skkn phát triển tư duy cho học sinh thông qua việc chứng minh bất đẳng thức từ dãy các bất đẳng thức cơ bản

Băn khoăn trước những khó khăn đó của học trò, tôi đã tìm tòi nghiên cứu và quyết định chọn nội dung bất đẳng thức trong việc dạy học phát triển tư duy,nhằm giúp các em có được cách phân

A ĐẶT VẤN ĐỀ

Toán học là bộ môn khoa học cơ bản nhất, là xương sống của các bộ mônkhoa học tự nhiên; Toán học giúp thúc đẩy khả năng phát triển tư duy cho ngườihọc, người nghiên cứu

Trong sự chuyển mình tích cực của giáo dục nước ta, tôi nhận thấy dạy họcgiúp học sinh phát triển tư duy vẫn là một trong những yêu cầu quan trọng hàngđầu Đối với dạy học bộ môn Toán nói chung và dạy học giải bài tập Toán nóiriêng, dạy học giúp phát triển tư duy cho học sinh ngoài việc đòi hỏi ở giáo viênnăng lực chuyên môn, năng lực sư phạm ra còn đòi hỏi nhiều về thời gian và sựtâm huyết ở mỗi người giáo viên

Bài toán Bất đẳng thức thường xuyên xuất hiện trong các kỳ thi và nó luôndành được sự quan tâm lớn từ học sinh cũng như giáo viên, đây là một trongnhững bài toán khó Đứng trước mỗi bài toán đó, hầu như các em học sinhkhông định hướng được phải bắt đầu từ đâu, vận dụng những đơn vị kiến thứcnào cho phù hợp Các em thường mang nặng tâm lý: phải vận dụng những công

cụ cao siêu, những bổ đề lớn, những bất đẳng thức mạnh vào để giải, màkhông mấy khi để ý rằng xung quanh những bài toán đó có rất nhiều những bấtđẳng thức cực kỳ cơ bản, cơ bản đến mức có thể trong đầu các em nghĩ đó là bấtđẳng thức tầm thường; tuy vậy những cái cơ bản, tầm thường đó lại mang đếncho các em hiệu quả không hề nhỏ trong việc giải một bài bất đẳng thức

Băn khoăn trước những khó khăn đó của học trò, tôi đã tìm tòi nghiên cứu

và quyết định chọn nội dung bất đẳng thức trong việc dạy học phát triển tư duy,nhằm giúp các em có được cách phân tích và lựa chọn kiến thức phù hợp, hiệu

quả hơn trong việc giải bài toán bất đẳng thức Do vậy tôi đã chọn đề tài "Phát triển tư duy cho học sinh thông qua việc chứng minh bất đẳng thức từ dãy các bất đẳng thức cơ bản".

B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

I Cơ sở lý luận

1 Về phương pháp

- Tìm kiếm tài liệu tham khảo từ các nguồn khác nhau liên quan đến bất đẳngthức, phương pháp dạy học môn Toán và những SKKN của các giáo viên khácthuộc bộ môn Toán

- Trao đổi với đồng ngiệp để đề xuất các biện pháp thực hiện

- Dạy các nhóm học sinh để thu thập thông tin thực tế

3 Các kiến thức cơ bản trong đề tài

- Dãy các bất đẳng thức cơ bản mà tôi tích lũy được trong quá trình dạy học

- Các BĐT quen thuộc đối với học sinh như AM - GM; Cauchy-Schwarz

II Thực trạng của vấn đề nghiên cứu

Trường THPT Ba Đình - Nga Sơn đóng trên địa bàn trung tâm Huyện, việchọc tập và phấn đấu của các em học sinh luôn có được sự quan tâm từ các bậchọc dưới THPT, vì vậy kiến thức cơ sở về môn Toán của các em hầu hết ở mứctrung bình khá; cũng có một bộ phận các em học sinh có kiến thức khá, giỏi vềmôn Toán, tuy vậy hầu như các em vẫn còn gặp rất nhiều khó khăn trong việcgiải bài tập bất đẳng thức cũng như không vượt qua được bài bất đẳng thứctrong các kỳ thi

Khi chưa áp dụng những nghiên cứu trong đề tài này để dạy học giải bàitập bất đẳng thức, các em thường thụ động trong việc tiếp cận phân tích vấn đề

cơ bản của bài toán và phụ thuộc quá nhiều vào những kiến thức được giáo viêncung cấp sẵn chứ chưa ý thức tìm tòi, sáng tạo cũng như chưa tạo được sự hưngphấn, đam mê trong giải bài tập bất đẳng thức

Kết quả khảo sát ở một số lớp trong phần giải bài tập bất đẳng thức cũngnhư qua tìm hiểu ở các giáo viên dạy bộ môn Toán, chỉ có khoảng 2% - 3% họcsinh có hứng thú với nội dung này.

III Giải pháp và tổ chức thực hiện

1 Các giải pháp

- Tôi đưa ra 2 bất đẳng thức cơ bản nhất trong dãy các bất đẳng thức mà tôi

đã tích lũy được, cho học sinh nhận biết các dấu hiệu cụ thể và ý tưởng vận dụng

- Tường minh bằng hình ảnh đồ thị mối quan hệ giữa 2 vế trong các BĐT cơ

sở đó, làm ý tưởng cho việc học sinh tự sáng tạo các bài toán khác

- Định hướng cho học sinh cách phân tích quy lạ về quen, đưa các ý tưởngsuy luận tạo sự dẫn dắt, nhằm liên kết bài toán với một trong các kết quả của dãybất đẳng thức cơ sở

- Phân tích mẫu cho học sinh cách phát hiện dấu hiệu và cách xử lý cùng vớimột số kỹ năng bổ trợ trong một số ví dụ minh họa; sau đó yêu cầu học sinh tựrèn luyện các nội dung đó

2 Nội dung đề tài

2.1 Ứng dụng của hai bất đẳng thức cơ bản quen thuộc

Nếu x là một số thực không âm thì ta có các kết quả sau:

 Dấu "=" xảy ra khi x 1.

Đồ thị ( ) : C y  x luôn nằm phía trên đồ thị ( ') : 2

Từ đó cho ta kết quả chung là 1 2 0

Ví dụ 1: (Yugoslavia 1987) Cho các số thực dương a b, Chứng minh rằng:

0,2

(C) (C')

M(1;1)

O

Phân tích: Dùng (kq1) hoặc (kq2) cần có căn bậc 2 và dấu "=" tại 1

x x

Chú ý: Để thuận tiện cho việc trình bày lời giải chúng ta sẽ dùng một số ký hiệu

đối với các biểu thức có tính hoán vị vòng quanh, chẳng hạn:

b c  nên ta có thể nghĩ tới việc tạo ra b c   ?

x x

+) Bài toán xuất hiện căn bậc 2 và yêu cầu tìm GTNN nên tạo tư duy a  ?

x x

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x y z  1.

Vậy ta có (4) được chứng minh Dấu "=" xảy ra khi 1

      Bài toán (6) lúc đó trở thành bài toán:

Cho các số thực dương a b c, , thỏa mãn a b c ab bc ca    

Đây là bất đẳng thức thuần nhất của a b c, , nên chuẩn hóa cho a b c  3 ta

được a  b c ab bc ca   Đây chính là bài toán Russia MO 2002.

+) Xuất hiện xy  nên có thể nghĩ tới việc dùng kết quả 2?

+) Điểm rơi đạt tại 1 phù hợp ngay với kết quả 2

Vậy ta có điều phải chứng minh Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x y z  1.

Ví dụ 7: (Trần Phương) Cho các số thực a b c , , 0 thỏa mãn ab bc ca  3

Chứng minh rằng 2(a b c  ) a  b  c 9 (7)

Lời giải:

Cách 1 (Trần Phương)

Sử dụng bất đẳng thức AM - GM ta có

2 3

2(a b c  ) a  b  c 3 (a b c  ) ( a  b c)

Ta sẽ đi chứng minh (a b c  ) (2 a b c) 27 (7.1)

Ta có (a b c  )2 3(ab bc ca  ) 9  a b c   3 suy ra bất đẳng thức (7.1) sẽ đúng nếu ta chứng minh được bất đẳng thức

(a b c a b c  )   ( a b  c) 9 3

Do hai vế của bất đẳng thức (7.2) là thuần nhất đối với 3 biến a, b, c nên ta thực

hiện chuẩn hóa cho a b c  3 thì (7.2) trở thành a  b  c ab bc ca  

Đây chính là bài toán Russia MO 2002.

Vậy ta có điều phải chứng minh Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a b c  1.

Ví dụ 8: (Trần Phương) Cho các số thực dương a b c, , thỏa mãn a b c  1

+) Xuất hiện a b  nên có ý tưởng dùng kết quả 2.?

+) Vế trái có a b  , vế phải có ab nên nghĩ tới việc biến đổi để a b  tạo ra

ab từ vế trái hoặc là ab tạo ra a b ở vế phải để sử dụng 1 2

x x

Ví dụ 9: (Belarus 2000) Cho các số thực dương a b c x y z, , , , ,



Theo Cauchy - Schwarz ta có

Do bất đẳng thức là thuần nhất nên ta chuẩn hóa a b c  3, đi chứng minh

Vậy ta có điều phải chứng minh Dấu "=" xảy ra khi a b c  và x y z  .

Sau khi tôi phân tích mẫu dấu hiệu, cách vận dụng ở các ví dụ trên các em học sinh đã nắm được ý tưởng Các em đã có thể áp dụng được 2 kết quả trên

để tự phân tích và giải các ví dụ sau:

Ví dụ 10: Cho các số thực dương x y z, , Chứng minh rằng

3 32

Vậy (10) được chứng minh Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x y z  .

Ví dụ 11: (Trần Phương) Cho các số thực dương a b c, , Chứng minh rằng

9 3 32

Cộng vế với vế của (11.1) và (11.2) ta được (11) Dấu "=" xảy ra khi a b c 

Ví dụ 12: Cho các số thực dương a b c, , thỏa mãn a2 b2 c2 3

Chứng minh rằng a b c a b c

b  c  a    (12).

Phân tích:

+) Bài toán xuất hiện a ?

b  thì đánh giá b  nên có thể nghĩ tới việc dùng ?

x x





+) Dấu "=" xảy ra tại a = b = c = 1 nên có thể dùng ngay (kq1) hoặc (kq2).

Vậy ta có điều phải chứng minh Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a b c  1

2.2 Mở rộng hai kết quả trên để hình thành dãy các BĐT

Trong quá trình dạy học tôi đã tích lũy được một số BĐT sau đây có nhiềuứng dụng trong việc chứng minh bất đẳng thức:

Nếu x là một số thực không âm thì:

  Dấu "=" xảy ra khi x 1.

Từ các kết quả trên, chúng ta có thể giải quyết một số bài toán khác hoặc là

có thể thực hiện sáng tạo ra những bài tập về BĐT

Ví dụ 13: (Gabriel Dospinescu) Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn abc = 1.

 thì vai trò của 2(a  được coi là 2 1) x như vậy, sau

khi đánh giá được kết quả mới thì ở vế phải của kết quả khi đó sẽ xuất hiện a2, phức tạp hơn đối với gốc ban đầu là a+b+c

2(a  dưới mẫu như vậy mới đảm bảo dấu "1) "

+) Dấu "=" của bài toán tại a = b = c = 1 thì trong căn là 2(a   nên thực 2 1) 4

hiện việc biến đổi để có được "trong căn" bằng 1.

n n

BĐT trên, các em học sinh đã có thể tự tìm tòi trong các nguồn tài liệu những bài có thể giải được bằng việc áp dụng các kết quả đó Một số em đã có thể tự xây dựng được bài toán BĐT theo ý định bằng cách ghép cặp các kết quả của dãy; đưa vào nhiều biến cho dãy; thay đổi biến trong dãy Chứng tỏ tư duy trong việc giải bài tập BĐT của các em đã có nhiều sự phát triển.

Vậy ta có điều phải chứng minh Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a b c  1

Tổng quát: Cho các số thực dương a a1; ; 2 a thỏa mãn n 1 2

Vậy ta có điều phải chứng minh, dấu "=" xảy ra khi a b c  1.

Tổng quát: Cho các số thực dương a a1; ; 2 a thỏa mãn n

1

n i i

1

n i

a a

1

11

a  a b  b   Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a b 1.

Ví dụ 19: Cho các số thực dương a a1; ; ;2 a Chứng minh rằng n

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a1a2   a n 1

Nhận xét: Nếu n = 3 thì chúng ta được bài 3349 trong Crux Mathematicorum

Cho các số thực dương a a a Chứng minh rằng:1; ;2 3

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a1a2   a n 1.

Ví dụ 21: Cho các số thực dương a và b Ta luôn có dãy bất đẳng thức

sin cos sin cos (sin cos ).

(sin cos )(1 sin cos ) 2(1 sin cos )

Sự phát triển tư duy của các em học sinh ngoài việc các em đã nhận biết, phân tích và giải được các BĐT có liên quan đến dãy BĐT cơ bản trên, nhiều

em học sinh đã còn biết vận dụng kiến thức đó vào việc giải quyết một số nội dung khác, chẳng hạn nhiều em đã giải được ví dụ sau:

do đó ta được 2x y 3 và x y như vậy x y 1(thoả mãn)

Vậy hệ có nghiệm duy nhất là (1;1)

IV Kiểm nghiệm

Sau khi áp dụng kết quả nghiên cứu trong đề tài, qua khảo sát cho thấy đã

có sự chuyển biến tích cực trong tư duy của các em học sinh Các em đã tự hìnhthành được việc chắt lọc những kết quả đơn giản để phục vụ cho việc giải quyếtcác bài toán có liên quan Đặc biệt có nhiều em đã hứng thú với bài học, hứngthú với việc giải bài tập bất đẳng thức, trong đó có những em đã biết cách xây

dựng bài toán bất đẳng thức mới từ dãy các bất đẳng thức cơ bản, từ một bấtđẳng thức gốc nào đó được giáo viên gợi ý hoặc được các em tự tìm tòi.

Tôi kiểm chứng việc tiếp thu và sự phát triển tư duy của các em với bài tập:

1 Bài toán thu hoạch

(Gabriel Dospinescu) Cho các số thực dương a a1; ; ;2 a sao cho n a a a  1 2 n 1

Nhóm I là nhóm các học sinh được áp dụng kết quả nghiên cứu

Nhóm II là nhóm các học sinh chưa được áp dụng kết quả nghiên cứuKết quả:

Nhóm Số lượng

HS

Số HS biết tự phân tích

và giải được bài tập

Số HS chưa biết phân tích

và chưa giải được bài tập

động sáng tạo giúp kết quả học tập của học sinh sẽ tốt hơn, tư duy phát triển hơnchính là nhu cầu thiết yếu mà mỗi học sinh đều mong muốn.

Do vậy, mỗi giáo viên cần trăn trở trước những vướng mắc của học sinh;chủ động trong việc tìm tòi và phát huy cái mới, kế thừa và phát huy những kiếnthức có sẵn một cách sáng tạo, xây dựng những chuỗi kiến thức cơ bản vàhướng dẫn học sinh vận dụng một cách hợp lý vào việc giải các bài tập tươngứng thì sẽ tạo được điều kiện để học sinh củng cố và hiểu sâu về lý thuyết hơn,cùng với việc thực hành giải toán một cách hiệu quả hơn, tạo được sự hứng thú,phát huy được tính chủ động, sự sáng tạo trong việc học và phát triển tư duy chohọc sinh

Mặc dù đã thu được một số kết quả nhất định, nhưng trong phạm vi bàiviết, tôi nghĩ có thể còn một số chỗ chưa thực sự hợp lý, chưa khai thác sâuđược vấn đề Vì vậy, tôi mong các bạn đồng nghiệp bổ sung góp ý để việc dạyhọc ngày một tốt hơn, đem lại cho học sinh những bài giảng cuốn hút hơn nữa

Tôi chân thành cảm ơn!

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Trần Phương Những viên kim cương trong BĐT NXB Tri Thức

[2] Trần Phương - Võ Quốc Bá Cẩn - Trần Quốc Anh

Vẻ đẹp Bất đẳng thức trong các kỳ thi Olympic Toán học NXB ĐHQG [3] Gabriel Dospinescu; CruxMathematicorum

2015

CAM KẾT KHÔNG COPY.

(Tác giả ký và ghi rõ họ tên)