[r]
Trang 1Trang 1
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI HSG QUỐC GIA
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHÍNH THỨC
MÔN TOÁN Ngày thi thứ hai : 10/10/2015
(Hướng dẫn chấm này gồm có 02 trang)
Bài 5
(6 điểm)
Thay x bởi x f+ (0) và y= vào giả thiết ta được 0
f x = − −x f = − + ∀ ∈ \ x k x
với k là hằng số
Thay lại giả thiết ta được
− − + = − −
Do đó, 1
2
k=
Thử lại, ( ) 1
2
f x = − + thỏa mãn bài toán x
Vậy có duy nhất một hàm số thỏa mãn bài toán là ( ) 1
2
f x = − + x
3,0đ
1,5đ
1,5đ
Bài 6
(7 điểm)
Nếu ( , , )x y z là nghiệm nguyên dương của phương trình thì (4 x− > và (41) 1 y− > 1) 1
Gọi p là ước nguyên tố bất kỳ của (4 x − thì p là số nguyên tố lẻ và 1)
2
4z ≡−1 mod p
Do đó,
(4 ) ( 1) mod
Cũng từ 4z2 ≡−1 mod p ta suy ra 2z không chia hết cho p Theo định lý Fermat,
( ) 1 ( )2 21
p p
−
−
Do đó
1 2
1 ( 1) mod
p
p
−
2
p
k
− =
Hay p=4k+ 1 Suy ra 4x− =1 p p1 2 p m với p i=4k i+ Vì vậy 41 x− ≡1 1mod 4 Vô lý !
Vì vậy phương trình này không có nghiệm nguyên dương
PT này có vô số nghiệm nguyên dạng (0;−z z2; ) với z tùy ý thuộc Z
1,5đ
1,0đ
1,5đ
1,0đ 1,0đ
1,0đ
Bài 7
(7 điểm)
a) Gọi E, F là các tiếp điểm của đường tròn nội tiếp (I) với các cạnh AC, AB Ta có
MFB= −MFA= −MEA MEC= và nFBM =nECM
Do đó hai tam giác MFB và MEC đồng dạng
Suy ra
EC =MC ⇒ DC = MC
Từ đó suy ra MD là phân giác góc nội tiếp n BMC Vì vậy đường thẳng MN đi qua
trung điểm T của cung q.BC Tức là M D T thẳng hàng , ,
1,0đ
1,0đ
1,0đ
Trang 2Trang 2
b) Ta sẽ chứng minh N, D, T thẳng hàng Thật vậy:
Xét hai tam giác DIT và NAT có:
NAT =DIT do AH DI&
2
sin sinBAC
IT = TB =
1,0đ
sinBAC sinBAC
1,0đ
2
BAC ACB
Nên AT AN
TI = DI
1,0đ
Ta suy ra hai tam giác DIT và NAT đồng dạng
ATD ATN N D T
Cùng với kết quả ở câu a, ta kết luận được M N D thẳng hàng , , 1,0đ
HẾT