Đề thi học sinh giỏi Toán lớp 9 của Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Quảng Bình năm 2018- 2019

Hãy xác định các kích thước của hình chữ nhật MNPQ để nó có diện tích lớn nhất... Kết luận: Không tồn tại n thỏa yêu cầu bài toán.[r]

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TỈNH QUẢNG BÌNH

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2018-2019

MÔN THI:TOÁN Ngày thi : 14.03.2019 Câu 1 (2,5 điểm)

A

    với x0.Rút gọn và tìm giá trị lớn nhất của A

b) Không dùng máy tính cầm tay, hãy rút gọn biểu thức

Câu 2 (2,0 điểm)

a) Xác định các hệ số a b để hệ thức ,   4 3 2

P x x  x  x axblà bình phương của một đa thức

b) Giải phương trình: 3 4 x 4x  1 16x2 8x1 (1)

Câu 3 (2,5 điểm)

Cho đường tròn (O) và dây cung BC a không đổi OBC A là một điểm di

động trên cung lớn BC sao cho tam giác ABC có ba góc nhọn Các đường cao

, ,

AD BE CK cắt nhau tại H DBC E, AC K, AB

a) Trong trường hợp BHCBOC,tính AH theo a

b) Trong trường hợp bất kỳ, tìm vị trí của A để tích DH DA nhận giá trị lớn nhất

Câu 4 (1,0 điểm) Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho C2019n 2020là số chính phương

Câu 5 (1,0 điểm) Cho ba số thực dương , ,x y z thỏa mãn x   y z 2 xyz

Chứng minh rằng: x   y z 6 2 yz zx  xy

Câu 6 (1,0 điểm)

Cho tam giác vuông ABC có AB3,AC4,BC5.Xét các hình chữ nhật

MNPQ sao cho M N thuộc cạnh , BC P thuộc cạnh , AC Q, thuộc cạnh AB Hãy xác

định các kích thước của hình chữ nhật MNPQ để nó có diện tích lớn nhất

ĐÁP ÁN Câu 1

a) Với x0ta có:

  

 

  

1

A



Ta có:

2



   



Và  2

x     x x x   x

1

x

A  x

Vậy giá trị lớn nhất của A bằng 1 khi x1

)

b Ta có:

  

2

2

8 2 16 10 2 5 8 2 6 2 5 8 2 5 1 8 2 5 1

6 2 5

 

6 2 5 5 1( 0)

Câu 2

P x  x cxd x  cx  c  d  cdxd  x

Mà   4 3 2

P x  x  x  x axb

Do đó ta có hệ phương trình:

2

2

1

b

 



Vậy a 2,b1

b) ĐK: 1 3(*)

4 x 4



 

3 4 x  4x1  3 4x2 3 4 x 1 4 x  1 4x

4 2 3 4x 1 4x 4 3 4x 1 4x 2 (2)

16x 8x 1 2 4x 1 2(3)

Từ (2) và (3) ta có:

1

3 4

1 1

( (*))

4

x

x x

x



 



        

 



Vậy phương trình có nghiệm 1

4

x 

Câu 3

a) Xét tứ giác AKHE có K E 900 BACBHC1800mà BHCBOCvà

BOC  BAC BAC BAC

M

I

H

K

D

E O

B

C A

Kẻ đường kính BI suy ra tứ giác AICH là hình bình hành , AH CI(1)

Gọi M là trung điểm của BCIC2OM(2) (đường trung bình)

Từ (1) và (2) suy ra AH 2OM

Do M là trung điểm của BCOM BCOMlà tia phân giác của BOC

b) Ta có DBH DAC DB DH DA DH DB DC

Áp dụng bất đẳng thức  2

4

x y

xy 

 (Dấu " " xảy ra khi x y)

DB DC a

DA DH DB DC 

Dấu “=” xảy ra khi DBDChay D là trung điểm của BC

DA DH

 nhận giá trị lớn nhất là

2

4

a khi D là trung điểm của BC  ABCcân tại A  Alà điểm chính giữa của cung BC

Câu 4

Với mọi số tự nhiên a thì a khi chia cho 8 chỉ có các số dư là 0;1;4 2

Số 2019 chia 8 dư 3; 2020 chi 8 dư 42019n 3 (mod8)n

2 , 2019n 3 k mod8 5 mod8

n k k    C

Nên C không thể là số chính phương

-Nếu n lẻ thì n2k1,k 2019n 32k13.32k 3(mod8)Ckhông thể là

số chính phương

Kết luận: Không tồn tại n thỏa yêu cầu bài toán

Câu 5

   Khi đó x   y z 2 xyz   a b c 1

Và x 1 1 1 a b c,y c a,z a b

cyc

x y z



    

cyc

bc

Đẳng thức xảy ra khi a b c  hay x  y z 2

Câu 6

Gọi H K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên BC và PQ ,

Tam giác ABC vuông tại A nên . 12

5

AB AC AH

BC

Đặt PN x PQ,  y

CB  AH      

2 2

MNPQ

S x y x x   x  

Vậy giá trị lớn nhất của S MNPQbằng 3 khi 6

5

x và 5

2

y

K

M

P A

Q