Trường THPT Long Trường – Tổ chuyên môn Toán Giáo viên: Nguyễn Thị Thu Huyền. Trường THPT Long Trường – Tổ chuyên môn Toán Giáo viên: Nguyễn Thị Thu Huyền.[r]
Trang 1GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ (BUỔI 2)
GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ (BUỔI 2)
Trường THPT Long Trường – Tổ chuyên môn Toán
Giáo viên: Nguyễn Thị Thu Huyền
Trường THPT Long Trường – Tổ chuyên môn Toán
Giáo viên: Nguyễn Thị Thu Huyền
Trang 2GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ (BUỔI 2)
2 Giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực:
Định nghĩa: SGK/128
Kí hiệu: ���
� →+∞ � ( � ) = �
���
� →− ∞ � ( � ) = �
Trang 3
GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ (BUỔI 2)
Định nghĩa: SGK/129 Một vài quy tắc về giới hạn vô cực: SGK/130, 131.
3 Giới hạn vô cực của hàm số:
Trang 4Giới hạn của hàm số tại vô cực
Một số giới hạn cơ bản:
���
� →+∞ ��
=+ ∞ , � ∈ℕ∗
���
� →− ∞ ��
=+ ∞, � ��ẵ �
���
� →− ∞ ��= − ∞ , � � ẻ
���
� → ±∞
�
��= � ( � ∈ ℕ
∗
)
���
� → ±∞ �=� , ���
� → ± ∞
�
�� = � ( �∈ ℕ
∗
)
Trang 5
Giới hạn của hàm số tại vô cực
Việc tính giới hạn hàm số tại vô
cực tương tự như giới hạn dãy số
đã học.
Nếu đề ghi hay thì ta xét 2
trường hợp rõ ràng và
Trang 6
Ví dụ 1 Tính:
¿ ���
� → ± ∞
� − �
�
��
�+ �
�
��
¿ �
�
¿ �
� ¿ ���
� →− ∞
( � � +� )� ( �− � )� ( � � −� )�( �+� )
� ¿ ���
� → ± ∞
� � � − � � +�
� � � + � �+�
Chia cả tử và mẫu cho
∞
∞
Với phân thức hữu tỉ, khi ta đều có duy nhất một
kết quả L
� ¿ ���
� → ± ∞
� ��− � � +�
� ��+ � �+�
� ¿ ���
� →+∞ √ �� � + � � − �
� � − � � � + �
Trang 7
� ¿ ���
� →− ∞
( � � +� ) � ( � − � � ) � ( � � � − � ) ( � +� ) �
��
�
¿ ���
� → −∞
��( �+ �
� )� ��( � �� − � )�
��( � − �
�� ) ��( �+ �
� )�
¿ ���
� → −∞
( � + �
� )�( � �� − � )� ( � − �
�� ) ( �+ �
� )�
∞
∞
Đặt x mũ lớn nhất của
từng thừa số ra ngoài
Rút gọn
Dễ ẹc
Trang 8� ¿ ���
� →+∞ √ �� � + � � − �
� � − � � � + �
���
� →+∞
� � �
+ � � − �
� � − � � � + �
���
�→+∞ √ � � � + � � − �
� � − � � � + � = √ �
Vì:
Nên:
Áp dụng định lí:
¿ ���
� →+ ∞
�+ �
� − � ��
�� +
�
��
= �
� = �
∞
∞
Trang 9
Ví dụ 2 Tính:
� ¿ ���
� →+ ∞
√ � � + � � − �
�+�
� ¿ ���
� →− ∞
√ � � + � � −�
�+�
� ¿ ���
� →∞
√ � � + � � +�
�
√ � � − � +�
� ¿ ���
� →+ ∞
√ � � + � � − �
�+�
¿ ���
� − � �� )
� ( �+ �
� )
¿ ���
� →+ ∞
¿ �∨ √ ( �+ �
� − � �� )
� ( �+ �
� )
¿ ���
� →+ ∞
� √ ( �+ �
� − � �� )
� ( �+ �
� )
¿ ���
� →+ ∞ √ ( �+ �
� − � �� )
� + �
�
¿ √ �
√ � � = ¿ �∨ ¿ ¿ { − � , ��� � ≥ � � , ��� �<�
∞
∞
Trang 10
� ¿ ���
� →− ∞
√ � � + � � −�
�+�
¿ ���
� − � �� )
� ( �+ �
� )
¿ ���
� → −∞
¿ �∨ √ ( �+ �
� − � �� )
� ( �+ �
� )
¿ ���
� → −∞
− � √ ( �+ �
� − � �� )
� ( �+ �
� )
¿ ���
� → −∞
− √ ( �+ �
� − � �� )
�+ �
�
¿ − √ �
√ � � = ¿ �∨ ¿ ¿ { − � , ��� � ≥ � � , ��� �<�
Trang 11
� ¿ ���
� →∞
√ � � � + � � +�
�
√ � � − �+�
¿ ���
� → ∞
¿ �∨. √ ( �+ �
� +
�
�� )
� �√ ( � − �
�� +
�
�� )
¿ ���
� → ∞
√ ��( �+ �
�
�� )
�
√ ��( �− �
�� +
�
�� )
Khi :
¿ ���
� →+ ∞
√ ( �+ �
�
�� )
�
√ ( � − �
�� +
�
�� )
¿ √ �
�
√ � = �
�=���
� →+ ∞
� √ ( �+ �
�
�� )
� �
√ ( � − �
�� +
�
�� )
Khi :
¿ ���
� → −∞
− √ ( �+ �
�
��)
�
√ ( � − �
�� +
�
�� )
¿ − √ �
�
√ � = − �
�= ���
� → −∞
− � √ ( �+ �
�
�� )
� �√ ( � − �
�� +
�
�� )
Trang 12
GIỚI HẠN
DẠNG
∞
∞
Rút x bậc cao nhất của tử và mẫu
ra làm nhân tử chung Rút gọn
√ � � = ¿ �∨ ¿ { − � , ��� � ≥ � � , ��� � <�
�
√ �= � , ∀ � ∈ ℝ
√ � � = � � , ∀ � ∈ℝ
Trang 13Ví dụ 3 Tính:
� ¿ ���
� →+ ∞
��− � ��
+ � − �
� ��+ � � − �
¿ ���
� →+ ∞
��( � − �
� +
�
�� − � �� )
��( �+ �
� − � �� )
¿ ���
� →+ ∞( ��.
� +
�
�� −
�
��
�+ �
� − � �� )
¿ + ∞
� ¿ ���
� →+ ∞
� � − � � � + � − �
� � � + � � − �
• ���
� →± ∞ � � =+ ∞
• ���
� →± ∞
� − �
�
�� − � ��
�+ �
�
��
= �
� > �
Vì:
� ¿ ���
� →− ∞ √ � � � + � � � + �� � − �
Trang 14
� ¿ ���
� →− ∞ √ � � � + � � � + �� � − �
¿ ���
� → −∞ √ � � ( �+ �
� +
�
� � − � � � )
¿ + ∞
√ � � = ¿ � � ∨ ¿ � �
Vì:
• ���
� →− ∞ � � =+ ∞
• ���
� →− ∞ √ �+ �
� +
�
� � − � � �
¿ ���
�→ −∞ ( � � √ �+ �
� +
�
� � − � � � )
¿ √ �>�
Trang 15
Ví dụ 4 Tính:
� ¿ ���
� →+ ∞( �+ √ ��− � �+� )
� →− ∞ ( � + √ �� − � �+� )
� ¿ ���
� →+ ∞ ( �+ √ � � − � �+� )
� →+ ∞ [ �+ √ � � ( �− �
� +
�
� � ) ]
� →+ ∞ [ �+ � √ ( �− �
� +
�
� � ) ]
¿ ���
� →+ ∞ [ � ( �+ √ �− �
� +
�
� � ) ]
¿ + ∞
Vì: • ���
• ���
� →+∞ ( �+ √ �− �
� +
�
� � )
¿ �+ √ �=�>�
Trang 16
� ¿ ���
� →− ∞ ( � + √ � � − � �+� )
� → −∞ [ �+ √ � � ( �− �
� +
�
� � ) ]
� → −∞ [ � − � √ ( �− �
� +
�
� � ) ]
¿ ���
� → −∞ [ � ( �− √ �− �
� +
�
� � ) ]
• ���
� →− ∞ �=− ∞
• ���
� →+∞ ( �− √ �− �
� +
�
� � )
¿ �
∞ �
¿ �
Nhân liên hiệp
Trang 17� ¿ ���
� →− ∞ ( � + √ � � − � �+� )
� → −∞
( � + √ � � − � �+� )( � − √ � � − � �+� )
� − √ � � − � �+�
� → −∞
¿ ���
� → −∞
� � −�
� − √ � � − � � +�
¿ ���
� → −∞
� ( �− �
� )
�+ � √ �− �
� +
�
��
¿ ���
� → −∞
� − �
�
�+� √ �− �
� +
�
��
¿ �
� = �
∞ − ∞
Trang 18
Ví dụ 5 Tính:
� → −∞ ( √ � � + � − � )
� →+∞ ( √ � � − � � −� − √ � � + � )
� → −∞ ( � � + √ �� � � − � � +� )
� → − ∞ ( � � − √ � � − � )
� → −∞ ( √ � � + � − � )
� →+∞ ( √ � � − � � −� − √ � � + � )
� → −∞ ( � � + √ �� � � − � � +� )
� → − ∞ ( � � − √ � � − � )
Trang 19
� →+∞ ��
=+ ∞ , � ∈ℕ∗
���
� →− ∞ ��=+ ∞, � ��ẵ �
���
� →− ∞ ��
= − ∞ , � � ẻ
���
� → ±∞
�
��= � ( � ∈ ℕ
∗
)
���
� → ±∞ �=� , ���
� → ± ∞
�
�� = � ( �∈ ℕ
∗
)
Dạng : Rút x bậc cao nhất Rút gọn
∞
Dạng , :
Nhân liên hiệp
√ � � = ¿ �∨ ¿ { − � , ��� � ≥ � � , ��� � <�
�
√ �= � , ∀ � ∈ ℝ
√ � � = � � , ∀ � ∈ℝ
Rút x ra khỏi căn
Trang 20# S TAYAT H O M E
# M I S S H U Y E N # S E E Y O U S O O N