skkn giải pháp giúp học sinh lớp 11 hệ thống kiến thức và sử dụng máy tính cầm tay cho bài toán viết phương trình tiếp tuyến với đường cong

Tên sáng kiến: “Giải pháp giúp học sinh lớp 11 hệ thống kiến thức và sử dụng máy tính cầm tay cho bài toán viết phương trình tiếp tuyến với đường cong” Lê Thị Diệu, Nguyễn Ngọc Hữu.. T

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

Độc lập – Tự do – Hạnh phúc

MÔ TẢ SÁNG KIẾN

Mã số:………

I Tên sáng kiến:

“Giải pháp giúp học sinh lớp 11 hệ thống kiến thức và sử dụng máy tính cầm tay cho bài toán viết phương trình tiếp tuyến với đường cong”

(Lê Thị Diệu, Nguyễn Ngọc Hữu Nguyễn Văn Phong, @THPT Ca Văn Thỉnh)

II Lĩnh vực áp dụng sáng kiến:

Áp dụng cho giáo viên giảng day môn Toán ở trường trung học phổ thông

III Mô tả bản chất của sáng kiến

1 Tình trạng giải pháp đã biết:

Để thực hiện tốt nhiệm vụ năm học mà bộ Giáo Dục và Đào Tạo đã phát động, đối với người giáo viên đang trực tiếp làm công tác giảng dạy thì một nhiệm vụ quan trọng là phải nâng cao chất lượng giảng dạy Trong các biện pháp nâng cao chất lượng giảng dạy thì việc đi sâu nghiên cứu chương trình mà mình đang trực tiếp giảng dạy và các phương pháp tuyền thụ cho học sinh là rất cần thiết đối với giáo viên

Trong các năm qua tôi được phân công giảng dạy toán các lớp 11, nhận thấy

được trong quá trình học về phần phương trình tiếp tuyến với đường cong có số

em chưa hiểu kĩ và giải bài tập chưa đạt hiệu quả cao Ttrong các kì thi gần đây, kể

cả kì thi Tốt nghiệp THPT năm nay Bộ Giáo Dục ra đề với hình thức thi trắc nghiệm nên việc nắm vửng kiến thức để kết hợp với máy tính cầm tay ( MTCT) ( máy CASIO fx-570ES PLUS) áp dụng vào hình thức thi này không kém phần quan trọng Các em hiểu kĩ và kết hợp sử dụng MTCTthì sẽ đạt hiệu quả tối ưu

Chính vì vậy, tôi đã viết lên một chút kinh nghiệm là: “Giải pháp giúp học sinh

lớp 11 hệ thống kiến thức và sử dụng máy tính cầm tay cho bài toán viết phương trình tiếp tuyến với đường cong”

Năm học 2016- 2017, tôi được phân công dạy toán lớp 11C2 có 42 em, lớp có khá đông học sinh trung bình, yếu chủ yếu là hỏng kiến thức củ, không phân loại dạng bài tập thậm chí không biết sử dụng máy tính khiến tôi củng gặp không ít khó khăn Tôi cố gắng giúp các em củng cố hệ thống các nội dung, trong đó có phần

phương trình tiếp tuyến với đường cong.

Khi dạy về phần tiếp tuyến với đường cong tôi nhận thấy:

Đối với học sinh yếu: khó phân biệt được phương trình tiếp tuyến với đường cong tại một điểm và đi qua một điểm, hay biết hệ số góc

Đối với học sinh khá : chưa giải quyết được các bài toán dựa vào điều kiện tiếp xúc của hai đường

Trong thời gian thực hiện giải pháp, tôi đã luôn quan sát, tận tình giúp các em yếu giải quyết khi gặp vướn mắc trong giải toán, chỉ một cách rất rõ ràng việc sử dụng MTCT cho bài trắc nghiệm, từ đó tạo động lực cho các em tiếp thu bài một cách tốt nhất

2 Nội dung giải pháp đề nghị công nhận là sáng kiến:

2.1 Mục đích của giải pháp:

Với việc áp dụng giải pháp này, tôi đặt ra mục tiêu:

- Về kiến thức: Học sinh phải nắm được cách lập phương trình tiếp tuyến của

đường cong các dạng từ dễ đến khó

- Về tư duy: Phân biệt các dạng toán lập phương trình tiếp tuyến với đường

cong tại một điểm, biết hệ số góc và đi qua một điểm, bài toán dựa vào điều kiện tiếp xúc của hai đường Biết vận dụng linh hoạt và sáng tạo khi sử dụng điều kiện tiếp xúc của hai đường

- Về kĩ năng : Thành thạo toán lập phương trình tiếp tuyến với đường

2.2 Biện pháp thực hiện:

Phân biệt cho các em từng dạng toán và nêu cách giải cụ thể, với mỗi dạng song song lí thuyết tôi hướng dẫn cách bấm máy tính áp dụng vào bài toán trắc nghiệm

PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN TẠI ĐIỂM THUỘC ĐỒ THỊ

Công thức phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số :yf x( ) tại điểm M x y( , ) 0 0 thuộc đồ thị là:

yf x x x  f x (1)

 x0 là hoành điểm tiếp xúc và f x 0 là tung độ tiếp điểm

 f x 0 là hệ số góc tiếp tuyến

+) nếu cho x0, ta suy ra f x 0 ,y0

+) nếu cho y0, ta suy ra x0 ( giải phương trình f x 0 y0)

* Đối với bài toán trắc nghiệm , trước khi tìm đáp án đúng bằng MTCT, ta sử dụng

phương pháp loại trừ bỏ bớt các đáp án không đúng

* Công thức ( 1 ) được viết lại dạng :y kx b  với k f x ( ) 0 và bkx0  f x( ) 0 Như vậy viết phương trình tiếp tuyến là đi tìm hai số k và b Ta sẽ dùng MTCT tìm hai số này:

 số k = d ( ( )) |f x x x0

 số b =  f x x ( ) 0 0  f x( ) 0

do đó ta chỉ cần biết x0 là có thể dùng MTCT tìm k và b dễ dàng

     

0

x x

d

f x

d x  nhập x0 ấn  ta có kết quả k, quay lại và bấm

( ( ))x x ( )

d

dx     ấn calc x: ? nhập x0 ấn  ta có kết quả b

* Ta củng có thể dựa vào điều kiện tiếp xúc của hai đường y = f(x) và y = g(x) =

ax +b ( tiếp tuyến) là:

Hệ phương trình:  

 

'

f x ax b

f x a

 







Dùng máy tính tìm a bằng cách tính đạo hàm, sau đó tìm b bằng cách lấy f(x) –

ax ( quay lai trên máy calc x? ….)

Ví dụ :Gọi M là giao điểm của đồ thị hàm số 2 1

2

x y x





 với trục tung Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số trên tại điểm M:

A  3  1

y x B  3  1

y x C 3 1

y x D 3 1

y x

Phân tích:

Tại giao điểm M của (C) với Oy thì điểm M có hoành độ bằng 0 Vậy dùng MTCT để tìm k và b

Với x = 0, thế vào hàm số được y = ½, ta thấy câu C và D không thỏa, vậy

loại câu C, D, còn lại A hoặc B

Giải :

Ta có x0= 0

MTCT:

0

2 1

2 x





  bấm = 3

4



,quay lại , nhập thêm

x

  

  calc x: ? 0   1

2

Vậy Pttt: 3 1

y x , chọn kết quả A

Vấn đề là tìm x0 ?

Qua các phân tích trên ta thấy việc tìm phương trình tiếp tuyến bằng cách

sử dụng máy tính cầm tay chỉ cần có x0 thì ta sẽ tìm được các yếu tố cần thiết khác Vậy vấn đề là tìm x0, nếu chưa cho x0 ta kết hợp kiến thức tìm,

sau đó tiếp tục bấm máy Sau đây là một số trường hợp là các dạng thường gặp nhất:

*DẠNG 1: Cho trước tiếp điểm M x y( , ) 0 0

Cách giải:

+ ) Ta chỉ cần tính f x' 0 rồi thế vào công thức (1) có kết quả Dạng này khá đơn giản, tuy nhiên nếu giải bằng máy tính:

     

0

x x

d

f x

d x  nhập x0 ấn  ta có kết quả k, quay lại và bấm

( ( ))x x ( )

d

dx     ấn calc x: ? nhập x0 ấn  ta có kết quả b

Ví dụ 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( ) :C y  3x 4x3 tại điểm có hoành

độ 0:

A.y 12x B.y 3x C.y 3x 2 D.y 0

Phân tích :

Trước hết x = 0, được y = 0, câu C bị loại

ta có : x0= 0, nhập vào máy

Giải :

d

x x

dx  nhập x = 0 , kết quả 3, quay lại và bấm

3 4 3 x x ( ) (3 4 ) 3

d

dx       calc x: ? 0 bấm = kết quả 0

Vậy: phương trình tiếp tuyến là y = 3x, chọn kết quả B

Ví dụ 2: Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số 4 2 1

x x

y    tại điểm có hoành độ x0 = -1 bằng :

A  2 B 2 C 0 D 3

Phân tích: tìm đạo hàm tại x0 = -1 ( bài này khá đôn giản)

Giải:

4 2

1 1

 

  ấn = -2

Vậy: chọn A

* NHẬN XÉT: Dạng này có thể tính nhanh không cần máy tính

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Bài 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 4

1

y x



 tại điểm có hoành độ

x0 = -1 :

A yx 3 B yx2 C y x  1 D y x 2

Bài 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 1

2

y

x

 tại điểm 1 ;1

2

A 

 :

A 2x 2y1 B 2x 2y1 C 2x2y3 D 2x2y3

Bài 3: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 2 3 1

2 1

x x y

x



 tại giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung :

A y x  1 B y x 1 C y x D yx

Bài 4: Cho hàm số y 2x 4

x 3





 có đồ thị là (H) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại giao điểm của (H) với trục hoành:

A y = 2x – 4 B y = - 3x + 1 C y = - 2x + 4 D y = 2x

Bài 5: Cho hàm số 3 3 2 3 1







x x x

y có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại giao điểm của (C) với trục tung:

A y  8 x 1 B y  3 x 1 C y  8 x 1 D y 3 x 1

Bài 6: Tiếp tuyến của parabol y  4 x2tại điểm (1; 3) tạo với 2 trục tọa độ một tam giác vuông Diện tích của tam giác vuông đó là:

A 25

4 B

5

4 C

25

D 5

2 .

Bài 7: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số 1

5

x y x





 tại điểm A( - 1 ; 0) có hệ số góc bằng

A 1/6 B -1/6 C 6/25 D -6/25

Bài 8: Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số 1

1

x y x





 tại giao điểm với trục tung bằng :

A  2 B -1 C 1 D 2

Bài 9: Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số 2 3

1

x y

x





 tại giao điểm với trục hoành bằng :

A 9 B 1

9 C 9 D

1 9

 ĐÁP ÁN: 1A, 2C, 3A, 4C, 5B, 6A, 7B, 8D, 9A

*Dạng 2: Cho biết tung độ tiếp điểm y0

Cách giải:

+ )Ta giải phương trình f x y0 để tìm x0 ( lưu ý phương trình f x  y0 có bao nhiêu nghiệm x0 là có bấy nhiêu tiếp tuyến ), sau đó áp dụng công thức 1 + )Nếu dùng máy tính, giải phương trình f x  y0 bằng máy tìm x0, bấm máy như dạng 1

Ví dụ 1: Cho hàm số y 2x 4

x 3





 có đồ thị là (H) Viết phương trình tiếp tuyến của

đồ thị hàm số tại giao điểm của (H) với trục hoành là:

A y = 2x – 4 B y = - 3x + 1 C y = - 2x + 4 D y = 2x

Phân tích:

Ta biết giao điểm của (H) với trục hoành là điểm có tung độ bằng 0, giải

phương trình y = 0 tìm x0, bấm máy

Giải :

y0= 0 2x 4 0   x0  2, tiếp điểm (2;0) ta thấy câu B, D bị loại

2 4

3 x





  ấn = được kết quả -2, quay lại và bấm

x

  

    calc x: ? 2 ấn  ta có kết quả 4

Vậy: pttt là y 2x 4

Vậy: chọn C

Ví dụ 2:Cho hàm số 4 2

y x  x  Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M thuộc đồ thị biết y  M 4

Phân tích: ta biết y 0 4, cần tìm x0 ( giải phương trình y = f(x) =4 )

Giải:

Ta có pt : 4 2 4 2

4 x  4x   4 x  4x   0 x 0 &x 2

MTCT:

0

x

d

dx    ấn = 0 quay lại và bấm

x x

d

dx         ấn = 4, suy ra tt y 4

quay lại và bấm tương tự x = -2  y 16x 28

quay lại và bấm tương tự x = 2  y 16x 28

Vậy có 3 phương trình tiếp tuyến thỏa đè bài là : y 4 ; y 16x 28 ; y 16x 28

* Hạn chế: ở cách giải này, mỗi giá trị x thì ta phải bấm tìm k và b Nếu giải theo

cách dùng số phức, có thể tính được nhiều kết quả cùng lúc, với cách này cần tính y’

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Bài 1: Cho đường cong ( ) : 2

1

x

H y

x





 và điểm A ( )H có tung độ y 4 Hãy lập phương trình tiếp tuyến của ( )H tại điểm A?

A.y x  2 B.y 3x 10 C.y 3x 11 D y = x + 2

Bài 2: Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( ) : 1

2

x

H y

x





 tại giao điểm của ( )H

và trục hoành:

A.y 3x B.y 3(x 1) C.y x  3 D. 1( 1)

3

y x

ĐÁP ÁN: 1B, 2D

*Dạng 3: phương trình tiếp tuyến cho trước hệ số góc K

Cách giải:

+ ) Ta giải phương trình f x  K để tìm hoành độ tiếp điểm , tung độ tiếp điểm,rồi áp dụng công thức 1

+ ) Sử dụng máy giải phương trình f x K để tìm hoành độ, bấm máy

Ví dụ: Cho hàm số ( ) 2 1, ( )

1

x

x





 Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết

hệ số góc tiếp tuyến K= -3:

A.y 3x 2; y 3 – 2x B y 3x 1; y 3x 11

C y 3x 5; y 3 – 5x D y 3x 10; y 3 – 4x

Phân tích:

Không thấy trường hợp loại đáp án

Hệ số góc tiếp tuyến bằng k = ' 

0

f x

Tính f’(x), giải phương trình f’(x) = -3 được hoành độ x0

Giải:

Pt  

0 3

2 1

x

f x

x x







MTCT:

0

2 1

1 x





  ấn = -3 quay lại và bấm

x

  

    calc x: ? 0 ấn  ta có kết quả -1 , pttt y = -3x -1

x

  

    calc x: ? 2 ấn = ta có kq 11, pttt y = -3x + 11

Vậy: chọn kết quả câu B

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Bài 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 3 3 2 2

3

x

y  x  biết hệ số góc tiếp tuyến k = -9:

A y169(x3) B y 169(x 3)

C y169(x3) D y9(x3)

Bài 2 : Trong các tiếp tuyến tại các điểm trên đồ thị hàm số y x 3 3x22 , tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất bằng:

A - 3 B 3 C - 4 D 0

Bài 3 : Cho hàm số y x 3 3x22 ( C ) Đường thẳng nào sau đây là tiếp tuyến của (C ) và có hệ số góc nhỏ nhất:

A y3x3 B y3x 3 C y5x10 D y 0

Bài 4 : Cho hàm số 1 3 2

3

y x  x  x có đồ thị ( )C Trong các tiếp tuyến với ( )C , tiếp tuyến có hệ số góc lớn nhất bằng bao nhiêu?

A.k 3 B.k 2 C.k 1 D.k 0

Bài 5.Tiếp tuyến của đồ thị hàm số 1

5

x y x





 tại điểm A( - 1 ; 0) có hệ số góc bằng

ĐÁP ÁN: 1,2A, 3A, 4C, 5B.

*Dạng 4: phương trình tiếp tuyến cho song song với đường thẳng d: y Kx b  : Nhận xét: 2 đường thẳng song song có hệ số góc bằng nhau

Tiếp tuyến // d  f x K ( giống như trường hợp 3 )

( đả biét tiếp tuyến ) Cách giải:

+ )Ta giải phương trình f x K để tìm hoành độ tiếp điểm, suy ra tung độ tiếp điểm, rồi áp dụng công thức 1

+ ) Dùng MTCT: giải pt f’(x) = k, rồi bấm máy như các trường hợp trên

+ ) Chú ý loại kết quả trùng đề bài

Ví dụ: Gọi (C) là đồ thị của hàm số x3 2

3

    Viết PT tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d: y = -2x + 2:

A y = -2x – 2 B y = -2x + 4 và y = -2x + 2 ;

C y = -2x + 10

3 D y = -2x + 3

Phân tích:

Không thấy đáp án bị loại, vì trong các đáp án các đương thẳng có hệ số góc bằng -2

Tính f’(x), giải phương trình f’(x) = -2, tìm x, dùng MTCT

Giải:

3

x

x





         



1

1

d

  ấn  ta có kq -2

1 1

d

dx

y k x x y



: ?

calc x = 1 kq -10/3

 tt: 2 10

3

y x

d

    calc x: ? 3 ấn  có kq -2, 2

2 2

   (loại)

Vậy: chọn C

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Bài 1 Lập phương trình tiếp tuyến của đường cong ( ) :C y x 3  3x2  8x 1, biết tiếp tuyến đó song song với đường thẳng  :y x  2007?

A.y x  4 B.y x  28 C.y x  2008 D y = x

Bài 2 Cho hàm số yx2 4x 3 có đồ thị (P) Nếu tt tại điểm M của (P) có hệ số góc bằng 8, tìm hoành độ điểm M :

A 12 B -6 C  1 D 5

Bài 3 Gọi (C) là đồ thị của hàm số x3 2

3

    Có hai tiếp tuyến của (C) cùng song song với đường thẳng y = -2x + 5 Hai tiếp tuyến đó là :

A y = -2x + 10

3 và y = -2x + 2 ; B y = -2x + 4 và y = -2x – 2 ;

C y = -2x -4

3 và y = -2x – 2 ; D y = -2x + 3 và y = -2x – 1

Bài 4 Phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số 1

1

x y x





 song song với đường thẳng  : 2x y  1 0  là

A.2x y  7 0  B.2x y   7 0 C.2x y  0 D. 2x y   1 0

Bài 5 : Cho hàm số yx3  3x2  2 có đồ thị (C) Số tiếp tuyến của (C) song song với đường thẳng y 9x là:

A 1 B 3 C 4 D 2

* Dạng 5: phương trình tiếp tuyến cho vuông góc với đường thẳng y Kx b  Nhận xét: 2 đường thẳng vuông góc có tích các hệ số góc bằng -1

Tiếp tuyến  d  f’(x).K = -1  f’(x) = -1/K ( xem đã biết hệ số góc)

Cách giải:

+ ) Ta giải phương trình f x  1

k



  để tìm hoành độ tiếp điểm , suy ra tung

độ rồi áp dụng công thức 1

+ ) Giải bằng máy tính trước hết cần tính f’(x) bằng viết tính nhanh, bấm

máy giải pt f’(x) = -1/K tìm x ,bấm tìm tiếp tuyến

Ví dụ: Cho hàm số 2

2

x y x





 ( C ) Viết phương trình tiếp tuyến của ( C ) biết tiếp

tuyến vuông góc với đường thẳng d: 9 2018

4

Giải:

2

5

4

x x

x





Bấm máy tương tự như trên được phương trình tiếp tuyến là:

&

y x y x

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Bài 1 Cho hàm số 3 3 2 3







 x x

y có đồ thị (C) Số tiếp tuyến của (C) vuông góc

với đường thẳng 2017

9

1



A 1 B 2 C 3 D 0

Bài 2 Cho hàm số yx3  3x2  2 có đồ thị (C) Số tiếp tuyến của (C) song song với đường thẳng y 9x là: