Đề thi vào lớp 10 chuyên Toán Sở Giáo dục và Đào tạo Ninh Bình năm 2020

Chứng minh rằng P là một số tự nhiên. a) Chứng minh rằng tứ giác AOBQ nội tiếp đường tròn... LỜI GIẢI CHI TIẾT BIÊN SOẠN BỞI THUVIENTOAN.NET Câu 1.[r]

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NINH BÌNH NĂM HỌC: 2020-2021

Môn thi Toán chuyên; Ngày thi 18/7/2020

Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian phát đề

Câu 1 (2,0 điểm)

a) Cho 2 2  2 2

P a a a  a với a   Chứng minh rằng P là một số tự nhiên

b) Tính giá trị của biểu thức 2 1: 1 1

1

x A

      với x  4 2 3.

Câu 2 (2,0 điểm)

a) Cho phương trình x22mx2m   Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt 1 0 x1, x2 với x1x2

thỏa mãn 2

4x x

b) Giải hệ phương trình:

10



  



Câu 3 (1,5 điểm)

a) Tìm tất cả các số nguyên n sao cho 2

2022

n  là số chính phương

b) Giải bất phương trình x 1 4 x 1

Câu 4 (3,0 điểm)

Cho đường tròn  T tâm O và dây cung AB cố định với OAB Gọi P là điểm di động trên AB sao cho P

khác A B và , P khác trung điểm của AB Đường tròn  T1 tâm C đi qua P và tiếp xúc với đường tròn  T tại

A Đường tròn  T2 tâm D đi qua P và tiếp xúc với đường tròn  T tại B Hai đường tròn  T1 và  T2 cắt nhau tại N với N khác B Gọi  d1 là tiếp tuyến chung của  T và  T1 tại A ,  d2 là tiếp tuyến chung của

 T và  T2 tại B Gọi Q là giao điểm của  d1 và  d2

a) Chứng minh rằng tứ giác AOBQ nội tiếp đường tròn

b) Chứng minh rằng ANPBNP và bốn điểm O C D N cùng nằm trên một đường tròn , , ,

c) Chứng minh rằng đường trung trực của ON luôn đi qua một điểm cố định khi P di chuyển trên AB với P

khác A B và , P khác trung điểm của AB

Câu 5 (1,5 điểm)

a) Cho a b c là các số thực dương thỏa mãn , , a2b2  b2c2 c2a2  2021 Chứng minh rằng:

1 2012

b cc aa b

b) Với số thực a, ta định nghĩa phần nguyên của a là số nguyên không vượt quá a và kí hiệu là  a Dãy số

0, 1, 2, , n

x x x x được định nghĩa bởi công thức: 1

n

x     

    Hỏi trong 200 số x0, x1, , x199 có bao nhiêu số khác không Biết rằng 1, 41 21, 42

thuvientoan.net

LỜI GIẢI CHI TIẾT BIÊN SOẠN BỞI THUVIENTOAN.NET Câu 1

a) Ta có

2

Mặt khác

2

a   a a   



P a  a a    a

Mà a   P 

b) Với x 0 và x  ta có: 1,

2

1

A

x

x x





Do đó A 1

x x

 Với x  4 2 3, ta có:

Vậy

1

3 1

A 



Câu 2

a) Phương trình đã cho luôn có nghiệm x 1 Theo định lý Viete ta có: 1 2

1 2

2

  





 Xét trường hợp 1: x1 1 x2 2m 1

2

3

2 2

1

2 2





   



Ta nhận 3

2

m  vì x1x2

 Xét trường hợp 1: x2  1 x1 2m 1

x x  m    m x  Ta nhận 5

8

m  vì x1x2

Vậy 3

2

m  hoặc 5

8

m  là các giá trị cần tìm

b) Phương trình thứ nhất của hệ tương đương:

x y

 



   



Với x y, thay vào phương trình thứ hai ta được: 2 5 5 5

y



  



Với x 2y thay vào phương trình thứ hai ta được: 1,

    





     



Vậy hệ phương trình cho có nghiệm  ;   5; 5 ,  5; 5 ,  3;1 , 23; 9

x y       

Câu 3

a) Đặt m2 n22022 với m   Khi đó phương trình tương đương: m2n2 2022

Ta có 2022 2 nên  2 2

2

m n  suy ra m n, cùng tính chẵn lẽ Do đó mn và m đều chia hết cho n 2

m n  mn mn suy ra  2 2

4

m n  Mà 2022 không chia hết cho 4

Do đó không tồn tài m n, thỏa mãn 2 2

2022

m n  Suy ra không tồn tại n để 2

2022

n  là số chính phương

b) Điều kiện: 1   x 4

Với 3  ta có: x 4, x  1 2 và 0  4  x 1 Suy ra x 1 4 x 1

Với    ta có: 1 x 3, x  1 2 và  4  x 1 Suy ra x 1 4 x 1

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S   1;3 

Câu 4

a) Do QA QB lần lượt là tiếp tuyến của ,  O nên   0

90

QAOQBO

Suy ra tứ giác AOBQ nội tiếp đường tròn đường kính QO

b) Gọi H là giao điểm của QO và AB

Tam giác QAO và QBO bằng nhau theo trường hợp (c-c-c) nên QOAQBO.

Suy ra tam giác HOA bằng tam giác HOBHAOHBO.

Hay PACPBD.

Ta có 



 0

2

ACP ANP  PAC Tương tự 



 0

2

BDP

thuvientoan.net

Do  T và  T1 tiếp xúc nhau tại A nên O A C thẳng hàng , ,

Tương tự O B D thẳng hàng , ,

Tam giác CAP cân tại C và tam giác OAB cân tại O nên ta có: CAPOABOBA.

Suy ra CP OB

Tương tự ta cũng chứng minh được DP OA

Do đó OCPD là hình bình hành, suy ra CODCPD.

Mặt khác hai tam giác CND và CPD bằng nhau theo trường hợp c-c-c nên CNDCPD.

Suy ra CODCND hay O C N D cùng nằm trên một đường tròn , , ,

c) Do OCPD là hình bình hành suy ra OCDPDN hay OCND

Mà tứ giác OCDN nội tiếp nên OCDN là hình thang cân, suy ra ON CD

Mặt khác  T1 và  T2 cắt nhau tại P N nên , CDPN, do đó ON NP tại N

Gọi N1 là giao điểm của QP với   2

T QA QP QN

Gọi N2 là giao điểm của QP với   2

T QB QP QN

Từ đó suy ra N1N2 N hay Q P N thẳng hàng , ,

Do đó  0

90

ONQ  Suy ra N thuộc đường tròn đường kính OQ

Suy ra trung trực của ON đi qua trung điểm T cố định của OQ

T H

Q

N D C

O

B

Câu 5

a) Đặt

P

Q

Suy ra:

Đặt x b c y,  c a z,   Khi đó ta có: a b

y x z z y x x z y yz zx xy  

Áp dụng bất đẳng thức m2n2p2mnnppm, ta có:

x  y  z  x  y  y  z  z  x   

Từ đó suy ra P  hay Q 0 PQ

Khi đó ta có:

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwars, ta có:

2

2021

Suy ra:

(2)

Từ (1) và (2) suy ra: 1 2021

1 2021

b cc aa b

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1 2021

a  b c

Ta có điều phải chứng minh

b) Với mọi a 0 và 0 x 1 thì a   x a 1  a  hoặc 1 a x  a

n

x     

    chỉ nhận giá trị 0 hoặc 1.

Ta có:

199

0

k k

x



                   

                 

          

                 



Với mỗi x chỉ nhận giá trị 0 hoặc 1 mà có tổng 200 số x , x, , x là 141 nên suy ra có 141 số 1