Mỗi tháng mình sẽ đăng lời giải cho 5 bài toán hình học trong các đề thi vào lớp 10 chuyên đồng thời cũng sẽ đề nghị 5 bài toán cho tháng sau như các bài toán để các bạn luyện tập.. Giả [r]
Trang 1Tuyển tập các bài toán hình học trong các
đề thi vào lớp 10 chuyên(Số 1)
Lời nói đầu: Như vậy là cũng đã tới tháng 11 và cũng chẳng lâu nữa lại tới một
kì thi vào lớp 10 chuyên rất khắc nghiệt Để giúp các bạn lớp 9 chuẩn bị, mình viết tuyển tập này nhằm giúp các bạn có định hướng tốt hơn khi đối mặt với những bài toán tương tự cũng như từ đó giúp các bạn có nguồn tư liệu ôn thi Mỗi tháng mình
sẽ đăng lời giải cho 5 bài toán hình học trong các đề thi vào lớp 10 chuyên đồng thời cũng sẽ đề nghị 5 bài toán cho tháng sau như các bài toán để các bạn luyện tập Mong các bạn tiếp tục ủng hộ mình trong những thời gian sắp tới
Bài toán 1(Trích đề tuyển sinh vào 10 chuyên THPT TPHCM 2016-2017): Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) có AC ∩ BD = E Giả sử tia AD cắt tia BC tại F Dựng hình bình hành AEBG
a) Chứng minh rằng: F D.F G = F B.F E
b) Gọi H là điểm đối xứng của E qua AD Chứng minh rằng 4 điểm F, H, A, G đồng viên
Trang 2Lời giải: a) Ta thấy rằng: ∠GBF = ∠F BA − ∠GBA = ∠ADC − ∠BDC = ∠ADE Lại để ý rằng: F B
GB =
F B
AE Ta cần chứng minh:
F B
AE =
F D
DE ⇔ F B
F D =
DE
AE Mà lại thấy 4EAB ∼ 4EDC(g.g) và 4F AB ∼ 4F CD(g.g) nên hiên nhiên DE
AE =
AB
CD =
F B
F D Vậy từ đó thu được 4GBF ∼ 4EDF (c.g.c) từ đây dễ thấy đpcm.
b) Tương tự câu a) ta chứng minh được: 4F GA ∼ 4F EC(c.g.c) do đó ∠F GA =
∠F EC = 180◦−∠F EA = 180◦
−∠AHF ⇒ ∠F GA+∠AHF = 180◦do đó A, G, H, F đồng viên(đpcm)
Nhận xét : Bài toán rất nhẹ nhàng với các biến đổi góc hết sức tinh tế Có lẽ xu hướng ra đề thi vào 10 đối với các bài toàn hình học nên là như thế này thì sẽ rất có lợi cho các kì thi cấp cao hơn như VMO, IMO
Bài toán 2(trích đề thi Vòng 1 chuyên KHTN 2015-2016): Cho tam giác ABC nhọn không cân có tâm đường tròn nội tiếp I AI cắt BC tại D Lấy E, F lần lượt đối xứng D qua IB và IC M, N, J lần lượt là trung điểm DE, DF, EF (AEM ) cắt (AF N ) tại P khác A Chứng minh rằng A, J, P thẳng hàng
Trang 3Lời giải: Hiển nhiên rằng E và F lần lượt thuộc AB và AC Ta có: AB
AE =
AB
BD = AC
CF do đó EF kBC (theo định lí T hales đảo) Bây giờ ta sẽ chứng minh M P N J là 1
tứ giác nội tiếp Thật vậy ta có: M J, M N, J N lần lượt là các đường trung bình của tam giác DEF do đó ta có:∠MJN = ∠EDF mà ∠MP A + ∠EAP = 180◦ đồng thời:
∠NP A + ∠AF N = 180◦ hay là ∠MP N = 360◦ − (∠AED + ∠AF D) = ∠DEF +
∠DF E = 180◦− ∠EDF (chú ý rằng: EF kBC nên ED, F D lần lượt là phân giác các góc F EB và EF C) do đó dễ thấy∠MJN + ∠MP N = 180◦ hay là M, N, P, J đồng viên Vậy ta có: ∠MP J = ∠MN J = ∠DEF = ∠EDB = 180◦− ∠AED = ∠MP A hay là A, J, P thẳng hàng(đpcm)
Nhận xét : Cả bài toán là một chuỗi biến đổi góc liên tục từ đầu đến cuối Điểm khó
là nếu ta không tìm ra điểm mấu chốt là ở đoạn chứng minh M P N J nội tiếp thì rất khó đến với đpcm
Bài toán 3(Trích đề thi vào chuyên Toán ĐHSP TPHCM 2012-2013): Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (I) (I) tiếp xúc BC ở điểm D Đường tròn bàng tiếp góc A tiếp xúc BC ở E
a) Gọi AE ∩ DE = F Chứng minh rằng: F ∈ (I)
b) Gọi M là trung điểm đoạn BC Chứng minh rằng: M I chia đôi AD
Trang 4Lời giải: a) Gọi DI ∩ (I) = D, F0 Ta chứng minh rằng: A, F0, E thẳng hàng Gọi
X, Y là tiếp điểm của (I) với AC, AB, (J) tiếp xúc AC, AB lần lượt tại Z, T Thế thì
áp dụng định lí T hles thì: IY
J T =
AI
AJ =
IF0
J E do đó thu được: 4AIF
0 ∼ 4AJE(c.g.c)
do đó A, F0, E thẳng hàng Do đó F ≡ F0 hay là thu được đpcm
b) Trước tiên ta dễ nhận ra kết quả khá quen thuộc là BD = EC do đó M cũng là trung điểm của DE Gọi K là trung điểm của đoạn AD Thế thì dễ dàng nhận thấy
K, I, M là trung điểm của AD, F D, DE nên chúng cùng nằm trên đường trung bình tam giác ADE (lưu ý việc chứng minh A, F, E thẳng hàng ở trên)(đpcm)
Bài toán 4(Tuyển sinh vào chuyên KHTN, vòng 1 năm 2012-2013): Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) Gọi M là 1 điểm thuộc cung nhỏ BC(M 6= B, C,AM không là đường kính của (O)) Giả sử P là 1 điểm thuộc đoạn
AM sao cho (M P ) cắt dBC nhỏ tại điểm N 6= M
1) Gọi D đối xứng M qua O Chứng minh rằng: N, P, D thẳng hàng
2) (M P ) ∩ M D = M, Q Chứng minh rằng: P là tâm nội tiếp tam giác AQN
Lời giải: Lời giải: 1) Câu này khá là đơn giản Ta có: ∠MN P = ∠MN D = 90◦ do
đó N, P, D thằng hàng(!!!)
2) Ta có: ∠ANP = ∠AMD = ∠P NQ (chú ý việc P, N, D thẳng hàng) do đó NP
Trang 5là phân giác góc ∠ANQ Ta có: ∠AP Q = 90◦ + ∠AMD ⇒ ∠AP Q + ∠ADQ =
90◦ + ∠AMD + ∠ADQ = 180◦ do đó tứ giác ADQP nội tiếp do đó ∠P AQ =
∠MDN = ∠P AQ do đó hiển nhiên AP là phân giác góc NAQ do đó P là tâm nội tiếp tam giác AN Q(đpcm)
Bài toán 5(Trích đề thi Vòng 2 chuyên KHTN năm 2012-2013): Cho tam giác ABC nhọn (AB > AC) nội tiếp (O) Giả sử các điểm M, N lần lượt thuộc cung nhỏ BC của (O) sao cho M N kBC sao cho tia AN nằm giữa 2 tia AM, AB Gọi P
là hình chiếu của C lên AN và Q là hình chiếu vuông góc của M lên AB
a) Chứng minh rằng: CP cắt QM trên (O)
b) Gọi N Q ∩ (O) = R, N Giả sử AM ∩ P Q = S Chứng minh rằng: A, R, Q, S đồng viên
Lời giải: a) Ta gọi CP ∩ QM = T thế thì: ∠T P A = ∠T QA = 90◦ do đó T QP A nội tiếp thế nên ∠P T Q = ∠P AB = ∠CAM (chú ý việc MN kBC nên dBN = dCM )
do đó T ACM cũng nội tiếp do đó T ∈ (O)(đpcm)
b) Trước khi giải xin nêu ra một bổ đề như một bài tập cho bạn đọc: "Cho 6 điểm
A, B, C, A0, B0, C0 lần lượt nằm trên (O) Gọi giao điểm của các cặp đường thẳng (AB0, BA0), (AC0, CA0), (BC0, CB0) là P, Q, R Vậy thì P, Q, R thằng hàng(đường thẳng P ascal)."
Trang 6Quay trở lại bài toán, từ câu a) ta có: ∠P QA = ∠CT A = ∠ABC do đó P QkBCkMN
áp dụng bổ đề trên cho 6 điểm là R, A, T, M, N, C thì P, Q, S thẳng hàng do đó QSkM N Gọi RQ ∩ BC = K, thế thì: ∠RQS = ∠RKC = RC + dd BN
2 = ∠RBC +
∠CAM = 180◦− ∠RAC + ∠CAM = 180◦
− (∠RAC − ∠CAM) = 180◦
− ∠SAR do
đó∠RQS + ∠RAS = 180◦ do đó R, A, Q, S đồng viên(đpcm)
Nhận xét : Bài toán này rất thú vị bởi nếu bạn nào quen sẽ thấy cấu hình này còn xuất hiện trong đề thi VMO 2016 ngày 2, các biến đổi góc trong bài toán thực sự rất tinh tế và tận dụng triệt để giả thiết M N kBC
Các bài toán đề nghị tháng sau
Bài toán 6(Trích đề thi vào chuyên ĐHSP năm 2011-2012,ngày 2): Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) BE, CF lần lượt là các đường cao của tam giác Các tiếp tuyến tại B, C của (O) cắt nhau ở S BC ∩ OS = M
1) Chứng minh rằng: AB
AE =
BS
M E. 2) Chứng minh rằng: 4AEM ∼ 4ABS
3) Gọi N là giao điểm của AM và EF ,P = AS ∩ BC Chứng minh rằng: N P ⊥ BC Bài toán 7(Thi tuyển sinh vào chuyên Toán THPT chuyên Bà Rịa Vũng Tàu,2012-2013): Cho tam giác ABC và điểm O cố định nằm trong tam giác và không thuộc các cạnh của tam giác M là 1 điểm di động trên tia OA(M 6= O, A) sao cho (ABM ) ∩ OB = N, B và (ACM ) ∩ OC = P, C
1) Chứng minh rằng: ON
OP không đổi.
2) Gọi I, J lần lượt là tâm (ABC), (M N P ) Chứng minh rằng: O, I, J thẳng hàng Bài toán 8(Đề thi tuyển sinh vào chuyên Toán THPT chuyên Phan Bội Châu,2012-2013): Cho đường tròn tâm O có đường kính AB Trên đường tròn lấy điểm D sao cho: ∠DAB > 60◦ Trên đường kính AB lấy điểm C(C 6= A, B) và kẻ
CH ⊥ AD = H Phân giác trong góc ∠DAB cắt (O) tại E và cắt CH tại F Đường thẳng DF cắt (O) tại điểm thứ hai N
a) Chứng minh rằng: N, C, E thằng hàng
b) Cho AD = BC, chứng minh rằng: DN chia đôi AC
Trang 7Bài toán 9(Đề thi vào chuyên Toán THPT chuyên Vĩnh Phúc,2013-2014): Cho tam giác ABC nhọn(AB < AC) Gọi D, E, F lần lượt là chân đường cao hạ từ
A, B, C Gọi P = BC ∩ EF Đường thẳng qua DkEF cắt AB, AC, CF lần lượt tại
Q, R, S Chứng minh rằng:
a) Tứ giác BQCR nội tiếp
b) D là trung điểm QS
c) (P QR) chia đôi BC
Bài toán 10(Trích đề vòng 2 THPT chuyên KHTN, 2012-2013): Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) có trực tâm H Gọi P là 1 điểm nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác HBC(P 6= H, C, B) và nằm trong tam giác ABC Gọi P B ∩ (O) = M, B P C ∩ (O) = C, N BM ∩ AC = E,CN ∩ AB = F (AM E) ∩ (AN F ) = A, Q
1) Chứng minh rằng: M, N, Q thẳng hàng
2) Giả sử AP là phân giác góc M AN Chứng minh rằng: P Q chia đôi BC
Trang 8Tuyển tập các bài toán hình học trong các
đề thi vào lớp 10 chuyên(Số 2)
Nguyễn Duy Khương-chuyên Toán khoá 1518-THPT chuyên Hà Nội Amsterdam Tóm tắt nội dung: Để giúp các bạn lớp 9 chuẩn bị, mình viết tuyển tập này nhằm giúp các bạn có định hướng tốt hơn khi đối mặt với những bài toán tương tự cũng như từ đó giúp các bạn có nguồn tư liệu ôn thi Mỗi số mình sẽ đăng lời giải cho
5 bài toán hình học trong các đề thi vào lớp 10 chuyên đồng thời cũng sẽ đề nghị 5 bài toán để các bạn luyện tập Mong các bạn tiếp tục ủng hộ mình trong những thời gian sắp tới Ở số này mình muốn giới thiệu một số bài toán trong các đề thi thử vào 10 của các trường chuyên-các bài toán này rất chất lượng không kém gì các bài thi thật
Bài toán 11(Thi thử vòng 1 chuyên KHTN 2011-2012): Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) P là 1 điểm nằm trong tam giác ABC sao cho BA cắt (P AC) tại điểm D 6= A thì A nằm giữa B, D Gọi CD ∩ (O) = C, E
1) Chứng minh rằng: DP cắt BE tại điểm F thuộc (P AB)
2) Chứng minh rằng: C, P, E, F đồng viên
3) Giả sử F ∈ AC Chứng minh rằng: B, P, E, D đồng viên
Trang 9Lời giải: 1) Ta có: ∠AP F = ∠ACE = ∠ABF do đó ABP F nội tiếp hay là
F = P D ∩ BE ∈ (P AB)(đpcm)
2) Từ câu 1) thì hiển nhiên DF.DP = DA.DB = DE.DC(theo hệ thức lượng trong đường tròn) do đó P F EC nội tiếp(đpcm)
3) Nếu F ∈ AC thế thì áp dụng tính chất của tứ giác toàn phần AF CEDB(chú ý
từ 1) 2) ta đã có: AF P B và P F EC nội tiếp) do đó B, P, E, D đồng viên
Nhận xét : Bài toán không khó Các bạn có thể tham khảo các tính chất tứ giác toàn phần trong bài viết Các chuyên đề hình học dành cho các bạn THCS(Số 2) Bài toán 12(Thi thử vào chuyên KHTN đợt 2/2008-2009): Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Gọi H là chân đường cao hạ từ A xuống BC
1 Chứng minh rằng: ∠BAH = ∠OAC
2 Đường tròn qua A, C và tiếp xúc BC cắt AO kéo dài tại P Chứng minh rằng:
CT ⊥ AB
Trang 10Lời giải: 1 Ta thấy rằng: ∠OAC = 180
◦
− ∠AOC
2 = 90
◦
− ∠B do đó ∠HAB =
∠OAC(đpcm)
2 Gọi CP ∩ AB = T Ta áp dụng tính chất tiếp tuyến thì: ∠P CB = ∠P AC =
∠OCA Như vậy từ câu 1) dễ thấy rằng CT ⊥ AB(đpcm)
Bài toán 13(Thi thử vào chuyên KHTN đợt 4/2010): Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) có H là trực tâm tam giác Lấy điểm M thuộc BC sao cho
HM kAB Qua M kẻ đường thẳng vuông góc BC cắt AB tại N Gọi P đối xứng C qua O
1) Chứng minh rằng: BP AH là 1 hình bình hành
2) Gọi P N ∩ (O) = P, Q Chứng minh rằng: BQ là đường kính của (O)
Trang 11Lời giải: 1) Ta có CP là đường kính của (O) do đó AP ⊥ AC hay là AP kBH Lại có: BP kAH(cùng vuông góc BC) do đó BP AH là 1 hình bình hành
2) Ta dễ thấy tứ giác AN M H có các cặp cạnh đối song song do đó nó là 1 hình bình hành Vậy M N k = AHk = P B do đó tứ giác P N BM là 1 hình bình hành có 1 góc vuông do đó nó là 1 hình chữ nhật vậy là ∠QP B = 90◦ do đó BQ là đường kính của (O)(đpcm)
Bài toán 14(Thi thử môn Toán dành cho thí sinh thi vào chuyên Toán ĐHSP 2014-2015): Cho đường tròn (O) có dây cung BC không là 1 đường kính Gọi A là điểm chính giữa cung lớn BC Các tiếp tuyến của (O) tại B, C cắt nhau
ở S Gọi H là hình chiếu vuông góc của C trên AB, M là trung điểm của CH
AM ∩ (O) = A, N
a) Gọi SA ∩ BC = D Chứng minh rằng: CM DN nội tiếp
b) Tia SA cắt (O) tại điểm tại điểm thứ hai là E Chứng minh rằng: CEkSA c) Chứng minh rằng: CN chia đôi SD
Trang 12Lời giải: a) Ta dễ thấy D là trung điểm của BC Do đó ta thấy DM là đường trung bình của tam giác CHB suy ra: ∠DM N = ∠BAN = ∠DCN do đó DN CM nội tiếp
b)c) Ở bài này câu c) có thể dùng để làm câu b) Vậy tôi xin trình bày hai câu gộp vào nhau cũng không ảnh hưởng nhiều lắm Gọi CN ∩ SD = K Ta thấy rằng:
∠KCD = ∠MAH Lại gọi K0 là trung điểm SD thế thì do ∠SDC = ∠CHA = 90◦
và∠SCD = ∠HAC nên theo tính chất đồng dạng trung tuyến thì ∠K0CD = ∠MAH
do đó K ≡ K0 Từ đây để ý rằng: ∠DN C = 90◦ nên áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông KDC thì: KN.KC = KD2 = KC2 do đó ∠KSN = ∠SCN = ∠CEN hay là CEkSA(đpcm)
Bài toán 15(Trích thi tuyển sinh vào 10 THPT TPHCM 2013-2014): Cho tam giác ABC nhọn(AB < AC) nội tiếp đường tròn (O) Các tiếp tuyến tại B, C cắt nhau ở M Từ M kẻ đường thẳng song song AB cắt (O) tại D, E(D thuộc cung nhỏ BC), cắt BC tại F , cắt AC tại I Gọi OI cắt (O) tại P, Q(P thuộc cung nhỏ AB) Đường thẳng QF cắt (O) tại T 6= Q Chứng minh rằng: P, T, M thẳng hàng
Trang 13Lời giải: Bài toán này khá hay và rất ấn tượng với tôi trong các bài thi vào 10 năm đó Do ABkDE do đó ∠MIC = ∠BAC = ∠MBC do đó MBIC nội tiếp suy ra F I.F M = F B.F C = F D.F E Áp dụng hệ thức M aclaurin đảo(các bạn
có thể xem kĩ trong chuyên đề 3 dành cho THCS mà tôi viết về vấn đề hàng điểm điều hoà dưới góc nhìn kiến thức THCS) thì I là trung điểm DE Do đó dĩ nhiên
OI hay P Q chính là đường kính của (O) Lại để ý rằng: F I.F M = F T.F Q do đó
∠QT M = ∠QID = 90◦ mà ∠P T Q = 90◦(Cmt) do đó P, T, M thẳng hàng(đpcm)
Một số bài tập đề nghị:
Bài toán 16(Thi thử vào chuyên Toán KHTN 2012): Cho tam giác ABC(AB < AC) nội tiếp đường tròn (O) Phân giác góc ∠BAC cắt (O) tại D, A Lấy E đối xứng
D qua O Gọi F là 1 điểm thuộc cung BD không chứa A, C của (O), F E ∩ BC = G Lấy H ∈ AF : GHkAD Chứng minh rằng: HG là phân giác góc ∠BHC
Bài toán 17(Thi thử vào chuyên KHTN 2015): Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) AD là phân giác BAC với D nằm giữa B, C AD cắt (O) tại điểm
E 6= A EF là đường kính của (O) P là 1 điểm nằm giữa A, D Gọi F P ∩(O) = Q, F Đường thẳng qua P vuông góc AD cắt CA, AB tại M, N
a) Chứng minh rằng: P BQN, P QCM là các tứ giác nội tiếp
b) Giả sử QN cắt P C trên (O) Chứng minh rằng: QM cũng cắt P B trên (O)
Trang 14vuông tại A với phân giác BE(E ∈ CA) Giả sử (BCE) ∩ AB = F, B.
1) Chứng minh rằng: BC = AB + AF
2) Gọi K là hình chiếu của A lên BC Trên đoạn AB lấy điểm L sao cho BL = BK Chứng minh rằng: AL
AF =
r BK
BC. Bài toán 19(Thi tuyển sinh vào 10 chuyên ĐHSP cho mọi thí sinh 2015): Cho tam giác ABC có các góc nhọn và ∠BAC = 60◦ Các đường phân giác trong
BB1, CC1 cắt nhau tại I
1 Chứng minh rằng: AB1IC1 nội tiếp
2 Gọi K, B = BC ∩ (BC1I) Chứng minh rằng: CKIB1 nội tiếp
3 Chứng minh rằng: AK ⊥ B1C1
Bài toán 20(Trích đề thi thử vào chuyên Toán KHTN đợt 3-2015): Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O) Gọi P là 1 điểm nằm trên phân giác góc ∠BAC Gọi đường tròn đường kính AP cắt (O) tại các điểm A, P Gọi AH là đường cao của tam giác ABC Gọi L là hình chiếu của P lên AH Giả sử GL chia đôi HP Chứng minh rằng: P là tâm nội tiếp tam giác ABC