LỜI GIẢI CHI TIẾT ĐỀ THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN TOÁN THPT CHUYÊN HÀ TĨNH NĂM 2020 THUVIENTOAN.NET. Câu 1.[r]
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN
HÀ TĨNH NĂM 2020 – 2021
Môn thi: Toán Chuyên
Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian phát đề
Câu 1 (1,5 điểm)
Giả sử a b c, , là các số thực khác 0 sao cho hệ phương trình
có nghiệm x y ;
Chứng minh rằng
3
bccaab
Câu 2 (2,5 điểm)
a) Giải hệ phương trình:
b) Giải phương trình: 2
2 x2 x 2 x 3x 3
Câu 3 (2,5 điểm)
a) Tồn tại hay không số nguyên dương n sao cho 2 n 2021 và 3n 2020 đều là số chính phương
b) Tìm tất cả các cặp số nguyên dương x y sao cho ;
2
2 2
x xy
có giá trị là số nguyên
Câu 4 (2,5 điểm)
Cho hai đường tròn O và O cắt nhau tại A B, sao cho hai tâm O và O nằm khác phía với đối với đường
thẳng AB Đường thẳng d thay đổi đi qua B cắt các đường tròn O và O lần lượt tại C và D (d không trùng với đường thẳng AB)
a) Xác định vị trí của đường thẳng d sao cho đoạn thẳng CD có độ dài lớn nhất
b) Gọi M là điểm di chuyển từ điểm A, ngược chiều kim đồng hồ trên đường tròn O N là điểm di chuyển ;
từ điểm A, cùng chiều kim đồng hồ trên đường tròn O sao cho AOM luôn bằng AON . Chứng minh rằng
trung trực của MN luôn đi qua một điểm cố định
Câu 5 (1,0 điểm)
Cho x y z, , là các số thực không âm thỏa mãn x z2 2y z2 2 1 3 z
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2
z P
-HẾT -
Trang 2LỜI GIẢI CHI TIẾT ĐỀ THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN TOÁN THPT CHUYÊN HÀ TĨNH NĂM 2020
THUVIENTOAN.NET
Câu 1
Từ hệ phương trình, ta có:
3
Suy ra a3 b3 c3 3abc, mà a b c, , khác 0 nên:
Do đó ta có điều phải chứng minh,
Câu 2
a) Cộng vế theo vế của hai phương trình ta được:
2
Với x2 thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được: y 1, y 0 x 1 hoặc x 1
Với x2 Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được: y 3, 2
y y hoặc y 2 2
Khi đó x 2 2 2 hoặc 3 2
2 2 3,
x phương trình vô nghiệm do x 2 0
Tóm lại hệ cho có hai nghiệm x y ; 1; 0 , 1;0
b) Điều kiện: x Phương trình tương đương: 2
2
2
2
Trang 3Trường hợp 1:
2
11 23 0
2 5
x
Trường hợp 2:
2
1 0
x
Vậy tập nghiệm của phương trình là 11 29; 1 5
S
Câu 3
a) Đặt x2 2n2021 và y23n2020 với x y , *
Khi đó ta có: 3x22y2 2023 Ta có 2
2y và 2 2023 không chia hết cho 2
Suy ra x lẽ nên đặt x2m1, thay vào phương trình, ta được:
3 2m1 2y 20236m m 1 1012 y 2
Ta có: m m nên 1 2 2m m 1 4, đồng thời 1012 4 nên 2
2 4
Mặt khác 2
0 mod 4
1 mod 4
y nên không tồn tại y sao cho y chia hết cho 4 2 2
Điều này dẫn đến không tồn tại n thỏa mãn yêu cầu bài toán
b) Ta có:
2
2 2
x
xy
là số nguyên nên
2 2 2
y x xy
là số nguyên
x
2 2
xy
là số nguyên dương
2
xy
*
k
Nếu k 2, ta có: 2xyk xy 2 2xy2 x y xy 2 x1y 1 1 0
Vô lí do x y , 1 Do đó k 1
Với k 1, ta có: 2xyxy 2 x2y 2 2
Phương trình này tương đương: 2 2
2 1
x y
hoặc
2 1
2 2
x y
hoặc
x y
x y
Hay 4
3
x
y
hoặc
3 4
x y
hoặc
1 0
x y
hoặc
0 1
x y
Thử lại ta thấy phương trình đã cho có hai nghiệm x y ; 4;3 , 3; 4
Trang 4Câu 4
a) Kéo dài AO cắt O tại E, kéo dài AO cắt O tại F
90 90 180
ABEABF nên E B F, , thẳng hàng
Ta có ACDAEF do cùng chắn cung AB của O
Tương tự AFEADC do cùng chắn cung AB của O
Do đó: ACDAEF Suy ra: CD AC 1
Mà ACE vuông tại C có ACAE 2
Từ 1 và 2 suy ra CDEF với EF không đổi
Ta có: CD EF C E
hay d vuông góc với AB tại B . Vậy giá trị lớn nhất của CD là EF đạt được khi d vuông góc AB tại B
b) Gọi I là trung điểm EF, ta có O I là đường trung bình của tam giác AEF
Suy ra O I OA và O I OA do O là trung điểm của AE
Do đó AOIO là hình hình hành Suy ra AOIAO I .
Gọi P P lần lượt là giao điểm của , OI với O và Q Q lần lượt là sao điểm của O I, với O sao cho
IP IP và IQ IQ
Do MOANO A mà M N, di chuyển ngược chiều nên xét hai trường hợp
Q'
P' P
I
D
F
E
A
O
B
O'
C
M
Trang 5 M trùng P hoặc P
Nếu M P thì NQ Suy ra IM IPIOOPO I O Q IN
Nếu M P thì NQ Suy ra IM IPIOOPO Q O I IQIN
M không trùng P hoặc P thì N không trùng Q hoặc Q
Do
Ta có MOIO OI, O N
Suy ra MOI IO N IM IN
Trong mọi trường hợp IM IN nên trung trực của MN luôn đi qua điểm I cố định
Câu 5
Với a b , 0, ta có:
2
4
Do đó
2
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b.
Áp dụng bất đẳng thức trên liên tiếp, ta có:
2
z
y
Từ đó suy ra 64 2
1 5 2
P
z
Áp dụng bất đẳng thức AM – GM, ta có:
2
Suy ra: 6 3 4 2 2 3 1
2
Do đó
2
64
1
3 5
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
1
2
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là đạt được khi 1, 1
2