Tính chất giao hoán của phép cộng và phép nhân.. tính tổng các chữ số của số đó. 1.Tìm số có hai chữ số,biế rằng nếu viêt chữ số 0 xen giữa hai chữ của số đó thì được số có ba chữ số gấ[r]
Trang 1Các phép toán trong N
1 Tớnh chất giao hoỏn của phộp cộng và phộp nhõn
a + b = b + a ; a.b = b.a
Khi đổi chỗ cỏc số hạng trong một tổng thỡ tổng khụng đổi
Khi đổi chừ cỏc thừa số trong một tớch thỡ tớch khụng đổi
2 Tớnh chất kết hợp của phộp cộng và phộp nhõn:
(a + b ) + c = a + ( b + c); (a.b).c = a(b.c);
3 Tớnh chất phõn phối của phộp nhõn đối với phộp cộng.: a(b+ c) = ab +
ac
4 Điều kiện để a chia hết cho b ( a,b N ; b ≠ 0) là cú số tự nhiờn p sao cho a= b.p
5 Trong phộp chia cú dư
số bị chia = số chia x thương + số dư ( a = b.p + r)
số dư bao giờ cũng khỏc 0 và nhỏ hơn số chia
Nếu a b= 0 thì a = 0 hoặc b = 0
II Bài tập
*.Dạng 1: Các bài toán tính nhanh
Bài 1: Tính tổng sau đây một cách hợp lý nhất
a/ 67 + 135 + 33 b/ 277 + 113 + 323 + 87
Bài 2: Tính nhanh các phép tính sau:
a/ 8 17 125 b/ 4 37 25
Bài 3: Tính nhanh một cách hợp lí:
a/ 997 + 86 b/ 37 38 + 62 37
c/ 43 11; 67 101; 423 1001 d/ 67 99;
đ, 998 34 c/ 43 11 67 101
Bài 4: Tính nhanh các phép tính:
a/ 37581 – 9999 c/ 485321 – 99999
b/ 7345 – 1998 d/ 7593 – 1997
Bài 5: Tính nhanh:
a) 15 18 b) 25 24 c) 125 72 d) 55 14
Bài 6 :Tính nhanh:
a) 25 12 b) 34 11 c) 47 101 d) 15.302 e)
125.18 g) 123 1001
Bài 7: Thực hiện phép tính bằng cách hợp lí nhất:
a) 463 + 318 + 137 + 22
c) (321 +27)+ 79 d) 185 +434 + 515 + 266 + 155 e) 652 + 327 + 148 + 15 + 73 f) 347 + 418 + 123 + 12
Bài 8: Tính bằng cách hợp lí nhất:
a) 5 125 2 41 8 b) 25 7 10 4 c) 8 12 125 2 d) 4 36 25 50
Chú ý: Quy tắc đặt thừa số chung : a b+ a.c
= a (b+ c) hoặc a b + a c + a d = a.(b + c + d)
e) 3 25 8 + 4 37 6 + 2 38 12
Bài 9: Tính bằng cách hợp lí nhất:
6 38 63 + 37 38 b) 12.53 + 53 172– 53 84
c) 35.34 +35.38 + 65.75 + 65.45
d, 39.8 + 60.2 + 21.8
e, 36.28 + 36.82 + 64.69 + 64.41
Trang 2*Chỳ ý: Muốn nhõn 1 số cú 2 chữ số với 11 ta
cộng 2 chữ số đú rồi ghi kết quả vỏo giữa 2 chữ
số đú Nếu tổng lớn hơn 9 thỡ ghi hàng đơn vị
vỏo giữa rồi cộng 1 vào chữ số hàng chục
vd : 34 11 =374 ; 69.11 =759
*Chỳ ý: muốn nhõn một số cú 2 chữ số với
101 thỡ kết quả chớnh là 1 số cú được bằng
cỏch viết chữ số đú 2 lần khớt nhau
vd: 84 101 =8484 ; 63 101 =6363 ;
*Chỳ ý: muốn nhõn một số cú 3 chữ số với
1001 thỡ kết quả chớnh là 1 số cú được bằng
cỏch viết chữ số đú 2 lần khớt nhau
Ví dụ:123.1001 = 123123
*.Dạng 2: Các bài toán có liên quan đến dãy số,
tập hợp
1:Dãy số cách đều:
VD: Tính tổng: S = 1 + 3 + 5 + 7 + + 49
Ta tính tổng S nh- sau:
Bài 1:Tính tổng sau:
a) A = 1 + 2 + 3 + 4 + + 100
Số số hạng cả dóy là: (100-1):1+1 = 100
A= (100 + 1) 100 : 2 = 5050 b) B = 2 + 4 + 6 + 8 + + 100
số số hạng là: (100-2):2+1 = 49 B=(100 +2).49 :2 = 551 49 = 2499 c) C = 4 + 7 + 10 + 13 + + 301 d) D = 5 + 9 + 13 + 17 + .+ 201
Bài 2: Tính các tổng:
a) A = 5 + 8 + 11 + 14 + + 302 b)
B = 7 + 11 + 15 + 19 + .+ 203
c) C = 6 + 11 + 16 + 21 + + 301 d)
D =8 + 15 + 22 + 29 + + 351
Bài 3: Cho tổng S = 5 + 8 + 11 + 14 +
a)Tìm số hạng thứ100 của tổng
b) Tính tổng 100 số hạng đầu tiên
Giải: lưu ý: số cuối = (số số hạng - 1)
khoảng cỏch - số đầu
a vậy số thứ 100 = (100-1) 3 – 5 = 292
b S= (292 + 5) 100:2 = 23000
Bài 4: Cho tổng S = 7 + 12 + 17 + 22 +
a)Tìm số hạng tứ50 của tổng
b) Tính tổng của 50 số hạng đầu tiên
Bài 5:Tính tổng của tất cả các số tự nhiên x, biết x là số có hai chữ số và 12 < x < 91
Bài 6: Tính tổng của các số tự nhiên a , biết a có ba chữ số và 119 < a < 501
Tính tổng các chữ số của a
Bài 7: Tính 1 + 2 + 3 + + 1998 + 1999
Bài 8: Tính tổng của:
a/ Tất cả các số tự nhiên có 3 chữ số b/ Tất cả các số lẻ có 3 chữ số
b/ S2 = 101+ 103+ + 997+ 999
Bài 9Tính tổng a/ Tất cả các số: 2, 5, 8, 11, ., 296 b/ Tất cả các số: 7, 11, 15, 19, ., 283 Bài 10: Cho dãy số:
a/ 1, 4, 7, 10, 13, 19 b/ 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29 c/ 1, 5, 9, 13, 17, 21,
Trang 3H·y t×m c«ng thøc biÓu diÔn c¸c d·y sè trªn
Ghi chó: C¸c sè tù nhiªn lÎ lµ nh÷ng sè kh«ng chia hÕt cho 2, biÓu diÔn lµ 2k 1, k N
C¸c sè tù nhiªn ch½n lµ nh÷ng sè chia hÕt cho 2, c«ng thøc biÓu diÔn lµ 2k, k N)
*D¹ng 3: T×m x
Bµi 1:Tìm x N biết
a) (x –15) 15 = 0 b) 32 (x –10
) = 32
Bµi 2:Tìm x N biết :
a ) (x – 15 ) – 75 = 0 b)575- (6x +70) =445
c) 315+(125-x)= 435
Bµi 3:Tìm x N biết :
a) x –105 :21 =15
b) (x- 105) :21 =15
Trang 4Bµi 4: Tìm số tự nhiên x biết
a( x – 5)(x – 7) = 0 b/ 541 + (218 – x) = 735 c/ 96 – 3(x
+ 1) = 42 d/ ( x – 47) – 115 = 0 e/ (x – 36):18 = 12
BTNC a) Tính tổng của các sống tự nhiên từ 1 đến 999;
b) Viết liên tiếp các số tự nhiên từ 1 đến 999 thành một hang ngang ,ta được số 123….999 tính tổng các chữ số của số đó
1.Tìm số có hai chữ số,biế rằng nếu viêt chữ số 0 xen giữa hai chữ của số đó thì được
số có ba chữ số gấp 9 lần số có hai chữ số ban đầu
2.a)Hãy viết liên tiếp 20 chữ số 5 thành một hàng ngang,rồi đặt dấu + xen giữa các chữ
số đó để được tổng bằng 1000
b) Hãy viết liên tiếp tám chữ số 8 thành một hàng ngang,rồi đặt dấu + xen giữa các chữ
số đó để được tổng bằng 1000
3.Chia các số tự nhiên từ 1 đến 100 thành hai lớp : lớp số chẵn và lớp số lẻ.hỏi lớp nào
có tổng các chữ số lớn hơn và lớn hơn bao nhiêu?
4 Điền các chữ số thích hợp vào các chữ để được phép tính đúng : a) 1ab + 36 = 1
ab ;
b) abc + acc + dbc = bcc
5 Cho ba chữ số a,b,c với 0 < a < b < c ;
a) Viết tập hợp A các số có ba chữ số ,mỗi số gồm cả ba chữ số a, b ,c:
b) Biết rằng tổng hai số nhỏ nhất trong tập hợp A bằng 488.tìm tổng các chữ
a + b + c
5 Cho 1 bảng vuông gồm 9 ô vuông như hình vẽ
hãy điền vào các ô của bảng các số tự nhiên từ 1 đến 10
(mỗi số chỉ được viết một lần) sao cho tổng các số ở
mỗi hang ,mỗi cột ,mỗi đường chéo bằng nhau
6 Kí hiệu n! là tích của các số tự nhiên từ 1 đến n : n! = 1.2.3…n
Tính : S = 1.1! + 2.2! + 3.3! + 4.4! + 5.5!
7 Trong một tờ giấy kẻ ô vuông kích thước 50.50 ô vuông trong mỗi ô người ta viết một số tự nhiên biết rằng bốn ô tạo thành một hình như hình vẽ thì tổng các
số trong bốn ô đó đều bằng 4 hãy chứng tỏ rằng mỗi số đó đều bằng 1
8.Một số có bảy chữ số ,cộng với số được viets bảy chữ số đó nhưng theo thứ tự ngược lại thì được tổng là số có bảy chữ số.hãy chứng tổ rằng tổng tìm được có ít nhất một chữ số chẵn
9.Cho bảng gồm 16 ô vuông như hình vẽ hãy điền vào các
ô bảng của bảng các số tự nhiên lẻ từ 1 đến 31 (mỗi số chỉ
viết một lần.) sao cho tổng các số trong cùng một hàng,
cùng một cột , cùng một đường chéo đều bằng nhau
10.Cho dãy số 1,2,3,5,8,13,21,34,….( dãy số phi bô na xi) trong
đó mỗi số (bắt đầu từ số thứ ba) bằng tổng hai số đứng liền trước
nó.chọn trong dãy số đó 8 số liên tiếp tùy ý.chứng minh rằng tổng của 8 số này không phải là một số của dãy đã cho
4
10 2
8
15 29
23 5
27 9
Trang 511 Một số chắn có bốn chữ số, trong đó chứ số hàng trăm và chứ số hang chục lập thành một số gấp ba lần chữ số hàng nghìn và gấp hai lần chữ số hang đơn vị.tìm số
đó
12.Tìm các số a,b,c,d trong phếp tính sau:
abcd + abc + ab + a = 4321
13.Hai người chơi một trò chơi lần lượt bốc những viên bi từ hai hộp ra ngoài.mỗi người đến lượt mình bốc một số viên bi tùy ý người bốc viên bi cuối cùng đối với cacr hai hộp là người thắng cuộc.biết rằng ở hộp thứ nhất có 190 viên bi ,hộp thứ hai có 201 viên bi.hãy tìm thuật chơi để đảm bảo người bốc bi đầu tiên là người thắng cuộc
Bài tập cñng cè
1 Tính giá trị của biểu thức một cách hợp lí:
A = 100 + 98 + 96 + ….+ 2 - 97 – 95 - …- 1 ;
B = 1 + 2 – 3 – 4 + 5 + 6 – 7 – 8 + 9 + 10 – 11 – 12 + …- 299 – 330 + 301 + 302;
2 Tính nhanh
a) 53.39 +47.39 – 53.21 – 47.21 b)2.53.12 + 4.6.87 – 3.8.40; c) 5.7.77 – 7.60 + 49.25 – 15.42
3.Tìm x biết:
a) x : [( 1800+600) : 30] = 560 : (315 - 35); ab) [ (250 – 25) : 15] : x = (450 - 60):
130
4 Tổng của hai số bằng 78293.số lớn trong hai số đó co chữ số hàng dơn vị là 5 ,chữ hàng chục 1,chữ số trăm là 2.nếu ta gạch bỏ các chữ số đó đi thì ta được một số bằng
số nhỏ nhất tìm hai số đó
5.Một phếp chia có thương là 6 dư 3 tổng của số bị chia ,số chia và số dư là 195.tìm
số bị chia và số chia
6.Tổng của hai số có a chữ số là 836.chữ số hàng trăm của số thứ nhất là 5 ,của số thứ hai là 3 nếu gạch bỏ các chữ số 5 và 3 thì sẽ được hai số có hai chữ số mà số này gấp
2 lần số kia.tìm hai số đó
7.Một học sinh khi giải bài toán đáng lẽ phải chia 1 số cho 2 và cộng thương tìm được với 3 nhưng do nhâm lẫn em đó đã nhân số đó với 2 và sau đó lấy tích tìm được trừ đi
3 mặc dù vậy kết quả vẫn đúng hỏi số cần phải chia cho 2 là số nào?
8 Tìm số có ba chữ số biết rằng chữ số hàng trăm bằng hiệu của chữ số hàng chục với chữ số hàng đơn vị.chia chữ số hàng chục cho chữ số hàng đơn vị thì được thương
là 2 và dư 2.tích của số phải tìm với 7 là 1 số có chữ số tận cùng là 1
9 Tìm số tự nhiên a ≤ 200 biết rằng khi chia a cho số tự nhiên b thì được thương là
4 và dư 35
10 Viết số A bất kì có 3 chữ số ,viết tiếp 3 chữ số đó 1 lần nữa ta được số B có 6 chữ số.chia số B cho 13 ta được số C chia C cho 11 ta được số D.lại chia số D cho 7.tìm thưởng của phép chia này
11 Khi chia số M gồm 6 chữ số giống nhau cho số N gồm 4 chữ số giống nhau thì được thương là 233 và số dư là 1 số r nào đó sau khi bỏ 1 chữ số của số M và 1 chữ số của số N thì thương không đổi và số dư giảm đi 1000.tìm 2 số M và N?
* C¸c bµi to¸n vÒ d·y sè viÕt theo quy luËt
Bµi to¸n 1: TÝnh c¸c tæng sau
a) 1 2 3 4 n b) 2 4 6 8 2.n
c) 1 3 5 (2 n 1) d) 1 4 7 10 2005
e) 2+5+8+……+2006 g) 1+5+9+….+2001
Trang 6Giải; a) ( )
2
b)số số hạng (2n – 2) : 2 + 1= n Tổng =
Bài toán 2: Tính nhanh tổng sau: A 1 2 4 8 16 8192
Bài toán 3: a) Tính tổng các số lẻ có hai chữ số
b) Tính tổng các số chẵn có hai chữ số
Bài toán 4: a) Tổng 1+2+3+….+n có bao nhiêu số hạng để kết quả của tổng bằng
190
b) Có hay không số tự nhiên n sao cho 1 2 3 n 2004
c) Chứng minh rằng: (1 2 3 n) 7 không chia hết cho 10 n N
Bài toán 5: a) Tính nhanh 1.2 2.3 3.4 1999.2000
b) áp dụng kết quả phần a) tính nhanh B 1.1 2.2 3.3 1999.1999
c) Tính nhanh : C 1.2.3 2.3.4 48.49.50
Hãy xây dựng công thức tính tổng a) và c) trong tr-ờng hợp tổng quát
Bài toán 6: Tìm số hạng thứ 100, số hạng thứ n của các dãy số sau:
a) 3;8;15; 24;35; b) 3; 24;63;120;195; c) 1;3;6;10;15; d) 2;5;10;17; 26; e) 6;14; 24;36;50; g) 4; 28;;70;130;
Bài toán 7: Cho dãy số 1;1 2;1 2 3;1 2 3 4;
Hỏi trong dãy số trên có số nào có chữ số tận cùng là 2 không ? Tại sao ?
Bài toán 8: Cho S1 1 2;S2 3 4 5;S3 6 7 8 9;S4 10 11 12 13 14; Tính
100
S
Bài toán 9: Tính bằng cách hợp lý
a) 41.66 34.41
3 7 11 79
b)
1 2 3 200
6 8 10 34
B
c) 1 5.6 2.10.12 4.20.24 9.45.54
1.3.5 2.6.10 4.12.20 9.27.45
Bài 21 Hãy chứng tỏ rằng hiệu sau có thể viết thành một tích của hai thừa số
giống nhau :
11111111 – 2222
Bài 22 Tìm kết quả của phép nhân sau
a)
2005 2005
33 3.99 9
c s c s
A b)
2005 2005
33 3.33 3
c s c s
Bài 23 Chứng tỏ rằng các số sau có thể viết đ-ợc thành tích của hai số tự nhiên
liên tiếp
a 111222 b 444222 c A= 11 122 2
n c.s1 n c.s2
Giải : Do 111222 : 111 = 1002 nên 111222 = 111.1002 = 111 3 334 = 333.334
Bài toán 1: Cho ba chữ số a, b, c Gọi A là tập hợp các số tự nhiên gồm cả ba chữ
số trên
a) Viết tập hợp A b) Tính tổng các phần tử của tập hợp A
Bài toán 2: Cho ba chữ số a, b, c sao cho 0 a b c.
a) Viết tập A các số tự nhiên có ba chữ số gồm cả ba chữ số trên
b) Biết tổng của hai số nhỏ nhất trong tập A bằng 448 Tìm ba chữ số a, b, c nói
trên
Bài toán 11: Ng-ời ta viết liền nhau dãy số tự nhiên bắt đầu từ 1: 1,2,3,4,5,…Hỏi
chữ số thứ 659 là chữ số nào ?
Trang 7Bµi to¸n 12: Cho S 7 10 13 100
a) TÝnh sè sè h¹ng cña tæng trªn b) T×m sè h¹ng thø 22 cña tæng c) TÝnh tæng S
Bµi to¸n 14: Chøng tá r»ng sè A= 11 122 2
n c.s1 n c.s2
lµ tÝch cña hai sè tù nhiªn liªn tiÕp
Bµi to¸n 15: Trong hÖ thËp ph©n sè A ®-îc viÕt b»ng 100 ch÷ sè 3, sè B ®-îc viÕt
b»ng 100 ch÷ sè 6 H·y tÝnh tÝch A.B