Đề thi học sinh giỏi toán 9 Sở Giáo dục và đào tạo tỉnh Quảng Ngãi năm 2018 - 2019

Cx vuông góc với AB cắt nửa đường tròn (O) tại I. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp  AKD đi qua điểm[r]

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO

QUẢNG NGÃI

ĐỀ CHÍNH THỨC

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

LỚP 9 NĂM HỌC 2018-2019

MÔN TOÁN

Thời gian làm bài : 150 phút

Bài 1

a) Cho a b c là ba số nguyên thỏa mãn , , a  b c3 2018 c Chứng minh rằng

Aa  b c chia hết cho 6

b) Tìm các số nguyên dương ,x y thỏa mãn 4 x  1 3y

c) Cho B1.2.3 2.3.4 3.4.5    n n 1n2với n *.Chứng minh rằng

B không thể là số chính phương

Bài 2

a) Giải phương trình : 2  

3x 4x 11 2x5 3x7 b) Giải hệ phương trình:

5 6







Bài 3

a) Rút gọn biểu thức

 

2 2

2 1

1 1

x x



b) Cho các số thực a b c thỏa mãn , , a  b c 1.Tìm GTLN của Dabac

c) Với , ,x y z là độ dài ba cạnh của một tam giác

Chứng minh rằng y z xz x yx y zxyz

Bài 4 Cho tam giác ABC nhọn AB AC,đường phân giác AD D BC.Các điểm E và

F lần lượt chuyển động trên các caanhj AB AC sao cho , BECF.Trên cạnh BC lấy các điểm P và Q sao cho EP và FQ cùng song song với AD

a) So sánh BP và CQ

b) Chứng minh rằng trọng tâm G của tam giác AEF thuộc một đường thẳng cố định

Bài 5 Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB2 R Gọi C là trung điểm của AO, vẽ tia

Cx vuông góc với AB cắt nửa đường tròn (O) tại I Lấy K là điểm bất kỳ trên đoạn CI (K khác C và I), tia AK cắt nửa đường tròn (O) tại M, tia BM cắt tia Cx tại D Vẽ tiếp tuyến

với đường tròn  O tại M cắt tia Cx tại N

a) Chứng minh rằng KMN cân

b) Tính diện tích ABDtheo R khi K là trung điểm của CI

c) Khi K di động trên CL Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp AKDđi qua điểm

cố định thứ hai khác A

ĐÁP ÁN Bài 1

a  b c c   a b c c c c  cchia hết cho 6 Mặt khác  3 3 3              

a b c  a b c  a a a  b b b  c c c chia hết cho 6 Do đó Aa3  b3 c3chia hết cho 6

b) Xét x  1 y 1

Xét x2thì 4 8.x Nếu y chẵn , đặt y2k k  * 1 3y  1 9k 2 mod8 , vô lý

Nếu y lẻ, đặt y2k1k * 1 3y  1 9 3k 4 mod8 ,  vô lý

Vậy x y 1thỏa mãn bài toán

c) Ta có :

4B1.2.3.42.3.4 5 1 3.4.5 6 2  n n1 n2  n 3 n1 

n n n n n n n n n n n n n n

Mặt khác:

n  n  n  nn  n  n  n  n

n n B n n

Do đó B không thể là số chính phương

Bài 2

a) ĐKXĐ: 7

3

x  Phương trình tương đương

2

3 3 3 3 7 4 4 4 3 7 3 7 3 7 3 7 0

1 3 7 3 4 3 7 0

1

x

   



 



Xét

 2

3 7 4 3

3 5

2

x



  





Vậy 3;3 5

2

S   

b) Hệ phương trình   

  2

6

x y x y

x y x y



 



Đặt x y a

x y b

 



  

 ta có:

  2

1 5 6

ab









Nếu b  0 x y,vô nghiệm vậy b0ta có: ab2 6 a 62

b

   Thế vào a1b5được

2

7 3

1 2

2

4

5 6 0

11 2

7 3

3

6

x

x y

x

x y





 







Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm

Bài 3

a) Ta có

2

2

1

x x x x

b) Ta có:     2 1 2 1 1

2 4 4

Da bc a a     a a a   

GTLN của D là 1

4, đạt được khi và chỉ khi 1

3

a  b c

c) Vì , ,x y z là độ dài ba cạnh của tam giác nên y z x z;  x y x;   y z 0

Áp dụng BĐT Cô si ta có:

y z x z x y z

z x y x y z x

x y z y z x y

Nhân vế theo vế các BĐT này ta có đpcm

Bài 4

a) Vì AD là phân giác nên BD BA BD CD

CD CA BA  CA

Lại có PF / /AD/ /QE BP BD CD CQ

    , Mà BECFBPCQ

b) Gọi M N lần lượt là trung điểm của , BC EF, thì MN là đường trung bình của hình thang PEFQMN / /PE/ /AD, Mà AD cố định, M cố định nên MN cố định Gọi

O là trọng tâm tam giác ABC

Ta có: 2 / /

3

AN  AM   mà O cố định nên G di động trên đường thẳng qua O song song với MN cố định

O G

M

N

Q

E

F D

A

Bài 5

a) Ta có: KMN MBA , tứ giác BMKC có BMK BCK 900nên nội tiếp

b) Ta có: KAC BDC ACK; BCD ACK DCB AC KC

2 2

R R

KC



E

D

M I

B

A

K

Do đó: 3.2 2

3

ABD

c) Gọi E là điểm đối xứng với B qua C Ta có CDECDBCAKnên tứ giác AKDE

nội tiếp Do đó đường tròn ngoại tiếp AKDcũng là đường tròn ngoại tiếp tứ giác

AKDE Ta có A C B cố định nên AE cố định Vậy đường tròn ngoại tiếp AKD, ,  đi qua điểm cố định thứ 2 là E khác A