[r]
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
(Đề thi gồm 02 trang)
KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG
NĂM HỌC: 2020- 2021 MÔN THI: TOÁN CHUYÊN Ngày thi: 17 tháng 7 năm 2020
Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian phát đề)
Câu 1 (1,0 điểm)
Cho ba số dương , ,a b c thỏa mãn điều kiện a b c 2020
b cc aa b
Tính giá trị của biểu thức: P a2 b2 c2 :a b c
Câu 2 (2,5 điểm)
a) Giải phương trình 2x2 x 9 2x2 x 1 x 4
b) Giải hệ phương trình
2 3 2
Câu 3 (1,5 điểm)
Cho tam giác ABC AB BCCA nội tiếp đường tròn O Từ A kẻ đường thẳng song song với BC cắt
O tại A Từ B kẻ đường thẳng song song với 1 AC cắt O tại B Từ 1 C kẻ đường thẳng song song với
AB cắt O tại C Chứng minh rằng các đường thẳng qua 1 A B C vuông góc với 1, 1, 1 BC CA AB đồng quy , ,
Câu 4 (2,0 điểm)
a) Cho hai số thực dương , a b Chứng minh rằng: 2 2 2
2 2
a b
ab
b) Cho hai số dương ,a b thỏa mãn a Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: b 3
20 7
Câu 5 (2,0 điểm)
Đường tròn I nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc các cạnh AB BC CA lần lượt tại , , D E F Kẻ đường kính , ,
EJ của đường tròn I Gọi d là đường thẳng qua A song song với BC Đường thẳng JD cắt , d BC lần lượt tại ,L H
a) Chứng minh rằng ,E F L thẳng hàng ,
b) JA JF, cắt BC lần lượt tại M K, Chứng minh MH MK
Câu 6 (1,0 điểm)
Tìm tất cả các số nguyên dương x y , thỏa mãn 3x y3 1.
-Hết -
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 2LỜI GIẢI CHI TIẾT
ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUYÊN TOÁN NĂM HỌC 2020 - 2021
TP HỒ CHÍ MINH
THUVIENTOAN.NET
Câu 1
a
Viết hai đẳng thức tương tự rồi cộng lại, ta có:
Suy ra:
1
a b c
a b c
Do đó: P2019a b c : a b c 2019
Câu 2
a) Điều kiện xác định x
Ta có:
2
2
2
2
2
0
x
x
7
x
Vậy 0; 8
7
S
b) Cộng cả hai vế cho x2 của phương trình thứ nhất ta được:
Trang 3
Với y4x thay vào phương trình thứ hai và thu gọn ta được: 1,
3 2
Với y 1 2 ,x thay vào phương trình thứ hai và thu gọn ta được:
3 2
Vậy hệ cho có 6 nghiệm x y ; 0; 1 , 1;3 , 7; 27 , 0;1 , 1;3 , 3; 7
Câu 3
Gọi H là trực tâm của tam giác ABC và OH cắt đường thẳng qua A1, vuông góc với BC ở điểm K Gọi
M là trung điểm AA1 thì OM AA1 Suy ra OM BC
Mặt khác, tứ giác AHKA1 là hình thang vì AH A K1 nên ta có OM là đường trung bình, kéo theo O là trung điểm HK hay nói cách khác, đường thẳng qua A1, vuông góc với BC sẽ đi qua điểm đối xứng với trực tâm H của tam giác ABC qua O
Rõ ràng điểm này bình đẳng với B C , nên hai đường qua B C1, 1 lần lượt vuông góc với CA AB , cũng đi qua
.
K Vì thế nên ta có các đường thẳng của đề bài đồng quy ở K
Câu 4
a) Ta có:
M
K O
H
A 1
C B
A
Trang 4
2 2
2 2
2
2 2
2 2 2 2
2 2
2 2
2
2 2
2 2
2 2
2
0
a b
ab
a b
a b
a b
Bất đẳng thức cuối đúng nên ta có điều phải chứng minh
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b
b) Áp dụng bất đẳng thức AM – GM, ta có:
Do đó: Q b a 205a 14 7b346a b 34 6 3 16
Đẳng thức xảy ra khi và chi khi a2,b 1
Vậy giá trị nhỏ nhất của Q là 16 đạt được a2,b 1
Câu 5
a) Ta có JE là đường kính của ( ) I nên JDE 90 và tam giác HDE vuông ở D Chú ý rằng BD BE
, do cùng là tiếp tuyến kẻ từ B đến ( ) I nên BD BH (tính chất trung tuyến ứng với cạnh huyền) Do đó tam giác BHD cân ở B
Vì AL BH nên hai tam giác ADL và BDH đồng dạng, kéo theo ADL cân ở A hay AL AD AE
T
K M
L
H
J
I
F
E
D
C B
A
Trang 5Vì AL CE nên LAF FCE , mà hai tam giác ALF CEF , đều cân có các góc ở đỉnh bằng nhau nên chúng đồng dạng Suy ra AFL CFE , kéo theo L F E , , thẳng hàng
b) Kéo dài JF cắt d ở T thì tương tự câu a, ta có T D E , , thẳng hàng và
.
Theo định lý Thales với d BC thì AL AJ AT
MH JM MK , mà AT AL nên MH MK
Câu 6
Ta có 3x y3 1 ( y 1)( y2 y 1).Do đó, tồn tại các số tự nhiên u v , sao cho
2
1 3
u
v
y
Vì y 1 1 nên 3u 1 hay u 1. Rút y 3u 1, thay vào phương trình dưới, ta có
2
(3u 1) (3u 1) 1 3v hay
3 u 3 3u 3 3v 3 u 3u 1 3 v
Vì vế phải nguyên nên ta phải có v 1 0 hay v 1. Tuy nhiên, nếu v 1 0 thì 3v1 chia hết cho 3,
trong khi vế trái không chia hết cho 3, vô lý Do đó, v 1 hay
y y y y Giải ra được y 2. Thay vào đề bài, ta được 3x y3 1 9 nên x 2.
Vậy nên tất cả các nghiệm của phương trình đã cho là ( , ) x y (2;2).