Đề thi vào lớp 10 chuyên môn toan 2020 - 2021

- Thí sinh làm bài theo cách khác với hướng dẫn chấm mà đúng thì tổ chấm cần thống nhất cho điểm tương ứng với thang điểm của hướng dẫn chấm.. - Điểm bài thi là tổng điểm các câu khôn[r]



Tài liệu sưu tầm

TUYỂN TẬP ĐỀ VÀO LỚP 10 CHUYÊN MÔN TOÁN 2020-2021

Tài liệu sưu tầm, ngày 24 tháng 8 năm 2020

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐH KHOA HỌC TỰ NHIÊN TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHTN NĂM 2020 ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10

MÔN THI: TOÁN (cho tất cả các thí sinh) Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian phát đề) Câu I (4 điểm)

Câu II (2 điểm)

Câu III (3 điểm)

Cho tam giác ABCcó  BAClà góc nhỏ nhất trong ba góc của tam giác và nội tiếp đường

tròn (O) Điểm Dthuộc cạnh BCsao cho ADlà phân giác BAC .Lấy các điểm M N ,

thuộc (O) sao cho đường thẳng CM BN , cùng song song với đường thẳng AD

1) Chứng minh rằng AM = AN

2) Gọi giao điểm của đường thẳng MNvới các đường thẳng AC AB , lần lượt là E F ,

Chứng minh rằng bốn điểm B C E F , , , cùng thuộc một đường tròn

3) Gọi P Q , theo thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳng AM AN , Chứng minh rằng các đường thẳng EQ FP AD , , đồng quy

Câu IV (1 điểm)

Với a b c , , là những số thực dương thỏa mãn a + + = b c 3.Chứng minh rằng:

Nếu x = y ,hệ phương trình trở thành

2 3

( )

11 ( )

Vậy phương trình có nghiệm ( ) ( ) x y ; = 1;1

2) Với a b , là những số thực dương thỏa mãn 2 ≤ 2 a + 3 b ≤ 5 1 ; ( )

F

E N

M

D O A

B

C

Vậy AM = AN(trong một đường tròn, hai dây bằng nhau căng hai cung bằng nhau)

2) Chứng minh rằng 4 điểm B C E F , , , cùng thuộc một đường tròn

3) Chứng minh các đường thẳng EQ FP AD , , đồng quy

Áp dụng định lý Mê-lê-na-uýt trong tam giác AHN ,cát tuyến EKQ, ta có:

Gọi AD ∩ PE = { } K ' Ta đi chứng minh K ' ≡ K

Áp dụng định lý Mê-lê-na-uýt trong tam giác AHM ,cát tuyến PKFta có:

Tiếp tục áp dụng định lý đường phân giác trong tam giác AEFta có: AF HF ( ) 4

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI CỘNG HÒA XA HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập – Tự do – Hạnh phúc

ĐỀ CHÍNH THỨC Bài 1 (2,0 điểm)

x − m − x + m − = (mlà tham số) Tìm các giá trị của

mđể phương trình trên có 2 nghiệm x x1, 2thỏa mãn:

c) Hai ô tô cùng khởi hành một lúc trên quãng đường từ A đến Bdài 120km Vì mỗi

giờ ô tô thứ nhát chạy nhanh hơn ô tô thứ hai là 10kmnên đến Btrước ô tô thứ hai

là 0, 4giờ Tính vận tốc mỗi ô tô, biết rằng vận tốc của mỗi ô tô là không đổi trên cả

quãng đường AB

Bài 3 (1,5 điểm)

Bác An muốn làm một cửa sổ khuôn gỗ, phía trên có dạng nửa hình tròn, phía

dưới có dạng hình chữ nhật Biết rằng : đường kính của nửa hình tròn cũng là

cạnh phía trên của hình chữ nhật và tổng độ dài các khuôn gỗ (các đường in

đậm vẽ trong hình bên, bỏ qua độ rộng của khuôn gỗ) là 8 m Em hãy giúp bác

An tính độ dài các cạnh của hình chữ nhật để cửa sổ có diện tích lớn nhất

Bài 4 (3,0 điểm)

Cho đường tròn ( ) O và một điểm nằm ngoài đường tròn Kẻ tiếp tuyến ABvới

đường tròn ( ) O (B là tiếp điểm) và đường kính BC Trên đoạn thẳng COlấy điểm I(I

khác C và O) Đường thẳng IAcắt ( ) O tại hai điểm Dvà E(Dnằm giữa A và E) Gọi H

là trung điểm của đoạn thẳng DE

= − + + = − + > ∀ ⇒Phương trình đã cho luôn có hai

nghiệm phân biệt x x1, 2với mọi m

Gọi vận tốc của ô tô thứ nhất là x km h ( / )( x > 10 )

⇒Thời gian ô tô thứ nhất đi hết quãng đường ABlà 120 ( ) h

Vì ô tô thứ nhất đến B trước ô tô thứ hai là 0, 4 2

Vậy vận tốc của ô tô thứ nhất là 60 km h / và vận tốc của ô tô thứ hai:60 10 − = 50( km h / )

Bài 3 Tính độ dài cạnh và diện tích lớn nhất

Gọi đường kính của nửa hình tròn là x m ( )( 0 < < ⇒ x 8 ) Bán kính của nửa đường tròn

( )

2

x

m

Khi đó cạnh phía trên của hình chữ nhật: x m ( )

Gọi cạnh còn lại của hình chữ nhật là y m ( )( 0 < < y 8 )

Độ dài nửa đường tròn phía trên: 1 ( )

K

H D

E C

B

O A

I

Xét ∆ ABDvà ∆ AEBcó: Achung;   ABD = AEB(góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và

dây cung cùng chắn BD ) ⇒ ∆ ABD  ∆ AEB g g ( )

 

⇒ = (hai góc nội tiếp cùng chắn cung OH)

Mà OAH   = HEK(so le trong do d / / OA )

⇒ = = (hai góc nội tiếp cùng chắn cung HB )

Mà DEB   = DCB(hai góc nội tiếp cùng chắn BD ) ⇒ HKB   = DCB(hai góc nội tiếp cùng

chắn cung BD ) ⇒   HKB = DCB ( = DEB  ) Lại có hai góc này ở vị trí đồng vị bằng nhau

⇒ = = (hai góc nội tiếp cùng chắn cung OQ )

Lại có: OBQ    = CBQ = CDQ(hai góc nội tiếp cùng chắn cung CQ )

Xét ∆ ABPvà ∆ AQPcó: AP chung ;   BAP = QAP(tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau);

AB = AQ( tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)⇒ ∆ ABP = ∆ AQP c g c ( )

Từ (1) và (2) ⇒ CBE   = ABP ( =  AQP )

⇒ là trung điểm của EF

Xét tứ giác BECF có hai đường chéo BC EF , cắt nhau tại trung điểm mỗi đường

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH

TRƯỜNG PHỔ THÔNG NĂNG KHIẾU

HỘI ĐỒNG TUYỂN SINH LỚP 10

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10

Năm học 2020 – 2021 Môn thi: TOÁN (không chuyên)

Thời gian làm bài 120 phút, không kể giao đề

Câu 1 (1,0 điểm) Cho ba biểu thức

x

=+

b) Cho hai số thực m n , thỏa mãn hai đường thẳng ( ) d : y = mx + nvà

( ) d1 : y = + x 3 m + 2 n − mncắt nhau tại điểm I ( ) 3;9 Tính giá trị của mnvà m

Câu 4 (1,0 điểm) Một kho hàng nhập gạo (trong kho chưa có gạo) trong 4 ngày liên tiếp

và mỗi ngày (kể từ ngày thứ hai) đều nhập một lượng gạo bằng 120%lượng gạo đã nhập vào kho ngày trước đó Sau đó, từ ngày thứ năm kho ngừng nhập và mỗi ngày kho lại xuất một lượng gạo bằng 1

10lượng gạo kho ở ngày trước đó Hãy tính lượng gạo kho hàng nhập ngày thứ nhất trong mỗi trường hợp sau :

a) Ngày thứ ba, sau khi nhập xong thì trong kho có 91tấn gạo

b) Tổng số gạo đã xuất trong các ngày thứ năm và thứ sáu là 50,996tấn gạo,

Câu 5 (3,0 điểm) Cho tam giác ABCnội tiếp đường tròn ( ) T có tâm O, có AB = AC ,và

90

BAC > Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng AC Tia MOcắt đường tròn ( ) T tại điểm D Đường thẳng BClần lượt cắt các đường thẳng AOvà ADtại các điểm N P ,

a) Chứng minh rằng tứ giác OCMNnội tiếp và  BDC = 4. ODC 

b) Tia phân giác của  BDPcắt đường thẳng BCtại điểm E .Đường thẳng MEcắt

đường thẳng ABtại điểm F Chứng minh rằng CA = CPvà ME ⊥ DB

c) Chứng minh rằng tam giác MNEcân Tính tỉ số DE

DF

ĐÁP ÁN Câu 1

x

−

= + + (ĐKXĐ: x ≥ 0)

Ta có:

3 3

4 4

n n

Gọi O = AC ∩ BD ,Khi đó Olà tâm đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD

Hình chữ nhật ABCDnội tiếp đường tròn có bán kính R = 5 ( ) cm

A

D

a) Ngày thứ ba nhập xong thì có trong kho 91 tấn gạo

Gọi lượng gạo trong kho hàng nhập ngày thứ nhất là x(tấn ) (ĐK: x > 0)

Lượng gạo kho hàng nhập ngày thứ hai là : x 120% 1, 2 = x(tấn)

Lượng gạo kho hàng nhập ngày thứ ba là : 1, 2 120% 1, 44 x = x(tấn)

Sau ngày thứ ba, lượng gạo có trong kho là : x + 1, 2 x + 1, 44 x = 3,64 x(tấn)

Vì ngày thứ ba, sau khi nhập xong thì trong kho có 91 tấn nên ta có phương trình:

b) Tổng số gạo đã xuất trong các ngày thứ 5, thứ 6 là 50,966tấn

Lượng gạo kho hàng nhập ngày thứ tư là 1, 44 120% 1,728 x = x(tấn)

Sau ngày thứ tư, lượng gạo có trong kho là : x + 1, 2 x + 1, 44 x + 1,728 x = 5,368 x(tấn)

Từ ngày thứ 5 kho ngừng nhập và mỗi ngày kho lại xuất một lượng gạo bằng 1

10lượng gạo trong kho ở ngày trước đó nên:

Số gạo xuất trong ngày thứ 5 là : 1 5,368 0,5368

Số gạo còn lại sau ngày thứ 5 là : 5,368 x − 0,5368 x = 4,8312 x(tấn)

Số gạo xuất trong ngày thứ 6 là : 1 4,8312 0.48312

Câu 5

a) Chứng minh OCMNlà tứ giác nội tiếp và BDC  = 4 ODC 

*) Ta có : AB = AC gt ( ) ⇒ Athuộc đường trung trực của BC

OB = OC(cùng bằng bán kính)⇒ Othuộc trung trực của BC

O

Ta có : AB = AC gt ( )nên sd AB  = sd AC (trong một đường tròn hai dây bằng nhau căng

hai cung bằng nhau)⇒   ADB = ADC(trong 1 đường tròn, hai góc nội tiếp chắn hai cung

Suy ra ∆ ACP cân tại C (tam giác có hai góc bằng nhau)⇒ CA = CP dfcm ( )

Ta có :   APC = DPB(hai góc đối đỉnh )

 

PAC = DBP(hai góc nội tiếp cùng chắn cung CD )

Mà   APC = PAC(do tam giác ACPcân tại C) (cmt)

CED = CMD = ⇒Tứ giác CDEM là tứ giác nội tiếp (tứ giác

có 2 đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh đối diện dưới các góc bằng nhau)

  

⇒ = = (hai góc nội tiếp cùng chắn cung MC )

Mà   MEC = BEF(đối đỉnh)⇒ BEF   = ADM ( ) 3

ADE + DPE = (do tam giác DEPvuông tại D)

Mà DAM    = APC = DPEnên    ADM = ADE = EDB (4)

Từ (3) và (4)⇒ BEF   = EDB

Gọi EF ∩ BD = { } I Ta có:      0

90

DEI + EDB = DEI + BEF = DEB =

DEI

⇒ ∆ vuông tại I⇒ DI ⊥ IEhay ME ⊥ DB dfcm ( )

c) Chứng minh tam giác MNEcân Tính DE

Ta có:   ANM = ACO(góc ngoài và góc trong tại đỉnh đối diện của tứ giác nội tiếp

)

OCMN mà    ACO = OAC = OABnên   ANM = OAB, hai góc này lại ở vị trí so le trong

  / /

Từ (5) và (6) suy ra BEF    = NME = NEM

Suy ra ∆ MNEcân tại N dfcm ( )

Vì ∆ BEFcân tại B(cmt) nên BE = BF

Xét ∆ BDEvà ∆ BDFcó: BE = BF cmt BD ( ); chung;EBD   = FBD(theo ( ) * )

1) Phân tích đa thức thành nhân tử: 2



2) Một tam giác vuông có cạnh huyền dài 10 cm Hai cạnh góc vuông hơn kém nhau

2 cm Tính độ dài hai cạnh góc vuông

Câu IV (2,0 điểm)

Cho đường tròn ( O R ; )và dây cung BC < 2 R Gọi Alà điểm chính giữa của cung nhỏ BC M , là điểm tùy ý trên cung lớn BC CM ( ≥ BM > 0 ) Qua Ckẻ tiếp tuyến d tới

( ) O Đường thẳng AM cắt dvà BClần lượt tại Qvà N Các đường thẳng MBvà ACcắt nhau tại P

1) Chứng minh : PQCM là tứ giác nội tiếp

2) Chứng minh rằng: PQsong song với BC

3) Tiếp tuyến tại Acủa ( ) O cắt dtại E Chứng minh rằng : 1 1 1

ĐÁP ÁN Câu I

E P

N

Q A

O

M

Ý 1 là tứ giác nội tiếp

Ta có là điểm chính giữa cung

(hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau)

Mà 2 góc này cùng nhìn là tứ giác nội tiếp

Ý 2 song song với

(góc nội tiếp cùng chắn hai cung bằng nhau )

Ta có : (góc nội tiếp chắn 2 cung bằng nhau)

là tiếp tuyến của đường tròn

Kẻ đường kính của Gọi là giao điểm đường trung trực của đoạn và

2020 2020

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

(Dành cho thí sinh thi chuyên Tin)

Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề

AD BE CFcắt nhau tạiH. Gọi M là trung điểm của BC

a) Chứng minh bốn điểm M D E F; ; ; cùng thuộc một đường tròn

AB BF +AC CE ≤ R

c) Khi vị trí các đỉnh A B C, , thay đổi trên đường tròn ( )O sao cho tam giác ABC luôn

nhọn, chứng minh bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác DEF không đổi

Câu 5 (1 điểm) Cho 3số thực dương , ,x y zthỏa mãn xy+ yz+zx=3xyz Chứng minh

3

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO

TẠO PHÚ THỌ

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN HÙNG VƯƠNG

NĂM HỌC 2020-2021 HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN TOÁN

(Dành cho thí sinh thi chuyên Tin)

Hướng dẫn chấm có 05 trang

I Một số chú ý khi chấm bài

- Đáp án chấm thi dưới đây dựa vào lời giải sơ lược của một cách Khi chấm thi giám khảo cần bám sát yêu cầu trình bày lời giải đầy đủ, chi tiết, hợp logic và có thể chia nhỏ đến 0,25 điểm

- Thí sinh làm bài theo cách khác với hướng dẫn chấm mà đúng thì tổ chấm cần thống nhất cho điểm tương ứng với thang điểm của hướng dẫn chấm

- Điểm bài thi là tổng điểm các câu không làm tròn số

II Đáp án – Thang điểm

Với n∈ ta có ( 5 )

10

n − n Thật vậy ( 5 ) ( ) ( ) ( 2 )

Hiệu của hai số bất kỳ trong nhóm trên luôn lớn hơn 0,nhỏ hơn 20 Trong các số

này có 2số có cùng số dư khi chia cho 5, hiệu 2 số này chia hết cho 5.Giả sử hai

Vậy phương trình có nghiệm là 2; 3 19

+ Với y=0 ( không thoả mãn)

+ Xét y≠0 Hệ phương trình tương đương

u x y v

+ =

+

x y u

a) Chứng minh bốn điểm M D E F; ; ; cùng thuộc một đường tròn

Vì BE CF; là đường cao nên   90BEC=BFC= 

⇒ Tứ giác BCEF nội tiếp đường tròn tâm M đường kính BC

2

ECF EBF EMF

c) Khi vị trí các đỉnh A B C, , thay đổi trên đường tròn ( ),O chứng minh rằng bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác DEF không đổi

Gọi A B C', ', 'lần lượt là giao điểm của các đường thẳng AD BE CF, , với (O)

Ta có :  A BC' = A AC' (góc nội tiếp cùng chắn cung A’C)

EBC =A AC (cùng phụ với góc ACB) ⇒ A BC' =EBC

0,25

Tam giác HBA' có BD⊥HA' ;  A BC' =EBC nên cân tại B ⇒BDlà đường trung

Tương tự có E ;F là trung điểm của HB’ , HC’

Suy ra DEF A B C' ' 'theo tỉ số đồng dạng 1

R = A B = = ⇒ = không đổi khi A,B,C thay đổi trên đường tròn (O) 0,25

Câu 5 (1 điểm): Cho 3số thực dương x y z, , thỏa mãn xyyzzx3xyz

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

(Dành cho thí sinh thi chuyên Toán)

Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề

2021 2

12

b) Cho dãy số gồm 4041 số chính phương liên tiếp, trong đó tổng của 2021 số đầu bằng tổng của 2020 số cuối Tìm số hạng thứ 2021của dãy số đó

Câu 4 (3,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC có trực tâm H và nội tiếp đường tròn ( ).O Gọi

P là điểm nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác HBC và nằm trong tam giácABC,(P≠B C H, , ). Gọi M là giao điểm của đường thẳng PB với đường tròn ( ),O ( M B≠ ); N

là giao điểm của đường thẳng PC với ( ),O (N ≠C ) Đường thẳng BM cắt AC tại E,

đường thẳng CN cắt AB tại F Đường tròn ngoại tiếp tam giác AME và đường tròn

ngoại tiếp tam giác ANF cắt nhau tại Q,(Q≠ A)

a) Chứng minh tứ giác AEPF nội tiếp

Hết

Họ và tên thí sinh: SBD:

Thí sinh không được sử dụng tài liệu Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

PHÚ THỌ TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN HÙNG VƯƠNG KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10

NĂM HỌC 2020-2021 HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN TOÁN

(Dành cho thí sinh thi chuyên Toán)

Hướng dẫn chấm có 06 trang

I Một số chú ý khi chấm bài

- Đáp án chấm thi dưới đây dựa vào lời giải sơ lược của một cách Khi chấm thi giám khảo cần bám sát yêu cầu trình bày lời giải đầy đủ, chi tiết, hợp logic và có thể chia nhỏ đến 0,25 điểm

- Thí sinh làm bài theo cách khác với hướng dẫn chấm mà đúng thì tổ chấm cần thống nhất cho điểm tương ứng với thang điểm của hướng dẫn chấm

- Điểm bài thi là tổng điểm các câu không làm tròn số

II Đáp án – thang điểm

2021 2

12

2020 2

2021 2

12

2 2

2 2

2 2

x x x x

Vậy hệ phương trình có nghiệm là:(1; 1 ;− ) (−1;0 ;) (−3;1 ;) (−5; 2) 0,25

b)Tìm các số nguyên x,y thỏa mãn: 2

Câu 4.(3 điểm): Cho tam giác nhọn ABC có trực tâm H và nội tiếp đường tròn ( ).O Gọi P

là điểm nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác HBC và nằm trong tam giácABC,(P≠B C H, , ). Gọi M là giao điểm của đường thẳng PB với đường tròn ( ),O ( M B≠ ); N

là giao điểm của đường thẳng PC với ( ),O (N ≠C ) Đường thẳng BM cắt AC tại E,

đường thẳng CN cắt AB tại F Đường tròn ngoại tiếp tam giác AME và đường tròn

ngoại tiếp tam giác ANF cắt nhau tại Q,(Q≠ A)

Từ tứ giác AEPF nội tiếp, suy ra   0

Ta có: QFA   =ANQ = ANM =ABM

suy ra FQ/ /BE tương tự EQ/ /CF suy ra tứ giác EQFP là hình bình hành 0,25 Vậy QAN   =QFP=QEP=QAM hay AQ là phân giác MAN suy ra A P Q, ,

Câu 1 (2,0 điểm) Cho biểu thức

Câu 4 (3,5 điểm) Từ một điểm A ở bên ngoài đường tròn (O) kẻ các tiếp tuyến AB, AC và

cát tuyến ADE với đường tròn (B, C là các tiếp điểm, AD < AE,   DB < DC) Qua điểm O

kẻ đường thẳng vuông góc với DE tại H, đường thẳng này cắt đường thẳng BC tại K Chứng minh:

a Tứ giác BCOH nội tiếp;

b KD là tiếp tuyến của đường tròn (O);

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT NĂM 2020

Môn thi: Toán (chuyên) (Dành cho thí sinh thi vào Trường THPT Chuyên Hạ Long)

Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề

(Đề thi này có 01 trang)

Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (a; b) sao cho ( )

2

ab

+ + là số nguyên

… Hết …

Thí sinh không được sử dụng tài liệu Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm

Họ và tên thí sinh: Số báo danh:

Chữ kí của cán bộ coi thi 1: Chữ kí của cán bộ coi thi 2:

Để phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt thì pt (*) có hai nghiệm

phân biệt t t1; 2 dương 1 2

(Hướng dẫn này có 03 trang)