Trong chuyên đề này, thuvientoan.net xin giới thiệu đến các bạn một số bài toán hình học áp dụng bổ đề quen thuộc này.. Vẽ đường kính AD Chứng minh rằng BHCD.[r]
Trang 1Chuyên đề Hình học lớp 9
MỘT SỐ BÀI TOÁN ỨNG DỤNG BỔ ĐỀ VỀ HÌNH BÌNH HÀNH
thuvientoan.net
I Mở đầu
Trong chương trình Trung học cơ sở, cụ thể là môn Hình học lớp 9, chắc hẳn bạn đọc đã quen thuộc với bài toán sau:
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn , O có H là trực tâm Vẽ đường kính AD Chứng minh rằng BHCD
là hình bình hành
Nhận xét đây là bài toán quá quen thuộc, có thể các bạn đã biết được nhiều cách chứng minh, tuy nhiên việc áp dụng nó vào các bài toán khác không hẳn là dễ Trong chuyên đề này, thuvientoan.net xin giới thiệu đến các bạn một số bài toán hình học áp dụng bổ đề quen thuộc này
II Chứng minh bổ đề
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn O có , H là trực tâm Vẽ đường kính AD Chứng minh rằng BHCD
là hình bình hành
Chứng minh
Do ADlà đường kính của O nên ACD 90 0
Suy ra DCAC mà BH AC Nên BHAC
Tương tự ta cũng chứng minh được CHDB
Từ đó suy ra tứ giác BHCD là hình bình hành
Nhận xét: Khi đó gọi M là trung điểm của BC ta cũng có M là trung điểm HD
III Bài toán áp dụng
Bài 1 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn O có , H là trực tâm, M là trung điểm của BC Đường thẳng
qua H vuông góc với HM cắt AB AC, tại E D, Chứng minh H là trung điểm của DE
Lời giải
Vẽ đường kính AK Khi đó H M K, , thẳng hàng
Các tứ giác HDBK HECK, nội tiếp
Khi đó KDH KBH và KEH.KCH
Tứ giác HKBC là hình bình hành nên KBH KCH
Do đó KDH KEH Suy ra tam giác KDE cân tại K
Do vậy H là trung điểm của đoạn thẳng DE
M
F
E H
D
O
C B
A
E
D
M H
K
O
C B
A
Trang 2Bài 2 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn O đường cao , BD CE, cắt nhau tại H Đường tròn ngoại tiếp .
tam giác AED cắt O tại P Gọi M là trung điểm BC Chứng minh P H M, , thẳng hàng
Lời giải
90
ADH AEH nên tứ giác AEHD nội tiếp đường tròn đường kính AH
Suy ra đường tròn ngoại tiếp tam giác AED cũng chính là đường tròn đường kính AH
Suy ra APH 90 0
Gọi K là giao điểm của PH và O suy ra APK 900 hay AK là đường kính của O
Theo bổ đề trên ta có H M K, , thẳng hàng, suy ra P H M, , thẳng hàng
Bài 3 Cho tam giác nhọn ABC có ABAC, nội tiếp đường tròn O Gọi H là trực tâm của tam giác ABC
Gọi M là trung điểm BC, đường thẳng OM cắt các đường thẳng AB AC, lần lượt là tại P Q, Gọi N là trung điểm PQ. Chứng minh hai đường thẳng HM và AN cắt nhau tại một điểm nằm trên đường tròn O
Lời giải
Ta có AQPMQC (hai góc đối đỉnh)
Mà OM BC nên OMAH hay OQ AH
Suy ra MQCDAC Mà DACSBC nên AQPSBC Hay AQP.HBC
Chứng minh tương tự ta cũng chứng minh được APQHCB Do đó AQPHBC
Mà M là trung điểm của BC N, là trung điểm của PQ và BC PQ, là hai cạnh tương ứng nên BHM QAN Suy ra BMH QNA
D P
E
M H
K
O
C B
A
Trang 3Gọi E là giao điểm của MH và AN .
Kẻ đường kính AXcủa đường tròn .O Từ đó suy ra tứ giác BHCX là hình bình hành
Suy ra M H X, , thẳng hàng
Mà MEN 900 suy ra XEA 90 0
Do đó E thuộc đường tròn O
Bài 4 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn O có , H là trực tâm, G là trọng tâm
a) Chứng minh G H O, , thẳng hàng
b) Chứng minh GH2GO
Lời giải
Vẽ đường kính AD, khi đó ta có tứ giác BHCD là hình bình hành
Gọi M là trung điểm của BC, suy ra M cũng là trung điểm của HD
Do G là trọng tâm tam giác ABC nên AG2GM
Tam giác AHD có AM là trung tuyến và AG2GM nên G cũng là trọng
tâm tam giác AHD
Mà HO là trung tuyến của tam giác AHD nên G thuộc HO và GH 2GO
Nhận xét: Đường thẳng này đi qua H G O, , còn gọi là đường thẳng Euler
của tam giác ABC
Trong chuyên đề tiếp theo, chúng ta sẽ tiếp túc khai thác một số tính chất của đường thẳng Euler!
E
N P
Q
M H
X
O
C B
A
G
M
F
E
H
D
O
C B
A
Trang 4IV Các bài tập tự luyện
Bài 1 Cho tam giác ABC có các đường cao BD CE, cắt nhau tại H Gọi P là giao điểm của DE và BC, M
là trung điểm của BC Chứng minh MH AP
Bài 2 Cho tam giác ABC có A B C lần lượt là trung điểm của 1, 1, 1 BC CA AB, , Chứng minh rằng đường thẳng Euler của hai tam giác ABC và A B C trùng nhau 1 1 1