SKKN HƢỚNG dẫn học SINH GIẢI bài TOÁN bất ĐẲNG THỨC BẰNG kĩ THUẬT CHỌN điểm rơi

Qua nhiều năm giảng dạy, đặc biệt là bồi dưỡng học sinh giỏi, tôi nhận ra rằng rất nhiều học sinh, kể cả học sinh giỏi khi tiếp cận với các bài toán về bất đẳng thức đều rất ngại.. Vì vậ

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

Độc lập – Tự do – Hạnh phúc

- -

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

TÊN ĐỀ TÀI

HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG

THỨC BẰNG KĨ THUẬT CHỌN ĐIỂM RƠI

Quảng Bình, tháng 12 năm 2018

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

Độc lập – Tự do – Hạnh phúc

- -

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

TÊN ĐỀ TÀI

HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG

THỨC BẰNG KĨ THUẬT CHỌN ĐIỂM RƠI

Họ tên : Hoàng Thị Minh Huệ Chức vụ : Tổ phó chuyên môn

Đơn vị công tác: Trường THPT Đào Duy Từ

Quảng Bình, tháng 12 năm 2018

MỤC LỤC

Trang

PHẦN I MỞ ĐẦU : 1

1.1 Lý do chọn đề tài : 1

1.2 Mục đích nghiên cứu : 1

1.3 Phạm vi nghiên cứu : 1

1.4 Phương pháp nghiên cứu : 1

PHẦN 2 NỘI DUNG : 2

2.1 Giới thiệu cơ bản về bất đẳng thức AM-GM và bất đẳng thức Bunhiacopxki 2

2.2 Hiểu thế nào là điểm rơi 2

2.3 Các bài toán : 3

PHẦN 3 KẾT LUẬN: 18

TÀI LIỆU THAM KHẢO:……… 19

1 MỞ ĐẦU

1 1.Lí do chọn đề tài

Bất đẳng thức là một chuyên đề khó trong chương trình phổ thông Qua nhiều năm giảng dạy, đặc biệt là bồi dưỡng học sinh giỏi, tôi nhận ra rằng rất nhiều học sinh, kể cả học sinh giỏi khi tiếp cận với các bài toán về bất đẳng thức đều rất ngại Ngoài một số lượng các bất đẳng thức tên tuổi còn rất nhiều kĩ thuật khó, chưa kể phải kết hợp nhuần nhuyễn chúng lại với nhau Phải là người có tư duy tốt và nhiều kinh nghiệm mới xử lí được Trong số các kĩ thuật nói trên, kĩ thuật sử dụng điểm rơi là rất quan trọng Người ta đã ví rằng, nếu bạn là một du khách nước ngoài, muốn biết được đường đến hồ Gươm nhưng trong tay chỉ có tấm bản đồ của Thành phố Hồ Chí Minh và cố gắng tìm kiếm thì điều này hoàn toàn vô vọng Ít nhất bạn cũng phải có tấm bản đồ của địa phương có địa điểm

đó Bất đẳng thức cũng vậy, nếu ta không khoanh vùng được rất khó để tìm ra hướng giải quyết Điều ta có thể làm là dựa vào đặc điểm của bài toán chọn một điểm rơi thích hợp Từ đó sử dụng các biến đổi khác để chứng minh hay tìm kiếm kết quả Vì vậy, với sự mong muốn tìm hiểu và áp dụng để truyền đạt cho học sinh, tôi đã lựa chọn đề tài “Hướng dẫn học sinh giải bài toán bất đẳng thức bằng kĩ thuật chọn điểm rơi”

1.2 Mục đích nghiên cứu

Giúp học sinh khá giỏi sử dụng thành thạo bất đẳng thức AM-GM và bất đẳng thức Bunhiacopxki kết hợp với kĩ thuật chọn điểm rơi hoặc điểm rơi giả định để chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức

1.3 Phạm vi nghiên cứu

Giải một số bài toán về chứng minh bất đẳng thức hoặc bài toán tìm cực trị bằng bất đẳng thức AM-GM và bất đẳng thức Bunhiacopxki kết hợp với kĩ thuật chọn điểm rơi

1.4 Phương pháp nghiên cứu:

- Đọc hiểu các tài liệu tham khảo

- Trao đổi, semina với các đồng nghiệp cũng như phỏng vấn, trao đổi với

các học sinh khá giỏi Tìm hiểu kỹ năng giải các bài toán về chuyên đề này của

học sinh khá giỏi

b  b    b

2.2 Hiểu thế nào là điểm rơi

Chọn điểm rơi nghĩa là dự đoán dấu đẳng thức xảy ra khi nào để ta có những đánh giá từ đó đưa ra phương pháp hợp lí Trong quá trình chứng minh bất đẳng thức, kĩ thuật chọn “điểm rơi” là kĩ thuật rất quan trọng Việc này sẽ ít phức tạp hơn nếu bất đẳng thức chứa các biến có “tính đối xứng hoặc có thể hoán vị vòng quanh” Trong một số trường hợp bất đẳng thức không có tính chất trên, ta có thể dùng mở rộng của phương pháp này, còn gọi là “điểm rơi giả định”

Để chọn được điểm rơi, thường ta chú ý đến các điều kiện của bài toán đặt ra

từ ban đầu Nếu bài toán chỉ có một biến thì điểm rơi chính là giá trị của biến khi dấu “=” xảy ra Nếu bài toán chứa nhiều biến có tính đối xứng hoặc hoán vị vòng quanh thì ta có thể chia đều giá trị đó cho số biến và điểm rơi là giá trị được chia đều đó

Nếu bài toán không có điều kiện ban đầu hoặc điều kiện ban đầu không đủ để

dự đoán, ta có thể quan sát tiếp bất đẳng thức cần chứng minh Điểm rơi chính

là sự bằng nhau của các biến nếu các biến có tính đối xứng

Dựa trên những kinh nghiệm đó, ta xét một vài ví dụ sau:

Nhìn qua có vẻ rất đơn giản Theo thói quen, rất nhiều học sinh sẽ làm như sau:

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho 2 số dương3 , 1

Từ đó giáo viên đưa ra cách giải đúng: Nhận xét với điều kiện ban đầu x 1 thì

S sẽ đạt giá trị nhỏ nhất khi x 1 Trong biểu thức S, ta đã tìm được minx

nhưng 1

4x thì không đánh giá trực tiếp được Do đó ta nghĩ đến việc khử x ở

mẫu bằng bất đẳng thức AM-GM Muốn đẳng thức xảy ra thì các số hạng của

vế trái phải bằng nhau Khi đó phải tìm một số k sao cho 1

Cách giải đúng: Chọn điểm rơi x 2

Khi đó phải tìm một số k sao cho x x 12

k  k x Suy ra k  8

3 2

  Dấu " " xảy ra khi x2

Như vậy mới nhìn qua, ta có cảm giác rất tốt rằng ta sẽ khử được các biến một cách nhẹ nhàng Tuy nhiên khi viết ra mới thấy được cái không hợp lí do điều kiện bài toán không cho phép Vậy ta phải khai thác cho được điều kiện ban đầu

đạt tại điểm rơi 1

Quan sát S là một biểu thức đối xứng với a b c, , nên dự đoán minS đạt tại

a b ab

b  a a b 



Giải:

Mong muốn của ta đó là phải khử được biến ở mẫu Đối với số hạng thứ nhất và

thứ hai thì mẫu có thể khử được nhờ vào tử của số hạng thứ ba Nhưng mẫu của

số hạng thứ ba thì chưa thể thực hiện ngay được Vì thế ta có thể quy đồng hai

số hạng đầu để xuất hiện tổng ab

Trong bài toán này, điều kiện ban đầu rất đơn giản nên không đủ để ta dự đoán điểm rơi Tuy nhiên lại thấy rằng vế trái của bất đẳng thức cần chứng minh đối xứng đối với a b, Do đó ta có thể dự đoán dấu “=” xảy ra khi ab Từ đó ta phải tìm k, l sao cho

2

8 ( )

8

3 8 6 ( )

x y

Quan sát biểu thức P, ta thấy hệ số của x và z bằng nhau, có nghĩa là x và z

có vai trò như nhau Do đó ta có thể giả sử P đạt min thì x z a y, b t, c Khi đó: bxbzay cx, cz at

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM

2 2 2 2

2

b x a y abxy 

2 2 2 2

2

a y b z abyz 

2 2 2 2

2

c z a t aczt 

2 2 2 2

2

a t c x actx 

2 2 2 2

2

c z a t abczt   b

Từ (1) suy ra b 4cthay vào (2) .5 1 1

     Min A 2  x 1 Trái giả thiết

Cách giải đúng: Dựa vào điều kiện ta có thể chọn điểm rơi x = 2

Mặt khác, nhận thấy biểu thức A có dạng tổng của hai bình phương nên ta nghĩ đến việc dùng bất đẳng thức Bunhicopxki với chiều ngược lại Giả sử với các

Ta cần chọn hai số α,β sao cho giá trị nhỏ nhất của A đạt được tại x = 2 Từ đó

ta có:

2

4 1

1

x x x

minA 2 2   x y 1 Trái giả thiết

Lời giải đúng: Dự đoán A đạt GTNN khi x y 2 Áp dụng bất đẳng thức

4 1

1 1

x y x x y y

x y z

x by caz a

b ca a

b ca a

KẾT QUẢ

Chuyên đề này hằng năm vẫn được sử dụng để bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi và bước đầu cũng cho thấy đã có được một số kết quả Khi chưa được tiếp xúc với chuyên đề, bất cứ học sinh nào cũng thấy khó khăn đối với các bài toán

về bất đẳng thức Nhiều em cứ thấy bài toán về bất đẳng thức là có cảm giác nản Có học sinh nói rẳng “nếu em gặp bài toán bất đẳng thức trong đề thi em sẽ

bỏ qua” Tuy nhiên sau khi được bồi dưỡng về phần này, các em đã cảm thấy tự tin hơn và hứng thú hơn trong các bài toán về bất đẳng thức Các em đều nói rằng bất đẳng thức khó thật nhưng rất hay Nếu đề bài không quá khó thì luôn

có thể cố gắng hết sức để làm Chính điều này cho thấy mỗi dạng bài tập khi đã

hé lộ được con đường để đi thì không những người ta sẽ đi mà còn thấy thú vị trên mỗi bước đi ở con đường đó Đó là lí do vì sao bất đẳng thức khó mà tôi hay các đồng nghiệp và các em học sinh vẫn muốn tìm tòi nghiên cứu những chuyên đề như thế này, cái mà người ta vẫn nói “vẻ đẹp của Toán học”

Để thấy rõ kết quả này, tôi đã cho học sinh làm bài kiểm tra trước và sau bồi dưỡng Sau đây là kết quả của việc bồi dưỡng học sinh giỏi của chuyên đề này

kiểm tra

Sau khi kiểm tra Thành tích

10 Đoàn Kim Nhân 4,0 8,5 Giải nhì HSG lớp 12

KẾT LUẬN

Cũng như mọi thứ, “điểm rơi” không phải ngẫu nhiên có, mà phải qua quan sát, tính toán Tuy nhiên với một biểu thức không quá phức tạp thì việc tính toán điểm rơi là điều không khó, hoàn toàn vừa sức đối với học sinh Chỉ cần em nào

một cách tự nhiên, không gượng ép Bất đẳng thức vì vậy mà cũng không quá

xa lạ

Ở bài viết này, tôi đã trình bày lời giải của một số bài toán liên quan chứng minh bất đẳng thức và tìm GTLN, GTNN mà trong đó, kĩ thuật chọn điểm rơi trong bất đẳng thức AM-GM và bất đẳng thức Bunhiacopxki là điểm mấu chốt

Vì thời gian hạn chế nên tôi chưa thể trình bày được nhiều dạng của phương pháp này và khó tránh khỏi sai sót Kính mong sự quan tâm, góp ý của độc giả

để bài viết hoàn thiện hơn

Cuối cùng, tôi xin chân thành gửi lời cảm ơn đến các đồng nghiệp đã quan tâm, giúp đỡ, tạo điều kiện để hoàn thành bài viết

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Sách giáo khoa Đại số 10 nâng cao (2012)- Nxb giáo dục Việt Nam

2 Võ Quốc Bá Cẩn- Trần Quốc Anh (2013), Sử dụng AM-GM để chứng minh bất đẳng thức- Nxb Đại học sư phạm

3 Trần Đức Huyên (2012), Tài liệu chuyên toán trung học phổ thông chuyên đề: Bất đẳng thức và bài toán min- max- Nxb giáo dục Việt Nam

4 T.S Lê Hoành Phò (2013), Bồi dưỡng học sinh giỏi toán đại số 10- Nxb Đại học quốc gia Hà Nội

PHẦN NHẬN XÉT ĐÁNH GIÁ

I Nhận xét, đánh giá của Hội đồng khoa học trường THPT Đào Duy Từ

1 Nhận xét:

2 Xếp loại:

II Nhận xét, đánh giá của Hội đồng khoa học Sở GD và ĐT Quảng Bình