skkn phương pháp tính tích phân của một số hàm ẩn

Hiện nayvới xu hướng thi trắc nghiệm, phần tích phân còn được yêu cầu rộng hơn và đòi hỏihọc sinh phải tư duy linh hoạt hơn và tích phân của một số hàm ẩn đã được đưa vào để yêu cầu học

2.3.4 Tạo bình phương cho hàm số dưới dấu tích phân 20

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm

1 MỞ ĐẦU 1.1 LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Trong Chương trình phổ thông, phép tính tích phân chiếm một vị trí hết sức quantrọng trong Toán học, tích phân được ứng dụng rộng rãi trong thực tế như là tínhdiện tích hình phẳng, thể tích khối tròn xoay, nó là một trong những cơ sở đểnghiên cứu Giải tích hiện đại Ngoài ra phép tính tích phân còn được ứng dụngrộng rãi trong Xác suất, Thống kê, Vật lý, Cơ học,

Phép tính tích phân được bắt đầu giới thiệu cho các em học sinh lớp 12 và nó cómặt hầu hết trong các kỳ thi như thi THPT- QG, thi học sinh giỏi các cấp Hiện nayvới xu hướng thi trắc nghiệm, phần tích phân còn được yêu cầu rộng hơn và đòi hỏihọc sinh phải tư duy linh hoạt hơn và tích phân của một số hàm ẩn đã được đưa vào

để yêu cầu học sinh, mặc dù đã được học kỹ các phương pháp tính tích phân ,nhưng đứng trước yêu cầu về tính tích phân của hàm ẩn đa số các em còn nhiềulúng túng và thậm chí là không định hình được lời giải khi đứng trước các bài toándạng này

Muốn học sinh học tốt được tích phân thì mỗi người Giáo viên không phải chỉtruyền đạt, giảng giải theo các tài liệu đã có sẵn trong Sách giáo khoa, trong cácsách hướng dẫn và thiết kế bài giảng một cách gập khuôn, máy móc, làm cho họcsinh học tập một cách thụ động Nếu chỉ dạy học như vậy thì việc học tập của họcsinh sẽ diễn ra thật đơn điệu, tẻ nhạt và kết quả học tập sẽ không cao Nó là mộttrong những nguyên nhân gây ra cản trở việc đào tạo các em thành những conngười năng động, tự tin, sáng tạo sẵn sàng thích ứng với những đổi mới diễn rahàng ngày

Yêu cầu của giáo dục hiện nay đòi hỏi phải đổi mới phương pháp dạy học môntoán theo hướng phát huy tính tích cực, chủ động sáng tạo của học sinh Vì vậyngười giáo viên phải gây được hứng thú học tập cho các em bằng cách thiết kế bàigiảng lại khoa học, hợp lý, phải gắn liền với ứng dụng, liên hệ thực tế

Vì những lí do đó, để giúp học sinh có cơ sở khoa học, có có hệ thống kiếnthức về tính tích phân của hàm ẩn và tháo gỡ những vướng mắc trên, nhằm nângcao chất lượng dạy và học, đáp ứng nhu cầu đổi mới giáo dục , tôi đã chọn đề tài

sáng kiến kinh nghiệm “Phương pháp tính tích phân của một số hàm ẩn”.

Với đề tài này tôi hi vọng sẽ giúp cho học sinh dễ dàng nắm bắt và thành thạotrong việc tính tích phân nói chung và tích phân của hàm ẩn nói riêng

- Làm cho học sinh thấy được tầm quan trọng của chương học, là vấn đề thenchốt cho việc tiếp nhận và giải các dạng toán tiếp theo.

- Nâng cao chất lượng bộ môn toán theo từng chuyên đề khác nhau góp phầnnâng cao chất lượng dạy học

1.3 ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU

Chương Nguyên hàm - Tích phân và chủ yếu là phương pháp tính tích phân củamột số hàm ẩn

1.4 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

Để thực hiện đề tài này, tôi đã sử dụng các phương pháp sau :

a Nghiên cứu tài liệu :

- Đọc các tài liệu sách, báo, tạp chí giáo dục có liên quan đến nội dung đề tài

- Đọc SGK, sách giáo viên, các loại sách tham khảo

- Tham khảo các đề minh họa thi THPT-QG của Bộ GD và đề thi thử của cáctrường trên toàn Quốc

b Nghiên cứu thực tế :

- Dự giờ, trao đổi ý kiến với đồng nghiệp về nội dung tích phân

- Tổng kết rút kinh nghiệm trong quá trình dạy học.

- Tổ chức và tiến hành thực nghiệm sư phạm (Soạn giáo án đã thông qua cáctiết dạy) để kiểm tra tính khả thi của đề tài

- Nghiên cứu khả năng nắm bắt của học sinh qua từng tiết học

- Tìm hiểu qua phiếu thăm dò của học sinh

2 NỘI DUNG

2.1 CƠ SỞ LÍ LUẬN

Các kiến thức cơ bản

Các kiến thức cơ bản sử dụng trong đề tài bao gồm các định nghĩa và tính chất

từ sách giáo khoa mà học sinh đã được học

2.1.1 Định nghĩa

nguyên hàm của f trên K thì hiệu số F b( ) −F a( ) được gọi là tích phân của f từ a

của f trên đoạn [ ]a b; .

Người ta dùng kí hiệu F x( )b a để chỉ hiệu số F b( ) −F a( ) Như vậy Nếu F là một

b

b a a

Chú ý là nếu F x′ ( ) = f x( ) với mọi x K∈ thì F x( ) =∫ f x dx( )

2.1.3 Phương pháp đổi biến số

b

a

I =∫g x dx Giả sử g x( ) được viết dưới dạng f u x u x[ ( ) ( )] ′ ,trong

đó hàm số u x( )có đạo hàm trên K , hàm số y=f(u) liên tục sao cho hàm hợp f u x[ ( )]

( )

( ) ( ) ( )

u b b

f u x u x dx′ = f u du

Chú ý: Đối với biến số lấy tích phân, ta có thể chọn bất kì một chữ số thay cho x

u x v x dx′ = u x v x − v x u x dx′

trên K và a b, là hai số thuộc K ).

2.2 Thực trạng của đề tài

Năm học 2016 - 2017 bộ GD-ĐT chuyển đổi hình thức thi THPT quốc gia củamôn toán từ thi tự luận sang hình thức thi trắc nghiệm đòi hỏi phương pháp dạy và họccũng phải thay đổi cho phù hợp

Trong các đề minh họa của bộ GD - ĐT , đề thi THPT quốc gia và đề thi thử củacác trường THPT trên toàn Quốc , học sinh thường gặp một số câu về tính tích phâncủa hàm ẩn và các bài toán có liên quan, đây là các bài ở mức độ vận dụng để lấy điểmcao Hướng dẫn các em vận dụng tốt phần này sẽ tạo được cho các em có thêm phươngpháp, có linh hoạt hơn trong việc tính tích phân và nâng cao tư duy trong giải toán nhằmlấy được điểm cao hơn trong bài thi

Trước khi áp dụng đề tài này vào dạy học, tôi đã khảo sát chất lượng học tập củahọc sinh trường THPT Hậu Lộc 4 (thông qua các lớp trực tiếp giảng dạy) về các bàitoán tính tích phân của hàm ẩn, đã thu được kết quả như sau:

Như vậy số lượng học sinh nắm bắt dạng này không nhiều, có rất nhiều em chưa địnhhình được lời giải do chưa có được nguồn kiến thức và kĩ năng cần thiết.

Thực hiện đề tài này tôi đã hệ thống lại các phương pháp tính tích phân đã được học để

áp dụng tính cho hàm ẩn thông qua các phương pháp cụ thể và các bài tập tương ứngcho mỗi phương pháp đó Cuối cùng là bài tập tổng hợp đề học sinh vận dụng cácphương pháp đã được học vào giải quyết Do khuôn khổ đề tài có hạn nên tôi chỉ đưa rađược bốn phương pháp tính tích phân của hàm ẩn thông qua một số ví dụ tương ứng đólà: Phương pháp biến đổi để đưa về nguyên hàm cơ bản, Phương pháp đổi biến số,phương pháp tính tích phân từng phần và tạo bình phương cho biểu thức dưới dấu tíchphân

2.3 Giải pháp tổ chức thực hiện

Thực hiện đề tài này tôi chia nội dung thành bốn phần

Phần 1 Biến đổi đưa về nguyên hàm cơ bản

Phần 2 Phương pháp đổi biến số

Phần 3 Phương pháp tính tích phân từng phần

Phần 4 Tạo bình phương cho hàm số dưới dấu tích phân

Mỗi phần được thực hiện theo các bước:

- Nhắc lại kiến thức cơ bản sử dụng trong đề tài

- Nêu các ví dụ áp dụng

- Nêu các nhận xét trước khi đưa ra lời giải cho các bài tập mới và khó.

Sau đây là nội dung cụ thể:

2.3.1 BIẾN ĐỔI ĐƯA VỀ NGUYÊN HÀM CƠ BẢN

a Kiến thức sử dụng

* Nếu F x′ ( ) = f x( ) với mọi x K∈ thì F x( ) =∫ f x dx( )

* Các công thức về đạo hàm:

( )1) u v u v′ + . ′= uv ′;

Nhận xét: Nếu u x( )là biểu thức cho trước thì ta có [u x f x( ) ( )]′ =u x f x′( ) ( )+u x f x( ) ( )′

Đặt v x( ) =u x′ ( ) ta được [u x f x( ) ( )]′ =v x f x( ) ( )+u x f x( ) ( )′ (*) Như vậy nếu biểu thức

có dạng v x f x( ) ( ) +u x f x( ) ( ) ′ ta có thể biến đổi đưa về dạng [u x f x( ) ( )]′.Khi đó ta có

bài toán tổng quát cho ví dụ 5 như sau:

Cho A x B x( ); ( ); g x( )là các biểu thức đã biết Tìm hàm số f x( ) thỏa mãn

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

A x f x +B x f x′ =g x (**)

Do vế trái có dạng (*) nên ta có thể biến đổi (**) ⇔[u x f x( ) ( )]′ =g x( )

Nhận xét : trước hết ta đi tìm biểu thức u x( ) Ta có

1 1

I =∫g x dx Giả sử g x( ) được viết dưới dạng f u x u x[ ( ) ( )] ′ ,trong đó

hàm số u x( )có đạo hàm trên K , hàm số y=f(u) liên tục sao cho hàm hợp f u x[ ( )]

( )

( ) ( ) ( )

u b b

f u x u x dx′ = f u du

Chú ý: Đối với biến số lấy tích phân, ta có thể chọn bất kì một chữ số thay cho x

2 1

ln( 1) 1

Ví dụ 10. Cho hàm số f x( ) liên tục trên đoạn [− 1;5] và thỏa mãn

nhất x x t= ( ), với x t( ) là hàm số liên tục theo t trên [0; +∞) Tính tích phân

1 2

u x v x dx′ = u x v x − v x u x dx′

trên K và a b, là hai số thuộc K )

Ví dụ 2 Cho hàm số f x( )liên tục, có đạo hàm trên R thỏa mãn f( 3) = 3 và

f x

x

= +

∫

Lời giải

Đặt

1 1

Ví dụ 5. Cho f x( )là hàm số chẵn liên tục, có đạo hàm trên R thỏa mãn 1 4

xf x dx x

′

= +

3

2 1

( ) ln 1

( ) ln

1

( ) 1 ( ) ln

( ) ln(1 ) 2 ln 2 1

f x′ +x +x dx= −

1 2 0

( ) 1

xf x

x

= +

∫

Lời giải

2 0

trước hết ta biến đổi

3

I =∫ f x dx=∫x dx=

Ví dụ 4 Cho hàm số f x( ) liên tục, có đạo hàm trên đoạn 0;

trước hết ta biến đổi 2

( )sinx ( )sin x

π π

( )sinx ( )sin x

π π

2 1 1

f x′ và f x( ) nên ta chưa thể tạo bình phương, do đó

trước hết ta biến đổi

1 4

( ) cot (sinx f x dx) f x dx 1

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm

Thực tiễn giảng dạy ở trường THPT Hậu Lộc 4 tôi được nhà trường giao cho giảng dạy ba lớp 12A6, 12A7 và 12A9 Sau khi thử nghiệm dạy nội dung này qua việc lồng gép giờ dạy trên lớp, các giờ dạy tự chọn, bồi dưỡng tôi thấy học sinh rất hứng thú học tập, tiếp thu kiến thức có hiệu quả và chất lượng học toán được nâng lên rõ rệt

Sau khi áp dụng đề tài trên tôi đã khảo sát lại học sinh và thu được kết quả như sau:

Với đề tài này tôi cũng đã đưa ra trước tổ bộ môn để trao đổi, thảo luận và rútkinh nghiệm Đa số các đồng nghiệp trong tổ đã đánh giá cao và vận dụng có hiệuquả, tạo được hứng thú cho học sinh và giúp các em hiểu sâu, nắm vững hơn về bảnchất biến đổi trong việc tính tích phân của hàm ẩn , cũng như tạo thói quen sáng tạotrong nghiên cứu và học tập

3 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận

Dạy Toán ở trường THPT là một quá trình sáng tạo Mỗi giáo viên đều tự hìnhthành cho mình một con đường ngắn nhất, những kinh nghiệm hay nhất để đạtđược mục tiêu giảng dạy là đào tạo, bồi dưỡng nhân tài, những chủ nhân tương laicủa đất nước Việc tính tích phân và ứng dụng là dạng toán không thể thiếu đượctrong chương trình toán phổ thông cũng như trong kì thi THPT quốc gia Nếu chỉdừng lại yêu cầu trong sách giáo khoa thì chưa đủ, vì vậy đòi hỏi người giáo viênphải tích cực tự học, tự nghiên cứu, tìm tòi sáng tạo, thường xuyên bổ sung kiếnthức và tích luỹ kinh nghiệm về vấn đề này

Trong quá trình giảng dạy, bồi dưỡng học sinh học tập, đọc tài liệu tham khảo tôi và ôn thi THPT quốc gia tôi đã rút ra một số kinh nghiệm nêu trên Như vậy đề

tài " Phương pháp tính tích phân của một số hàm ẩn"

đã giúp học sinh có được hệ thống kiến thức, linh hoạt hơn trong việc định hướngbiến đổi và có kinh nghiệm trong việc tính tích phân nói chung và tích phân củahàm ẩn nói riêng góp phần nâng cao chất lượng dạy học, đáp ứng được yêu cầu đổimới trong dạy học

Cuối cùng dù đã cố gắng tự nghiên cứu, tự bồi dưỡng và học hỏi đồng nghiệpsong vẫn không thể tránh khỏi những thiếu sót Rất mong được sự góp ý , bổ sungcủa các đồng nghiệp để đề tài được hoàn thiện hơn

3.2 Kiến nghị

3.2.1 Đối với tổ chuyên môn :

Cần có nhiều hơn các buổi họp thảo luận về nội dung phương pháp tính tíchphân Khuyến khích học sinh xây dựng bài tập toán liên quan đến những dạng bàitập toán trong bài giảng

3.2.2 Đối với trường :

Cần bố trí những tiết thảo luận hơn nữa để thông qua đó các học sinh bổ trợnhau về kiến thức.Trong dạy học giải bài tập toán, giáo viên cần xây dựng bài giảngthành hệ thống những bài tập có phương pháp và quy trình giải toán

3.2.3 Đối với sở giáo dục :

Phát triển và nhân rộng những đề tài có ứng dụng thực tiễn cao, đồng thờisau mỗi năm sở sẽ tập hợp những sáng kiến kinh nghiệm đạt giải in thành sách nội

bộ để gửi về các trường làm sách tham khảo cho học sinh và giáo viên

XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG

ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 22 tháng 5 năm 2018

Tôi xin cam đoan đây là SKKN dochính bản thân mình viết, không saochép nội dung của người khác

Nguyễn Văn Mạnh

4 TÀI LIỆU THAM KHẢO:

[1] Sách giáo khoa Giải tích 12 nâng cao, NXB Giáo Dục Việt Nam, Đoàn Quỳnh

( Tổng chủ biên) - Nguyễn Huy Đoan ( Chủ biên)

[2] Sách bài tập Giải tích 12 nâng cao, NXB Giáo Dục Việt Nam Nguyễn Huy

Đoan ( Chủ biên)

[3] Sách giáo khoa Hình học 12 nâng cao, NXB Giáo Dục, Đoàn Quỳnh ( Tổng

chủ biên) – Văn Như Cương ( Chủ biên)

DANH MỤC

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN, TỈNH VÀ CÁC CẤP

CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN

Họ và tên tác giả: Nguyễn Văn Mạnh

Chức vụ và đơn vị công tác: Giáo viên trường THPT Hậu Lộc 4

TT Tên đề tài SKKN

Cấp đánh giá xếp loại

(Ngành GD cấphuyện/tỉnh;

Tỉnh…)

Kết quả đánh giá xếp loại

(A, B,hoặc C)

Năm học đánh giá xếp loại

1 Sử dụng đạo hàm để giải

phương trình , bất phương

trình và hệ phương trình

Ngành GD cấptỉnh

2 Sử dụng số phức vào giải một

số bài toán đại số

Ngành GD cấptỉnh