Đề thi thử tuyển sinh vào lớp 10 THPT môn Toán năm 2021 - 2022 lần 3 do thuvientoan.net biên soạn

Bài toán đồng nghĩa với việc tìm diện tích xung quanh nhỏ nhất của hình hộp chữ nhật Gọi x , 3 x với x  0 lần lượt là chiều rộng và chiều dài của bể (đơn vị mét).[r]

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2021 – 2022 Môn thi: TOÁN

Thời gian làm bài 150, không kể thời gian phát đề

Câu 1 (1,0 điểm)

a) Rút gọn biểu thức A 2 35 48 1255 5

b) Tìm điều kiện của x để biểu thức B 3x có nghĩa 4

Câu 2 (2,5 điểm)

a) Giải hệ phương trình  

2 2





b) Giải phương trình: x   2 2 x

c) Cho parabol   2

P y x và đường thẳng  d :y3x  Xác định giá trị của b bằng phép tính để đường b thẳng  d tiếp xúc với parabol  P

Câu 3 (1,5 điểm)

x  m x m với m là tham số

a) Chứng minh phương trình  1 luôn có nghiệm với mọi giá trị của m

b) Xác định các giá trị của m để phương trình  1 có hai nghiệm phân biệt x x thỏa mãn: 1, 2

1 3 1 2 3 2 4

Câu 4 (1,0 điểm)

Một lâm trường dự định trồng 75 ha rừng trong một số tuần Do mỗi tuần trồng vượt mức 5 ha so với kế hoạch nên đã trồng được 80 ha và hoàn thành sớm hơn 1 tuần Hỏi mỗi tuần lâm trường dự định trồng bao nhiêu ha rừng?

Câu 5 (3,0 điểm)

Cho đường tròn tâm O có đường kính AB2 R Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng OA, E là điểm thay đổi trên đường tròn  O sao cho E không trùng với A và B Dựng đường thẳng d và 1 d lần lượt là các tiếp tuyến 2

của đường tròn  O tại A và B Gọi d là đường thẳng qua E và vuông góc với EI Đường thẳng d cắt d d 1, 2 lần lượt tại M N,

a) Chứng minh tứ giác AMEI nội tiếp

b) Chứng minh IAE đồng dạng với NBE Từ đó chứng minh IB NE 3IE NB

ĐỀ SỐ 3

c) Khi điểm E thay đổi, chứng minh tam giác MNI vuông tại I và tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích MNI

theo R

Câu 6 (1,0 điểm)

Khi xây nhà, cô Ngọc cần xây một bể đựng nước mưa có thể tích 3

6

V  m dạng hình hộp chữ nhật với chiều dài gấp ba lần chiều rộng, đáy và nắp và các mặt xung quanh đều được đổ bê tông, cốt thép Phần nắp để hở một khoảng hình vuông có diện tích bằng 2

9 diện tích nắp bể Biết rằng chi phí cho

2

1 m bê tông cốt thép là 1 triệu

đồng Tính chi phí thấp nhất mà cô Ngọc phải trả khi xây bể (làm tròn đến chữ số hàng trăm nghìn)?

-HẾT -

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Câu 1 (1,0 điểm)

a) Rút gọn biểu thức A 2 35 48 1255 5

b) Tìm điều kiện của x để biểu thức B 3x có nghĩa 4

Lời giải

a) Ta có: A 2 35 3 4 2  535 52 320 35 55 522 3

Vậy A 22 3

b) Ta có B có nghĩa khi và chỉ khi 3 4 0 4

3

x   x

Vậy với 4

3

x  thì B có nghĩa

Câu 2 (2,5 điểm)

a) Giải hệ phương trình  

2 2





b) Giải phương trình: x   2 2 x

c) Cho parabol   2

P y x và đường thẳng  d :y3x  Xác định giá trị của b bằng phép tính để đường b thẳng  d tiếp xúc với parabol  P

Lời giải

a) Cộng vế theo vế của hệ phương trình ta được:

2

Với x 1, ta có:  1 3y  5 y 2

Vậy hệ cho có nghiệm x y ;   1; 2

b) Ta có:

2

2

2

x

x

 







 





Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất 5 17.

2



c) Phương trình hoành độ giao điểm của  d và  P là:

2x 3x b 2x 3x b 0

8

8

b   thì  P tiếp xúc với  d

Câu 3 (1,5 điểm)

x  m x m với m là tham số

a) Chứng minh phương trình  1 luôn có nghiệm với mọi giá trị của m

b) Xác định các giá trị của m để phương trình  1 có hai nghiệm phân biệt x x thỏa mãn: 1, 2

1 3 1 2 3 2 4

Lời giải

Nên phương trình  1 có nghiệm với mọi m  

b) Phương trình  1 có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi      0 m 1

Theo định lý Viete, ta có: 1 2

1 2

1

   



2 2

2

2

2

1

2

m

m

  



  



So với điều kiện ta có m   là giá trị cần tìm 2

Câu 4 (1,0 điểm)

Một lâm trường dự định trồng 75 ha rừng trong một số tuần Do mỗi tuần trồng vượt mức 5 ha so với kế hoạch nên đã trồng được 80 ha và hoàn thành sớm hơn 1 tuần Hỏi mỗi tuần lâm trường dự định trồng bao nhiêu ha

rừng?

Lời giải

Gọi số ha rừng mà lâm trường dự định trồng trong mỗi tuần là x ha với x 0

Thời gian trồng rừng theo kế hoạch là 75

x (tuần)

Thực tế mỗi tuần lâm trường trồng được x 5 ha

Thời gian trồng rừng thực tế là 80

5

x  (tuần)

Vì thực tế lâm trường hoàn thành sớm hơn dự định 1 tuần nên ta có phương trình:

2

1 5

15 25

x x



 





  



Do x 0 nên x 15 Vậy mỗi tuần phải trông 15 ha

Câu 5 (3,0 điểm)

Cho đường tròn tâm O có đường kính AB2 R Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng OA, E là điểm thay đổi trên đường tròn  O sao cho E không trùng với A và B Dựng đường thẳng d và 1 d lần lượt là các tiếp tuyến 2

của đường tròn  O tại A và B Gọi d là đường thẳng qua E và vuông góc với EI Đường thẳng d cắt d d 1, 2 lần lượt tại M N,

a) Chứng minh tứ giác AMEI nội tiếp

b) Chứng minh IAE đồng dạng với NBE Từ đó chứng minh IB NE 3IE NB

c) Khi điểm E thay đổi, chứng minh tam giác MNI vuông tại I và tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích MNI

theo R

Lời giải

a) Ta có d là tiếp tuyến của 1  O tại A nên MAI 90 0

Theo giả thiết MEI 90 0

90

MAIMEI hay tứ giác AMEI nội tiếp

b) Do E nằm trên đường tròn đường kính  0

90

ABAEB Theo giả thiết NEI 90 0 Từ đó suy ra AEI BEN  1 do cùng phụ với .IEB

Lại có AEIEBN  2 do cùng phụ với .ABE

Từ  1 và  2 , suy ra AIE đồng dạng với BEN

c) Theo câu a) ta có tứ giác AMEI nội tiếp Suy ra MIEMAE

Chứng minh tương tự cũng có BIEN là tứ giác nội tiếp Suy ra  EIBEBN

90

EBN EBA

MAEEBN  EAIEBA   AEB AEB

90

MIEEIN Suy ra tam giác MNI vuông tại I

 

2 2

3

MNI

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiaxcopki, ta có:

4

MA IA NB IB MA NB IA IB Theo câu a) tứ giác AMEI nội tiếp AMI.AEI

N M

A

E

Mà AEIBEN theo câu a) Nên AMI.BEN

Mà BENNIB do tứ giác BNEI nội tiếp

Suy ra AMI,NIB suy ra MAI đông dạng với tam giác IBN

Suy ra MA IA MA NB IA IB 5

Từ    3 , 4 và  5 suy ra

2

MNI

S IA IB    Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1

3

Vậy diện tích nhỏ nhất của MNI là

2 3 4

R

Câu 6 (1,0 điểm)

Khi xây nhà, cô Ngọc cần xây một bể đựng nước mưa có thể tích V 6 m3 dạng hình hộp chữ nhật với chiều dài gấp ba lần chiều rộng, đáy và nắp và các mặt xung quanh đều được đổ bê tông, cốt thép Phần nắp để hở một khoảng hình vuông có diện tích bằng 2

9 diện tích nắp bể Biết rằng chi phí cho

2

1 m bê tông cốt thép là 1 triệu

đồng Tính chi phí thấp nhất mà cô Ngọc phải trả khi xây bể (làm tròn đến chữ số hàng trăm nghìn)?

Lời giải

Bài toán đồng nghĩa với việc tìm diện tích xung quanh nhỏ nhất của hình hộp chữ nhật

Gọi x, 3x với x 0 lần lượt là chiều rộng và chiều dài của bể (đơn vị mét)

3

V h

Tổng diện tích các mặt bể được đổ bê tông là: 2 22 2 3 22 2 3  2  3  16 2 16.

x

Áp dụng bất đẳng thức AM – GM, ta có:

3 3

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

2

3

x

x x

  

Vậy số tiền thấp nhất cần để đổ bê tông là:

3

8 18 1000 000 21000 000 đồng