Nếu học sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án nhưng đúng, chính xác, chặt chẽ thì cho đủ số điểm của câu đó.. Việc chi tiết hóa (nếu có) thang điểm trong hướng dẫn chấm[r]
Trang 1PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HUYỆN LAI VUNG
(Hướng dẫn chấm gồm có 05 trang)
HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ THANG ĐIỂM
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 8
NĂM HỌC 2014 – 2015 MÔN: TOÁN
I Hướng dẫn chung:
1 Nếu học sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án nhưng đúng, chính xác, chặt chẽ thì cho đủ số điểm của câu đó
2 Việc chi tiết hóa (nếu có) thang điểm trong hướng dẫn chấm phải đảm bảo không làm sai lệch hướng dẫn chấm và phải được thống nhất thực hiện trong tổ chấm
II Đáp án và thang điểm:
Câu
1
1
A =
4 12 9 2
2 5 2
2 3 2
x x x
x x
Ta có: 2x3 + 9x2 + 12x + 4 = (x + 2)2(2x + 1)
Để phân thức A xác định thì: (x + 2)2(2x + 1) 0
x 2 và x
2
1
0,5 0,25 0,25
2
A =
4 12 9 2
2 5 2 2 3 2
x x x
x x
=
) 1 2 ( ) 2 (
) 1 2 )(
2 (
2
x x
x x
=
x 2
1
với x 2 và x
2
1
0,5 0,5
3
Ta có 2x 1 3 2 1 3 1
x = 1 (nhận) ; x = -2 (loại) Với x=1 thì A =
3 1
0,5
0,25 0,25
Câu
2 1
a3 + b3 + c3= 3abc a b c 0
a b c
* Nếu a + b + c = 0 thì A= -1
* Nếu a = b = c thì A=8
0,5
0,25 0,25
Trang 2Câu Đáp án Điểm
2
B = 5n2 26.5n 82n1
25.5n 26.5n 8.64n
B
59.5n 8.64n 8.5n
B
59.5n 8(64n 5 )n
B
Do (64n 5 ) (64 5)n Vậy B chia hết cho 59
0,25 0,25 0,25 0,25
3
C = x2 12 y2 12
2 2
x y x y
x y
=
2
1
xy xy
Ta có:
4
x y
xy
16xy 16 4 16xy 16
(2)
Từ (1) và (2)
Do đó: C =
xy xy
Dấu “=” xảy ra
1
2
x y
x y
(Vì x, y > 0)
Vậy min C =
289
16 tại x = y =
1 2
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
Câu
3 1
2
x x x x x
( 2) ( 2) ( 2) ( 2) ( 2) 0
(x 2)(x x x x 1) 0
0,25
0,25
Trang 3Câu Đáp án Điểm
2
2
( ) 0;( 1) 0; 0
và chúng không đồng thời bằng 0 nên
0 2 ) 1 2 ( ) 2 (
2 2 2
2
x
Vậy phương trình đã cho có duy nhất một nghiệm là x = 2
0,25 0,25
2
Chứng minh P =
12
1 1
5
1 4
1 3
1
3 3
3
n
Ta có: 13 31 1
n(n 1)(n 1)
n n n
13 1 ( 1) ( 1)
2 n( 1)( 1)
n
3
2 (n 1)n n n( 1)
n
2 2.3 3.4 3.4 ( 1) ( 1)
P
n n n n
1 1 1
2 6 ( 1)
P
n n
Do n>5 nên 1 1 1
6n n( 1)6 Vậy P < 12
1
0,25
0,25 0,25
0,25 0,25
0,25
3
Gọi x là vận tốc lúc đi là x(km/h) (x>0)
Theo đề bài ta có:
x x
x 60 4
60 3
1
2
16 720 0 ( 36)( 20) 0
Vì x 36 0 nên x 20 0
20
x
Vậy vận tốc lúc đi có thể lớn hơn 0 và bé hơn bằng 20
0,25 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25
Câu
4 1
Ta có:
' AA
' HA BC '
AA 2 1
BC '
HA 2 1 S
S
ABC
0,25
B
A
C I
B’
H N
x
A’
C’
M
D B
A
C I
B’
H N
x
A’
C’
M
D
Trang 4Câu Đáp án Điểm
Tương tự:
' CC
' HC S
S ABC
' BB
' HB S
S
ABC HAC
S
S S
S S
S ' CC
' HC '
BB
' HB ' AA
' HA
ABC
HAC ABC
HAB ABC
HBC
0,25
0,25 0,25
2
Áp dụng tính chất phân giác vào các tam giác ABC, ABI,
AIC:
Ta có:
AI
IC MA
CM
; BI
AI NB
AN
; AC
AB IC
BI
Suy ra:
AM IC BN CM AN BI
1 BI
IC AC
AB AI
IC BI
AI AC
AB MA
CM NB
AN IC BI
0,5
0,25
0,25
3
Vẽ Cx CC’ Gọi D là điểm đối xứng của A qua Cx
- Chứng minh được góc BAD vuông, CD = AC, AD = 2CC’
- Xét 3 điểm B, C, D ta có: BD BC + CD
- BAD vuông tại A nên: AB2+AD2 = BD2 AB2 + AD2 (BC+CD)2
AB2 + 4CC’2 (BC+AC)2 4CC’2 (BC+AC)2 – AB2 Tương tự: 4AA’2 (AB+AC)2 – BC2
4BB’2 (AB+BC)2 – AC2
- Chứng minh được : 4(AA’2 + BB’2 + CC’2) (AB+BC+AC)2
4 ' CC '
BB '
AA
) CA BC AB (
2 2
2
2
Đẳng thức xảy ra BC = AC, AC = AB, AB = BC
AB = AC =BC ABC đều
* Kết luận đúng
0,25 0,25
0,25
0,25 0,25
0,25
0,25 0,25
5
1
Từ giả thiết: CE =
BD
MB2
BD
MB MB
CE
Ta lại có: MB = MC nên
BD
MC MB
CE
Lại có Bˆ Cˆ nên suy ra
MCE
0,5
0,5
2 Vì DBM ~MCE nên B MˆDM EˆC;C MˆEM DˆBsuy ra
C B E M
I ˆ ˆ ˆ
0,5
I
H
M
A E
D
Trang 5Câu Đáp án Điểm
Xét hai tam giác DEM và DBM có
Bˆ I MˆE
DM
BD ME
BM
( cùng bằng
ME
CM
) Nên DBM ~ DME~ MCE
Từ DBM ~ DMEsuy ra B DˆM M DˆE
0,5 0,5
3
Từ DME~ MCE suy ra D EˆM C EˆM ME là phân giác
của góc DEH
Vì M nằm trên phân giác của góc E nên MI = MH, mà MH
không đổi nên MI không đổi
*Chứng minh MH không đổi:
Ta có MHC~AMB
.MC
MH
Do M, A, B, C cố định nên MH cố định
0,5
0,5 0,5
HẾT