Đề thi vào lớp 10 chuyên Toán THPT chuyên tỉnh Nam Định năm 2020 - 2021

Có thể thực hiện công việc như sau: Bước 1: Bỏ đi một viên sỏi và chia chiếc túi này làm hai chiếc túi mới.. Bước 2: Chọn một trong hai túi này sao cho túi đó có ít nhất ba viên sỏi, [r]

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN

NAM ĐỊNH NĂM HỌC 2020 – 2021

Môn Toán chuyên

Ngày thi 11/7/2020

Thời gian 150 phút (không kể thời gian phát đề)

a) Cho các số thực x y z khác 0 Đặt , , a x 1;

x

y

xy

Chứng minh rằng a2b2 c2 abc4

b) Cho các số thực a b, khác  thỏa mãn 2 2a1 2 b  1 9

A

Câu 2 (2,0 điểm)

a) Giải phương trình: 2x2  x 3 3x x 3

b) Giải hệ phương trình:

  

2

2







Câu 3 (3,0 điểm) Cho tam giác nhọnABC có ABACnội tiếp đường tròn  O Một đường tròn tiếp xúc với

các cạnh AB AC, tại M N, và có tâm I thuộc cạnh BC Kẻ đường cao AH của tam giác ABC

a) Chứng minh rằng các điểm A M H I N, , , , cùng thuộc một đường tròn và HA là tia phân giác góc  MHN

b) Đường thẳng đi qua I và vuông góc với BC cắt MN tại K Chứng minh rằng AK đi qua trung điểm D của

BC

c) Tiếp tuyến của đường tròn  O tại B và C cắt nhau tại điểm S Chứng minh rằng  CADBAS.

Câu 4 (1,5 điểm)

a) Tìm các số nguyên x y thỏa mãn , x3y2xy2 1

a) Cho các số nguyên dương a b c, , thỏa mãn c 1 a b

   Chứng minh ab là lập phương của một số nguyên

dương

Câu 5 (1,5 điểm)

a) Cho các số thực không âm a b c, , thỏa mãn điều kiện a   Chứng minh rằng: b c 1

8

a    b c a b c

b) Ban đầu có 2020 viên sỏi ở trong một chiếc túi Có thể thực hiện công việc như sau:

Bước 1: Bỏ đi một viên sỏi và chia chiếc túi này làm hai chiếc túi mới

Bước 2: Chọn một trong hai túi này sao cho túi đó có ít nhất ba viên sỏi, bỏ đi một viên từ túi này và chia túi đó

làm hai chiếc túi mới, khi đó có ba chiếc túi

Bước 3: Chọn một trong ba túi này sao cho túi đó có ít nhất ba viên sỏi, bỏ một viên từ túi này và chia túi đó làm

hai chiếc túi mới, khi đó có bốn chiếc túi

Tiếp túc quá trình trên Hỏi sau một số bước có thể tạo trường hợp mà mỗi túi chỉ có đúng hai viên sỏi hay không?

LỜI GIẢI ĐỀ TOÁN CHUYÊN LỚP 10/2020

THPT CHUYÊN ĐHSP HÀ NỘI

THUVIENTOAN.NET

Câu 1

a) Ta có:

2

2

1 6

x

                    

4

 Suy ra điều phải chứng minh

b) Ta có: 2a1 2 b  1 9 4ab2(a   b) 1 9 2ab      a b 4 a b 4 2ab

Lại có:

    

 

 

2 4

ab

A



3

A 

Câu 2

a) Điều kiện xác định: x   Ta có: 3

2

2

2

0

1

0

3

x

x







  





3

2

  

1

  





x      y y y 

2

y   y Do đó suy ra:   2 1 2y2

2

2x 1 2y1 2x 1 2y 1 2 2x1 2y 1 2(xy) 2 4

Suy ra: 2x 1 2y  1 2

2

2

2

y 

2

2

2

2

x  

Trường hợp 2: x  4 2y

2

y   Suy ra không có giá trị nào thỏa mãn

x y     

     

Câu 3

a) Ta có:   90o 

tròn đường kính AI AM  ANAHM AHN Hay HA là phân giác  MHN

b) Từ K kẻ đường thẳng song song với BC cắt AB AC, lần lượt tại X Y,

90

IK XYXKI XMI Suy ra tứ giác IMXK nội tiếp IXKIMK  1

Tương tự IKNY nội tiếp IYKINK 2

Mà tam giác IMN cân tại I nên IMNINM 2

Từ    1 , 2 và  3 suy ra IXKIYK  tam giác IXY cân tại I

c) Ta có OS là trung trực của BC Hay O D S, , thẳng hàng

Mặt khác: OSAHAS.

2

Do đó: CADBAS.

Câu 4

1

1

x

 



Với x  ta có mọi 1 y   đều thỏa mãn

Với y2x2  Ta có x 1 2

1

x x   x x Suy ra 2  2

x   x x  x

Với x  ta tìm được 0 y 1 hoặc y  1

x x    x x Suy ra

 

2 2

1

1

x

   

    



Với x  1, ta có: y 1 hoặc y  1

Tóm lại hệ cho có nghiệm x y;       1;k , 0;1 , 0; 1 ,  1;1 ,   với 1; 1 k  

   với a b c   , , *

b

a

Thay vào phương trình đầu suy ra: c a b 1 1 1 b k b k b k b 2



Từ  1 và  2 suy ra: b Suy ra: k 2

ab

abb

Câu 5

a) Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương:

8a  a b  b c   c 8 a b c b c a c ab

Ta có:

(a b c )(abbcca)a b c abc a  b c a bc

8

Áp dụng bất đẳng thức AM – GM, ta có:

1(a b c) a b c 2(abbcca)2 (a b c )2(abbcca)

8

2

b) Trước hết ta có nhận xét:

Nhận xét 1: Cứ mỗi bước thì tổng số viên bị bị giảm đi 1 viên Suy ra tổng số bi trong tất cả các túi sau bước

thứ n là 2020 – n viên bi

Nhận xét 2: Sau mỗi bước đi thì tổng số túi sẽ thêm 1 túi Như vậy sau bước thứ n sẽ có n  túi 1

Giả sử tồn tại bước thứ k k   thỏa mãn yêu cầu đề bài: Tất cả các túi đều có hai viên

Áp dụng nhận xét 1, số viên bi sau bước thứ k là 2020k viên

Theo nhận xét 2 thì số túi sau bước k là k  túi Khi đó tổng số viên bi trong tất cả các túi là 1 2k 1 viên Như vậy: 2k 1 2020 k 3k2018.Vô lý do k là số tự nhiên

Vậy không tồn tại bước nào thỏa mãn yêu cầu đề bài