skkn HƯỚNG dẫn học SINH ỨNG DỤNG VECTƠ để CHỨNG MINH bất ĐẲNG THỨC, tìm cực TRỊ

Đặc biệt khi học sinh đã nắm bắt được phương pháp, cách làm thì lại càng say sưa, hào hứng với những bài toán chứng minh bất đẳng thức, tìm cực trị.. Nội dung sáng kiến : Trong sáng ki

UBND TỈNH HẢI DƯƠNG

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TÓM TẮT SÁNG KIẾN

1 Hoàn cảnh nảy sinh sáng kiến:

Trong chương trình THPT môn Toán, bất đẳng thức là một trong những nội dung cơ bản và xuyên suốt Bất đẳng thức hiện hữu trong cuộc sống hàng ngày và con người tiếp cận nó từ khi còn rất nhỏ Từ việc so sánh nhiều hơn, ít hơn của trẻ học mầm non; so sánh lớn, nhỏ giữa hai số của học sinh tiểu học và dần đến là so sánh biểu thức, chứng minh một số bất đẳng thức đơn giản của học sinh THCS Đến bậc THPT học sinh được tiếp cận bất đẳng thức một cách hệ thống đầy đủ nhất

Tuy nhiên bất đẳng thức lại là một phần kiến thức khó đối với học sinh Khó bởi

vì bất đẳng thức biến đổi ở nhiều dạng khác nhau mà học sinh không biết phải chứng minh bằng cách nào Đối với học sinh trung bình thì chứng minh bất đẳng thức lại rất khó khăn, thậm chí có em còn chấp nhận bỏ qua nội dung này trong bài kiểm tra, bài thi Cũng chính vì tính chất thiên biến vạn hoá này mà bất đẳng thức lại là nội dung phong phú, gây nhiều hứng thú cho người dạy và người học toán Đặc biệt khi học sinh đã nắm bắt được phương pháp, cách làm thì lại càng say sưa, hào hứng với những bài toán chứng minh bất đẳng thức, tìm cực trị

Có nhiều phương pháp chứng minh bất đẳng thức khác nhau, trong đó sử dụng vectơ là một phương pháp Vectơ là một công cụ hình học mạnh, có tính khái quát cao, đặc biệt khi đưa tọa độ vào Vectơ dùng cho hình học phẳng và cả hình không gian; được dùng để chứng minh cả bất đẳng thức Hình học, Đại số và bất đẳng thức Lượng giác Dùng vectơ chứng minh bất đẳng thức cũng giúp học sinh thấy được sự liên hệ giữa Hình học và Đại số, thấy được sự thú vị của môn học, từ đó thêm yêu môn học hơn

Vì vậy, tôi chọn đề tài : Hướng dẫn học sinh ứng dụng vectơ để chứng minh bất đẳng thức, tìm cực trị

2 Điều kiện, thời gian, đối tượng áp dụng sáng kiến:

Sáng kiến áp dụng cho việc giảng dạy chủ đề bất đẳng thức, cực trị trong chương trình Toán Trung học phổ thông sau khi học xong các phép toán vectơ và tọa độ vectơ trong chương trình Hình học 10 và Hình học 11

3 Nội dung sáng kiến :

Trong sáng kiến này tôi tập trung giải quyết những nội dung chính sau đây:

+ Căn cứ vào cơ sở lý luận, mục tiêu dạy học để giới thiệu một số bài toán chứng minh bất đẳng thức, cực trị và hướng dẫn học sinh vận dụng các tính chất vectơ để giải quyết

+ Về khả năng áp dụng sáng kiến: Sáng kiến có thể áp dụng rộng rãi cho toàn

bộ giáo viên, học sinh khi giảng dạy và học tập chủ đề bất đẳng thức, vectơ trong chương trình Toán trung học phổ thông

+ Lợi ích thiết thực của sáng kiến: Giáo viên có tài liệu tham khảo Học sinh được trải nghiệm thông qua việc tìm tòi, giải quyết các bài toán bất đẳng thức, thấy được sự liên hệ giữa Hình học và Đại số; sự tương tự, phát triển của vectơ trong hình học phẳng đến không gian, từ đó tạo được hứng thú trong việc học tập

bộ môn

4 Khẳng định giá trị, kết quả đạt được của sáng kiến:

Việc áp dụng sáng kiến làm học sinh hứng thú hơn trong việc giải quyết các bài toán về chứng minh bất đẳng thức, tìm cực trị; đồng thời kích thích sự tìm tòi, sáng tạo của học sinh, qua đó kiến thức từ bài học được khắc sâu hơn, rèn luyện tư duy cho học sinh tốt hơn

5 Đề xuất khuyến nghị để thực hiện áp dụng hoặc mở rộng sáng kiến:

Viết sáng kiến này, tác giả rất mong các đồng nghiệp sẽ góp ý, bổ sung thêm nhiều bài toán thú vị để vận dụng phương pháp, giúp nâng cao chất lượng giảng dạy môn Toán trong các trường THPT

MÔ TẢ SÁNG KIẾN

1 Hoàn cảnh nảy sinh sáng kiến:

Yêu cầu đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo của Đảng, trong nghị quyết Hội nghị Trung ương 8 khóa XI có nêu: “ Tiếp tục đổi mới mạnh mẽ phương pháp dạy và học theo hướng hiện đại, phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo và vận dụng kiến thức, kĩ năng của người học, khắc phục nối truyền thụ

áp đặt một chiều, ghi nhớ máy móc ”

Từ năm học 2016-2017, Bộ Giáo dục và Đào tạo đã quyết định sử dụng hình thức thi trắc nghiệm môn Toán cho kỳ thi quốc gia Với hình thức thi mới, học sinh sẽ quan tâm nhiều hơn đến việc dùng máy tính để giải toán, tuy nhiên với vai trò định hướng, dẫn dắt của người thầy, tôi thấy rằng cần phải cho học sinh hiểu rằng nếu bỏ qua tư duy toán học, chỉ chạy theo phương pháp sử dụng máy tính thì các em cũng không thể làm tốt các đề thi ngày càng hạn chế số lượng câu hoàn toàn chỉ cần bấm máy Nhìn xa hơn, các em nếu đi tiếp vào các trường Đại học – Cao đẳng có chất lượng tốt hoặc học nghề; nếu không có tư duy tốt các em đều gặp rất nhiều khó khăn trong việc tiếp cận kiến thức

Để đáp ứng yêu cầu đổi mới trong thi cử, đồng thời vẫn giúp học sinh rèn tư duy, sáng tạo, linh hoạt, trong học toán, chúng ta càng cần tăng cường những bài toán liên hệ giữa các phần kiến thức khác nhau để giúp học sinh vừa ghi nhớ kiến thức lâu, vừa thấy được tính kế thừa mà bản thân các em có thể tự tìm ra, thấy được sự đa dạng, thú vị của bộ môn Toán

Trên cơ sở đó, tôi mạnh dạn đưa ra một chuyên đề nhỏ là : Hướng dẫn học sinh ứng dụng vectơ để chứng minh bất đẳng thức , tìm cực trị

2 Cơ sở lý luận của vấn đề :

2.1.Tính chất 1:

Với mọi a bất kỳ, ta có:

2 2(a) = a  (1) 0

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a =0

2.2 Tính chất 2:

Với hai vectơ a, b bất kỳ, ta có: a+  + (2) b a b

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a , bcùng hướng

* Khi gán tọa độ: Trong mp Oxy, với a=(x1 ; y ; 1) b=(x2 ; y 2), ta có:

Với hai vectơ a, b bất kỳ, ta có: a.b  a b (3)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a , b cùng phương

* Khi gán tọa độ: Trong mp tạo độ Oxy, với a=(x1 ; y ; 1) b=(x2 ; y 2), ta có:

2 2 2 2

(3)  x x +y y  x +y . x +y

3 Thực trạng của vấn đề:

Đối với học sinh nói chung, thường các em ngại học làm toán Hình và thấy

khó hơn làm toán Đại Đặc biệt với một công cụ mới như vectơ, nhiều học sinh còn cảm thấy khó khăn hơn Vì thế nếu chúng ta hướng dẫn các em sử dụng công

cụ hình học mới này vào để làm một loại bài tập cũng khó trong Đại số là chứng minh bất đẳng, tìm cực trị thành công sẽ gây sự hứng thú cho học sinh Các em sẽ thấy được sức mạnh của vectơ, đồng thời sự kết hợp thú vị này làm cho nhiều bài toán trở lên dễ dàng hơn nhiều

4 Các giải pháp, biện pháp thực hiện:

4 1 HƯỚNG DẪN HỌC SINH SỬ DỤNG TÍNH CHẤT 1 ( Mục 2.1):

Bài tập 1: Cho tam giác ABC Trong mặt phẳng chứa tam giác, hãy tìm điểm M

sao cho: ( MA2 + MB2 + MC2 ) nhỏ nhất ?

* Nhận xét:

Đây là bài toán cực trị hình học Việc tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức là tổng của 3 số hạng biến thiên, gợi ý cho người làm tìm cách biến đổi 3 số hạng đó biểu diễn theo cùng một đại lượng biến thiên trung gian Vì vậy nhu cầu cần xuất hiện một điểm cố định, có tính trung gian với 3 đỉnh A, B, C Khi đó, tính linh hoạt của quy tắc 3 điểm của phép cộng vectơ đồng thời với tính chất quen thuộc

về vectơ của trọng tâm tam giác, sẽ gợi ý cho người làm phải chuyển biểu thức về vectơ và sử dụng cách chèn điểm G (trọng tâm tam giác) vào

* Hướng dẫn:

Gợi ý 1: Học sinh tự phát hiện hoặc giáo viên dẫn dắt để học sinh thấy nhu

cầu chèn điểm G vào các độ dài trên, để làm xuất hiện chung một đại lượng biến thiên MG (G cố định)

GA +GB +GC = +b +c (Với a, b, c là 3 cạnh của tam giác); Còn 2

( G là trọng tâm tam giác)

Từ đó kết luận được: Giá trị nhỏ nhất của biểu thức ( MA2 + MB2 + MC2) là

2 2 2

1

(a )

3 +b +c , đạt được khi M là trọng tâm tam giác ABC

Bài tập 2: Cho tam giác ABC Chứng minh rằng: cos2A + cos2B + cos2C

2

3

−



* Nhận xét: Đây là bài toán bất đẳng thức lượng giác trong tam giác, vì vậy học

sinh có thể sử dụng các phép biến đổi, công thức lượng giác để chứng minh Tuy nhiên, giáo viên có thể hướng dẫn học sinh sử dụng phương pháp vectơ để thấy được sự đa dạng của các cách tư duy bài toán, đặc biệt với học sinh lớp 10 ở thời

điểm chưa được học công thức lượng giác thì đây là phương pháp hữu hiệu

* Hướng dẫn:

Gợi ý 1: Công thức vectơ nào có chứa côsin ?

Trả lời : Công thức tích vô hướng của hai vectơ:

a b = a b c os( )a b, ( với hai vectơ a, b0 )

Gợi ý 2: Tìm các cặp vectơ mà tích vô hướng của chúng xuất hiện cos2A,

Đến đây, học sinh sẽ phát hiện thêm nếu gọi R là bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC thì R= OA = OB = OC

(OA OB+ +OC)

(OA OB OC+ + ) =OA +OB +OC + 2(OAOB OB OC OC OA + + ) = 3R2+ 2R2(cos 2A+ cos 2B+ cos 2 ) (4)C

Đến đây, so sánh điều cần chứng minh và đẳng thức đã có, học sinh sẽ phát hiện sử dụng tính chất 1(Mục 2.1) để được điều cần chứng minh

* Nhận xét: Đây là bài toán bất đẳng thức về hệ thức lượng trong tam giác nên

học sinh có thể chứng minh dựa vào các hệ thức lượng trong tam giác và công thức biến đổi lượng giác Tuy nhiên, nếu dùng vectơ thì bài toán trở lên đơn giản

* Hướng dẫn:

Gợi ý 1: Gọi O là tâm đường tròn mà tam giác ABC nội tiếp Với giả thiết

đường tròn bán kính R, ta có các giả thiết nào liên quan đến R?

Trả lời: OA = OB = OC = R

Gợi ý 2: Hãy biểu diễn vế trái của bất đẳng thức cần chứng minh là :

AB +BC +CA theo OA = OB = OC = R, để làm xuất hiện bán kính R

Trả lời: Đến đây học sinh sẽ phát hiện phải chuyển vế trái theo vectơ và sử

dụng quy tắc 3 điểm để chèn điểm O vào

Bài tập 4: Chứng minh rằng : Trong không gian, mọi tứ diện ABCD nội tiếp mặt

cầu bán kính R, ta có tổng bình phương tất cả các cạnh tứ diện không vượt quá

16 2

.

R

* Nhận xét: Đây là bài toán phát triển của Bài toán 3, từ hình phẳng sang hình

không gian Với bài toán này, phương pháp biến đổi dùng hệ thức lượng trong tam giác và các công thức lượng giác rất phức tạp nhưng lại hoàn toàn tương tự Bài toán 3 nếu dùng vectơ

*Bài giải: Gọi O là tâm mặt cầu mà tứ diện ABCD nội tiếp

Có OA = OB = OC = OD = R và tổng bình phương các cạnh của tứ diện là:

* Nhận xét:

- Đây là một bài toán chứng minh bất đẳng thức liên quan đến các yếu tố hình học Học sinh có thể dùng hình để chứng minh bằng các phương pháp thông thường nhưng không dễ Tuy nhiên, nếu liên hệ với vectơ thì hình ảnh bất đẳng thức này khá quen thuộc, vì học sinh đã được chứng minh trong bài tập sách giáo khoa

Bài tập 6: Trong không gian, cho hai tứ diện ABCD và A’B’C’D’ Gọi G, G’ lần

lượt là trọng tâm của hai tứ diện đó Chứng minh rằng: ' ' ' ' '

1

4 1 ' ( ' ' ' ') (4) 4

= + + +

= + + +

Gợi ý 2: Hãy biểu diễn GG' theo AA BB CC DD', ', ', '

Trả lời: Dùng quy tắc cộng và (1), (2) hoặc dùng quy tắc trừ và (3), (4)

Bài tập 7: Chứng minh rằng : Với mọi a  , ta có :

a2+ a+ 1+ a2− a+ 1 2 (1)

*Nhận xét: Đây là bài toán chứng minh bất đẳng thức đại số Nếu đơn thuần chỉ

sử dụng việc chứng minh bất đẳng thức thông thường thì sẽ khó đối với học sinh

vì biểu thức vế trái có hai căn bậc hai Nhưng nếu chú ý các đối tượng trong bài toán để sử dụng tính chất của vectơ nêu trên thì bài toán trở nên đơn giản hơn

Gợi ý 2: Có thể coi mỗi căn bậc hai đó là độ dài của vectơ có tọa độ thế nào

trong mặt phẳng tọa độ Oxy?

Gợi ý 4: - Ta mong muốn u+v bằng bao nhiêu?

Học sinh trả lời được ngay muốn u+ =v 2

- Có thể thay đổi tọa độ của một trong hai vectơ u hoặc v mà vẫn đảm bảo

        nhưng u+ =v 2(không phụ thuộc a)?

Đến đây sẽ xuất hiện nhu cầu tổng hoành độ của hai vectơ ( u + v) triệt tiêu a ,

*Từ đó bài toán có lời giải cụ thể:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, chọn: 1; 3

 + + + − +  ( Điều phải chứng minh)

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi u và v cùng hướng  =u kv (k  0)=> a= 0

*Một vài nhận xét, chú ý rút ra từ bài toán:

1) Do tính chất của bình phương nên biểu thức dạng : 2 2

x +y có thể coi là độ dài của các vectơ có tọa độ khác nhau về dấu, ví dụ u1 =( )x y; hoặc u2 = −( x y; ); ( )

u = x −y ; u4 = − −( x; y) Vì vậy khi sử dụng biểu thức tọa độ của Tính chất 2, ta

có thể chọn các vectơ có tọa độ hợp lý để đạt được mục đích

Ví dụ trong Bài toán 7 nói trên, ta có thể chọn:

Với hai vectơ a, b bất kỳ, ta có: a−  + (2b a b ’)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a , b cùng phương nhưng không cùng hướng

2) Bài toán có thể chuyển thành : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

- Đây là bài toán tìm GTNN của biểu thức lượng giác chỉ có một hàm lượng

giác là cos xuất hiện Nếu coi cos= a, thì biểu thức cần tìm GTNN có dạng

tương tự Bài tập 7, nên học sinh có thể tự tìm được hướng giải quyết

*Một vài nhận xét, chú ý rút ra từ bài toán:

- Cần phân biệt cho học sinh sự khác nhau của bài toán chứng minh bất đẳng

thức và bài toán tìm GTLN, GTNN bằng phương pháp đánh giá, dùng bất đẳng thức Đó là, đối với bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất luôn phải chỉ ra sự tồn

tại có thật của nó, nói cách khác phải xảy ra dấu đẳng thức ở bất đẳng thức ta đánh giá

- Nếu bài toán này giáo viên cho học sinh làm ở lớp 10, thì os 1

3

c  = − , phải cho học sinh thấy được rằng có giá trị  thỏa mãn Nếu làm ở lớp 11, học sinh dễ dàng viết công thức xác định 

Bài tập 9 Chứng minh rằng : Với x; y; z là các số thực dương bất kỳ, ta có:

2 2

y xy

z yz

x zx

z + +  3 (x+y+z) (*)

*Nhận xét: Đây là bài toán áp dụng mở rộng từ bất đẳng thức với hai vectơ

sang bất đẳng thức với ba vectơ Với đặc điểm vế trái là 3 biểu thức căn bậc hai, học sinh sẽ phát hiện để làm xuất hiện độ dài của ba vectơ và sử dụng tính chất 2(mục 2.2) để giải quyết

4 3 HƯỚNG DẪN HỌC SINH SỬ DỤNG TÍNH CHẤT 3 ( mục 2 3)

Bài tập 10 CMR : Với a ; b ; x ; y là các số thực bất kỳ, ta có bất đẳng thức sau:

( )2 2 2 2 2

( )(x )

ax by+  a +b +y (Bất đẳng thức Bunhia - copxki)

* Nhận xét: Đây là một một bất đẳng thức Đại số cơ bản Học sinh có thể biến

đổi tương đương để chứng minh Tuy nhiên, giáo viên nên đặt vấn đề nhìn bất đẳng thức này dưới góc độ khác, với góc nhìn của hình học để học sinh thấy được

sự phong phú, thú vị của Toán học

* Hướng dẫn:

Gợi ý 1 :Mỗi nhân tử ở vế phải là tổng của hai bình phương , có thể coi là độ

dài của vectơ có tọa độ thế nào trong mp tọa độ Oxy?

Gợi ý 3: Tìm sự liên hệ, so sánh hai vế ?

Khi đó học sinh sẽ phát hiện để sử dụng tính chất 3(mục 2.3)

(điều phải chứng minh)

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi u và v cùng phương

- Nếu bài toán lại được nhìn dưới góc độ hình học (tọa độ vectơ) và mở rộng trong không gian, thì bài toán trở lên đơn giản hơn

* Hướng dẫn:

- Mỗi phần tử ở vế phải là tổng của 3 bình phương có phải là công thức tính độ dài của vectơ không ? Khi đó học sinh sẽ thấy cần vectơ có 3 thành phần tọa độ, tức là vectơ trong không gian Lúc này học sinh sẽ tiếp tục phát hiện các bước tiếp theo để giải quyết