Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 9 Sở Giáo dục và đào tạo Quảng Trị năm 2018 - 2019

và tứ giác EFHC nội tiếp b) Chứng minh rằng HD là tia phân giác của EHF. c) Chứng minh rằng F là trung điểm của MN[r]

SỞ GD&ĐT QUẢNG TRỊ

ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

LỚP 9 NĂM HỌC 2018-2019

MÔN: TOÁN

Câu 1 Cho a 4 102 5  4 102 5

a) Chứng minh rằng a là nghiệm của phương trình a2 2a 4 0

b) Tính giá trị của

2

2 12

P



Câu 2 a) Giải hệ phương trình

8

2 2

x y

x y xy

  



 b) Giải phương trình     2  

x x x x x 

Câu 3

a) Chứng min rằng a2 b2 c2 ab bc cavới mọi số thực a b c , ,

b) Cho a b c, , 1và abacbc9.Tìm GTNN và GTLN của Pa2 b2 c2

Câu 4 Cho ABC vuông tại A AC AB.Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên BC,

D là điểm nằm trên đoạn thẳng AH (D khác , ) A H Đường thẳng BD cắt đường tròn tâm C

bán kính CA tại E và F (F nằm giữa B và D), M là điểm trên đoạn thẳng AB sao cho

2

ACF  BFM, MF cắt AH tại N

a) Chứng minh rằng BH BC BE BF và tứ giác EFHC nội tiếp

b) Chứng minh rằng HD là tia phân giác của EHF

c) Chứng minh rằng F là trung điểm của MN

Câu 5 Cho các số nguyên a b c thỏa mãn , ,

2

a b  a c  b c

   Chứng minh rằng bc

là một số chính phương

ĐÁP ÁN Câu 1

a) Ta có:

   

2

8 2 4 10 2 5 4 10 2 5 8 2 6 2 5

8 2 5 1 6 2 5 5 1

a

Nên a là nghiệm của phương trình a2 2a 4 0

b) Ta có:

2

2

2 4 16

P



  

  

Câu 2

a) Hệ phương trình    2

2 2

x y xy





.Đặt x y a

xy b

 



 

2

4

a  b

Ta có:

2 3 2 16 2 3 6 16 0

2 2

2 2

a b

 



2

2 4 7 14 8 16 0

2 2 7 8 0

Vì 2a2 7a 8 0 vô nghiệm, nên a  2 b 0 Hệ có nghiệm      x y;  0;2 ; 2;0 

b) Phương trình :  2  2  2 

x  x x  x x  x  Đặt 2

6 5

x  x t, ta có:

3 4 360 0 7 12 360 0 5 12 72 0

t t t    t t  t   t t  t 

Vì t2 12t720vô nghiệm nên 5 2 6 0 0

6

x

x





       

 Vậy S 0; 6 

Câu 3

a) Ta có :  2 2 2     2  2 2

2 a b c 2 ab bc ca  0 a b  b c  c a 0 Dấu " " xảy ra khi a b c

b) Vì a b c, , 1nên

1

1 1 0

c a ca



Vậy GTLN của P là 18, đạt được khi a b c là các hoán vị của ; ;  1;1;4 

Mặt khác a2 b2 c2 ab bc ca9nên GTNN của P là 9 Đạt được khi

3

a  b c

Câu 4

a) Ta có: FAB AEB BAF BEA BF BA BA2 BE BF

áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông thì BA2 BH BC BH BC BE BF

       nên tứ giác EFHC nội tiếp

b) Ta có BHF BECCFE CHEmà AHB AHC 900nên AHF AHEHDlà tia phân giác của EHF

c) Gọi K là giao điểm của AH với (C) , chứng minh được BK là tiếp tuyến của đường tròn

(C) , ta có 2BFM ACF 2AEF

K

N

E

F

H

B

D

M

/ /

     lại có : NAM  AEK

(1)

180

AFN FAE

180

EKF FAE  AFN EKF  ECF  EHF  AHE

Từ (1) và (2) ta có: 2 2 2

2

Câu 5

Ta có:

2

0

a b  a c b c  a b b ca c b c 

2 2

2 2

0

a bc b c

a bc b c

Xét a2 bc 0 bca2là số chính phương Xét bcthì bcc2là số chính phương