Có thể thực hiện công việc như sau: Bước 1: Bỏ đi một viên sỏi và chia chiếc túi này làm hai chiếc túi mới... Bước 2: Chọn một trong hai túi này sao cho túi đó có ít nhất ba viên sỏi, bỏ[r]
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN
NAM ĐỊNH NĂM HỌC 2020 – 2021
Môn Toán chuyên
Ngày thi 11/7/2020
Thời gian 150 phút (không kể thời gian phát đề)
Câu 1 (2,0 điểm)
a) Cho các số thực , ,x y z khác 0 Đặt
1
;
x
= + b= +y 1y; c=xy+xy1 .
Chứng minh rằng a2+ + -b2 c2 abc=4
b) Cho các số thực ,a b khác 2- thỏa mãn (2a+1 2) ( b+ =1) 9
Tính giá trị của biểu thức
A
Câu 2 (2,0 điểm)
a) Giải phương trình: 22333.xxxx++=+
b) Giải hệ phương trình: ( ) ( )
2
2
x y
ïïí
ïïî
Câu 3 (3,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC có AB<ACnội tiếp đường tròn ( )O
Một đường tròn tiếp xúc với các cạnh AB AC tại ,, M N và có tâm I thuộc cạnh BC Kẻ đường cao AH của tam giác ABC
a) Chứng minh rằng các điểm ,A M H I N cùng thuộc một đường tròn và HA là tia phân giác góc ·, , , MHN
b) Đường thẳng đi qua I và vuông góc với BC cắt MN tại K Chứng minh rằng AK đi qua trung điểm D
của BC.
c) Tiếp tuyến của đường tròn ( )O tại B và C cắt nhau tại điểm S Chứng minh rằng · CAD=BAS·
Câu 4 (1,5 điểm)
a) Tìm các số nguyên ,x y thỏa mãn x3+y2=xy2+1
a) Cho các số nguyên dương , ,a b c thỏa mãn
1
b
+ = +
Chứng minh ab là lập phương của một số
nguyên dương
Câu 5 (1,5 điểm)
a) Cho các số thực không âm , ,a b c thỏa mãn điều kiện a b c+ + = Chứng minh rằng:1
8
a + + £ +b c a + +b c
b) Ban đầu có 2020 viên sỏi ở trong một chiếc túi Có thể thực hiện công việc như sau:
Bước 1: Bỏ đi một viên sỏi và chia chiếc túi này làm hai chiếc túi mới.
Bước 2: Chọn một trong hai túi này sao cho túi đó có ít nhất ba viên sỏi, bỏ đi một viên từ túi này và chia túi đó
làm hai chiếc túi mới, khi đó có ba chiếc túi
Trang 2Bước 3: Chọn một trong ba túi này sao cho túi đó có ít nhất ba viên sỏi, bỏ một viên từ túi này và chia túi đó
làm hai chiếc túi mới, khi đó có bốn chiếc túi
Tiếp túc quá trình trên Hỏi sau một số bước có thể tạo trường hợp mà mỗi túi chỉ có đúng hai viên sỏi hay không?
LỜI GIẢI CHI TIẾT Câu 1.
a) Ta có:
2
2
1 6
x
+ + - = +çç ÷÷+ + ÷+ççç ÷÷ ççç + ÷-÷÷ çç + ÷÷ççç + ÷ +÷÷ççç ÷÷÷
= + + + + + + + - ççç + + + ÷ +÷÷ççç ÷÷÷
4
= Suy ra điều phải chứng minh
b) Ta có: (2a+1 2)( b+ = Û1) 9 4ab+2(a b+ + = Û) 1 9 2ab a b+ + = Û + = -4 a b 4 2 ab
Lại có: ( ) ( ) ( )
2 4
ab
A
-Vậy
2
3
A=
Câu 2.
a) Điều kiện xác định: x³ - 3. Ta có:
2
2
2
0
1
1 13 0
3 0
3
3 0
x
x
éì ³ïïêí é= ê
ïê
ïê - - = ïîë
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm
1 13
3
b) Điều kiện xác định:
1
2
x y³
Ta có:
Trang 3( )( )
1
é + = ê
ê + =-ë
Trường hợp 1: x= -1 y Do
x³ - Þ - y³ - Þ y£ Þ y- £
Do
1
2
y³ - Þ - y³
Do đó suy ra: 2 1 2- £ - y£2.
Khi đó:
2
Lại có: ( 2x+ +1 2y+1)2 =2x+ +1 2y+ +1 2 2( x+1 2)( y+ ³1) 2(x+ + =y) 2 4
Suy ra: 2x+ +1 2y+ £1 2.
Suy ra
2
x y
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
1 2
y
hoặc
3 2
y=
Với
1
2
y
ta có
3 2
x= Với
3 2
y=
ta có
1 2
x
=-Trường hợp 2: x=- -4 2y
Do
4 2
x³ - Þ - - y³ - Þ - ³ y
mà
1 2
y³
- Suy ra không có giá trị nào thỏa mãn-
Vậy hệ cho có hai nghiệm ( ; ) 1 3; , 3; 1
x y æç ö æ÷ç ö÷
= -çç ÷÷çç - ÷÷
Câu 3.
a) Ta có: ·AMI=·ANI=90o=·AHIÞ Năm điểm , , , ,A M H I N cùng thuộc đường tròn đường kính AI
Do AM AN là các tiếp tuyến của đường tròn tâm I bán kính IM, Þ AM =ANmà AM AN cùng thuộc, đường tròn đường kính AI Þ ¼AM =) »ANÞ ·AHM =·AHN
Hay HA là phân giác MHN· .
b) Từ K kẻ đường thẳng song song với BC cắt AB AC lần lượt tại , , X Y
Vì KI^BC nên IK^XY Þ ·XKI =·XMI=90 0
Suy ra tứ giác IMXK nội tiếp Þ IXK· =IMK· ( )1
Tương tự IKNY nội tiếp Þ ·IYK=·INK ( )2
Mà tam giác IMN cân tại I nên IMN· =INM· ( )2
Từ ( ) ( )1 , 2
và ( )3
suy ra IXK· =IYK· Þ tam giác IXY cân tại I
Trang 4Mà IK^XY Þ KX =KY.
Lại có:
XY BC
P
mà XK=YKÞ BD=CDÞ D là trung điểm của BC
c) Ta có OS là trung trực của BC Hay , ,. O D S thẳng hàng
Từ đây suy ra OD OS× =OC2 =OA2. Hay DOAD: DOSAÞ OAD· =OSA·
Mặt khác: OSA· =HAS· .
Suy ra OAD· =HAS· . Lại có · ·
2
Do đó: CAD· =BAS· .
Câu 4.
a) Ta có phương trình tương đương:
1
1
x
é = ê
- + + - = Û ê + + =ë Với x = ta có mọi y Î ¢ đều thỏa mãn.1
Với y2=x2+ + Ta có x 1. x2+ + là một số chính phương,x 1
Xét x³ 0, ta có: 2 2 ( )2
Với x= ta tìm được 0 y= hoặc 1 y=- 1
Xét x< ta có: 0, (x+1)2<x2+ + £x 1 (x- 1 )2 Suy ra ( )
2 2
1
1
x
é + + =
=ê + + = -ê
Với x=- 1, ta có: y= hoặc 1 y=- 1
Tóm lại hệ cho có nghiệm (x y; ) ( ) ( ) (= 1; , 0;1 , 0; 1 ,k - ) (- 1;1 ,) (- -1; 1) với kÎ ¢.
b) Từ
+ = +
với a b c, , Î ¥*.
Nhân cả hai vế với a ta được:
2
a
b
với kÎ ¥*.
Nhân cả hai vế với b ta được: bc 1 ab b2 b a2 b kb2 b k ( )1
a
Thay vào phương trình đầu suy ra: c a b 1 1 1 b k b k b k b( )2
Từ ( )1 và ( )2 suy ra: b= Suy ra: k a=b2
Vậy ab=b3.
Câu 5.
a) Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương:
8³ a - a +b - b +c - c Û 8³ a b c+ +b c a+ +c a b+
Ta có:
Trang 5( ) ( ) ( )
(a + +b c )(ab bc ca+ + )=å a b c+ +abc a b c+ + ³ å a b c+
Do đó cần chứng minh: ( 2 2 2) ( ) 1
8
a + +b c ab bc ca+ + £
Áp dụng bất đẳng thức AM – GM, ta có:
Suy ra ( 2 2 2) ( ) 1
8
a + +b c ab bc ca+ + £
Từ đây ta có điều phải chứng minh
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
1
2
a= =b c=
và các hoán vị của chúng
b) Trước hết ta có nhận xét:
Nhận xét 1: Cứ mỗi bước thì tổng số viên bị bị giảm đi 1 viên Suy ra tổng số bi trong tất cả các túi sau bước
thứ n là 2020 – n viên bi
Nhận xét 2: Sau mỗi bước đi thì tổng số túi sẽ thêm 1 túi Như vậy sau bước thứ n sẽ có n+ túi.1
Giả sử tồn tại bước thứ k k( Î ¥*)
thỏa mãn yêu cầu đề bài: Tất cả các túi đều có hai viên
Áp dụng nhận xét 1, số viên bi sau bước thứ k là 2020 k- viên.
Theo nhận xét 2 thì số túi sau bước k là k+ túi Khi đó tổng số viên bi trong tất cả các túi là 1 2(k+1) viên Như vậy: 2(k+ =1) 2020- k Û 3k=2018 Vô lý do k là số tự nhiên.
Vậy không tồn tại bước nào thỏa mãn yêu cầu đề bài