộidung của chương được tham khảo chủ yếu từ các tài liệu [1] - [4]

1.1.1 Khái niệm cơ bản

Định nghĩa 1.1 Không gian tiền Hilbert (pre-Hilbert space) là một khônggian véctơ X trên R (hoặc C) cùng với tích vô hướng (inner product) xác địnhbởi h·, ·i : X × X → R (hoặc C) thỏa mãn với x, y, z ∈ X và λ ∈ R (hoặc C):(i) hx, xi ≥ 0,

Ví dụ 1.1 (i) Rn với tích vô hướng hx, yi =Pn

i=1xiyi là không gian Hilberttrên R

(ii) Cn với tích vô hướng hu, vi = Pn

i=1 = uivi là không gian Hilbert trên

(iv) L2[0, 1], L2[a, b] và L2[R] tất cả đều là các không gian Hilbert đối vớitích vô hướng

ha, bi =

Z

f g(tích phân được lấy trên miền thích hợp)

Cho H là một không gian Hilbert thực (hx, yi, λ ∈ R) với tích vô hướng h·, ·i

và chuẩn k · k Ký hiệu d là khoảng cách, nghĩa là

Hình cầu đơn vị đóng của H ký hiệu là B(0, 1) = {x ∈ H | kxk ≤ 1}.Dãy {xk} trong H gọi là hội tụ yếu tới x0, ký hiệu xk * x0, nếu ha, xki →

ha, x0i với mỗi a ∈ H Dãy {xk} trong H gọi là hội tụ mạnh tới x0, ký hiệu

xk → x0, nếu kxk − x0k → 0 (còn gọi hội tụ theo tích vô hướng và hội tụ theochuẩn)

1.1.2 Đồng nhất thức và bất đẳng thức cơ bản

Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz Giả sử x, y ∈ H Khi đó

|hx, yi| ≤ kxkkyk

Hơn nữa, |hx, yi| = kxkkyk ⇔ (∃α ∈ R+) x = αy hay y = αx

Bổ đề 1.1 Giả sử x, y và z ∈ H Khi đó, các điều sau là đúng:

(i) kx + yk2 = kxk2 + 2hx, yi + kyk2

(ii) Luật hình bình hành: kx + yk2 + kx − yk2 = 2(kxk2 + kyk2)

(iii) Đồng nhất thức phân cực: kx + yk2 − kx − yk2 = 4hx, yi

(iv) Đồng nhất thức Apollonius:

kx − yk2 = 2kz − xk2 + 2kz − yk2− 4kz − (x + y)/2k2.Chứng minh (i) Kiểm tra dễ dàng

(ii) và (iii): Từ (i) suy ra

kx − yk2 = kxk2 − 2hx, yi + kyk2.Lần lượt cộng và trừ (i) với đồng nhất thức này, ta nhận được (ii) và (iii).(iv) Áp dụng (i) đối với (z − x)/2 và (z − y)/2

Bổ đề 1.2 Giả sử x và y ∈ H Khi đó, các điều sau là đúng:

(i) hx, yi ≤ 0 ⇔ (∀α ∈ R+) kxk ≤ kx − αyk ⇔ (∀α ∈ [0, 1]) kxk ≤ kx − αyk.(ii) x ⊥ y ⇔ (∀α ∈ R) kxk ≤ kx − αyk ⇔ (∀α ∈ [−1, 1]) kxk ≤ kx − αyk.Chứng minh (i) Để ý rằng

(∀α ∈ R) kx − αyk2 − kxk2 = α(αkyk2 − 2hx, yi)

Từ đó trực tiếp suy ra có chiều thuận (⇒) Ngược lại, ∀α ∈ [0, 1], kxk ≤ kx−αk,

từ đẳng thức trên suy ra hx, yi ≤ αkyk2/2 Khi α ↓ 0, ta nhận được hx, yi ≤ 0.(ii) là hệ quả của (i), bởi vì x ⊥ y ⇔ [hx, yi ≤ 0 và hx, −yi ≤ 0]

Hệ quả 1.1 Giả sử x ∈ H, y ∈ H và α ∈ R Khi đó,

kαx + (1 − α)yk2 + α(1 − α)kx − yk2 = αkxk2 + (1 − α)kyk2

Mệnh đề 1.1 (Tính lồi chặt) Nếu x, y ∈ H thì

kx + yk = kxk + kyk kéo theo kyk · x = kxk · y

Chứng minh Suy ra từ luật bình hành

1.1.3 Toán tử tuyến tính và phiếm hàm

Cho X và Y là hai không gian tuyến tính định chuẩn thực Ta nhắc lại,toán tử T : X → Y là tuyến tính nếu T [αx + βy] = αT x + βT y, ∀x, y ∈ X,

∀α, β ∈ R Toán tử tuyến tính T là liên tục tại một điểm thuộc X khi và chỉkhi T liên tục Lipschitz Đặt

Định lý Riesz - Fréchet Giả sử f ∈ L(H, R) Khi đó, tồn tại duy nhấtvéctơ u ∈ H sao cho (x ∈ H) f (x) = hx, ui Hơn nữa, kf k = kuk

Cho K là không gian Hilbert thực và T : H → K liên hợp (adjoint) của T

là toán tử duy nhất T∗ ∈L(K, H) thỏa mãn

(∀x ∈ H) (∀y ∈ K) hT x, yi = hx, T∗yi

1.1.4 Tôpô mạnh và tôpô yếu

Tôpô metric của (H, d), tức là tôpô nhận họ tất cả các hình cầu mở làm

cơ sở lân cận, được gọi là tôpô mạnh (strong topology) hay tôpô theo chuẩn(norm topology) của H Như vậy, lưới (xa)a∈A trong H hội tụ mạnh (convergesstrongly) tới điểm x nếu kxa− xk → 0, ký hiệu xa → x

Khi sử dụng mà không nói gì thêm, các khái niệm tôpô trong H (đóng, mở,lân cận, liên tục, compac, hội tụ, ) sẽ luôn được hiểu theo nghĩa tôpô mạnh.Một khái niệm tôpô rất quan trọng khác (tôpô yếu) cũng được đề cập tới

Định nghĩa 1.2 Tôpô yếu (weak topology) của H được tạo nên bởi cơ sở lâncận gồm họ tất cả các tương giao hữu hạn các nửa không gian mở của H.

Ta ký hiệu không gian tôpô nhận được là Hyếu Ta nhắc lại, không gian tô

pô X là không gian Hausdorff nếu với hai điểm khác biệt bất kỳ x và y trong

X đều tồn tại các tập mở Vx3 x và Vy 3 y sao cho Vx∩ Vy = ∅ Ta có

Bổ đề 1.3 Hyếu là không gian Hausdorff

Chứng minh Giả sử x và y là hai điểm khác biệt trong H Đặt u = x − y và

w = (x + y)/2 Khi đó {z ∈ H : hz − w, ui > 0} và {z ∈ H : hz − w, ui < 0}lần lượt là hai lân cận yếu (nửa không gian mở) rời nhau của x và y

Về hình học, có thể giải thích sự hội tụ mạnh và yếu của lưới (xa)a∈A trong

H tới x ∈ H như sau: xa → x (hội tụ mạnh) có nghĩa là d{x}(xa) → 0 (khoảngcách từ xa tới x dần tới 0); trong khi đó xa * x (hội tụ yếu) có nghĩa là

dC(xa) → 0 (khoảng cách từ xa tới C dần tới 0) đối với mọi siêu phẳng đóng

C chứa x

Tính chất đặc trưng của không gian Hilbert vô hạn chiều H là: hình cầuđơn vị đóng trong H không là tập compac

Mệnh đề 1.2 Các điều sau là tương đương

(i) H là hữu hạn chiều

(ii) Hình cầu đơn vị đóng B(0, 1) của H là compac

(iii) Tôpô yếu của H trùng với tôpô mạnh của H

(iv) Tôpô yếu của H metric hóa được

Ta nhắc lại, không gian tôpô X gọi là metric hóa được nếu tôpô của nótrùng với tôpô metric (tôpô nhận họ tất cả các hình cầu mở làm cơ sở lân cận).Mệnh đề sau cho thấy khi nào tôpô yếu của H metric hóa được

Mệnh đề 1.3 Tôpô yếu của hình cầu đơn vị đóng B(0, 1) của H metric hóađược khi và chỉ khi H là tách (tức H có một cơ sở trực chuẩn đếm được).Điều khác biệt đáng chú ý là mọi hình cầu đơn vị đóng là compac yếu Tínhchất sâu sắc và cơ bản này được biết với tên gọi định lý Banach - Alaoglu.Mệnh đề 1.4 (Định lý Banach - Alaoglu) Hình cầu đơn vị đóng của H làcompac yếu (compac trong tôpô yếu)

Bổ đề 1.4 Giả sử C là một tập con của H Khi đó C là tập compac yếu khi

và chỉ khi C đóng yếu và bị chặn

Mệnh đề sau đây nêu tính chất đặc trưng của dãy hội tụ mạnh

Mệnh đề 1.5 Giả sử (xn)n∈N là một dãy trong H và x ∈ H Khi đó, xn → x

⇔ [xn * x và kxnk → kxk]

• Ánh xạ không giãn Ánh xạ T : D → H, trong đó D là một tập con lồiđóng khác rỗng của H, được gọi là không giãn (nonexpansive) nếu

kT x − T yk ≤ kx − yk với mọi x, y ∈ D

Nếu kT x − T yk = kx − yk với mọi x, y ∈ D thì ta nói T là một ánh xạ đẳng

cự (isometry) Trái lại nếu kT x − T yk < kx − yk với mọi x, y ∈ D thì ta nói T

là một ánh xạ không giãn chặt (strictly nonexpansive mapping) Nếu T là mộtánh xạ không giãn thì tập tất cả các điểm bất động Fix T được xác định bởi

kéo theo x ∈ Fix T,

trong đó các ký hiệu “→” và “*” lần lượt chỉ sự hội tụ theo chuẩn và hội tụyếu

Rõ ràng là ánh xạ đồng nhất Id là không giãn và dễ thấy rằng tổ hợp lồi củacác ánh xạ không giãn cũng là không giãn Nói riêng, nếu N là ánh xạ khônggiãn thì (1 − α) Id +αN cũng là ánh xạ không giãn với mọi α ∈ [0, 1)

Các ánh xạ này được gọi là ánh xạ trung bình (averaged mappings) Ánh xạkhông giãn bền vững (firmly nonexpansive) là ánh xạ không giãn có thể viếtdưới dạng

Mệnh đề 1.6 Nếu D là một tập con lồi đóng của H và T : D → H là mộtánh xạ, thì các điều kiện sau là tương đương:

(i) T là ánh xạ không giãn bền vững

(ii) kT x − T yk2 ≤ hT x − T y, x − yi với mọi x, y ∈ D

(iii) 2T − Id là ánh xạ không giãn

Một ánh xạ được gọi là không giãn bền vững nới lỏng (relaxed firmly expansive) có thể biểu diễn nó dưới dạng

non-(1 − α) Id +αF với ánh xạ không giãn bền vững F nào đó

Hệ quả 1.2 Cho D là một tập con lồi đóng của H và T : D → H là một ánh

xạ Khi đó T là ánh xạ trung bình khi và chỉ khi T là ánh xạ không giãn bềnvững nới lỏng

• Toán tử chiếu Cho tập con lồi đóng khác rỗng C của H, ánh xạ đưamỗi điểm tới điểm gần nó nhất trong C (theo chuẩn cảm sinh bởi tích vô hướngcủa H) được gọi là phép chiếu lên C và ký hiệu là PC

Mệnh đề 1.7 Giả sử C là một tập con lồi đóng khác rỗng của H với phépchiếu PC Khi đó,

(i) PC là ánh xạ không giãn bền vững

(ii) Nếu x ∈ H thì PCx được đặc trưng bởi

PCx ∈ C và hy − PCx, x − PCxi ≤ 0, ∀y ∈ C

Như vậy, có thể thấy các quan hệ sau đây giữa các loại toán tử nêu trên

chiếu

⇓không giãn bền vững

⇓không giãn bền vững nới lỏng = trung bình

⇓đẳng cự ⇒ không giãn ⇐ không giãn chặtHàm liên kết d(·, C) : H → R : x 7→ infc∈Ckx − ck = kx − PC(x)k được gọi

là hàm khoảng cách (distance function) tới C Có thể chứng minh được rằngd(·, C) là hàm lồi và liên tục (do đó nửa liên tục dưới)

Chất lượng hội tụ của thuật toán sẽ được bàn tới theo ngôn từ hội tụ tuyếntính (linear convergence): dãy (xn) trong H được gọi là hội tụ tuyến tính tớigiới hạn x (với tốc độ β) nếu β ∈ [0, 1) và tồn tại α ≥ 0 sao cho

kxn− xk ≤ αβn với mọi n

Mệnh đề 1.8 Giả sử (xn) là một dãy trong H, p là một số nguyên dương và x

là một điểm trong H Nếu (xpn)n hội tụ tuyến tính tới x và (kxn− xk)n giảm.Khi đó toàn bộ dãy (xn)n hội tụ tuyến tính tới x

Chứng minh Tồn tại α ≥ 0 và β ∈ [0, 1) sao cho

và từ đây suy ra kết quả

Cuối cùng chúng ta nhắc lại một số ký hiệu sau đây: Nếu S và Y là cáctập con bất kỳ của H, thì các ký hiệu span S, convS, S, intY S, icr S và int S lầnlượt là không gian con tuyến tính nhỏ nhất của H chứa S, bao lồi đóng của

S, bao đóng của S, phần trong của S đối với Y , lõi bên trong (intrinsic core)của S (= intaffS, trong đó affS là bao afin đóng của S) và phần trong của S(= intHS)

S được gọi là một nón nếu nó lồi, khác rỗng và đóng đối với phép nhân với

số không âm Nếu S là giao của một số hữu hạn các nửa không gian (đóng) thì

S là một tập lồi đa diện (polyhedron)

Nếu r là một số thực thì r+ := max{r, 0} được gọi là phần dương của r.Với các dãy số thực, thì ký hiệu lim (lim) là giới hạn trên (giới hạn dưới) Đôikhi ta còn dùng các lượng tử ∀ (với mọi) và ∃ (tồn tại) để câu được ngắn gọn

1.3 Ánh xạ co và dãy đơn điệu Fejér

Mục này bàn tới hai khái niệm quan trọng Khái niệm thứ nhất tổng quát ýtưởng các ánh xạ không giãn trung bình (tương ứng, ánh xạ không giãn chặt).Định nghĩa 1.3 Giả sử D là một tập con lồi đóng khác rỗng, T : D → D làánh xạ không giãn, và F là một tập con lồi đóng khác rỗng của D Ta nói rằng

T co đối với F (attracting w.r.t.) nếu với mọi x ∈ D\F, f ∈ F

Nhận xét 1.1 Định nghĩa trên khá tổng quát Như sẽ thấy, lớp các ánh xạ

co mạnh chứa như trường hợp riêng tất cả các ánh xạ không giãn trung bình

và do đó chứa tất cả các phép chiếu nới lỏng - những ánh xạ chính mà ta quantâm

Ánh xạ x 7→ 1 − ln(1 + er) là ví dụ đầu tiên về ánh xạ không giãn chặtnhưng không là ánh xạ trung bình, do đó lớp ánh xạ co thực sự rộng hơn lớpánh xạ co mạnh Cuối cùng không lớp nào chứa lớp đẳng cự với điểm bất động.Các mệnh đề ngăn chặn riêng được minh họa bởỉ ví dụ sau đây

Ví dụ 1.2 Cho D là khoảng đối xứng lồi đóng trong R chứa [−1, +1] Đặt

• T là ánh xạ không giãn và Fix T = {0}

• T không là ánh xạ không giãn chặt

• T là ánh xạ co.

• T là ánh xạ co mạnh khi và chỉ khi D là compac

Bổ đề 1.5 (Nguyên mẫu của ánh xạ co mạnh) Giả sử D là một tập con lồiđóng khác rỗng, T : D → D là ánh xạ không giãn bền vững có điểm bất động

và α ∈ (0, 2) Giả sử R := (1 − α) Id +αT và cố định x ∈ D, f ∈ F ixT Khi đó(i) Fix R = Fix T

Hệ quả 1.3 Nếu P là phép chiếu lên một tập lồi đóng khác rỗng S nào đó

và α ∈ (0, 2) thì R := (1 − α) Id +αP là (2 − α)/α-co đối với S và với x ∈ H,

Tn là κ-co đối với F và limnκn > 0 Hơn nữa giả sử dãy (xn) được xác định bởi

x0 ∈ D tùy ý, xn+1 := Tnxn với mọi n ≥ 0

Khi đó (xn) là chính qui tiệm cận

Chứng minh Cố định f ∈ F và chọn 0 < κ < limnκn Khi đó, với mọi n đủlớn ta có

κkxn−1− xnk2 ≤ kxn−1− f k2 − kxn− f k2.Cộng các bất đẳng thức này cho thấy rằng Pnkxn−1− xnk2 là hữu hạn Từ

đó suy ra điều cần chứng minh

Hệ quả 1.4 Giả sử D là tập lồi đóng khác rỗng và T : D → D là ánh xạ comạnh với các điểm bất động Khi đó, dãy lặp (Tnx0)n≥0 là chính qui tiệm cậnvới mọi x0 ∈ D.

Mệnh đề sau chỉ ra các ánh xạ co (mạnh) đối với hợp và tổ hợp lồi

Fix T1 ∩ Fix T2 = {0} ⊆ và 6= H ≡ Fix(T2T1)

Do đó công thức về các tập điểm bất động cho ở (i) của mệnh đề vừa nêu nóichung không đúng đối với các ánh xạ không giãn

i=1λiTi là ánh xạ co

(ii) Nếu mọi Ti là κt-co thì PN

i=1λiTi là min{κ1, , κN}-co

Nhận xét 1.3 Khác với nhận xét trước đây, có thể chứng minh rằng côngthức Fix

Ví dụ 1.4 Giả sử S1, , SN là các tập lồi đóng khác rỗng với các phép chiếu

P1, , PN và với giao khác rỗng Khi đó,

T := P1 + P2P1 + + PNPN −1 P1

N

co chặt, Fix T = TNi=1Si và dãy lặp (Tnx0) là chính quy tiệm cận với mọi x0.Khái niệm thứ hai về các tính chất lặp căn bản của các ánh xạ không giãn.Định nghĩa 1.5 Giả sử C là một tập lồi đóng khác rỗng và {xn} là một dãytrong H {xn} là dãy đơn điệu Fejér với C nếu

kxn+1− ck ≤ kxn − ck với mọi c ∈ C và mọi n ≥ 0

Định lý 1.1 (Tính chất cơ bản của dãy đơn điệu Fejér) Giả sử {xn}n≥0 làmột dãy đơn điện Fejér đối với C Khi đó,

(i) {xn} bị chặn và d(xn+1, C) ≤ d(xn, C)

(ii) {xn} có nhiều nhất một điểm tụ yếu trong C Do đó {xn} hội tụ yếu vềmột điểm nào đó trong C khi và chỉ khi mọi điểm tụ yếu của {xn} nằmtrong C

(iii) Nếu phần trong của C khác rỗng, thì {xn} hội tụ theo chuẩn

(iv) Dãy {PCxn} hội tụ theo chuẩn

(v) Các điều sau đây là tương đương:

(a) {xn} hội tụ theo chuẩn về một điểm nào đó trong C

(b) {xn} có các điểm tụ theo chuẩn, tất cả đều nằm trong C

(c) {xn} có các điểm tụ theo chuẩn, trong đó có một điểm nằm trong C.(d) d(xn, C) → 0

kxn− xk ≤ 2(1 − α)n/2d(x0, C) với mọi n ≥ 0

Nhận xét 1.4 Như chúng ta biết, khái niệm đơn diệu Fejér đã được Motzkin

và Schoenberg đưa ra năm 1954

Ví dụ 1.5 (Phép lặp Krasnoselski/Mann) Giả sử C là một tập lồi đóng khácrỗng, T : C → C là một ánh xạ không giãn có điểm bất động và dãy (xn) chobởi

x0 ∈ C, xn+1 := (1 − tn)xn+ tnT xn

với mọi n ≥ 0 và một dãy (tn)n≥0 nào đó trong [0, 1] Khi đó (xn) là dãy đơnđiệu Fejér đối với Fix T

Nhận xét 1.5 Trước đó phép lặp Krasnoselski/Mann đã được nghiên cứutrong không gian Hilbert Khi đó một số tác giả đã sử dụng một cách khôngtường minh các tính chất của dãy đơn điệu Fejér Tuy nhiên nhiều tiến bộ tolớn đã thu được và ngày nay phép lặp này đang được nghiên cứu trong cáckhông gian định chuẩn và các không gian tổng quát hơn.

Ví dụ 1.6 (Ví dụ 1.4 tiếp) Dãy (Tnx0) hội tụ yếu tới một điểm bất động nào

đó của T với mọi x0

Chứng minh Dãy (Tnx0) là chính quy tiệm cận (Ví dụ 1.4) và đơn điệu Fejérđối với Fix T (Ví dụ 1.5) Theo nguyên lý bán đóng, mọi điểm giới hạn yếu của(Tnx0) nằm trong Fix T Kết luận được suy ra từ Định lý 1.1(ii)

Nhận xét 1.6 Mặt khác, người ta có thể dùng các kết quả của Baillon, Bruck

và Reich về các ánh xạ trung bình để chứng minh ví dụ trên Thực ra, người

ta còn có thể chỉ ra rằng (Tnx0) hội tụ theo chuẩn mỗi khi S1, , SN là cáckhông gian con afin đóng

Nhận xét 1.7 Để kết thúc mục này chúng tôi nhắc lại phương pháp Halpern(1967) tạo ra dãy hội tụ theo chuẩn tới điểm bất động của T gần với điểm xuấtphát nhất

Kết luận chương Chương này đã điểm lại một số khái niệm và kiến thứccần thiết về không gian Hilbert, khái niệm dãy hội tụ yếu và hội tụ mạnh, cácđồng nhất thức, bất đẳng thức hữu ích Trình bày các khái niệm và kết quả vềánh xạ không giãn, ánh xạ không giãn bền vững và toán tử chiếu, ánh xạ co,ánh xạ co mạnh cùng các tính chất và một số kiến thức liên quan: nguyên lýbán đóng, dãy đơn điệu Fejér và các tính chất

Các khái niệm và kết quả trình bày ở chương này sẽ được sử dụng ở chươngsau, khi xét tới các thuật toán và dãy các điểm lặp sinh ra bởi thuật toán

Cho D ⊂ H là một tập lồi đóng khác rỗng trong không gian Hilbert thực

H và C1, , CN là một số hữu hạn tập con lồi đóng của D với giao khác rỗng:

Với mỗi i = 1, , N (ta sẽ gọi i là chỉ số) và mỗi n ≥ 0, giả sử Ti(n) : D → D

là ánh xạ không giãn bền vững (firmly nonexpansive mapping) với

Fix Ti(n) ⊇ Ci,giả sử α(n)i ∈ [0, 2] là các tham số nới lỏng (relaxation parameter) và

R(n)i := (1 − α(n)i ) Id +α(n)i Ti(n)

là các ánh xạ nới lỏng tương ứng của Ti(n) (nới lỏng dưới nếu α(n)i ∈ [0, 1], nớilỏng trên nếu α(n)i ∈ [1, 2]), giả sử (λ(n)i )Ni=1 ở trong [0, 1] là trọng số (weight),