Tuyển tập đề thi học sinh giỏi Toán lớp 6

Cuối năm có thêm 4 học sinh đạt loại giỏi nên số học sinh giỏi bằng 3 2 số còn lại... hay ababab là bội của 3..[r]

PHÒNG GD&ĐT HUYỆN TƯ

NGHĨA

KÌ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN

Năm học: 2016 - 2017Môn thi: Toán 6Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

TUYỂN TẬP ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 6

Câu 4 (3,0 điểm) Ở lớp 6A, số học sinh giỏi học kỳ I bằng 37 số còn lại Cuối năm có

thêm 4 học sinh đạt loại giỏi nên số học sinh giỏi bằng 32 số còn lại Tính số học sinh của lớp 6A

Câu 5 (2,0 điểm) Cho ababab là số có sáu chữ số, chứng tỏ số ababab là bội của 3

Câu 6 (5,0 điểm) Cho xAy, trên tia Ax lấy điểm B sao cho AB = 5 cm Trên tia đối của

tia Ax lấy điểm D sao cho AD = 3 cm, C là một điểm trên tia Ay

a) Tính BD

b) Biết BCD = 850, BCA = 500 Tính ACD

c) Biết AK = 1 cm (K thuộc BD) Tính BK

Đáp án đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 6

b) A = 12 n+1 2 n+3 = 6-

A là số nguyên khi 2n + 3 Ư(17) ⇔ 2n + 3 {±1 ;± 17}

⇔ n {−10 ;−2 ;−1 ;7}

0,50,50,50,5



0,50,50,5

0,25

0,25

0,25

0,250,25

Câu 4

(3,0 điểm)

Số học sinh giỏi kỳ I bằng 103 số học sinh cả lớp

Số học sinh giỏi cuối bằng 52 số học sinh cả lớp

0,75

Câu 5

(2,0 điểm)

ababab = ab 10000 + ab 100 + ab = 10101 ab

Do 10101 chia hết cho 3 nên ababab chia hết cho 3

0,50,5

hay ababab là bội của 3 0,5

Vì A nằm giữa D và B => Tia CA nằm giữa 2 tia CB và CD

=> ACD + ACB = BCD

=> ACD = BCD - ACB = 850 - 500 = 350

c) Biết AK = 1 cm (K thuộc BD) Tính BK

* Trường hợp 1: K thuộc tia Ax

- Lập luận chỉ ra được K nằm giữa A và B

- Suy ra: AK + KB = AB KB = AB – AK = 5 – 1 = 4 (cm)

* Trường hợp 2: K thuộc tia đối của tia Ax

- Lập luận chỉ ra được A nằm giữa K và B

0,25

0,5

0,250,50,250,250,50,250,25(Bài thi của thí sinh giải theo cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa)

Câu I: (4.0 điểm) Thực hiện phép tính

2) Tìm hai số tự nhiên a và b, biết: BCNN(a, b) = 420; ƯCLN(a, b) = 21 và a + 21 = b.

Câu III: (4.0 điểm)

1) Chứng minh rằng: Nếu 7x + 4y37 thì 13x +18y37

Câu IV (6.0 điểm)

Cho xÂy, trên tia Ax lấy điểm B sao cho AB = 6 cm Trên tia đối của tia Ax lấy điểm D sao cho AD = 4 cm

4 n− 10 đạt GTLN Tìm giá trị lớn nhất đó

Đáp án đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 6

Lần lượt so sánh từng phân số của P và Q với các tử là: 2010; 2011;

2012 thấy được các phân thức của P đều lớn hơn các phân thức của Q

Kết luận: P > Q

1.0

0.75

0.25b) Từ dữ liệu đề bài cho, ta có:

+ Vì ƯCLN(a, b) = 21, nên tồn tại các số tự nhiên m và n khác 0, sao

cho:

a = 21m; b = 21n (1)

+ Vì BCNN(a, b) = 420, nên theo trên, ta suy ra:

Trong các trường hợp thoả mãn các điều kiện (2) và (3), thì chỉ có

Trường hợp: m = 4, n = 5 hoặc m = 2, n = 3 là thoả mãn điều kiện

a) Vì B thuộc tia Ax, D thuộc tia đối của tia Ax

c) * Trường hợp 1: K thuộc tia Ax

- Lập luận chỉ ra được K nằm giữa A và B

- Suy ra: AK + KB = AB

 KB = AB – AK = 6 – 2 = 4 (cm)

* Trường hợp 2: K thuộc tia đối của tia Ax

- Lập luận chỉ ra được A nằm giữa K và B

0.50.50.50.50.250.250.250.25

0.250.250.25

0.25

0.250.25

ĐỀ SỐ 3

PHÒNG GD&ĐT QUỲNH LƯU

TRƯỜNG THCS QUỲNH GIANG

ĐỀ THI HSG CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2015 - 2016

Môn toán lớp 6Thời gian làm bài: 120 phút

n

n N n





 là phân số tối giản

ĐỀ CHÍNH THỨC

b) Tìm các giá trị nguyên của n để phân số B =

3

n n



 có giá trị là số nguyên

Câu 4 (1,0 điểm) Tìm số tự nhiên nhỏ nhất sao cho khi chia số đó cho 3 dư 1; chia cho 4

dư 2; chia cho 5 dư 3; chia cho 6 dư 4 và chia hết cho 11

Câu 5 (2,0 điểm) Trên cùng nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox vẽ 3 tia Oy, Oz, Ot sao cho

xOy  xOz  xOt 

a) Tính yOz và zOt

b) Trong 3 tia Oy, Oz, Ot tia nào nằm giữa 2 tia còn lại? Vì sao?

c) Chứng minh: Oz là tia phân giác của góc yOt

Câu 6 (1,0 điểm) Chứng minh rằng: 1

50

Câu 2 (Mỗi câu đúng, cho 1,0 điểm)

a) Ta có: M = 5 + 52 + 53 + … + 580

= 5 + 52 + 53 + … + 580 = (5 + 52) + (53 + 54) + (55 + 56) + + (579 + 580)

= (5 + 52) + 52.(5 + 52) + 54(5 + 52) + + 578(5 + 52)

= 30 + 30.52 + 30.54 + + 30.578 = 30 (1+ 52 + 54 + + 578)  30

b) Ta thấy : M = 5 + 52 + 53 + … + 580 chia hết cho số nguyên tố 5

Mặt khác, do: 52+ 53 + … + 580 chia hết cho 52 (vì tất cả các số hạng đều chia hết cho 52)

 M = 5 + 52 + 53 + … + 580 không chia hết cho 52 (do 5 không chia hết cho 52)

 M chia hết cho 5 nhưng không chia hết cho 52

 M không phải là số chính phương

(Vì số chính phương chia hết cho số nguyên tố p thì chia hết cho p2)

Câu 3 (Mỗi câu đúng, cho 1,0 điểm)

a) Chứng tỏ rằng:  

2 5,3

n

n N n





 là phân số tối giản

Gọi d là ước chung của n + 3 và 2n + 5 với d  N

n

n N n





 là phân số tối giản

b) Tìm các giá trị nguyên của n để phân số B =

3

n n

n n

 

 = 2 -

13

n 

Để B có giá trị nguyên thì

13

n  nguyên

Gọi số phải tìm là x Theo bài ra ta có x + 2 chia hết cho 3, 4, 5, 6

 x + 2 là bội chung của 3, 4, 5, 6

Mà BCNN(3; 4; 5; 6) = 60 nên x + 2 = 60.n

Do đó x = 60.n – 2; (n = 1; 2; 3… )

Mặt khác xM11 nên lần lượt cho n = 1; 2; 3… Ta thấy n = 7 thì x = 418 M11Vậy số nhỏ nhất phải tìm là 418

Câu 5 (Vẽ hình đúng, cho 0,5 điểm Còn lại mỗi ý 0,5 điểm)

a) xOy xOz (300 < 700)

 Tia Oy nằm giữa 2 tia Ox và Oz

y t

300

c) Theo trên: Tia Oz nằm giữa 2 tia Oy và Ot và có: yOz = 400; zOt = 400

 Oz là tia phân giác của góc yOt

Câu 1 (1,5 điểm): Thực hiện phép tính.

b) Tìm số tự nhiên nhỏ nhất sao cho khi chia cho 11 dư 6, chia cho 4 dư 1và chia cho 19

Câu 4 (2,5 điểm): Cho nửa mặt phẳng bờ AB chứa hai tia đối OA và OB.

a) Vẽ tia OC tạo với tia OA một góc bằng ao, vẽ tia OD tạo với tia OCC một góc bằng (a + 10)o và với tia OB một góc bằng (a + 20)o

Tính ao

b) Tính góc xOy, biết góc AOx bằng 22o và góc BOy bằng 48o

c) Gọi OE là tia đối của tia OD, tính số đo góc kề bù với góc xOD khi góc AOC bằng ao

Câu 5 (1,5 điểm): ChoA 1020121020111020101020098

a) Chứng minh rằng A chia hết cho 24

b) Chứng minh rằng A không phải là số chính phương.

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2014 - 2015

A 

0,25

M =

2 3 2012 2014

Để x nguyên thì 3y – 2  Ư(-55) = 1;5;11;55; 1; 5; 11; 55     0,25+) 3y – 2 = 1 => 3y = 3 => y = 1, thay vào (1) => x = 28

0,25

+) 3y – 2 = - 1 => 3y = 1 => y =

1

3 (Loại) +) 3y – 2 = -5 => 3y = -3 => y = -1, thay vào (1) => x = 5

+) 3y – 2 = -11 => 3y = -9 => y = -3 , thay vào (1) => x = 2

+) 3y – 2 = -55 => 3y = -53 => y =

53 3



(Loại)Vậy ta có 4 cặp số x, y nguyên thoả mãn là

COD COA a  a Nên tia OC nằm giữa hai tia OA v à OD 0,25

=> AOC COD DOB  AOB

=> ao + (a + 10)o + (a + 20)o = 180o

b

Tính góc xOy, biết góc AOx bằng 22o và góc BOy bằng 48o

Ta có : AOy180o  BOy 180o 48o 132o AOx22o

=> AOx xOy AOy22o xOy132o xOy 132o 22o 110o 0,25

c

Gọi OE là tia đối của tia OD, tính số đo góc kề bù với góc xOD khi góc

V ì tia OC nằm giữa hai tia OA và OD nên

AOC COD AOD  AOD a oa10o 2a o10o 2.50o10o 110o 0,25

Vì AOx  AOD(22o 110 )o nên tia Ox nằm giữa hai tia OA và OD

=> AOx xOD AOD  22o xOD110o xOD 110o 22o 88o

Vậy số đo góc kề bù với góc xOD có số đo là : 180o – 88o = 92o 0,25

1, nên các số 102012 ; 102011 ; 102010 ; 102009 khi chia cho 3 đều có số dư bằng 1

8 chia cho 3 dư 2

0,25Vậy A chia cho 3 có số dư là dư của phép chia (1 + 1 + 1 + 1 + 2) chia cho 3

Hay dư của phép chia 6 chia cho 3 (có số dư bằng 0)

Vậy A chia hết cho 3

Vì 8 và 3 là hai số nguyên tố cùng nhau nên A chia hết cho 8.3 = 24 0,25

Chú ý: - Mọi cách giải thích khác nếu đúng ghi điểm tối đa

-HẾT -ĐỀ SỐ 5

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HUYỆN HOẰNG HOÁ

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 6NĂM HỌC 2014 - 2015MÔN THI: TOÁNNgày thi: 18/03/2015Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)(Đề thi này có 05 câu, gồm 01 trang)

Bài 1 (4,5 điểm) Tính giá trị các biểu thức sau:

b Tìm các chữ số x; y để A = x183ychia cho 2; 5 và 9 đều dư 1.

c Chứng tỏ rằng nếu p là số nguyên tố lớn hơn 3 thì p2 - 1 chia hết cho 3

Bài 3 (4,5 điểm)

a Cho biểu thức:

53

B n



 (n Z n ,  3)

Tìm tất cả các giá trị nguyên của n để B là số nguyên

b.Tìm các số nguyên tố x, y sao cho: x2+ 117 = y2

c Số 2100 viết trong hệ thập phân có bao nhiêu chữ số

Bài 4 (5,0 điểm)

Cho góc xBy = 550 Trên các tia Bx; By lần lượt lấy các điểm A; C

(A  B; C B) Trên đoạn thẳng AC lấy điểm D sao cho ABD = 300

a Tính độ dài AC, biết AD = 4cm, CD = 3cm

b Do A =x183ychia cho 2 và 5 đều dư 1 nên y = 1 Ta có A = x1831

Vì A = x1831 chia cho 9 dư 1  x1831 - 1  9  x1830  9

0,5 đ

0,5 đ

 x + 1 + 8 + 3 + 0  9  x + 3  9, mà x là chữ số nên x = 6

c Xét số nguyên tố p khi chia cho 3.Ta có: p = 3k + 1 hoặc p = 3k + 2 ( kN*)

Nếu p = 3k + 1 thì p2 - 1 = (3k + 1)2 -1 = 9k2 + 6k chia hết cho 3

Nếu p = 3k + 2 thì p2 - 1 = (3k + 2)2 -1 = 9k2 + 12k chia hết cho 3

Vậy p2 - 1 chia hết cho 3

0.25đ0.25đ0.25đ0.25đ

c) Xét hai trường hợp:

- Trường hợp 1: Tia Bz và BD nằm về hai phía nửa mặt phẳng có bờ là AB nên

tia BA nằm giữa hai tia Bz và BD

Tính đượcABz900  ABD= 900−300=600

- Trường hợp 2: Tia Bz, và BD nằm về cùng nửa mặt phẳng có bờ là AB nên tia

BD nằm giữa hai tia Bz và BA

Tính được ABz, = 900 + ABD = 900+300=1200

0,5 đ

0,5 đ0,5 đ