Bài viết này điểm qua các tính chất quan trọng của số chính phương cùng với các bài toán liên quan.. 1..[r]
Trang 1MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG
ThS Lê Phúc Lữ
Chuyên gia bồi dưỡng đội tuyển toán quốc gia Việt Nam và Saudi Arabia
GIỚI THIỆU.Số chính phương đóng vai trò quan trọng trong các bài toán Số học phổ thông Bài viết này điểm
qua các tính chất quan trọng của số chính phương cùng với các bài toán liên quan
1 TÓM TẮT LÝ THUYẾT
• Số chính phương là bình phương đúng của một số tự nhiên
• Khi chia một số chính phương n2cho số nguyên m > 1 nào
đó, ta không nhận được đầy đủ các số dư 0, 1, 2, , m − 1 mà
có một vài số dư nhất định, tùy thuộc vào giá trị m Chẳng
hạn khi m = 3 hoặc m = 4 thì số dư khi chia n2là 0 hoặc 1,
khi m = 5 thì số dư là 0, 1, 4
• Kết quả quan trọng: nếu hai số nguyên dương a, b thỏa mãn
(a, b) = 1 và ab = n2 thì bản thân mỗi số a, b phải là số
chính phương Tổng quát hơn, nếu (a, b) = d và ab = n2thì
a = da2, b = db2với các số a, b ∈ Z.
• Ngoài ra, ta cũng có: n2<k < (n + 1)2thì k không thể là số
chính phương
• Các bài toán thường gặp về số chính phương: giải phương
trình nghiệm nguyên, chứng minh đẳng thức, tìm các ràng
buộc giữa các số trong đẳng thức,
2 VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1.
a) Chứng minh rằng n2+3n + 4 không chia hết cho 6.
b) Chứng minh rằng (3n + 1) (5n + 3) không là số chính phương.
Lời giải
a) Xét số dư của số đã cho khi chia cho 3, ta thấy n2+1 không
bao giờ chia hết cho 3 vì n2khi chia cho 3 dư 0, 1 Mà 3n + 3
chia hết cho 3 nên n2+1 + 3n + 3 không chia hết cho 3 và nó
cũng không chia hết cho 6
b) Giả sử (3n + 1)(5n + 3) = m2 Đặt d = (3n + 1, 5n + 3) thì
d|3n + 1
d|5n + 3
⇒ d|5(3n + 1) − 3(5n + 3) = −4 nên d ∈ {1, 2, 4} Ta xét các trường hợp
• Nếu d = 1 thì 3n + 1 và 5n + 3 đều là số chính phương Điều này vô lý vì 5n + 3 chia 5 dư 3
• Nếu d = 4 thì cũng tương tự, các số trên đều là số chính phương, cũng vô lý
• Nếu d = 2 thì 3n + 1 = 2x2; 5n + 3 = 2y2, chú ý rằng 2x2chia 3 dư 0 hoặc 2, trong khi 3n + 1 chia 3 dư 1, cũng
vô lý
Do đó trong mọi trường hợp thì biểu thức trên không thể là
số chính phương
Ví dụ 2. Tìm tất cả các số tự nhiên n để n2− 24n − 15 là số chính phương.
(Đề thi tuyển sinh 10 chuyên Toán Gia Lai 2017 - 2018)
Lời giải Ta có
n2− 24n − 15 = k2⇔ (n − 12)2− k2=169
⇔ (n − 12 − k)(n − 12 + k) = 169
⇒
n − 12 − k = 13
n − 12 + k = 13 ⇒
n = 25
k = 0 Vậy n = 25 là giá trị duy nhất cần tìm
Ví dụ 3. Tìm các số nguyên n sao cho n − 2000 và n − 2011 đều là số chính phương.
(Đề thi tuyển sinh 10 chuyên Toán Quảng Bình 2017 - 2018)
Lời giải Theo đề bài,
n − 2000 = a2
n − 2011 = b2 (với a, b là các số nguyên không âm)
Trang 2⇒ a2− b2=11 ⇔ (a − b)(a + b) = 11.
Do a + b > a − b nên
a + b = 11
a − b = 1 ⇔
a = 6
b = 5 ⇒ n = 2036 Vậy, n = 2036 là số nguyên duy nhất thoả đề
Ví dụ 4. Tìm các số nguyên dương n sao cho các biểu thức sau đây là số
chính phương:
a) n2+3n.
b) 7n + 4.
c) n4+n3+n2+n + 1.
Lời giải
a) Ta thấy n2 <n2+3n < (n + 2)2nên ta phải có n2+3n =
(n + 1)2, suy ra n = 1
b) Đặt 7n + 4 = m2thì m phải chia 7 dư 2 hoặc 5 thì lần lượt viết
m = 7k + 2, m = 7k − 2 với k ∈ Z+ Thay vào ta có
7n + 4 = (7k ± 2)2⇒ 7n = 49k2± 28k ⇒ n = 7k2± 4k
c) Ta có 4C = 4n4+4n3+4n2+4n + 1 < 4n4+4n3+9n2+
4n + 4 = (2n2+n + 2)2, mà
4C > 4n4+4n3+n2= (2n2+n)2 nên ta phải có 4C = (2n2+n + 1)2hay n2− 2n − 3 = 0 ⇒
n = 3
Ví dụ 5. Tìm các số tự nhiên n sao cho các biểu thức sau đây là số chính
phương
a) M = 3n+63.
b) K = 13 + 2 · n!.
c) P = 1! + 2! + 3! + · · · + n!.
Lời giải
a) Đặt 3n+63 = m2 Nếu n = 0 thì M = 64 thỏa mãn
Số dư của M khi chia cho 4 là (−1)n+3 nên phải có n chẵn,
vì nếu không thì số dư trên sẽ là 2, không thỏa
Khi n chẵn, đặt n = 2k thì
32k+63 = m2⇒ 63 =m − 3k
m + 3k Nếu k ≥ 4 thì m + 3k>81, không thỏa nên k ∈ {1, 2, 3} Thử
trực tiếp, ta thấy k = 2 thỏa, và khi đó n = 4
Vậy các giá trị cần tìm là n = 0, n = 4
b) Nếu n ≥ 5 thì K chia 5 dư 3, không thỏa
Thử trực tiếp với n = 1, 2, 3, 4, ta thấy có n = 3 thỏa vì khi đó
K = 13 + 2 · 6 = 25
c) Với k ≥ 5 thì k! chia hết cho 10 nên chữ số tận cùng của P bằng với chữ số tận cùng của 1! + 2! + 3! + 4! = 1 + 2 + 6 + 24 = 33
và là 3 Tuy nhiên, số chính phương chỉ có thể có chữ số tận cùng là 0, 1, 4, 5, 6, 9 nên không thỏa
Thử trực tiếp với n = 1, 2, 3, 4 ta thấy P cũng không là số chính phương Do đó, không tồn tại n thỏa mãn đề bài
Ví dụ 6. Giả sử rằng với n nguyên dương, ta có n3+n2+n + 1 là số chính phương Chứng minh rằngn + 1
2 là số chính phương.
Lời giải Ta thấy n3+n2+n + 1 = (n + 1)(n2+1)
Đặt d = (n + 1, n2+1) thì d|n + 1 ⇒ d|n2+n, mà d|n2+1 nên d|n − 1 Do đó d|2, kéo theo d ∈ {1, 2} Ta có các trường hợp:
• Nếu d = 1 thì các số n + 1, n2+1 đều chính phương, vô lý vì
n2<n2+1 < (n + 1)2
• Nếu d = 2 thì đặt n + 1 = 2x2, n2+1 = 2y2 Khi đó, rõ ràng
n + 1
2 là số chính phương.
Ví dụ 7. Tìm tất cả các cặp số nguyên dương x, y sao cho x2+8y và
y2+8x là các số chính phương.
(Đề thi HSG TP Hà Nội 2017)
Lời giải Không mất tính tổng quát, giả sử x ≥ y, khi đó x2 <
x2+8y < (x + 4)2 Mà x2+8y cùng tính chẵn lẻ với x2nên chỉ
có thể là x2+8y = (x + 2)2hay x = 2y − 1 Khi đó y2+8x =
y2+16y − 8 = (y + 2)2+12y − 12 ≥ (y + 2)2và y2+16y − 8 < (y + 8)2 Tương tự, ta cũng thấy rằng y2+8x cùng tính chẵn lẻ với
y2nên có các trường hợp:
• Nếu y2+16y − 8 = (y + 2)2⇒ y = 1 Khi đó x = 1
• Nếu y2+16y − 8 = (y + 4)2⇒ y = 3 Khi đó x = 5
• Nếu y2+16y − 8 = (y + 6)2⇒ y = 11 Khi đó x = 21 Thử lại ta thấy đều thỏa Vậy các cặp số cần tìm là (x, y) = (1, 1), (3, 5), (11, 21)
Ví dụ 8. Số nguyên dương n được gọi là “tốt” nếu như tổng bình phương các ước của nó (tính cả 1 và n) thì bằng (n + 3)2.
a) Chứng minh rằng 287 là số "tốt".
b) Giả sử với hai số nguyên tố p, q nào đó (không nhất thiết phân biệt) thì n = pq là số tốt, chứng minh rằng n + 2 và 2 (n + 1) là các số chính phương.
(Dựa theo đề thi tuyển sinh chuyên Toán trường Phổ thông Năng khiếu,
ĐHQG Tp HCM 2013 - 2014)
Lời giải
a) Ta có n = 287 = 7 · 41, nên tổng bình phương các ước của nó
là 12+72+412+72· 412= (12+72)(12+412) =50 · 1682 =
100 · 841 = 2902= (287 + 3)2 Suy ra n = 287 là số "tốt"
Trang 3b) Nếu như p = q thì các ước của n = p2là 1, p, p2nên n là số
tốt khi (p2+3)2=1 + p2+p4hay 5p2+8 = 0, vô nghiệm
Suy ra p 6= q và các ước của n = pq là 1, p, q, pq Nếu n là tốt
thì (pq + 3)2=1 + p2+q2+p2q2hay
6pq + 8 = p2+q2⇒
4(pq + 2) = (p − q)2 8(pq + 1) = (p + q)2
Do (p − q)2và 4 là các số chính phương nên n + 2 = pq + 2
cũng phải là số chính phương Tương tự, 2(n + 1) =(p + q)2
4 cũng là số chính phương
Ví dụ 9. Cho biểu thức A = (m + n)3+3m + n với m, n là các số
nguyên dương Chứng minh rằng nếu A là một số chính phương thì
n3+1 chia hết cho m.
(Đề thi tuyển sinh 10 chuyên Toán Tp HCM 2017 - 2018)
Lời giải Ta có (m + n)2 < (m + n)2+3m + n + 1 < (m + n +
2)2 ⇒ A = (m + n + 1)2 ⇒ (m + n)2+3m + n + 1 = (m + n +
1)2⇒ m = n + 1 ⇒ n = m − 1 ⇒ n3+1 = (m − 1)3+1 m.
Ví dụ 10. Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho n2+3nlà một số
chính phương.
(Đề thi tuyển sinh 10 chuyên Toán Thừa Thiên - Huế 2017 - 2018)
Lời giải Gọi m là số nguyên dương thoả mãn n2+3n=m2 Khi
đó (m − n)(m + n) = 3n Suy ra tồn tại số tự nhiên k sao cho
m − n = 3kvà m + n = 3n−k Vì m − n < m + n nên k < n − k hay
n − 2k ≥ 1
1 Nếu n − 2k = 1 thì
2n = (m + n) − (m − n) = 3n−k− 3k=3k3n−2k− 1
=3k31− 1=2.3k
Vì vậy n = 3k=2k + 1
(a) Nếu k = 0 thì n = 1
(b) Nếu k = 1 thì n = 3
(c) Nếu k ≥ 2 thì
3k− 1 = 23k−1+3k−2+ + 3 + 1>2k (1)
2 Nếu n − 2k > 1 thì k ≤ n − k − 2 Do đó 3k≤ 3n−k−2 Suy ra
2n = (m + n) − (m − n) = 3n−k− 3k≥ 3n−k− 3n−k−2=8.3n−k−2
Áp dụng (1) ta có
3n−k−2≥ 1 + 2(n − k − 2) = 2n − 2k − 3
Suy ra
2n ≥ 8(2n − 2k − 3) ⇔ 8k + 12 ≥ 7n
Mặt khác n ≥ 2k + 2 nên 7n ≥ 14k + 14, mâu thuẫn
Vậy n = 1 hoặc n = 3
Ví dụ 11. Tìm tất cả các số nguyên dương (x, y) thoả mãn x2+3y và
y2+3x là số chính phương.
(Đề thi tuyển sinh 10 chuyên Toán Hải Dương 2017 - 2018)
Lời giải Không mất tính tổng quát, giả sử x ≥ y Ta có
x2+3y = k2(k nguyên dương và k>x)
Đặt k = x + t Giả sử t ≥ 2 ta sẽ có:
x2+2xt + t2=k2=x2+3y với 2xt ≥ 4x ≥ 4y (vô lý) (*) Vậy t = 1, khi đó ta có 2x + 1 = 3y, suy ra:
x = 3y − 1
2 hay 3x = 9y − 3
2 <6y.
Thực hiện quá trình như (∗), đặt y2+3x = m2và m = y + z, suy
ra z < 3 Vậy z = 1 hoặc z = 2
1 Với z = 1 thì9y − 3
2 =2y + 1 ⇒ y = 1, x = 1
2 Với z = 2 thì9y − 3
2 =4y + 4 ⇒ y = 11, x = 16
Thử lại ta thấy hai bộ (x, y) trên thoả yêu cầu bài toán Vậy (x, y) = (1, 1) hoặc (x, y) = (16, 11)
Ví dụ 12. Tìm tất cả các bộ số nguyên dương (x, y, z) thoả mãn
x + y√2017
y + z√2017 là số hữu tỉ, đồng thời (y + 2)(4zx + 6y − 3) là số chính phương.
(Đề thi tuyển sinh 10 chuyên Toán Bắc Giang 2017 - 2018)
Lời giải Ta sẽ xử lí dữ kiện đầu tiên của bài toán:x + y
√ 2017
y + z√2017là
số hữu tỉ
Đặtx + y
√ 2017
y + z√2017 =t, với t ∈ Z Ta có
x + y√2017 = ty + tz√2017
⇒ x − ty =√2017(tz − y)
Do x − ty và tz − y là các số hữu tỉ,√2017 là số vô tỉ nên x − ty =
tz − y = 0, suy ra xy= y
z =t và xz = y2.
Để (y + 2)(4xz + 6y − 3) là số chính phương thì ta cần điều kiện tương đương với nó là "(y + 2)(4y2+6y − 3) là số chính phương" Nếu gọi m là một ước chung của y + 2 và 4y2+6y − 3 thì ta có:
m | 4y(y + 2) − (4y2+6y − 3) − 2(y + 2) ⇒ m | 1 Vậy (y + 2, 4y2+6y − 3) = 1 Nếu (y + 2)(4y2+6y − 3) là số chính phương thì (y + 2) và (4y2+6y − 3) đều là những số chính phương Đặt 4y2+6y − 3 = q2, với q ∈ N Khi đó
16y2+24y − 12 = 4q2⇒ (4y + 3)2− (2q)2=21
⇒ (4y − 2q + 3)(4y + 2q + 3) = 21
Do 4y − 2q + 3 < 4y + 2q + 3 nên có 2 trường hợp xảy ra: TH1:
4y − 2q + 3 = 1 4y + 2q + 3 = 21⇒
y = 2
q = 5
Trang 4TH2:
4y − 2q + 3 = 3
4y + 2q + 3 = 7⇒
y = 1 2
q = 1 Trường hợp này không thoả mãn điều kiện y là số nguyên
Với y = 2 thì ta có thể chọn (x, z) = (1, 4), (x, z) = (4, 1) hoặc
(x, z) = (2, 2), do xz = y2=4, theo chứng minh trên
Như vậy bài toán có tất cả 3 nghiệm là (x, y, z) = (4, 1, 4), (x, y, z) =
(4, 4, 1) và (x, y, z) = (4, 2, 2)
Ví dụ 13. Cho 3 số nguyên dương a, b, c nguyên dương, nguyên tố cùng
nhau thỏa điều kiện1
a+
1
b =
1
c Chứng minh a + b là số chính phương.
(Đề thi tuyển sinh 10 chuyên Toán Thái Nguyên 2016 - 2017)
Hướng dẫn Giả thiết ⇔ ab = c(a + b) và a, b > c Đặt (a; c) = m
và (b; c) = n thì (m; n) = 1 Do đó c mn.
Viết c = mnt, a = mx, b = ny với x, y nguyên dương thì (nt; x) =
(mt; y) = 1 suy ra (n; x) = (t; x) = (m; y) = (t; y) = 1 Mặt khác
ab c ⇒ xy t suy ra t = 1.
Với c = mn, a = mx, b = ny ta có xy = mx + ny Từ đây suy ra
mx y và ny x Lại có (n; x) = (m; y) = 1 nên x y và y x suy ra
x = y Vì vậy a + b = xy = x2là số chính phương
3 BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài tập 1. Số nào trong các số dưới đây là số chính phương?
a) M = 19922+19932+19942
b) N = 19922+19932+19942+19952
Bài tập 2.
a) Ký hiệu A = 111 11| {z }
2m digits
, B = 444 44| {z }
m digits
Chứng minh rằng A +
B + 1 là số chính phương Tìm chữ số hàng đơn vị của√A + B + 1.
b) Với mỗi số nguyên dương n, đặt An= (10n+10n−1+ + 10 +
1)(10n+1+5) + 1.
Bài tập 3. Chứng minh rằng số các ước của số nguyên dương n là lẻ
khi và chỉ khi n là số chính phương Từ đó chỉ ra rằng số các ước của số
n2018+3 là số chẵn với mọi n > 1.
Bài tập 4. Tìm tất cả các số tự nhiên x để các số sau đây là số chính
phương:
a) n = x2+7x + 4.
b) m = x3+16.
c) k = 7x+15.
Bài tập 5. (Bài toán về phương trình Pytago) Giả sử các số nguyên
dương x, y, z không có ước nguyên tố chung và x2+y2 =z2 Chứng
minh rằng:
a) Tồn tại m, n ∈ Z+sao cho z = m2+n2.
b) xyz chia hết cho 60.
Bài tập 6.
a) Hãy tìm tất cả các số chính phương gồm bốn chữ số biết rằng hai
chữ số đầu lớn hơn hai chữ số sau 1 đơn vị.
b) Hãy tìm hai số chính phương phân biệt a1a2a3a4và b1b2b3b4biết rằng
a1− b1=a2− b2=a3− b3=a4− b4
Bài tập 7. Cho n, d là hai số nguyên dương sao cho d | 2n2 Chứng minh rằng n2+d không thể là số chính phương.
Bài tập 8. Tìm số nguyên a, b sao cho a4+ (a + b)4+b4là số chính phương.
(Komal - Hungary C.676, 2002)
Bài tập 9. Giả sử số nguyên dương n có tất cả k ước số dương là
d1, d2, , dk Chứng minh rằng nếu d1+d2+ + dk+k = 2n + 1 thì
n
2là số chính phương.
(Đề thi HSG Tp HCM 2013)
Bài tập 10. Cho các số nguyên a, b, c thoả mãn
1
a+
1
b+
1
c =
1 abc.
Chứng minh rằng 1 + a2
1 + b2
1 + c2
là số chính phương.
Bài tập 11. Cho p là số nguyên tố Tìm tất cả các số nguyên n để
A = n4+4np+1là số chính phương.
(Đề thi tuyển sịnh 10 chuyên Toán Bà Rịa - Vũng Tàu 2017 - 2018)
Bài tập 12. Tìm số chính phương có bốn chữ số biết rằng khi tăng thêm mỗi chữ số một đơn vị thì số mới được tạo thành cũng là số chính phương
có bốn chữ số.
(Đề thi tuyển sinh 10 chuyên Toán Bình Định 2016 - 2017)
Bài tập 13.
a) Xác định tất cả các cặp số nguyên (a, b) sao cho hai số a2+4b và
b2+4a đều là những số chính phương.
(APMO 1999) b) Tìm các cặp số nguyên dương (x, y) thỏa mãn x2+3y và y2+3x
đều là các số chính phương.
Bài tập 14. Có tồn tại hay không 2013 số nguyên dương a1, a2, , a2013
sao cho các số a2+a2, a2+a2+a2, , a2+a2+ + a2
2013đều là số chính phương?
Bài tập 15. Cho a1=14, a2=144 và an=1444 4 với n số 4 Tìm
tất cả các số nguyên dương n sao cho anlà số chính phương.
Bài tập 16. Cho n ∈ N sao chon23− 1là tích của hai số tự nhiên liên tiếp Chứng minh rằng n là tổng của hai số chính phương liên tiếp.