Hỏi bà Tám mỗi tháng phải gửi vào ngân hàng bao nhiêu tiền (giả sử số tiền mỗi tháng gửi là như nhau và lãi suất gửi trong 4 năm là không thay đổi).. a) Chứng minh rằng các tứ giác AE[r]
Trang 1KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CÔNG LẬP Năm học 2020 – 2021
MÔN THI: TOÁN
Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian phát đề
Bài 1 (2,5 điểm)
1 Cho hai biểu thức A x 1
x
và B x 1 1 x
với x 0;x 1.
a) Tính giá trị của biểu thức A khi x 25.
b) Rút gọn biểu thức P A.
B
So sánh P với 1.
2 Cho parabol 1 2
: 4
2
d y xm với m là tham số thực
a) Vẽ đồ thị của P . Với 3,
2
m tìm giao điểm của P và d bằng phép tính
b) Tìm m để P luôn tiếp xúc với d .
Bài 2 (2,0 điểm)
a) Giải phương trình: 2x 1 x 3.
b) Giải hệ phương trình:
2 4 1 3
1
x y
x y
c) Phương trình: 2
x mxm (m là tham số) có hai nghiệm x x Tìm 1, 2 m để 2
Bài 3 (1,5 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình
a) Trong một thư viện có hai máy in A và B Để in 100 trang giấy thì máy A in nhanh hơn máy B là 1 phút Khi cùng in, thì trong 1 phút cả hai máy in được tổng cộng 45 trang giấy Tính thời gian để máy A
in được 100 trang giấy
b) Bà Tám muốn gửi tiết kiệm ở ngân hàng và hy vọng sau 4 năm có được 850 000 000 đồng để mua nhà Biết rằng lãi suất ngân hàng mỗi tháng trong thời điểm hiện tại là 0,45% Hỏi bà Tám mỗi tháng phải gửi vào ngân hàng bao nhiêu tiền (giả sử số tiền mỗi tháng gửi là như nhau và lãi suất gửi trong 4 năm là không thay đổi)
ĐỀ SỐ 2
Trang 2Bài 4 (3,0 điểm)
Cho tam giác ABC nhọn, nội tiếp đường tròn O , có đường cao AD (DBC) Kẻ DE DF, lần lượt vuông góc với AB AC, EAB F, AC Gọi I là giao điểm của BF và CE
a) Chứng minh rằng các tứ giác AEDF và BEFC là các tứ giác nội tiếp
b) Gọi K là giao điểm của BF và DE, L là giao điểm của CE và DF Chứng minh rằng KL song song với BC
c) Gọi M N, lần lượt là trung điểm của AD và AI Chứng minh rằng M N O, , thẳng hàng
Bài 5 (1,0 điểm)
a) Một sợi dây kim loại dài 120 cm được cắt thành hai đoạn Đoạn dây thứ nhất được uốn thành hình vuông, đoạn dây thứ hai được uốn thành vòng tròn (tham khảo hình bên dưới)
Tổng diện tích của hình vuông và hình tròn đạt giá trị nhỏ nhất là S Lấy 3,14 và làm tròn đến chữ số hàng đơn vị, hãy tìm S
b) Cho a b c, , là các số thực thuộc 1;1
2
Chứng minh rằng:
3
-HẾT -
120cm
Trang 3LỜI GIẢI CHI TIẾT
Bài 1 (2,0 điểm)
1 Cho hai biểu thức A x 1
x
và B x 1 1 x
với x 0;x 1.
a) Tính giá trị của biểu thức A khi x 25.
b) Rút gọn biểu thức P A.
B
So sánh P với 1.
2 Cho parabol 1 2
: 4
2
d y xm với m là tham số thực
a) Vẽ đồ thị của P . Với 3,
2
m tìm giao điểm của P và d bằng phép tính
b) Tìm m để P luôn tiếp xúc với d .
Lời giải
a) Thay x 25 vào A, ta được: 25 1 5 1 4.
25
b) Với x 0 và x 1, ta có:
1
B
P
Ta có: P x 1 1 1 1
với x 0 và x 1.
2 a) Đồ thị của hàm số P :
Với 3,
2
m ta có: : 1 3.
d y x Phương trình giao điểm của P và d là:
3
x
x
Với x 1, ta có: 1 1 3 1 1;1
y A
Với x 3, ta có: 1 3 3 3 3;3
Trang 4Vậy với 3,
2
m P cắt d tại hai điểm A 1;1 ,B 3;3
b) Phương trình giao điểm của P và d là:
2 2 0.
4x 2xmx x m
Để P luôn tiếp xúc với d thì 1 2 0 1.
2
Vậy với 1,
2
m ta có P luôn tiếp xúc với d .
Bài 2 (2,0 điểm)
a) Giải phương trình: 2x 1 x 3.
b) Giải hệ phương trình:
2 4 1 3
1
x y
x y
c) Phương trình: 2
x mxm (m là tham số) có hai nghiệm x x Tìm 1, 2 m để 2
Lời giải
a) Ta có:
3
8 8 0
4 8
x
x
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x 4 8.
b) Điều kiện y 1. Đặt 1 ,
1
z y
hệ phương trình trở thành:
.
Với z 1, ta có: 1 1 1 1 2.
0 1
y y
y y
So với điều kiện ban đầu hệ cho có hai nghiệm ( ; )x y 2; 2 , 2;0
c) Phương trình đã cho có
2
Trang 5Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
Theo định lí Viete, ta có: 1 2
1 2
2 1
Ta có:
2
1
2
m
m
Vậy m 1 hoặc m 1 là các giá trị cần tìm
Bài 3 (1,5 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình
a) Trong một thư viện có hai máy in A và B Để in 100 trang giấy thì máy A in nhanh hơn máy B là 1 phút Khi cùng in, thì trong 1 phút cả hai máy in được tổng cộng 45 trang giấy Tính thời gian để máy A
in được 100 trang giấy
b) Bà Tám muốn gửi tiết kiệm ở ngân hàng và hy vọng sau 4 năm có được 850 000 000 đồng để mua nhà Biết rằng lãi suất ngân hàng mỗi tháng trong thời điểm hiện tại là 0,45% Hỏi bà Tám mỗi tháng phải gửi vào ngân hàng bao nhiêu tiền (giả sử số tiền mỗi tháng gửi là như nhau và lãi suất gửi trong 4 năm là không thay đổi)
Lời giải
a) Gọi số trang máy A in trong 1 phút là x (tờ)
Gọi số trang máy B in trong 1 phút là y (tờ), ( ,x y 100)
Để in 100 trang giấy máy A cần số thời gian là 100
x (phút)
Để in 100 trang giấy máy B cần số thời gian là 100
y (phút)
Theo đề tài toán, ta có: thời gian in của máy B muộn hơn máy A là 1 phút
Suy ra: 100 100 1
Trong 1 phút thì 2 máy in được 45 trang giấy, ta có: xy45 (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình như sau:
Trang 6
2
45
45 45
45
20
20
225
y
y
y
Vậy thời gian máy A in được 100 trang là 100 5
20 (phút)
b) Ta có 4 năm có tổng là 4 12 48 tháng
Gọi x đồng là số tiền gửi vào ngân hàng mỗi tháng với x 0
The đề bài, ta có phương trình:
48
48
1 0, 45% 1 1 0, 45% 850000000
0, 45%
850000000 0, 45%
15833041
1 0, 45% 1 1 0, 45%
x
x
Thỏa x 0 Vậy mỗi tháng bà Tám phải gửi vào ngân hàng 15 833 041 triệu đồng
Bài 4 (2,5 điểm)
Cho tam giác ABC nhọn, nội tiếp đường tròn O , có đường cao AD (DBC) Kẻ DE DF, lần lượt vuông góc với AB AC, EAB F, AC Gọi I là giao điểm của BF và CE
a) Chứng minh rằng các tứ giác AEDF và BEFC là các tứ giác nội tiếp
b) Gọi K là giao điểm của BF và DE, L là giao điểm của CE và DF Chứng minh rằng tứ giác EFKL
nội tiếp từ đó suy ra KL song song với BC
c) Gọi M N, lần lượt là trung điểm của AD và AI Chứng minh rằng M N O, , thẳng hàng
Lời giải
AEDAFD tứ giác AEDF nội tiếp
Do đó: ADFAEF (hai góc cùng nhìn cung AF)
Mà ADFACB do cùng phụ với DAC
Suy ra AEFACB hay tứ giác BEFC nội tiếp
Trang 7b) Do tứ giác EFCB nội tiếp nên BECCFB suy ra:
KELBECBEDBEC CFB LFK
Suy ra EFKL nội tiếp, do đó ILKEFI
Mà EFIBCI nên ILK BCI do đó KL BC
b) Qua B kẻ đường thẳng song song với DE cắt ID tại G Qua C kẻ đường thẳng song song song với
DF cắt ID tại G
ID IK
Do CG DL suy ra IG IC
Mặt khác do KL BC suy ra IB IC
IK IL
Từ đó ta có: IG IG
suy ra GG
90
ABG ACG nên tứ giác ABGC nội tiếp Suy ra G thuộc đường tròn tâm O và AG là một đường kính của O
Do I D G, , thẳng hàng và M N O, , lầ lượt là trung điểm của AI AD AG, , nên ta có M N O, , thẳng hàng
G
N M
L K
I
F E
D
O
C B
A
Trang 8Bài 5 (1,0 điểm)
a) Một sợi dây kim loại dài 120 cm được cắt thành hai đoạn Đoạn dây thứ nhất được uốn thành hình vuông, đoạn dây thứ hai được uốn thành vòng tròn (tham khảo hình bên dưới)
Tổng diện tích của hình vuông và hình tròn đạt giá trị nhỏ nhất là S Lấy 3,14 và làm tròn đến chữ số hàng đơn vị, hày tìm S
b) Cho a b c, , là các số thực thuộc 1;1
2
Chứng minh rằng:
3
Lời giải
a) Gọi x là cạnh hình vuông, y là bán kính hình tròn Ta có: 4x 2y 120 2xy 60.
Cần tìm giá trị nỏ nhất của 2 2
.
S x y
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwars, ta có:
60 2 x y 2 x y .
Suy ra:
2
2
60 3600
504
2 3,14 4
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
60
8 4
16 2
2
y x
y
Vậy giá trị nhỏ nhất của S là 504cm2
2
x
Tương tự ta cũng có: 2y 1 3
y
và 2z 1 3.
z
Từ đây suy ra: 9 2x y z 1 1 1.
Mặt khác áp dụng bất đẳng thức AM – GM, ta được:
Trang 9 1 1 1 1 3 2 1 1 1
Do đó, ta có:
Mặt khác ta lại có: xyyzzx 33x y z2 2 2 27xyzxyz2 33x y z2 2 2
9 xyz xyz . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
1 , , ;1
2
1 1 1
1.
x y z