Tổng hợp các đề ôn thi HSG Toán lớp 8 với lời giải chi tiết

(a b).. Trên cạnh BC lấy điểm E và trên tia đối của tia DC lấy điểm F sao cho BE = DF. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Chứng minh rằng tứ giác MNPQ là hình bình hành.. Trên cạnh BC lấy[r]

2 Cho tam giác ABC vuông tại A, đường phân giác BD Qua D kẻ đường thẳng song song với

AB cắt BC tại E Gọi F là giao điểm của AE và BD

a) Chứng minh rằng đường thẳng CF đi qua trung điểm của AB

b) Tính độ dài đoạn thẳng DE, biết AD = 3cm, DC = 5cm

Bài 6: (4 điểm)

Cho hình bình hành ABCD Tia phân giác góc A cắt các tia phân giác góc B và góc D thứ tự

ở E và F; Tia phân giác góc C cắt các tia phân giác của góc B và góc D thứ tự ở H và G

a) Chứng minh rằng tứ giác EFGH là hình chữ nhật



- HẾT -

(Giám thị không giải thích gì thêm)

2.1b)

Vì 64n – 5n 64 – 5 59 nên 8(64n – 5n) 59 và 59.5n 59 với mọi số tự nhiên n

Do đó D = 5n + 2 + 26.5n + 82n + 1 chia hết cho 59 với mọi số tự nhiên n

0,75 0,5 0,25

2.2

Ta có n5 + 1 n3 + 1  n2(n3 + 1) – (n5 + 1) n3 + 1  n2 – 1 n3 + 1

 (n3 + 1) – n(n2 – 1) n3 + 1  n + 1 n3 + 1  1 n2 – n + 1

 2

Phương trình (1) có nghiệm duy nhất

Phương trình (*) có nghiệm duy nhất khác – 1 và 0

Dấu “=” xảy ra khi x2 + 5x = 0  x = 0 hoặc x = – 5

Vậy khi x = 0 hoặc x = – 5 thì biểu thức Q đạt GTLN bằng 2055

0,25 0,25 0,25

Bài 5:(4 điểm)

1 Cho tam giác ABC, ba đường phân giác AM, BN, CP đồng quy tại I

Chứng minh rằngMB NC PA IM IN IP

MC NA PB  AMBN CP

2.Cho tam giác ABC vuông tại A, đường phân giác BD Qua D kẻ đường thẳng song song với

AB cắt BC tại E Gọi F là giao điểm của AE và BD

a) Chứng minh rằng đường thẳng CF đi qua trung điểm của AB

b) Tính độ dài đoạn thẳng DE, biết AD = 3cm, DC = 5cm

AM  S Tương tự IAC

ABC

S IN

BN  S ; IAB

ABC

S IP

CP  S

ABC ABC ABC ABC

N

M

A

Giả sử tia CF cắt AB tại M và cắt DE tại N

Áp dụng định lí Ta-lét vào tam giác CAM có DN // AM CN ND

Cho hình bình hành ABCD Tia phân giác góc A cắt các tia phân giác của góc B và góc D thứ

tự ở E và F; Tia phân giác góc C cắt các tia phân giác của góc B và góc D thứ tự ở H và G

a) Chứng minh rằng tứ giác EFGH là hình chữ nhật

Chứng minh tương tự cũng được NH // DC (2)

Vì M và N thứ tự là trung điểm của AD và BC

 MN là đường trung bình của hình bình hành ABCD

Mà  2

EFGH

a bS



0,25 0,25

0,25 0,25

c) Chứng minh rằng nếu p là số nguyên tố lớn hơn 3 thì F = p4 + p2 – 2 chia hết cho 72

Bài 3: (4 điểm)

a) Giải phương trình x 1 x 22 x 15 6

b) Xác định m để phương trình x2 – 2mx + m + 2 = 0 có nghiệm duy nhất

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức G = x2 + y2 + xy + x + y

1 Cho hình thang ABCD (AB // CD) Gọi O là giao điểm của AC và BD Tính diện tích hình

thang ABCD, biết SAOB = 36cm2 và SCOD = 81cm2

2 Cho hình vẽ:

- HẾT -

(Giám thị không giải thích gì thêm)

P N

Các tứ giác ABCD; EFGH đều là hình bình hành

Các điểm M, N, P, Q thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳng AE, BF, CG, DH

Chứng minh rằng tứ giác MNPQ là hình bình hành

ĐỀ SỐ 2

(Thời gian làm bài 150 phút)

HƯỚNG DẪN CHẤM Bài 1: (4 điểm)

0,5 0,5

Bài 2: (4 điểm)

a) Chứng minh rằng với *

n thì E = n4 + 6n3 + 11n2 + 6n không là số chính phương b) Tìm các số tự nhiên x và y thỏa mãn 1 + 3x = 4y

c) Chứng minh rằng nếu p là số nguyên tố lớn hơn 3 thì F = p4 + p2 – 2 chia hết cho 72

Ta có m2 < m2 + 2m < (m + 1)2 với mọi m nguyên dương

Vậy E = m2 + 2m không thể là số chính phương với mọi m nguyên dương

0,25

0,25 0,25 0,25

2b)

Bài 3: (4 điểm)

a) Giải phương trình x 1 x 22 x 15 6

b) Xác định m để phương trình x2 – 2mx + m + 2 = 0 có nghiệm duy nhất

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức G = x2 + y2 + xy + x + y

0,25 0,25 0,25

3b)

Ta có x2 – 2mx + m + 2 = 0

F A

C B

D

E

Mà BAEEAD900 nên DAF EAD 900 hay EAF900

Vậy tam giác AEF vuông cân tại A

0,75

0,75

4b)

AEF

 vuông cân tại A có AH là đường cao

 AH đồng thời là đường trung tuyến

Ta lại có BA = BC, DA = DC (vì ABCD là hình vuông)

 3 điểm B, D, H thuộc đường trung trực của đoạn AC

Vậy 3 điểm B, D, H thẳng hàng

0,5

0,5 0,5

Bài 5: (3 điểm)

1 Cho hình thang ABCD (AB // CD) Gọi O là giao điểm của AC và BD Tính diện tích hình

thang ABCD, biết SAOB = 36cm2 và SCOD = 81cm2

2 Cho hình vẽ:

P N

Chứng minh rằng tứ giác MNPQ là hình bình hành

Tương tự như trên ta được JP / /FG và JP 1FG

ĐỀ SỐ 3

(Thời gian làm bài 150 phút)

Bài 1: (4,0 điểm)

a) Cho biểu thức A = 5n3 + 2017n, với n  Chứng minh A chia hết cho 6

b) Cho biểu thức P = 4n2 – n + 6 Tìm các số nguyên n để P là số chính phương c) Tìm các cặp số nguyên (x ;y) thỏa mãn đẳng thức 2x2 + y2 = 2(xy + x + 2)

Bài 2: (6,0 điểm)

a) Phân tích đa thức x5 + x – 1 thành nhân tử

b) Cho x > y > 0 thỏa mãn 3x2 + 3y2 = 10xy Tính giá trị biểu thức

2 2

c) Cho hai đa thức P(x) = x4 + x3 – x2 + ax + b và Q(x) = x2 + x – 2 Xác định các

hệ số a và b để đa thức P(x) chia hết cho đa thức Q(x)

Cho đoạn thẳng AB, điểm C nằm giữa hai điểm A và B Trên cùng nửa mặt phẳng

bờ AB, vẽ các tam giác đều ACD và BCE

Vì n(n – 1)(n + 1) là tích của ba số nguyên liên tiếp

 n(n – 1)(n + 1) chia hết cho 2 và 3, mà 2 và 3 là hai số nguyên tố cùng nhau

nên n(n – 1)(n + 1) chia hết cho tích 2.3 = 6

Ta lại có 6n3 và 2016n đều chia hết cho 6 với mọi số nguyên n

Vì P là số chính chính phương, đặt 4n2 – n + 6 = m2 (với m là số tự nhiên)

 (3x2 – 9xy) + (3y2 – xy) = 0

 3x(x – 3y) – y(x – 3y) = 0

Vậy: minA = 2.10092, đạt được khi x  1009

1,0 0,5 b) (1,5 điểm)

Mẫu các phân số ở vế trái có dạng tổng quát (2n + 1)2 với n nguyên dương

DAC  ACD  CDA  60

EBC  BCE  CEB  60

K H

F

E

D

 AE = DB 0,5 b) (2,0 điểm)

Bài 5

Hình vẽ đúng

0,5

Gọi H là trung điểm của AE, mà F là trung điểm của BE nên HF là đường trung

bình của tam giác AEB  HF // AB và 1

Tam giác DAF có AE DF và FHAD nên H là trực tâm của tam giác DAF

 DH là đường cao thứ ba của tam giác DAF hay DHAF (2)

ĐỀ SỐ 4

(Thời gian làm bài 150 phút)

Bài 1: (4,0 điểm)

a) Chứng minh đa thức x50 + x10 + 1 chia hết cho đa thức x20 + x10 + 1

b) Cho biểu thức P = n2 + 2n – 3 Tìm các số nguyên n để P là số nguyên tố

c) Tìm các cặp số nguyên (x ;y) thỏa mãn đẳng thức 3x2 – y2 + 2xy + 4x + 8 = 0

Bài 2: (6,0 điểm)

a) Phân tích đa thức x3 + y3 + 3xy – 1 thành nhân tử

b) Cho x, y > 0 thỏa mãn x3 + y3 + 1 = 3xy Tính Q = x2017 + y2018

c) Xác định các hệ số a và b để đa thức x4 + 4 chia hết cho đa thức x2 + ax + b

ADE 15  Tính số đo của góc ECD

2) Cho tứ giác ABCD có A C 900 Gọi H và K thứ tự là hình chiếu vuông góc của B và D lên đường chéo AC Chứng minh rằng AK = CH

3) Cho tam giác ABC (AB < AC) Điểm D chuyển động trên cạnh AB và điểm E

chuyển động trên cạnh AC sao cho BD = CE Chứng minh rằng trung điểm F của DE thuộc một đoạn thẳng cố định

-Hết -

(Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm)

Vậy có 4 cặp số nguyên (x ;y) cần tìm là (-2 ;-6), (1 ;-3), (-2 ;2), (1 ;5)

Bài 3

a) (1,5 điểm)

Ta có A = (x2 + 2x + 4)(x2 + 2x – 1)

A = (x2 + 2x + 1 + 3)(x2 + 2x + 1 – 2)

A = (y + 3)(y – 2) = y2 + y – 6  -6 (vì y  0)

Dấu “=” xảy ra khi y = 0  (x + 1)2 = 0  x = -1

Vậy min A = -6, đạt được khi x = -1

0,5 0,5

Bài 4

Trên cạnh AB lấy điểm F sao cho DF = DC Kẻ FH CD

Tứ giác AFHD là hình chữ nhật (vì 0

A    D H 90 )  FH = AD

Vì ABCD là hình chữ nhật nên AB = CD, mà AB = 2AD nên DF = 2FH

Tam giác DFH vuông tại H có DF = 2FH nên 0

FDH  30

Ta lại có tam giác CDF cân tại D nên 0

FCD  75

Vì ADE 15  0nên EDC  750

Tứ giác EFCD có EF // CD và EDC  0

FCD  75

 EFCD là hình thang cân

 CE = DF, mà DF = DC nên CE = DC

Do đó tam giác CDE cân tại C, có 0

EDC  75 nên ECD  300

0,5 0,5 0,5 0,5

2) (2,5 điểm)

Hình vẽ đúng

0,5

Vẽ đường cao AE của tam giác ABC cắt đường cao BH tại điểm F

 F la trực tâm của tam giác ABC

 CF là đường cao thứ ba của tam giác ABC hay CFAB

Ta có AF // DC (cùng vuông góc với BC), CF // DA (cùng vuông góc với AB)

Vì AB < AC nên trên cạnh AC tồn tại điểm G sao cho CG = AB Gọi M và Q thứ

tự là trung điểm của BC và AQ

Vì BD = CE nên khi DB thì E C và FM

Vì BD = CE nên khi DA thì E G và FQ

Vì tam giác ABC cố định nên đoạn thẳng MQ cố định

Ta chứng minh điểm F thuộc đoạn thẳng MQ Thật vậy :

Gọi N và P thứ tự là trung điểm của BE và BG

 MN là đường trung bình của BCE ; MP là đường trung bình của BCG

 MN // CE và MN =CE

2 ; MP // CG và MP =

CG

2

Vì ba điểm C, E, G thẳng hàng nên ba điểm M, N, P thẳng hàng

Ta cũng có NF là đường trung bình của BED ; PQ là đường trung bình của 

Mà ba điểm M, N, P thẳng hàng nên ba điểm M, F, Q thẳng hàng

Vậy trung điểm F của DE thuộc đoạn thẳng MQ cố định

N P

Q

M

F

E G

A

D

1) Cho tam giác ABC vuông cân tại A Trên các cạnh AB, AC lấy các điểm D và E

sao cho AD = AE Đường thẳng qua A và vuông góc với BE cắt BC tại M ; Đường thẳng qua D và vuông góc với BE cắt BC tại N Chứng minh rằng M là trung điểm của CN

2) Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) Về phía ngoài tam giác, vẽ tam giác ABD

vuông cân tại B và tam giác ACE vuông cân tại C Gọi H và K thứ tự là hình chiếu của D

Vậy có 4 cặp số nguyên (x ;y) cần tìm là (-2 ;-6), (1 ;-3), (-2 ;2), (1 ;5) 0,5

Bài 3

a) (1,5 điểm)

Ta có A = (x2 + 2x + 4)(x2 + 2x – 1)

A = (x2 + 2x + 1 + 3)(x2 + 2x + 1 – 2)

A = (y + 3)(y – 2) = y2 + y – 6  -6 (vì y  0)

Dấu “=” xảy ra khi y = 0  (x + 1)2 = 0  x = -1

Vậy min A = -6, đạt được khi x = -1

0,5 0,5

Bài 4

Trên cạnh AB lấy điểm F sao cho DF = DC Kẻ FH CD

Tứ giác AFHD là hình chữ nhật (vì 0

A    D H 90 )  FH = AD

Vì ABCD là hình chữ nhật nên AB = CD, mà AB = 2AD nên DF = 2FH

Tam giác DFH vuông tại H có DF = 2FH nên 0

FDH  30

Ta lại có tam giác CDF cân tại D nên 0

FCD  75

Vì ADE 15  0nên EDC  750

Tứ giác EFCD có EF // CD và EDC  0

FCD  75

 EFCD là hình thang cân

 CE = DF, mà DF = DC nên CE = DC

Do đó tam giác CDE cân tại C, có 0

EDC  75 nên ECD  300

0,5 0,5 0,5 0,5

2) (2,5 điểm)

Hình vẽ đúng

0,5

Vẽ đường cao AE của tam giác ABC cắt đường cao BH tại điểm F

 F la trực tâm của tam giác ABC

 CF là đường cao thứ ba của tam giác ABC hay CFAB

Ta có AF // DC (cùng vuông góc với BC), CF // DA (cùng vuông góc với AB)

Vì AB < AC nên trên cạnh AC tồn tại điểm G sao cho CG = AB Gọi M và Q thứ

tự là trung điểm của BC và AQ

Vì BD = CE nên khi DB thì E C và FM

Vì BD = CE nên khi DA thì E G và FQ

Vì tam giác ABC cố định nên đoạn thẳng MQ cố định

Ta chứng minh điểm F thuộc đoạn thẳng MQ Thật vậy :

Gọi N và P thứ tự là trung điểm của BE và BG

 MN là đường trung bình của BCE ; MP là đường trung bình của BCG

 MN // CE và MN =CE

2 ; MP // CG và MP =

CG

2

Vì ba điểm C, E, G thẳng hàng nên ba điểm M, N, P thẳng hàng

Ta cũng có NF là đường trung bình của BED ; PQ là đường trung bình của 

Mà ba điểm M, N, P thẳng hàng nên ba điểm M, F, Q thẳng hàng

Vậy trung điểm F của DE thuộc đoạn thẳng MQ cố định

N P

Q

M

F

E G

A

D

ĐỀ SỐ 6

(Thời gian làm bài 150 phút)

Bài 1: (4,0 điểm)

a) Chứng minh tồn tại số tự nhiên gồm toàn chữ số 1 chia hết cho 2017

b) Cho biết abc là số nguyên tố Chứng minh M = b2 – 4ac không thể là số chính phương c) Tìm tất cả các hình chữ nhật có kích thước là số nguyên và số đo diện tích bằng số đo chu vi

Xác định các hệ số a và b để đa thức P(x) chia hết cho đa thức Q(x)

c) Cho x là số thực thỏa mãn x2 – x – 1 = 0 Tính giá trị của biểu thức S = x8 – 21x

Bài 3: (3,0 điểm)

a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = (x2 – 2x + 3)(x2 – 2x + 5) – 7

b) Cho a, b, c là các số dương Chứng minh rằng: a b c 3

b) DE cắt OB tại M ; DF cắt OC tại N Tam giác MON là tam giác gì ? Vì sao ?

Bài 5: (3,5 điểm)

Cho tứ giác ABCD có 0

A C 90 Gọi O là giao điểm của AC và BD ( 0

AOB90 và

BC < AD) Gọi H và K thứ tự là hình chiếu vuông góc của C và D lên BD và AC

Chứng minh rằng:

a) HK song song với AB

b) AC.BD = AB.CD + AD.BC

-Hết -

(Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm)

Nếu trong dãy số trên có một số chia hết cho 2017 thì bài toán được giải xong

Nếu trong dãy số trên không có số nào chia hết cho 2017 thì ta chia lần lượt 2017

số đó cho 2017 ta được 2017 số dư tương ứng nhận 2016 giá trị từ 1 đến 2016

Như vậy có ít nhất 2 phép chia có cùng số dư

4.abc 20ab  b 4ac

Giả sử M = b2 – 4ac là số chính phương, đặt b2 – 4ac = k2 (k  , b > k)

4.abc 20ab k  20a b k 20a b k

Dễ thấy 20a + b + k > 20a + b – k > 20a  20

Mặt khác abc 100a 10b c 20a b k      (vì b > k)

Điều này vô lí, vì abc là số nguyên tố nên 4 abc không thể có hai ước

20a + b + k ; 20a + b – k mà abc > 20a + b + k > 20a + b – k > 20

Vậy M = b2 – 4ac không thể là số chính phương

0,5 0,25 0,5 0,5 0,25

c) Gọi x, y là các kích thước của hình chữ nhật (x, y nguyên dương và x  y)

Dễ thấy x = 0 không phải là nghiệm của phương trình (*)

Chia mỗi phân thức ở vế trái của (*) cho x  0 ta có:

Bài 3

a) Biểu thức A xác định với mọi số thực x

Đặt t = x2 – 2x + 1 = (x – 1)2  0, khi đó ta có:

A = (t + 2)(t + 4) – 7 = t2 + 6t + 1  1 (vì t  0)

Dấu “=” xảy ra khi t = 0  (x – 1)2 = 0  x = 1 (thỏa mãn)

Vậy minA = 1 đạt được khi x = 1

0,5 0,5 0,25 0,25

a) Chứng minh rằng DA là tia phân giác của góc EDF

Vì O là giao điểm các đường trung trực của các cạnh của tam giác ABC

Ta có DE = DB  DBE cân tại D

 DBEDEB B1B2 A1ADE, mà A1B2nên B1 ADE (1)

Ta có DF = DC  DCF cân tại D

 DCFDFC C1C2 A2ADF, mà C1 A2nên C2 ADF (2)

Mà B1 C2nên từ (1) và (2) ADEADF

Vậy DA là tia phân giác của góc EDF

0,25 0,25

0,75 0,25

0,25 0,5 0,25 b) DE cắt OB tại M ; OF cắt OC tại N Tam giác MON là tam giác gì ? Vì sao ?

Theo câu a) ta có : B1 ADE

N M

F E

D

O

A

Bài 5

1,0 1,0 0,25 0,25

a) Chứng minh HK song song với AB

Gọi E là giao điểm của hai đường thẳng AB và CD

 OHK ഗ OCD (c-g-c) OKHODC (2)

Từ (1) và (2) EACOKH, mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên HK // AB

b) Chứng minh AC.BD = AB.CD + AD.BC

Ta có EACEDB (câu a) ; EACADK (cùng phụ với KAD ) ADK EDB

 CBD ഗ KAD (g-g)  BC BD AD.BC BD.AK

AK  AD  (3) Tương tự ABD ഗ KCD (g-g)  AB BD AB.CD BD.KC

C

ĐỀ SỐ 7

(Thời gian làm bài 150 phút)

Bài 1: (4,0 điểm)

a) Chứng minh rằng A = n3 + 2015n chia hết cho 6 với mọi số nguyên n

b) Cho 10 số nguyên dương a1, a2, a3, ., a10 thỏa mãn đẳng thức sau :

Bài 3: (4,0 điểm)

a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = (x + 1)2 + (x + 3)2

b) Cho a > b > 0, thỏa mãn 2a2 + 2b2 = 5ab Tính

 

29a 11bM

Bài 4: (3,0 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD Kẻ AH vuông góc với BD (HBD)

a) Tính chu vi và diện tích hình chữ nhật ABCD, biết BH = 16cm và DH = 9cm b) Gọi M, N thứ tự là trung điểm của DH và BC Tính số đo của góc AMN

Bài 5: (5,0 điểm) Cho hình vuông ABCD Trên cạnh BC lấy điểm E và trên tia đối của tia DC

lấy điểm F sao cho DF = BE Đường thẳng qua A và vuông góc với EF cắt CD tại K Đường thẳng qua E và song song với AB cắt AK tại I

a) Tam giác AEF là tam giác gì ? Vì sao ?

b) Chứng minh tứ giác IEKF là hình thoi

c) Chứng minh chu vi tam giác CEK bằng nửa chu vi hình vuông ABCD

d) Chứng minh đường chéo BD của hình vuông ABCD đi qua trung điểm của EF

-Hết -

(Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm)

Vì n(n + 1) là tích của 2 số nguyên liên tiếp nên n(n + 1) 2  (n – 1)n(n + 1) 2

Vì (n – 1)n(n + 1) là tích của 3 số nguyên liên tiếp nên (n – 1)n(n + 1) 3

Do 2 và 3 nguyên tố cùng nhau nên (n – 1)n(n + 1) chia hết cho 2.3 = 6

0,5 0,5

0,5 b) Ta có a13a32 a33 a34  a35 a103

         (2) Theo câu a) thì 3    

Từ (1) và (3) suy ra S = a1 + a2 + a3 + + a10 chia hết cho 2

Ta lại có S = a1 + a2 + a3 + + a10 > 2 (vì a1, a2, a3, , a10 nguyên dương)

ab  a  b Đặt x6 =  2  3

ab  a  b  x3 = ab và x2 = a + b

Vì 10ab99 nên 10x3 99, mà x là số tự nhiên nên x    3;4

Với x = 3 thì

3 2

chia cho x – 3 thì dư – 5

Theo đề ta có

3 3

Vì 2(x – 1)2  0 với mọi x nên A  8 với mọi x

Dấu “=” xảy ra khi 2(x – 1)2 = 0  x = 1

Vậy minA = 8, đạt được khi x = 1

0,5

0,5 0,5 b) Ta có 2a2 + 2b2 = 5ab