Tuyển tập 30 đề thi vào lớp 10 chuyên Toán biên soạn bởi thuvientoan.net

Cho tam giác  ABC có các đỉnh là các điểm nguyên (một điểm gọi là điểm nguyên nếu hoành độ và tung độ của điểm đó là các số nguyên). Chứng minh rằng hai lần diện tích của tam giác [r]

Trang 1

TUY ỂN TẬP 30 ĐỀ THI VÀO



Tài liệu biên soạn thuvientoan.net

Trang 2

LỜI NÓI ĐẦU

Nhằm đáp ứng nhu cầu về của giáo viên toán THCS và học sinh về các chuyên đề toán

Các vị phụ huynh và các thầy cô dạy toán có thể dùng có thể dùng chuyên đề này để giúp con em mình học tập Hy vọng tuyển tập đề thi chuyên toán này thể giúp ích nhiều cho học sinh phát huy nội lực giải toán nói riêng và học toán nói chung

Chúc các thầy, cô giáo và các em học sinh thu được kết quả cao nhất từ chuyên đề này!

THCS, website thuvientoan.net giới thiệu đến thầy cô và các em tuyển tập 30 đề thi vào lớp 10 chuyên môn toán có đáp án chi tiết, công phu Chúng tôi đã sưu tầm được một tập đề thi lẻ có đáp

án rất hay không rõ tác giả muốn tập hợp lại để các thầy cô và học sinh dễ dùng

TUYỂN TẬP 30 ĐỀ THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN MÔN TOÁN

Trang 3

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

Đề số 1

KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10

NĂM HỌC 2011-2012

MÔN THI: TOÁN (Vòng 1)

Thời gian: 120 phút ( Không kể thời gian giao đề)

x x

x1 4 x 14y3

Câu 3 (3,0 điểm) Cho hình bình hành ABCD với  90BAD  Đường phân giác của góc



BCD cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD tại O khác C Kẻ đường thẳng d đi qua

A và vuông góc với CO Đường thẳng d lần lượt cắt các đường thẳng CB CD tại ;; E F

1) Chứng minh rằng OBE ODC

2) Chứng minh rằng O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CEF

3) Gọi giao điểm của OC và BD là I , chứng minh rằng

4 8

y x

Trang 4

Đề số 2

NĂM HỌC 2012-2013

2

x P

Câu 3 (3,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn tâm O Gọi M là một điểm trên cung nhỏ BC (M khác B C; và AM không đi qua O) Giả sử P là một điểm thuộc đoạn thẳng AM sao cho đường tròn đường kính MP cắt cung nhỏ BC tại điểm N khác M

1) Gọi D là điểm đối xứng với điểm M qua O Chứng minh rằng ba điểm N P D; ; thẳng hàng

2) Đường tròn đường kính MP cắt MD tại điểm Q khác M Chứng minh rằng P là tâm đường tròn nội tiếp tam giác AQN

Câu 4 (1,0 điểm) Giả sử a b c; ; là các số thực dương thỏa mãn: a b   3 c; c b  1;

a b c  Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:  

Trang 5

Đề số 3

NĂM HỌC 2013-2014

Câu 1 (3,0 điểm)

1) Giải phương trình

3x  1 2  x 3 2) Giải hệ phương trình

a b b c c a       a b b c   b c c a   c a a b  2) Có bao nhiêu số nguyên dương có 5 chữ số abcde sao cho abc10d e  chia hết cho

101?

Câu 3 (3,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn ( )O với AB AC Đường phân giác của góc BAC cắt ( )O tại điểm D khác A Gọi M là trung điểm của AD và E là điểm đối xứng với D qua tâm O Giả sử đường tròn ngoại tiếp tam giác ABM cắt đoạn thẳng AC tại điểm F khácA

1) Chứng minh rằng tam giác BDM và tam giác BCF đồng dạng

2) Chứng minh rằng EF vuông góc với AC

Câu 4 (1,0 điểm) Giả sử a b c d; ; ; là các số thực dương thỏa mãn điều kiện

Trang 6

Đề số 4

NĂM HỌC 2014-2015

Câu 1 (3,0 điểm)

 1 x 1x 2 2 1 x2 8 2) Giải hệ phương trình

1) Chứng minh rằng tam giác ABF đồng dạng với tam giác ACE

2) Chứng minh rằng các đường thẳng BE CF AD; ; đồng quy tại một điểm, gọi điểm đó là

Trang 7

Đề số 5

(Đề dự bị )

NĂM HỌC 2010-2011

Câu 3 (3,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC, đường cao AH, H thuộc BC P thuộc AB

sao cho CP là phân giác góc BCA Giao điểm của CP và AH là Q Trung trực của PQ cắt

AH và BC lần lượt tại E F;

1) PE giao AC tại K Chứng minh rằng PK vuông góc AC

2) FQ giao CE, CA lần lượt tại M N; Chứng minh rằng bốn điểm E K N M; ; ; thuộc một đường tròn

3) Chứng minh rằng bốn điểm P E C F; ; ; thuộc một đường tròn

Câu 4 (1,0 điểm) Giả sử 0 a b c; ;  1 Chứng minh rằng

Trang 8

Đề số 6

NĂM HỌC 2011-2012

Câu 1 (3,0 điểm)

x   x 2) Giải hệ phương trình

1) Với x y; là các số nguyên, chứng minh x y xy5  5 chia hết cho 30

2) Giả sử a b; là các số thực dương thỏa mãn điều kiện a b  2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

3) Gọi giao điểm của CE và AB là M Chứng minh rằng M là trung điểm của đoạn thẳng

Trang 9

Đề số 7

NĂM HỌC 2012-2013

1) Chứng minh rằng bốn điểm B P R Q; ; ; cùng thuộc một đường tròn

2) Chứng minh rằng BR vuông góc với AQ.

3) Gọi F là giao của AQ và BN Chứng minh rằng AFB BPQ ABR   

Câu 4 (1,0 điểm) Cho a b c ; ; 0 Chứng minh rằng

Trang 10

Đề số 8

NĂM HỌC 2013-2014

1) Chứng minh rằng các đường thẳng BH và DEcắt nhau trên  O .

2) Gọi F là giao điểm của các đường thẳng EH và AB Chứng minh rằng A là tâm đường tròn bàng tiếp ứng với đỉnh D của tam giác DEF

3) Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác DEF Chứng minh rằng BE CF, và IH

Trang 11

Đề số 9

NĂM HỌC 2011-2012

Câu 3 (3,0 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn ( )O P di chuyển trên cung BC

chứa A của ( )O I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Q là tâm đường tròn nội tiếp tam giác PBC

1) Chứng minh rằng B I Q C; ; ; cùng nằm trên một đường tròn

2) Trên tia BQ CQ; lần lượt lấy các điểm M N; sao cho BM BI ; CN CI Chứng minh rằng MN luôn đi qua một điểm cố định

Câu 4 (1,0 điểm) Với 0 a b c; ;  1 Chứng minh rằng

Trang 12

Đề số 10

NĂM HỌC 2012-2013

Câu 1 (3,0 điểm)

x   x  2) Giải hệ phương trình

 sao cho OC không vuông góc với BD Vẽ đường tròn tâm O đi qua C BD cắt ( )O

tại hai điểm M N, sao cho Bnằm giữa M và D Tiếp tuyến tại C của ( )O cắt AD AB, lần lượt tại P Q,

1) Chứng minh rằng bốn điểm M N P Q; ; ; cùng thuộc một đường tròn

2) CMcắt QN tại K CN, cắt PM tại L Chứng minh rằng KL OC

Câu 4 (1,0 điểm) Tồn tại hay không 9 số nguyên a a1, , ,2 a9 sao cho tập các giá trị của tổng a a i j (1  i j 9) có chứa 36 số nguyên liên tiếp? Giải thích tại sao

……….HẾT………

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

Trang 13

Đề số 11

NĂM HỌC 2013-2014

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P x 2 xy y 2

Câu 3 (3,0 điểm) Cho hình thang cân ABCD nội tiếp đường tròn ( )O với AB song song

CD và AB CD M là trung điểm CD P là điểm di chuyển trên đoạn MD (P khác M D, ) AP cắt ( )O tại Q khác A, BP cắt ( )O tại R khác B, QR cắt CD tại E Gọi F là điểm đối xứng với P qua E

1) Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AQF luôn thuộc một đường thẳng cố định khi P di chuyển

2) Giả sử EA tiếp xúc ( ).O Chứng minh rằng khi đó QM vuông góc với CD

Câu 4 (1,0 điểm) Cho một bảng ô vuông 2013 2014,  mỗi ô vuông con có thể tô một trong hai màu xanh hoặc đỏ Biết rằng ban đầu tất cả các ô đều được tô màu xanh Cho phép mỗi lần ta chọn một hàng hoặc một cột và thay đổi màu của tất cả các ô thuộc hàng hoặc cột đó Hỏi sau một số hữu hạn lần đổi màu ta có thể thu được bảng gồm đúng 1000 ô vuông con màu đỏ hay không?

……….HẾT………

Trang 14

Đề số 12

NĂM HỌC 2014-2015

tại M Đường thẳng qua qua F song song với AB cắt tiếp tuyến qua B của ( )O tại N 1) Chứng minh rằng đường thẳng MN tiếp xúc với ( )O

2) Giả sử FN BN

EM CM Chứng minh rằng AD là phân giác của tam giác ABC

Câu 4 (1,0 điểm) Trên bảng ô vuông kích thước 100 100 ta viết vào mỗi ô một số nguyên dương một cách tùy ý sao cho hiệu 2 số ở hai ô kề nhau bất kỳ đều nhỏ hơn hoặc bằng 1 (hai ô được gọi là kề nhau nếu chúng có một cạnh chung) Chứng minh rằng tồn tại một số nguyên dương k nào đó được viết vào ít nhất 51 ô

………HẾT………

Trang 15

TỈNH AN GIANG

Đề số 13

KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUYÊN

NĂM HỌC 2014-2015

Câu 1 (1,0 điểm) Cho A x 2 3x 3 x 2 3x 3 Tính A khi x 5

Câu 2 (1,5 điểm) Giải hệ phương trình

2

2 1

x y y x

…… HẾT………

Trang 16

ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

Đề số 14

NĂM HỌC 2015-2016

Câu 1 (2,5 điểm) Cho biểu thức

2

1 1 1

2) Giả sử a b; thay đổi sao cho 4a b  ab 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của P

Câu 2 (2,0 điểm) Cho hệ phương trình

1) Giải phương trình khi m 2

2) Chứng minh hệ luôn có nghiệm với mọi giá trị của m giả sử x y0 ; 0 là một nghiệm của

a x a b y b  có nghiệm duy nhất Chứng minh a  b

Câu 4 (3,0 điểm) Cho tam giác ABC có các góc ABC và góc ACB nhọn, góc BAC  60 0 Các đường phân giác trong BB1; CC1 của tam giác ABC cắt nhau tại I

1) Chứng minh tứ giác AB IC1 1 nội tiếp

2) Gọi K là giao điểm thứ hai khác B của đường thẳng BC với đường tròn ngoại tiếp tam giác BC I1 Chứng minh tứ giác CKIB1 nội tiếp

Trang 17

ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

Đề số 15

NĂM HỌC 2015-2016

Tính giá trị của biểu thức P x y   x2 xy y 2

Câu 2 (2,0 điểm) Một xe tải có chiều rộng là2,4m và chiều cao là2,5m muốn đi qua một cái cổng có hình Parabol Biết khoảng cách giữa hai chân cổng là 4m và khoảng từ đỉnh cổng (đỉnh Parabol) tới chân cổng là 2 5m (bỏ qua độ dày của cổng)

1) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, gọi Parabol  P y ax:  2 với a 0 là hình chiếu biểu diễn cổng mà xe tải muốn đi qua Chứng minh a 1

2) Hỏi xe tải có thể đi qua cổng được không? Tại sao?

Câu 3 (1,5 điểm) Cho hai số nguyên a b; thỏa mãn a2   b2 1 2ab a b   Chứng minh

a và b là hai số chính phương liên tiếp

Câu 4 (3,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC (AB AC ), M là trung điểm của cạnh BC O, là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác Các đường cao AD BE CF; ; của tam giác ABC

đồng quy tại H Các tiếp tuyến với ( )O tại Bvà C cắt nhau tại S Gọi X Y, lần lượt là giao điểm của đường thẳng EF với các đường thẳng BS AO; Chứng minh rằng

Trang 18

TỈNH PHÚ THỌ

Đề số 16

NĂM HỌC 2015-2016

MÔN THI: TOÁN (Chuyên Tin)

Câu 1 (2,0 điểm)

1) Giải phương trình x2  3x   2 0

2) Tìm các số thực x y z; ; thỏa mãn:

1 3 5

6 2015

12345678910111213141516 9989991000 Trong dãy số trên, tính từ trái qua phải, chữ số thứ 11 là chữ số 0, chữ số thứ 15 là chữ số

2 Hỏi chữ số thứ 2016 trong dãy số trên là chữ số nào?

Câu 4 (3,0 điểm) Cho hình vuông ABCD tâm O, M là điểm di động trên cạnh AB Trên cạnh AD lấy điểm E sao cho AM AE , trên cạnh BC lấy điểm F sao cho BM BF 1) Chứng minh rằng đường thẳng OA là phân giác trong của góc MOE, đường thẳng OB

là phân giác trong của góc MOF Từ đó suy ra ba điểm O E F; ; thẳng hàng

2) Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ M tới đường thẳng EF Chứng minh bốn điểm

Trang 19

Đề số 17

NĂM HỌC 2011-2012

24

1) Với mỗi số thực a ta gọi phần nguyên của a là số nguyên lớn nhất không vượt quá a

và ký hiệu là  a Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, biểu thức

BC (P không trùng với B C; ) Giả sử đường tròn ngoại tiếp tam giác BIP cắt đoạn thẳng

PA tại M khác P và đường tròn ngoại tiếp tam giác CIP cắt đoạn thẳng PD tại N khác P

1) Chứng minh rằng năm điểm A M I N D cùng nằm trên một đường tròn Gọi đường ; ; ; ;tròn này là ( )K

2) Giả sử các đường thẳng BM và CN cắt nhau tại Q, chứng minh rằng Q cũng nằm trên đường tròn ( )K

3) Trong trường hợp P I Q; ; thẳng hàng, chứng minh rằng PB BD

PC CA

Câu 4 (1,0 điểm) Giả sử A là một tập con của tập các số tự nhiên  Tập A có phần tử nhỏ nhất là 1, phần tử lớn nhất là 100 và mỗi x thuộc A (x 1) luôn tồn tại a b; cũng thuộc A sao cho x a b  (a có thể bằng b) Hãy tìm một tập A có số phần tử nhỏ nhất

…… HẾT………

Trang 20

Đề số 18

NĂM HỌC 2013-2014

1) Giả sử CP cắt QM tại điểm T Chứng minh T nằm trên đường tròn ( )O

2) Gọi giao điểm của NQ và ( )O là R khác N Giả sử AM cắt PQ tại S Chứng minh rằng bốn điểm A R Q S; ; ; cùng thuộc một đường tròn

Câu 4 (1,0 điểm) Với mỗi số n nguyên lớn hơn hoặc bằng 2 cố định, xét các tập n số thực đôi một khác nhau Xx x1 ; ; ; 2 x n Kí hiệu C X  là số các giá trị khác nhau của tổng

i j

x x (1 i j n   ) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của C X 

…… HẾT………

Trang 21

Đề số 19

NĂM HỌC 2012-2013

Câu 3 (3,0 điểm) Cho tam giác nhọnABC nội tiếp đường tròn ( )O có trực tâm H Gọi P

là điểm nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác HBC (Pkhác B C, và H) và nằm trong tam giác ABC PB cắt ( )O tại M khác B, PC cắt ( )O tại N khác C BM cắt AC tại E,

CN cắt AB tại F Đường tròn ngoại tiếp tam giác AME và đường tròn ngoại tiếp tam giác ANF cắt nhau tại Q khác A

Trang 22

Đề số 20

NĂM HỌC 2013-2014

PC cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác DAC tại F khác C

1) Chứng minh rằng bốn điểm A E P F; ; ; cùng thuộc một đường tròn

2) Giả sử đường thẳng AD cắt đường tròn ( )O tại Q khác A, đường thẳng AF cắt đường thẳng QC tại L Chứng minh rằng tam giác ABE đồng dạng với tam giác CLF

3) Gọi K là giao điểm của đường thẳng AE và đường thẳng QB Chứng minh rằng

QKL PAB QLK PAC  

Câu 4 (1,0 điểm) Cho tập hợp A gồm 31 phần tử và dãy gồm m tập con của A thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau

i) Mỗi tập thuộc dãy có ít nhất 2 phần tử;

ii) Nếu hai tập thuộc dãy có chung nhau ít nhất 2 phần tử thì số phần tử của hai tập này khác nhau

Chứng minh rằng m 900.

….… HẾT………

Trang 23

TỈNH PHÚ THỌ

Đề số 21

NĂM HỌC 2015-2016

MÔN THI: TOÁN (Chuyên toán)

 cắt nhau tại K (K A ) Gọi H là giao điểm của BE và CF

1) Chứng minh KA là phân giác trong góc BKC và tứ giác BHCK nội tiếp

2) Xác định vị trí điểm A để diện tích tứ giác BHCK lớn nhất, tính diện tích lớn nhất của

tứ giác đó theo R

3) Chứng minh AK luôn đi qua một điểm cố định

Câu 5 (1,0 điểm) Cho 3 số thực dương x y z; ; thỏa mãn 12 12 12 1

x y z  Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Trang 24

ĐẠI HỌC KHTN HÀ NỘI

Đề số 22

NĂM HỌC 2015-2016

xy P y





Câu 3 (3,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC không cân có tâm đường tròn nội tiếp là điểm

I Đường thẳng AI cắt BC tại D Gọi E F; lần lượt là các điểm đối xứng của D qua

;

IC IB

1) Chứng minh rằng EF song song với BC

2) Gọi M N J; ; lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng DE DF EF; ; Đường tròn ngoại tiếp tam giác AEM cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác AFN tại P khác A Chứng minh rằng bốn điểm M N P J; ; ; cùng nằm trên một đường tròn

3) Chứng minh rằng ba điểm A J P; ; thẳng hàng

Câu 4 (1,0 điểm)

1) Cho bảng ô vuông 2015 x2015 Kí hiệu ô ( ; )i j là ô ở hang

thứ i, cột thứj Ta viết các số nguyên dương từ 1 đến 2015

vào các ô của bảng theo quy tắc sau:

i) Số 1 được viết vào ô (1,1)

ii) Nếu số k được viết vào ô ( ; )i j (i 1) thì số k 1 được

viết vào ô ( 1;i j 1)

iii) Nếu số kđược viết vào ô (1; )j thì số k 1được viết vào ô (j 1; 1) (xem hình 1)

Khi đó số 2015 được viết vào ô m n; 

Trang 25

ĐẠI HỌC KHTN HÀ NỘI

Đề số 23

NĂM HỌC 2015-2016

Câu 1 (3,0 điểm)

1) Với a b c; ; là các số thỏa mãn

3a 3b 3c  24  3a b c   3b c a   3c a b  Chứng minh rằng a 2b b  2c c  2a 1

Câu 4 (1,0 điểm) Ký hiệu S là tập hợp gồm 2015 diểm phân biệt trên một mặt phẳng Giả

sử tất cả các điểm của S không cùng nằm trên một đường thẳng Chứng minh rằng có ít nhất 2015 đường thẳng phân biệt mà mỗi đường thẳng đi qua ít nhất hai điểm của S

…… HẾT………

Trang 26

MÔN THI: TOÁN (ĐỀ CHUNG)

Câu 1 (2,0 điểm) 1) Với giá trị nào của x thì biểu thức x  1 x 3 xác định

2) Tính giá trị của biểu thức A x  3 3 x khi x 2 2

3) Tìm tọa độ của các điểm có tung độ bằng 8 và nằm trên đồ thị hàm số y 2x2

4) Cho tam giác ABC vuông tại A có AB 3;BC 5 Tính cos ACB

1) Rút gọn biểu thức Q 2) Tìm các giá trị của x để Q 1

Câu 3 (2,5 điểm) 1) Cho phương trình x2  2m 1x m 2   6 0 (1) (với m là tham số)

a) Giải phương trình với m 3

b) Với giá trị nào của m thì phương trình (1) có các nghiệm x x1; 2 thỏa mãn 2 2

Câu 4 (3,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A (AB AC ), đường cao AH Đường

tròn tâm I đường kính AH cắt các cạnh AB AC; lần lượt tại M N; Gọi O là trung điểm

của đoạn BC D; là gia điểm của MN và OA

kính AH Chứng ming rằng BKC  90 0

Câu 5 (1,0 điểm) 1) Giải phương trình 2   5 

3x  6x  6 3 2 x  7x 19 2 x 2) Xét các số thực dương a b c; ; thỏa mãn abc 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Trang 27

MÔN THI: TOÁN (Chuyên Tin)

Câu 2 (2,0 điểm) Cho phương trình mx2  2m 1x  1 3m 0 (1) (m là tham số)

1) Chứng tỏ rằng phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi m

2) Trong trường hợp m 0 Gọi x x1; 2 là hai nghiệm của phương trình (1), tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2

A x x

Câu 3 (2,0 điểm) Trong một phòng có 80 người họp, được sắp ngồi trên các dãy ghế có

chỗ ngồi bằng nhau Nếu ta bớt đi 2 dãy ghế thì mỗi dãy ghế còn lại phải xếp thêm 2 người ngồi thì vừa đủ chỗ

Hỏi lúc đầu có mấy dãy ghế và mỗi dãy ghế được xếp bao nhiêu chỗ ngồi

Câu 4 (3,0 điểm) Cho điểm M nằm ngoài đường tròn ( )O Vẽ các tiếp tuyến MA MB; (

;

A B là các tiếp điểm) và cát tuyến MCD không đi qua O(C nằm giữa M và D) với đường tròn ( )O Đoạn thẳng MO cắt AB và ( )O theo thứ tự tại H và I Chứng minh rằng 1) Tứ giác MAOB nội tiếp đường tròn

- HẾT -

Trang 28

MÔN THI: TOÁN (Chuyên)

1) Chứng minh A O M N I; ; ; ; cùng thuộc một đường tròn và IA là tia phân giác của góc



MIN

2) Gọi K là giao điểm của MN và BC Chứng minh 2 1 1

AKAB AC 3) Đường thẳng qua M và vuông góc với đường thẳng ON cắt ( )O tại điểm thứ hai là P Xác định vị trí của điểm A trên tia đối của tia BC để AMPN là hình bình hành

Câu 5 (1,0 điểm) Cho a b; là các số dương thỏa mãn điều kiện  3

a b  ab Chứng minh bất đẳng thức : 1 1 2015 2016

1 a1 b ab

…… HẾT………

Trang 29

1) Chứng minh D là trực tâm của tam giác AEF

2) Gọi H là trực tâm của tam giác DEC; DH cắt BC tại N Đường tròn ngoại tiếp tam giác BDN cắt đường tròn (O R; ) tại điểm thứ hai là M Chứng minh đường thẳng DM

luôn đi qua một điểm cố định

Câu 5 (2,0 điểm) Cho tập hợp A gồm 21 phần tử là các số nguyên kahsc nhau thỏa mãn tổng của 11 phần tử bất kỳ lớn hơn tổng của 10 phần tử còn lại Biết các số 101 và 102 thuộc A Tìm tất cả các phần tử của A

…… HẾT………

Trang 30

MÔN THI: TOÁN (Chung)

Câu 1 (3,0 điểm) Cho biểu thức P 2x 2 x x 1 x2 x

2) Tính giá trị của thức P khi x  3 2 x

3) Chứng minh rằng: với mọi giá trị của x để biểu thức P có nghĩa thì biểu thức 7

P chỉ nhận một giá trị nguyên

Câu 2 (2,0 điểm) Cho phương trình 2  3

x mx m  (m là tham số)

1) Giải phương trình khi m 1

2) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm bằng bình phương nghiệm còn lại

Câu 3 (1,0 điểm) Giải phương trình 92 22 1 0

1) Chứng minh AE AB AF AC 

2) Chứng minh rằng MF là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AH

3) Chứng minh HAM HBO

4) Xác định điểm trực tâm của tam giác ABM

Câu 5 (0,5 điểm) Cho các số dương a b c; ; thỏa mãn ab bc ca  3 Chứng minh rằng

Trang 31

Câu 1 (1,5 điểm) Cho phương trình 2x2 mx  1 0 (với m là tham số)

1) Tìm m sao cho phương trình trên có hai nghiệm x x1; 2 thỏa mãn 2 2

x  x  2) Chứng minh rằng với mọi m phương trình trên có nghiệm x thỏa mãn x 1

Câu 5 (2,5 điểm) Cho tam giác ABC nhọn, nội tiếp đường tròn ( )O Đường thẳng AO

cắt đường tròn ( )O tại M (M A ) Đường thẳng qua C vuông góc với AB cắt đường tròn

( )O tại N (N C ) Gọi K là giao điểm MN với BC

1) Chứng minh tam giác KCN cân

2) Chứng minh OK vuông góc với BM

3) Hai tiếp tuyến của đường tròn ( )O tại M và N cắt nhau tại P Chứng minh ba điểm

a  b  c  ab bc ca  

- HẾT -

Trang 32

Câu 1 (1,5 điểm) Không dùng máy tính, chứng minh

Có thể thay giá trị 21,5 bằng một giá trị khác lơn hơn được không? Vì sao?

Câu 2 (1,0 điểm) Rút gọn biểu thức

A x  x  x  x với x 4

Câu 3 (1,0 điểm) Giải phương trình x2  3x 2x2  7x 12 35

Câu 4 (1,5 điểm) Cho ba số a b c; ; khác không, đôi một khác nhau thỏa mãn điều kiện

2) Ký hiệu I K J H; ; ; lần lượt là tâm các đường tròn nội tiếp các tam giác MAB; NCD;

Trang 33

LỜI GIẢI – NHẬN XÉT – BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

Nhắc lại kiến thức và phương pháp:

• Cho hai biểu thức f x y ; và g x y ; , trong đó g x y  ;  0

là nghiệm duy nhất của hệ phương trình Hoặc ta có thể sử dụng kỹ thuật nhẩm nghiệm như sau, đó là giả sử x k , bây giờ ta sẽ thay thử các giá trị của k, tất nhiên sẽ lấy các giá trị k nguyên và đẹp Và cũng cho ta được nghiệm x y ;   1; 2 Với cặp nghiệm này, thực chất bài toán quy về giải hệ phương trình 3 1 2 0

Trang 34

TH2 Nếu      

     

2 2

Hệ bất phương trình vô nghiệm

• Vậy x 1; y 2 là nghiệm duy nhất của hệ phương trình

• Phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn: xét một phương trình bậc hai có dạng

Trang 35

mong muốn sẽ tạo được lượng

Mâu thuẫn với (1)

Vậy không tồn tại x y z; ;  thỏa mãn đẳng thức

Nhận xét Để giải bài toán trên cần sử dụng phương pháp phản chứng: “Giả sử xảy rồi biến đổi thấy điều mâu thuẫn với giả sử”

Nhắc lại kiến thức và phương pháp

Trang 36

• Thêm cùng một lượng vào hai vế của đẳng thức ta được một đẳng thức mới tương đương với đẳng thức ban đầu

Ta thấy VT x 4 y4 z4 chia 8 dư 0 hoặc 1 hoặc 2 hoặc 3

Mà VP 8z4  5 chia 8 dư 5 do đó không thể tồn tại đẳng thức x4 y4 z4  8z4  5 hay

+) Nếu x   0 y 0 (thỏa mãn)

Vậy x y  0là nghiệm duy nhất

Nhận xét Để giải bài toán trên cần sử dụng phương pháp biến đổi tương đương đưa về xét khoảng giá trị của nghiệm

Khi đó phương trình đã cho tương đương với phương trình 8x3  8x y 3

Giải phương trình nghiệm nguyên bằng cách xét khoảng giá trị của nghiệm

• Không tồn tại lũy thừa bậc ba nào giữa hai lập phương (lũy thừa bậc ba) liên tiếp

Trang 37

(mâu thuẫn vì y nguyên và  3

Tứ giác OBCD nội tiếp ODC OBE (cùng bù với góc OBC) (2)

Trong tam giác CEF có CO vừa là đường cao vừa là đường phân giác nên tam giác

CEF

 cân tại C

Do AB CF AEB AFC EAB    , suy ra tam giác ABE cân tại B, nên BE BA CD  (3).

Từ (1), (2) và (3), suy ra OBE ODC (c – g – c)

Nhận xét Có ba trường hợp bằng nhau cơ bản của hai tam giác Ở bài này, chúng ta sử dụng trường hợp bằng nhau “cạnh-góc-cạnh” từ đó ta sẽ đi tìm ra các cạnh và góc bằng nhau

• Hai góc nội tiếp cùng chắn một cung của một đường tròn thì bằng nhau

+ BCO ODB (hai góc nội tiếp cùng chắn cung OB của đường tròn ngoại tiếp tam giác

Mà BCO OCD  (vì CO là tia phân giác của BCD), suy ra OBD ODB

• Tam giác có hai góc bằng nhau là tam giác cân

Tam giác OBD có OBD ODB (chứng minh trên) nên OBD cân tại O

• Tam giác cân có hai cạnh bên bằng nhau

Tam giác OBD cân tại O suy ra OB OD

• Tứ giác nội tiếp có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong tại đỉnh không kề với nó

Trang 38

Tứ giác BCDO nội tiếp đường tròn ngoại tiếp BCD có EBD là góc ngoài tại đỉnh B

và CDO là góc trong tại đỉnh D không kề B suy ra EBD CDO 

• Tam giác có đường cao cũng là đường phân giác thì tam giác đó cân

Tam giác CEF có CO vừa là đường cao vừa là đường phân giác nên tam giác CEF

cân tại C

• Tam giác cân có hai góc kề cạnh đáy bằng nhau

Tam giác CFE cân tại C, suy ra CEF CFE hay AEB AFC

• Một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song tạo ra hai góc ở vị trí đồng vị bằng nhau

AFC EAB (hai góc ở vị trí đồng vị củaAB FC ), suy ra AEB EAB  , nên EBA cân tại

B (tam giác có hai góc bằng nhau), do đó BE BA mà ABCD là hình bình hành nên

AB CD suy ra BE CD

Xét OBE và ODC có: OB OD ; EBD CDO  ; BE CD suy ra OBE ODC (c – g – c)

2) Từ OBE ODC OE OC 

Mà CO là đường cao tam giác cân CEF, suy ra OE OF

Từ đó OE OC OF  , vậy O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CEF

Nhận xét Đường tròn ngoại tiếp tam giác cách đều ba đỉnh của tam giác do đó ta chứng minh điểm O cách đều các điểm E; C; F hay OE OC OF 

• Hai tam giác bằng nhau có các cặp cạnh và cặp góc tương ứng bằng nhau

OBE ODC OE OC

• Tam giác cân có đường cao cũng là đường trung trực của cạnh tương ứng

CO là đường cao của tam giác cân CFE nên CO là đường trung trực của FE

• Một điểm thuộc trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai mút của đoạn thẳng Điểm O thuộc đường trung trực CO của đoạn thẳng FE nên OE OF , suy ra

OE OC OF 

• Điểm cách đều ba đỉnh của một tam giác là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đó

Ta có OE OC OF  suy ra O là tâm đường tròn ngoại tiếp CEF

Từ hai đẳng thức trên, suy ra IB BE EI ID DF FI 

Nhận xét Chứng minh một đẳng thức ta kết hợp các đẳng thức đã cho, đã chứng minh được để ghép vào đẳng thức cần chứng minh

Trang 39

Ta có BE CD (chứng minh trên) và CE CF (ECF cân tại C) suy ra

CE BE CF CD   BC DF suy ra CB DF

CD BE

• Đường phân giác trong của một tam giác chia cạnh dối diện thành hai đoạn thẳng có

tỷ số bằng với tỷ số hai cạnh tương ứng của tam giác

Ta có CI là phân giác của góc trong BCD của tam giác CBD nên IB CB

ID CD , suy ra ta được IB DE BE BI DE DI .

• Bất đẳng thức Cosi cho hai số thực dương x y  2 xy

• Hệ quả của bất đẳng thức Cosi, đó là: 2 2 1 2

2

x y  x y

Ý tưởng: Đây là một bài toán chứa các biểu thức đồng bậc, nên điểm rơi của bài toán sẽ có dạng x ky Từ đó thay ngược lại biểu thức P, ta có:

Trang 40

x y  x y Với điểm rơi đó, hai mẫu số trong đã bằng nhau P

nên nếu có đánh giá P, ta cần đánh giá hai căn về hai biểu thức cùng mẫu, ví dụ như cùng mẫu số x 2 ; 2y x y x ; 2  2 ; 2y2 x2 y2 Bây giờ, quan sát từng căn thức một:

 2 3 3   

2 8

Nhưng điều này chưa hoàn toàn đúng, vì cần phải có điều kiện y x , vậy nên hướng

tư duy như trên chưa đúng Tức là ta sẽ lựa chọn biểu thức x2  2y2 thay vì x 2y như

Định dạng
Số trang	267
Dung lượng	10,5 MB