skkn số PHỨC và một số ỨNG DỤNG của nó TRONG GIẢI TOÁN ở bậc THPT

Kể từ khi xuất hiện khỏi niệm số phức, cỏc nghiờn cứu đó khẳng định đú là một cụng cụ quý giỏ của toỏn học, được ứng dụng trong nhiều ngànhkhoa học khỏc nhau như: Toỏn học, Vật lý, Khoa

SỐ PHỨC VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA Nể

TRONG GIẢI TOÁN Ở BẬC THPT

A ĐẶT VẤN ĐỀ

I LỜI NểI ĐẦU

Khởi đầu từ nhu cầu giải quyết các phơng trình đại số,

số phức bắt đầu xuất hiện từ thế kỷ thứ XVI và phát triểnmạnh đến nay Trong chương trỡnh đổi mới nội dung Sỏch giỏo khoa, sốphức được đưa vào chương trỡnh toỏn học phổ thụng và được giảng dạy ởcuối lớp 12

Kể từ khi xuất hiện khỏi niệm số phức, cỏc nghiờn cứu đó khẳng định

đú là một cụng cụ quý giỏ của toỏn học, được ứng dụng trong nhiều ngànhkhoa học khỏc nhau như: Toỏn học, Vật lý, Khoa học và kỹ thuật… TrongToỏn học, số phức được dựng để giải nhiều bài toỏn từ sơ cấp đến cao cấp.Sốphức là cầu nối hoàn hảo giữa cỏc phõn mụn Đại số, Lượng giỏc, Hỡnh học vàGiải tớch

Số phức được đưa vào giảng dạy ở bậc phổ thụng của nhiều nước trờnthế giới, nhưng lại là nội dung mới với học sinh trung học phổ thụng ở ViệtNam, và thực sự gõy khụng ớt khú khăn bởi nguồn tài liệu tham khảo hạn chế.Bờn cạnh đú cỏc bài toỏn về số phức trong những năm gần đõy khụng thểthiếu trong cỏc đề thi tốt nghiệp trung học phổ thụng và Đại học, Cao đẳng.Chớnh vỡ vậy mà tụi chọn đề tài “Số phức và một số ứng dụng của nú tronggiải toỏn ở bậc THPT” để viết sỏng kiến kinh nghiệm

Đề tài gồm hai phần:

- Phần thứ nhất: Một số dạng toỏn thường gặp về số phức ở bậc THPT

- Phần thứ hai: Một số ứng dụng của số phức trong giải toán ở bậcTHPT

2 Kết quả, hiệu quả của thực trạng:

Do những tính chất đặc biệt của số phức nên khi giảng dạy nội dungnày giáo viên có nhiều hướng khai thác, phát triển bài toán giúp học sinh cócái nhìn sâu, rộng hơn về nó Bằng việc kết hợp các tính chất của số phức vớimột số kiến thức đơn giản khác về lượng giác, giải tích, đại số và hình họcgiáo viên có thể xây dựng được khá nhiều dạng toán với nội dung hấp dẫn vàhoàn toàn mới mẻ để tạo nên sự lôi cuốn người học Một số dạng bài tập trong

đề tài này một phần nào đó có thể cung cấp cho học sinh những kiến thức cơbản nhất về số phức và các ứng dụng của số phức trong giải toán

B NỘI DUNG

I MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP VỀ SỐ PHỨC Ở BẬC

THPT

Dạng 1: Tìm số phức thỏa mãn điều kiện cho trước:

Phương pháp: Sử dụng các phép biến đổi trực tiếp, hoặc đặt z=x+yi (

x y∈ ¡ và chú ý rằng z x yi z= − , = x2 +y2 , z2 =x2 −y2 + 2xyi để tìm số phứcz

 (Đề thi tuyển sinh dại học khối B năm 2009)

b z có phần thực và phần ảo là số nguyên thõa mãn: z3 = − 117 44 − i

3 25

25

4

x y

2 2

4 3

- Véc tơ u x yr ( ; )

biểu diễn số phức z=x+yi.

- Điểm M(x;y) biểu diễn số phức z=x+yi tức là OMuuuur

biểu diễn số phứcđó

- Tìm tập hợp điểm thường dùng kiến thức hình học phẳng

- Phương pháp cơ bản là dựa vào phép đặt z=x+yi

Ví dụ 1: Gọi M, M’ theo thứ tự là các điểm của mặt phẳng phức biểu

Vì M, M’ lần lượt là các điểm biểu diễn số phức z và z’ nên OM OMuuuur uuuuur , '

lần lượt biểu diễn z, z’

Vì MMuuuuur uuuuur uuuur' =OM' −OM nên MMuuuuur '

Ví dụ 2: Trong mặt phẳng Oxy, tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức

z thõa mãn điều kiện:

a z i− = + (1 )i z (Đề thi TSĐH khối B năm 2010) b z+ + − = 1 z 1 4

biểu diễn số phức z-(-1)=z+1 ;F Muuuur2

biểu diễn số phức z-1.Với F F1 , 2 nằm trên trục thực Ox

-Khi đó điều kiện: z+ + − = 1 z 1 4 ⇔MF1+MF2 = 4 và F F1 2 = 2

Vậy tập hợp các điểm M là Elip có trục lớn bằng 4 và trục bé bằng 2 3

Phương trình Elip trong mặt phẳng tọa độ Oxy là: 2 2 1

c.Tương tự câu b giả sử các điểm M, F F1 , 2 lần lượt biểu số phức z, -5, 5 Với F F1 , 2 nằm trên trục thực Ox

Tương tự câu b ta có: z− − + = ⇔ 5 z 5 8 MF2 −MF1 = 8 và F F1 2 = 10

Tập hợp các điểm thỏa mãn MF2 −MF1 = 8 với F F1 2 = 10 là Hypebol có hai tiêu

điểm thuộc trục Ox, độ dài trục thực là 4 và trục ảo là 3

Phương trình Hypebol trong mặt phẳng tọa độ Oxy là ( ): 2 2 1

y y

Vậy tập hợp các điểm cần tìm là hình tròn (x− 3) 2 + − (y 3) 2 ≤ 32 có tâm

− ≤ +

− = +

Dạng 4 Giải phương trình, hệ phương trình trên tập số phức

- Việc giải các phương trình có bậc lớn hơn 2 thường sử dụng phươngpháp phân tích thành nhân tử, đặt ẩn phụ… để chuyển về dạng bậc hai

- Việc giải các,phương trình, hệ phương trình trên tập số phức tương tựtrên tập số thực

- Các dạng hệ thường gặp là hệ phương trình bậc nhất, hệ đối xứng, …

Ví dụ 1 Giải các phương trình sau trên tập số phức

Vậy các nghiệm cần tìm là: z1= − + 3 3 2;z2 = − − 3 3 2;z3 = − + 3 ;i z4 = − − 3 i

c Xét phương trình z4 − +z3 2z2 − 2z+ = 4 0 2( )

- Với z=0 thì phương trình (2) có dạng 4=0 (vô lí)

-Với z≠ 0, chia cả hai vế của (2) cho z2 ta được



Lời giải

− + + + = = = − + − − − + − − + = +

1 2 2

 thuộc hệ đối xứng loại II

Trừ vế cho vế các phương trình (1) và (2) ta được

Khi đó dạng lượng giác cần tìm của z là z r= (cos ϕ +isin ) ϕ

Ví du 1:Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác:

a z= − (1 3 )(1 )i +i b z 1 cos1 cos isinsin

ϕ > thì dạng lượng giác của số phức đó là:

ϕ < thì dạng lượng giác của số phức đó là:

ϕ  π π 

Dạng 6: Vận dụng dạng lượng giác để giải toán:

Dạng lượng giác được ứng dụng nhiều trong giải toán.Trong phần này

ta chỉ xét các ứng dụng trong bài toán tính toán(tìm phần thực, phần ảo, rútgọn…), tìm số phức,chứng minh hệ thức lượng giác đơn giản…

Ví dụ1: Tìm phần thực, phần ảo của các số phức sau: (1 − 3 ) (1 )i 16 +i 10

Vậy phần thực của số phức đã cho là: − 2 20 3, phần ảo là: 2 20

Ví dụ 2: Tìm các số nguyên dương n để số phức sau là số thực? số ảo?

z= (3 11 )

4 7

n

i i

II MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA SỐ PHỨC TRONG GIẢI TOÁN Ở BẬC THPT

Trong Toán học, số phức được dùng để giải nhiều bài toán từ sơ cấp đếncao cấp.Trong phạm vi sang kiến kinh nghiệm tôi chỉ đề cập đến một số ứngdụng của số phức trong bài toán:

- Lượng giác và tổ hợp

- Giải hệ phương trình

- Hình học phẳng

1- Ứng dụng của số phức trong lượng giác và tổ hợp

Số phức có nhiều ứng dụng trong bài toán liên quan đến lượng giác, tổhợp Có khá nhiều bài toán khó khăn(thậm chí rất khó khăn) trong việc tìm tòilời giải, đặc biệt là lời giải một cách tự nhiên nhất lại được giải quyết mộtcách đơn giản bằng ứng dụng của số phức.Muốn làm tốt các bài tập, cần chú ý

đến dạng lượng giác của số phức,công thức Moa-vrơ và khai triển nhị thức

Newtơn

Ví dụ 1: Cho a; b; c là các số thực thoả mãn sina+ sinb+ sinc= 0 và

cosa+ cosb+ cosc= 0.Chứng minh rằng:

sin 2a+ sin 2b+ sin 2c= 0 và cos 2a+ cos 2b+ cos 2c= 0

Nên cos 2a+ cos 2b+ cos 2c i+ (sin 2a+ sin 2b+ sin 2c) = 0

Từ đó suy ra điều phải chứng minh

2- Ứng dụng của số phức trong giải hệ phương trình Đại số

Qua phần ứng dụng của số phức trong các bài toán lượng giác và tổhợp, chúng ta đã thấy sức mạnh của công cụ số phức Ở đây chúng ta sử dụngcông cụ số phức để giải quyết các bài toán về giải hệ phương trình mà giảibằng phương pháp thông thường sẽ gặp những khó khăn

Ví dụ 1: Giải hệ phương trình với nghiệm là số thực:

1 3

2 3

2 3

y x y

xy x

1 5

3 1

3 5

3 1 10

y x y

y x x

Lời giải

a Đây là hệ phương trình đẳng cấp bậc ba Tuy nhiên,nếu giải bằng

phương pháp thông thường ta sẽ đi đến giải phương trình bậc ba:

3t + 3t − 3 3 1 0t− =

Phương trình này không có nghiệm đặc biệt

Xét số phức z = x + iy Vì z3 =x3 − 3xy2 +i(3x2y−y3) nên từ hệ đã cho ta

có

3

2 sin 3

2 cos 2 3 1

14 cos 2

; 9

8 sin 2 9

8 cos 2

; 9

2 sin 2 9

2 cos 2

π π

π

y

x y

x y

1

3 1

2

3 3

1

2 2

2 2

v u v

v u

u

(I)

Đặt z=u+iv Ta có: 1 2 2

v u

vi u

−

= .Từ hệ (I) ta suy ra :

( )* 0 6 ) 2 2 3 ( 2

2

2 2 3 3 2

3

2

3 3

1

3 1

2

2 2

2 2 2

2

= +

⇔

−

= +

− + +

z i z

i z

z i v

u

iv u iv u

i v

u

iv v u u

Giải phương trình (*), ta có ( )2

6 2 2 12 34

1 1

, 2

1

; y

x

3- Ứng dụng của số phức trong bài toán hình học phẳng

Một trong những ứng dụng quan trọng nhất của số phức với toán sơ cấp

là giải toán hình học phẳng Số phức là công cụ mạnh trong việc khảo sát sâu sắc những vấn đề trong mặt phẳng Tuy nhiên, muốn giải bài toán hình học

phẳng bằng số phức, chúng ta phải chuyển đổi các quan hệ trong mặt phẳng thành các điều kiện liên quan đến số phức, nên trong phạm vi sáng kiến kinh nghiệm tôi chỉ đề cập một ứng dụng tiêu biểu đó là sử dụng số phức để chứngminh các bất đẳng thức của hình học phẳng

Những kiến thức cần chuẩn bị:

- Trong mặt phẳng phức, nếu các điểm A, B có tọa độ là a, b thì độdài đoạn thẳng AB là AB = |a-b|

- Nếu O là gốc tọa độ thì OA = |a|, OB = |b|

- Một số đẳng thức đại số: Với mọi a,b,c thõa mãn điều kiện xác định của biểu thức, ta có:

*1) ab a b( − +) bc b c( − +) ca c a( − = − −) (a b b c c a) ( − ) ( − )

*2) a b c2( − +) b c a2( − +) c a b2( − = − −) (a b b c c a) ( − ) ( − )

*3) a b c3( − +) b c a3( − +) c 3(a b− = − −) (a b b c c a a b c) ( − ) ( − ) ( + + )

V

í dụ 1 Cho tam giác ABC và một điểm M bất kì trong mặt phẳng

Chứng minh rằng: a MB MC b MC MA c MA MB abc + + ≥ với a BC b AC c AB= , = , =

Theo *1) thì (y z yz− ) + −(z x z) x + −(x y xy) = (x y y z z x− ) ( − ) ( − ) nên bài

toán được chứng minh

Ví dụ 2 Cho tam giác ABC và một điểm M bất kì trong mặt phẳng

Chứng minh rằng a MA 2 +b MB 2 +c MC 2 ≥abc với a BC b AC c AB= , = , =

Lời giải

Xét mặt phẳng phức có M là gốc tọa độ Gọi tọa độ của các điểm A, B,

Dấu đẳng thức xảy ra khi M tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC

Ví dụ 3 Cho tam giác ABC và một điểm M bất kì trong mặt phẳng

+ +

Mà theo ví dụ 2 ta có a MA 2 +b MB 2 +c MC 2 ≥abc nên ta có điều phải

chứng minh

Ví dụ 4 Cho tam giác ABC có trọng tâm G Gọi M là một điểm bất kì

trong mặt phẳng Chứng minh rằng a MA 3 +b MB 3 +c MC 3 ≥ 3abc MG. với

Lời giải

Xét mặt phẳng phức có M là gốc tọa độ Gọi tọa độ của các điểm A, B,

C là x, y, z Tọa độ của điểm G là

C KẾT LUẬN

Qua một số năm giảng dạy về số phức tôi tự đúc rút ra một số kinhnghiệm thể hiện qua đề tài này với hy vọng bạn đọc sẽ thuận lợi hơn trongviệc tìm hiểu, làm quen cũng như sử dụng số phức để giải quyết các bài toánphổ thông, từ đó bạn đọc có điều kiện để rèn luyện tư duy và học môn toán tốthơn Dù tài liệu học còn ít ỏi và chưa được đa dạng, những khai thác trong đềtài có thể chưa thật đầy đủ và các ví dụ minh họa có thể chưa thật đại diện chomột dạng toán nhưng với nổ lực của mình tôi hy vọng qua đề tài này phần nào

đó có thể giúp bạn đọc cảm thấy yêu thích số phức đồng thời thu được nhiềuđiều bổ ích

Vì thời gian có hạn, với phạm vi một sáng kiến kinh nghiệm nên đề tài

mà tôi nghiên cứu vẫn còn hạn chế,chắc chắn không tránh khỏi những sai sót,rất mong được độc giả góp ý kiến để đề tài được hoàn thiện hơn