Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 8 của Phòng GD&DT huyện Thường Tín - Hà Nội năm 2015

Tính khoảng cách AB và vận tốc dự định đi của người đó.. Bài 4[r]

PHÒNG GD & ĐT

HUYỆN THƯỜNG TÍN

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI

Môn: TOÁN 8 Năm học: 2014-2015 Bài 1 (6 điểm) Cho biểu thức

2

P

a) Rút gọn P

b) Tính giá trị của P khi 1

2

x 

c) Tìm giá trị nguyên của x để P nhận giá trị nguyên

d) Tìm x để P0

Bài 2 (3 điểm) Giải phương trình

2

148 169 186 199

) 2 3 5

x

a

b

c x

  

Bài 3 (2 điểm) Một người đi xe gắn máy từ A đến B dự định mất 3 giờ 20 phút

Nếu người ấy tăng vận tốc thêm 5km h thì sẽ đến B sớm hơn 20 phút Tính /

khoảng cách AB và vận tốc dự định đi của người đó

Bài 4 (7 điểm)

Cho hình chữ nhật ABCD.Trên đường chéo BD lấy điểm P, gọi M là điểm đối xứng của C qua P

a) Tứ giác AMDB là hình gì ?

b) Gọi E và F lần lượt là hình chiếu của điểm M lên AB AD Chứng minh ,

/ /

EF AC và ba điểm E F P thẳng hàng , ,

c) Chứng minh rằng tỉ số các cạnh của hình chữ nhật MEAF không phụ thuộc

vào vị trí của điểm P

d) Giả sử CPBD và 2, 4 , 9

16

PD

PB

  Tính các cạnh của hình chữ nhật

ABCD

Bài 5 (2 điểm)

a) Chứng minh rằng : 20092008 20112010chia hết cho 2010

b) Cho , ,x y z là các số lớn hơn hoặc bằng 1 Chứng minh rằng:

1 x 1 y 1 xy

ĐÁP ÁN Bài 1

2

2

2

2

4 12 5 2 1 2 5

13 2 20 4 5 2

21 2 8 3 2 7 4

4 4 3 2 1 2 3

Điều kiện 1 5; ; 3 7; ;4

2 2 2 4

a) Rút gọn 2 3

2 5

x P x







b)

1

1 2

2

x x

x

 



  

  



)

)

c) Ta có: 1

5

x

 Ư  2   1; 2;1;2

    

    

   

   

d) 2 3 1 2

x P



Ta có: 1 0

Để P0 thì 2 0 5 0 5



Với x5 thì P0

Bài 2

a)

2

1 12

x

x

DK x x

x x

Vậy S  0

b)

10

25 23 21 19

x

Do 1 1 1 1 0

25 2321 19  nên 123   x 0 x 123

Vậy S  123

c) x  2 3 5

Ta có: x      2 0 x x 2 3 0 nên x    2 3 x 2 3 Phương trình được viết dưới dạng:

 

2 3 5

2 2

0;4

x

x

S

  

  

    

     



Bài 3

Gọi khoảng cách giữa A và B là x km  (x0)

Vận tốc dự định của người đi xe gắn máy là: 3   1

/ 3 20' 3

3 3

h

Vận tốc của người đi xe gắn máy khi tăng lên 5km h là: / 3  

5 / 10

x

km h



Theo đề bài ta có phương trình:

3

5 3 150 ( )

10

x

Vậy khoảng cách giữa A và B là 150 km 

Vận tốc dự định là 3.150  

45 /

10  km h

Bài 4

a) Gọi O là giao điểm 2 đường chéo của hình chữ nhật ABCD

PO

 là đường trung bình của tam giác CAM

/ /

 tứ giác AMDB là hình thang

b) Do AM / /BDnên OBAMAE (đồng vị )

Tam giác AOB cân ở O nên OBAOAB

Gọi I là giao điểm 2 đường chéo của hình chữ nhật AEMF thì tam giác AIE

cân ở I nên IAE IEA

Từ chứng minh trên : FEA OAB , do đó EF / /AC (1)

Mặt khác IP là đường trung bình của tam giác MAC nên IP/ /AC (2)

I E

F M

C

D

P

Từ (1) và (2) suy ra ba điểm E,F,P thẳng hàng

c) MAF DBA g gnên MF AD

FA  AB không đổi d) Nếu 9

16

PD

9 16

PD PB

Nếu CPBDthì CBD DCP g g( ) CP PB

PD CP

Do đó: 2

CP PB PD hay  2 2

2,4 9.16k  k 0,2

9 1,8

16 3, 2

5



Chứng minh BC2 BP BD 16

Do đó BC4cm; CD3cm

Bài 5

a) Ta có: 2008 2010  2008   2010 

2009 2011  2009  1 2011 1

Vì 2008    2007 

2009  1 2009 1 2009 

2010

 chia hết cho 2010 (1)

Vì 2010    2009 

2011  1 2011 1 2011 

2010

 chia hết cho 2010 (2)

Từ (1) và (2) ta có đpcm

b)

 

2

1

0

0

1

0 2

y x xy

Vì x1;y 1 xy 1 xy 1 0 (2)

BĐT (2) đúng nên BĐT (1) đúng Dấu " " xảy ra khi x y