Chứng minh đường thẳng đi qua điểm cố định ôn thi vào lớp 10 chuyên Toán

Trªn cïng mét nöa mÆt ph¼ng bê AB vÏ hai h×nh vu«ng MADE vµ MBHG.[r]

Trong thời đại hiện nay, tr-ớc sự phát triển không ngừng của mọi mặt xã hội con

ng-ời cần có những nhìn nhận đúng đắn về sự phát triển của thế giới, có cái nhìn theo nhiều chiều tr-ớc một vấn đề Chính vì vậy học sinh cần phải đ-ợc trang bị những kiến thức phù hợp,

Một trong những quan điểm dạy học hiện nay là phát huy tối đa khả năng t- duy

độc lập sáng tạo của học sinh, dạy cho học sinh cách học, cách t- duy Bài toán

“Đ-ờng qua điểm cố định” phần nào đáp ứng đ-ợc yêu cầu trên

Trong các đề thi học sinh giỏi, thi vào tr-ờng chuyên, lớp chọn th-ờng có những bài toán liên quan đến tìm điểm cố định, chứng minh đ-ờng đi qua điểm

cố định Thực tế cho thấy đây là bài toán khó, học sinh th-ờng khó khăn khi gặp phải bài toán dạng này

Bài toán “Đ-ờng đi qua điểm cố định” đòi hỏi HS phải có kĩ năng nhất định cộng với sự đầu t- suy nghĩ, tìm tòi nh-ng đặc biệt phải có ph-ơng pháp làm bài

Tìm hiểu nội dung bài toán

Dự đoán điểm cố định Tìm tòi h-ớng giải Trình bày lời giải

Tìm hiểu bài toán:

• Yếu tố cố định.( điểm, đ-ờng … )

• Yếu tố chuyển động.( điểm, đ-ờng … )

• Yếu tố không đổi.( độ dài đoạn, độ lớn góc … )

• Quan hệ không đổi ( Song song, vuông góc, thẳng hàng … )

Khâu tìm hiểu nội dung bài toán là rất quan trọng Nó định h-ớng cho các thao tác tiếp theo Trong khâu này đòi hỏi học sinh phải có trình độ phân tích bài toán, khả năng phán đoán tốt Tuỳ thuộc vào khả năng của từng đối t-ợng học sinh mà giáo viên có thể đ-a ra hệ thống câu hỏi dẫn dắt thích hợp nhằm giúp học sinh tìm hiểu tốt nội dung bài toán Cần xác định rõ yếu tố cố định, không đổi, các quan hệ không đổi và các yếu tố thay đổi, tìm mối quan hệ giữa các yếu tố đó

Dự đoán điểm cố định:

Dựa vào những vị trí đặc biệt của yếu tố chuyển động để dự đoán điểm cố định Thông th-ờng ta tìm một hoặc hai vị trí đặc biệt cộng thêm với các đặc điểm bất biến khác nh- tính chất đối xứng, song song, thẳng hàng … để dự đoán điểm cố

định

Tìm tòi h-ớng giải

Từ việc dự đoán điểm cố định tìm mối quan hệ giữa điểm đó với các yếu tố chuyển động, yếu tố cố định và yếu tố không đổi Thông th-ờng để chứng tỏ một

điểm là cố định ta chỉ ra điểm đó thuộc hai đ-ờng cố định, thuộc một đ-ờng cố

định và thoả mãn một điều kiện (thuộc một tia và cách gốc một đoạn không đổi, thuộc một đ-ờng tròn và là mút của một cung không đổi ) thông th-ờng lời giải của một bài toán th-ờng đ-ợc cắt bỏ những suy nghĩ bên trong nó chính vì vậy ta th-ờng có cảm giác lời giải có cái gì đó thiếu tự nhiên, không có tính thuyết phục chính vì vậy khi trình bày ta cố gắng làm cho lời giải mang tính tự nhiên hơn, có giá trị về việc rèn luyện t- duy cho học sinh

một vài ví dụ:

Bài 1: Cho ba điểm A, C, B thẳng hành theo thứ tự đó Vẽ tia Cx vuông góc với

AB.Trên tia Cx lấy hai điểm D, E sao cho   3

CD

CA CB

CE

Đ-ờng tròn ngoại tiếp tam giác ADC cắt đ-ờng tròn ngoại tiếp tam giác BEC tại H khác C Chứng minh rằng: Đ-ờng thẳng HC luôn đi qua một điểm cố định khi C di chuyển trên đoạn thẳng AB

Tìm hiểu đề bài:

* Yếu tố cố định: Đoạn AB

* Yếu tố không đổi:

+ Góc BEC = 300, Góc ADB = 600 do đó

sđ cung BC, cung CA không đổi

+ B, D, H thẳng hàng; E, H, A thẳng

hàng

Dự đoán điểm cố định:

khi C trùng B thì (d) tạo với BA một góc

600 => điểm cố định thuộc tia By tạo với

tia BA một góc 600

khi C trùng A thì (d) tạo với AB một góc

300 => điểm cố định thuộc tia Az tạo với

tia AB một góc 300

By và Az cắt nhau tại M thì M là điểm cố định? Nhận thấy M nhìn AB cố định d-ới 900 => M thuộc đ-ờng tròn đ-ờng kính AB

Tìm h-ớng chứng minh:

M thuộc đ-ờng tròn đ-ờng kính AB cố định do đó cần chứng minh sđ cung AM không đổi thật vậy:

sđ cung AM = 2sđGóc MCA=2sđGóc CHA =2sđGóc CDA = 1200

Lời giải:

CD

CA tgD => Góc D=600

có Góc CHA = Góc CDA = 600

G/s đ-ờng tròn đ-ờng kính AB cắt CH tại M

ta có Góc MHA= 600 => sđ cung MA không đổi

lại có đ-ờng tròn đ-ờng kính AB cố định vậy:

M cố định do đó CH luôn qua M cố định

m

h D

E

C

Bài 2: Cho đ-ờng tròn (O) và đ-ờng thẳng (d) nằm ngoài đ-ờng tròn I là điểm

di động trên (d) Đ-ờng tròn đ-ờng kính OI cắt (O) tại M, N Chứng minh đ-ờng tròn đ-ờng kính OI luôn đi qua một điểm cố định khác O và đ-ờng thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định

H-ớng dẫn:

do tính chất đối xứng nên

điểm cố định nằm trên trục

đối xứng hay đ-ờng thẳng

qua O và vuông góc với (d)

Giải:

Kẻ OH vuông góc với (d)

cắt MN tại E

ta có H cố định và H thuộc

đ-ờng tròn đ-ờng kính OI vậy đ-ờng tròn đ-ờng kính OI luôn đi qua K cố định Xét tam giác OEF và tam giác OIH có góc O chung, góc OFE = góc OHI = 900 Nên tam giác OEF đồng dạng với tam giác OIH do đó: OF/ OE = OH/ OI =>

OE OH = OF OI

Lại có góc IMO = 900 ( nội tiếp chắn nửa đ-ờng tròn đ-ờng kính OI )

Xét tam giác vuông OMI có đ-ờng cao ứng với cạnh huyền MF nên:

OF OI = OM2

Do đó:

2

OM OE

OH

 = hằng số vây E cố định do đó MN đi qua E cố định

Bài 3: Cho đ-ờng tròn (O; R) và dây AB cố định C là một điểm chuyển động

trên đ-ờng tròn và M là trung điểm của AC Chứng minh rằng đ-ờng thẳng kẻ từ

M vuông góc với BC luôn đi qua một điểm cố định

d E

F

H N

M

O

I

Giải:

Vẽ đ-ờng kính BD =>

D cố định

Giả sử đ-ờng thẳng qua

M và vuông góc với BC

cắt AD tại I

Dễ thấy góc BCD = 900

hay MI // CD

Xét tam giác ACD có

MC = MA; MI // CD

=> I là trung điểm của

DA cố định hay đ-ờng

thẳng qua M vuông góc

với BC đi qua I cố định

Bài 4: Cho tam giác ABC và hai điểm M, N thứ tự chuyển động trên hai tia BA,

CA sao cho BM= CN Chứng minh rằng

đ-ờng trung trực của MN luôn đi qua một

điểm cố định

H-ớng dẫn:

Khi M B thì N C khi đó đ-ờng trung

trực của MN là trung trực của BC Vậy

điểm cố định nằm trên đ-ờng trung trực

của BC

Giải: Giả sử trung trực của BC cắt trung

trực của MN tại I

I

d

M O

A B

C

N I

C B

A

M

D

A

O

Dễ thấy tam giác IMB = tam giác INC (c-c-c) vậy góc MBI = góc NCI

Xét tứ giác ABCI có góc MBI = góc NCI vậy tứ giác ABCI nội tiếp hay I thuộc

đ-ờng tròn Ngoại tiếp tam giác ABC cố định, mà Trung trực của BC cố định Vậy

I cố định hay trung trực của MN đi qua I cố định

Bài 5: Cho đ-ờng tròn (O; R) và dây cung AB = R 3 Điểm P khác A và B

Gọi (C; R1) là đ-ờng tròn đi qua P tiếp xúc với đ-ờng tròn (O; R) tại A.Gọi (D;

R2) là đ-ờng tròn đi qua P tiếp xúc với đ-ờng tròn (O; R) tại B Các đ-ờng tròn (C; R1) và (D; R2) cắt nhau tại M khác P Chứng minh rằng khi P di động trên AB thì đ-ờng thẳng PM luôn đi qua một điểm cố định

Tìm hiểu đề bài:

* Yếu tố cố định: (O; R), dây AB

* Yếu tố không đổi: DPCO là hình bình

hành Sđ cung BP của (D), sđ cung AP

của (C), Góc BMA không đổi

Dự đoán

Khi P  A thì PM là tiếp tuyến của (O;

R) => điểm cố định nằm trên tiếp tuyến

của (O; R) tại A

Khi P  B thì PM là tiếp tuyến của (O;

R)=> điểm cố định nằm trên tiếp tuyến của (O; R) tại B

Do tính chất đối xứng của hình => Điểm cố định nằm trên đ-ờng thẳng qua O và vuông góc với AB

=> Điểm cố định nằm trên đ-ờng tròn ngoại tiếp tam giác OAB

Lời giải:

Vẽ đ-ờng tròn ngoại tiếp tam giác OAB cắt PM tại I

vì AB = R 3 => sđ cung AB của (O) bằng 1200

tam giác BDP cân do đó góc OBA = góc DPB

tam giác OAB cân do đó góc OBA = góc OAB => góc BDP = góc BOA => sđcung BP của (D) = sđ cung BA của (O) = 1200

t-ơng tự sđ cung PA của (C) = 1200

ta có góc BMP =

2

1 sđ cung BP của (D) = 600

ta có góc AMP =

2

1 sđ cung AP của (C) = 600 Vậy góc BMA = góc BMP + góc AMP = 1200 = góc BOA

xét tứ giác BMOA có góc BMA = góc BOA do đó tứ giác BMOA nội tiếp hay M thuộc đ-ờng tròn ngoại tiếp tam giác BOA

Vậy

2

1

sđ cung IA = góc IMA = góc PMA =

2

1 sđ cung PA của (C) = 1200 Vậy I thuộc đ-ờng tròn ngoại tiếp tam giác AOB và sđ cung IA = 1200 => I cố định hay MP đi qua I cố định

Bài 6: Cho đoạn AB cố định, M di động trên AB Trên cùng một nửa mặt phẳng

bờ AB vẽ hai hình vuông MADE và MBHG Hai đ-ờng tròn ngoại tiếp hai hình vuông cắt nhau tại N Chứng minh đ-ờng thẳng MN luôn đi qua một điểm cố

định khi M di chuyển trên AB

H-ớng dẫn:

T-ơng tự bài 1

Giải:

Giả sử MN cắt đ-ờng tròn đ-ờng kính AB tại I

Ta có Góc ANM = Góc ADM = 450( góc nội

tiếp cùng chắn cung AM của đ-ờng tròn ngoại

tiếp hình vuông AMDE)

N

H G

M

D E

Ta có Góc BNM = Góc BGM = 450( góc nội tiếp cùng chắn cung BM của đ-ờng tròn ngoại tiếp hình vuông MBGH)

=> gócANB = Góc ANM + Góc BNM = 900 => N thuộc đ-ờng tròn đ-ờng

đ-ờng kính AB vậy sđ cung AI = 2sđGóc ANI

=2sđGóc ANM = 900

Vậy I thuộc đ-ờng tròn đ-ờng kính AB và số đo cung AI bằng 900=> I cố định hay MN đi qua I cố định

Bài 7: Cho hình vuông ABCD có tâm O Vẽ đ-ờng thẳng (d) quay quanh O cắt

AD, BC thứ tự tại E, F Từ E, F lần l-ợt vẽ các đ-ờng thẳng song song với BD,

CA chúng cắt nhau tại I Qua I vẽ đ-ờng thẳng (m) vuông góc với EF Chứng minh rằng (m) luôn đi qua một điểm cố định khi (d) quay quanh O

H-ớng dẫn:

Khi E A thì HI qua A và vuông

góc với AC

khi E D thì HI qua B và vuông

góc với BD

do tính chất đối xứng của hình vẽ

nên điểm cố định nằm trên

đ-ờng trung trức của AB

dự đoán: điểm cố định K nằm

trên đ-ờng tròn đ-ờng kính AB

Giải:

Dễ thấy I thuộc AB

Có góc IHE + góc IAE = 1800

nên tứ giác IHEA nội tiếp

=> góc IHA = góc IEA = 450

Có góc IHF + góc IBF = 1800

k

H

I

F

O

D C

E

nên tứ giác IHFB nọi tiếp

=> góc BHI = góc BFI = 450

Vẽ đ-ờng tròn đ-ờng kính AB Ta có góc BHA = góc IHA + góc BHI = 900 nên

H thuộc đ-ờng tròn đ-ờng kính AB

Giả sử HI cắt đ-ờng tròn đ-ờng kính AB tại K ta có:

Sđ cung KA = 2 sđ góc KHA = 2 sđ góc IHA = 900

Do K thuộc đ-ờng tròn đ-ờng kính AB và sđ cung KH = 900 nên K cố định hay

HI đi qua K cố định

Bài 8: Cho góc vuông xOy Trên Ox, Oy thứ tự có hai điểm A, B chuyển động

sao cho OA+ OB = a ( a là độ dài cho tr-ớc) Gọi G là trọng tâm tam giác OAB

và (d) là đ-ờng thẳng qua G vuông góc với AB Chứng minh rằng (d) luôn đi qua một điểm cố định

Gợi ý:

Khi B D thì (d) là đ-ờng thẳng

vung góc với OD và O cách (d) một

khoảng

3

1

a

khi OB = OA =

2

1

a thì (d) là phân giác của góc xOy

do tính chất đối xứng dự đoán điểm

cố định thuộc tia phân giác của góc

xOy

Giải:

Trên Ox, Oy thứ tự lấy 2 điểm C, D

sao cho OC = OD = a

Phân giác của góc xOy cắt CD tại

N, cắt (d) tại I

rễ thấy tam giác NAO = tam giác NBD do đó NF vuông góc với AB

n C

I

G f A

B

Xét tam giác ONF có GI // NF => a

3

1 ON 3

2 OI 3

2 ON

OI OF

OG









Vậy I cố định hay (d) đi qua điểm cố định I

Bài 9: Cho góc vuông xOy Trên Ox lấy điểm A cố định Trên Oy lấy điểm B di

động Đ-ờng tròn nội tiếp tam giác ABO tiếp xúc với AB, OB thứ tự tại M, N Chứng minh rằng đ-ờng thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định

gợi ý:

Tam giác BNM cân do đó khi B O thì góc B900 nên góc MNB 450 do đó

điểm cố định nằm trên phân giác của góc xOy

khi B  vô cùng xa thì bán kính của (I) 

2

1

OA khi đó MN là đ-ờng thẳng

song song với Ox và cách Ox một khoảng

2

1

OA

Giải:

Giả sử tia phân giác Om của

góc xOy cắt MN tại F

ta có tam giác BMN cân do đó:

B 2

1 90



2

1 90 AIO  



Vậy: ONM = AIO

Dễ thấy tam giác AIO và tam

giác FNO đồng dạng

Vậy:

2

OA OF

2

1 ION cos

OI

ON

OA

Vậy F cố định hay MN đi qua F cố định

y

x

m

F M

N

I

O A

B

Bài 10: Cho đoạn thẳng AB và một điểm M bất kì trên đoạn thẳng ấy Từ M vẽ

tia Mx vuông góc với AB Trên Mx lấy hai điểm C; D sao cho MC= MA; MD =

MB Đ-ờng tròn tâm O[1] qua 3 điểm A, M, C và đ-ờng tròn tâm O[2] qua 3

điểm B, M, D cắt nhau tại điểm thứ hai N Chuứng minh rằng đ-ờng thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định khi M đi chuyển trên AB

(T-ơng tự bài 6)

Bài 11: Cho ba điểm A, B, C thẳng hành theo thứ tự đó vẽ đ-ờng tròn (O) thay

đổi đi qua A và B Từ điểm chính giữa P của cung lớn AB vẽ đ-ờng kính PQ cắt

AB tại D.Tia CP cắt đ-ờng tròn tại điểm thứ hai I

Chứng minh rằng khi đ-ờng tròn (O) thay đổi thì QI luôn đi qua một điểm cố

định

Giải:

Giả sử QI cắt AB tại H

ta có tam giác CIH và

tam giác CDP đồng dạng

CP

CD CH

CI

CH.CD

CI.CP

lại có CI.CPCB.CA

Vậy CH.CD= CB.CA

=>

CD

CA CB

CH  . = hằng

số => H cố định hay đ-ờng thẳngQI luôn đi qua H cố định

h

i p

q d

Bài 12: Cho đ-ờng tròn (O; R)

có dây cung CD Trên tia đối

của tia DC lấy M bất kì Qua M

kẻ các tiếp tuyến MA, MB với

(O; R) Chứng minh rằng khi M

thay đổi thì AB luôn đi qua một

điểm cố định

Gợi ý: khi Mvô cùng xa thì

AB trở thành đ-ờng kính vậy

điểm cố định nằm trên đ-ờng thẳng qua O và vuông góc với CD

Giải: Kẻ đ-ờng thẳng qua O và vuông góc với CD cắt đ-ờng thẳng AB tại K ta

có: OH.OK = OI.OM = OB2 = hằng số mà OH không đổi do đó OK không đổi hay AB đi qua K cố định

Bài 13: Cho đ-ờng tròn tâm O và dây AB, M là điểm chuyển động trên đ-ờng

tròn, từ M kẻ MH vuông góc với

AB (H thuộcAB), gọi E, F lần l-ợt

là hình chiếu vuông góc của H

trên MA, MB Chứng minh rằng

đ-ờng thẳng qua M và vuông góc

với EF luôn đi qua một điểm cố

định khi M thay đổi trên đ-ờng

tròn

Giải:

d

F

E

h

o

B A

m

i h

k a

B

o

m

Giả sử đ-ờng thẳng qua M và vuong góc với EF cắt đ-ờng tròn O tại I

Ta có: Tứ giác MEHF nội tiếp do đó góc AMH = góc EMH = góc EFH

lại có góc EFH = góc IMB (cạnh t-ơng ứng vuông góc)

ta có

2

1

sđ cung IB = sđ góc IMB

2

1

sđ cung MB = sđ góc MAB

lại có góc IMB + góc MAB = góc AMH + góc MAH = 900 do đó sđ cung IM =

1800 hay MI là đ-ờng kính của đ-ờng tròn (O) vậy MI đi qua điểm cố định O

Bài 14: Cho đ-ờng tròn (O) và dây cung BC cố định Gọi A là điểm di động trên

cung lớn BC của đ-ờng tròn (O), ( A khác B và C) Tia phân giác của góc ACB cắt đ-ờng tròn (O) tại điểm D khác C, lấy I thuộc đoạn CD sao cho DI = DB Chứng minh rằng đ-ờng thẳng AI luôn đi qua một điểm cố định

Giải:

giả sử AI cắt đ-ờng tròn (O) tại G

vì góc ACD = góc BCD => cung

AD = cung DB => AD = DB mà

DB = DI nên DA = DI => Tam giác

DAI cân do đó góc DAI = góc DIA

lại có: góc DAI =

2

1 sđ cung DG

góc DIA =

2

1 (sđ cung AD + sđ

cung CG)

Vậy sđ cung DG = sđ cung AD + sđ cung CG

hay sđ cung DB + sđ cung BG = sđ cung AD + sđ cung CG mà sđ cung DB = sđ cung AD vậy sđ cung BG = sđ cung CG hay G là điểm chính giữa của cung nhỏ

BC của đ-ờng tròn (O) Vậy AI đi qua điểm chính giữa của cung BC cố định

G i

D

o

B C

A

Bài 15: Cho đ-ờng tròn (O) có hai đ-ờng kính AB và CD vuông góc với nhau I

bất kì trên đoạn CD trên AD, AC lấy hai điểm M, N sao cho I là trung điểm của

MN Chứng minh đ-ờng tròn ngoại tiếp tam giác AMN luôn đi qua 1 điểm cố

định khác A

Giải:

Tam giác

AMN vuông

tại A => IA

là trung tuyến ứng với cạnh huyền => IA = IM = IN lại có IA = IB nên tứ giác AMBN nội tiếp hay đ-ờng tròn ngoại tiếp tam giác AMN đi qua B cố định

Bài 16: Cho ba điểm thẳng hàng A, B, C theo thứ tự đó Một đ-ờng tròn (O) thay

đổi nh-ng luôn đi qua B và C Từ A kẻ hai tiếp tuyến AM, AN đến đ-ờng tròn (O) Đ-ờng thẳng MN cắt hai đoạn AO, AC lần l-ợt tại H và K Chứng minh

đ-ờng tròn ngoại tiếp tam giác OHK luôn đi qua hai điểm cố định

giải:

Qua O Kẻ đ-ờng thẳng

vuông góc với BC tại I ta

có I là trung điểm của BC

nên I cố định

m

n

b

a

k h n

I

o