[r]
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TỈNH ĐỒNG NAI
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2018-2019
MÔN THI: TOÁN Ngày thi: 29/3/2019 Câu 1 (4,5 điểm)
1) Cho x y là nghiệm của hệ phương trình ; 1
x y m
x y m
(với m là tham số thực)
Tìm m để biểu thức Px2 8yđạt giá trị nhỏ nhất
2) Giải hệ phương trình
1 1
x y
x y
(với ,x y thuộc R)
Câu 2 (4,5 điểm)
1) Giải phương trình 4 3 2
x x x x x 2) Cho ba số thực dương a b c Chứng minh: , ,
3 4
b c a a b b c c a
Câu 3 (4,5 điểm)
1) Cho a b c là ba số nguyên khác 0 thỏa , , 1 1 1
a b c Chứng minh rằng : abc chia hết
cho 4
2) Tìm số các số nguyên dương không vượt quá 1000 nguyên tố cùng nhau với 999 Câu 4 (2 điểm)
là tổng của 99 số hạng và
2 3 4 100
B là tổng của 99 số hạng
Tính AB
Câu 5 (4,5 điểm)
Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (I) Gọi D E lần lượt là hai tiếp điểm , của AB AC với đường tròn , I Biết ba góc BAC ABC BCA, , đều là góc nhọn Gọi M và
N lần lượt là trung điểm của hai đoạn BC và AC
1) Chứng minh : 2AD ABACBC
2) Chứng minh rằng ba đường thẳng BI DE MN, , đồng quy
Trang 2Câu 1
1) Ta có:
m
Px y m m m m m
Dấu " " xảy ra khi 2m 2 0 m 1
Giá trị nhỏ nhất của P là – 12 khi m 1
2
2 1 1
x y xy
x y
Đặt x y S
xy P
Ta có:
2
2 2
3
2 2
2
2 3
2
2
1
1
2
2
1 1
1
2 2
1
2
1 1
S
S P
S P
S
P
S
S
P
S
0 1
1
x y y x
Vậy hệ phương trình có nghiệm x y; 0;1 ; 1;0
Trang 3Câu 2
1 Giải: 4 3 2
x x x x Với x0, * 0x 9 0 phương trình vô nghiệm
Với x0,chia hai vế của phương trình (*) cho x 2:
2
2 2
3
3 0
6 0
3 6
x
x
x x S
2 Ta có:
3 4
0
0
b a b c b c a c a
Luôn đúng vì , ,a b c là các số dương Dấu bằng xảy ra khi a b c
Câu 3
1 Ta có: 1 1 1
(1)
bc a b c
TH1:Nếu a là số nguyên chẵn, suy ra a b c 2, theo (1) suy ra : b c 2, Vậy abc 4
TH2: Nếu a là số nguyên lẻ Với b c là hai số lẻ thì , bc 2a b c 2, mà abc không chia hết cho 2 (vì a b c đều lẻ) Suy ra mâu thuẫn , ,
Trang 4+)Với b chẵn, mà a lẻ nên c chẵn, (vì bc chẵn nên a b cchẵn suy ra c chẵn, vì a lẻ), suy ra abc chia hết cho 4
+)Với c chẵn, tương tự abc chia hết cho 4
2) Gọi A là số các số nguyên dương không vượt quá 1000 Suy ra A1000
B là số các số nguyên dương không vượt quá 1000 mà không nguyên tố cùng nhau với
999
C là số các số nguyên dương không vượt quá 1000 nguyên tố cùng nhau với 999
Ta có: 9993 373
B=(số các số các số nguyên dương không vượt quá 1000 và chia hết cho 3) – (số các số các số nguyên dương không vượt quá 1000 và chia hết cho 37 mà không chia hết cho 3) +Số các số các số nguyên dương không vượt quá 1000 và chia hết cho 3 là:
999 3
1 333
3
+Số các số các số nguyên dương không vượt quá 1000 và chia hết cho 37 là
999 37
1 27
37
Số các số các số nguyên dương không vượt quá 1000 chia hết cho cả 37 và 3 (chia hết
cho 111) là: 999 111 1 9
111
Số các số các số nguyên dương không vượt quá 1000 và chia hết cho 37 mà không chia hết cho 3 là : 27 9 18
Suy ra B333 18 351. Vậy C A B 1000 351 649
Câu 4
2 1 2 3 2 3 4 3 98 99 98 99 100 99
1 2 3 4 99 99 100
Và B 2 3 4 100
Trang 5100 100 1 999
A B
Câu 5
a) Gọi F là tiếp điểm của BC với đường tròn (I)
Theo tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau ta có: AD AE BD; BF CE; CF
Suy ra: ABACBCADDB AECE BF CF AD AE2AD
b) Gọi S là giao điểm của BI và MN Ta cần chứng minh , , D E S thẳng hàng
Thật vậy:
Do MN là đường trung bình của tam giác ABC nên MN / /ABB2 BSM (so le trong)
và B2 B1BSM B1suy ra MBS cân tại M nên MBMS MC
Tam giác BSC có đường trung tuyến 1
2
SM BC nên tam giác BSC vuông tại S
Ta có:
Tứ giác IECF và IESC là các tứ giác nọi tiếp (đường tròn đường kính IC)
Nên 5 điểm , , , ,I E S C F cùng thuộc đường tròn đường kính IC
2 1 1
2
S N
M
D
E I
A
Trang 61 1 1 1
Lại có tam giác ADE cân tại A nên
0
0
180
Từ (1) và (2) suy ra SEC AEDmà A E C thẳng hàng nên , ,, , D E S thẳng hàng
Vậy ba đường thẳng BI DE MN đồng quy , ,