Tiếp tuyến tại A của đường tròn (O) cắt các đường thẳng BC và BD lần lượt tại E và F. Gọi Q là trung điểm của AF ... a) Chứng minh rằng ACBD là hình chữ nhật..[r]
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 NĂM 2020-2021
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian phát đề
abbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbc d
d
d
d
d
d
d
Câu 1 (2 điểm)
√
x − 3 (√
x + 1)(√
x − 3)− 2(
√
x − 3)
√
x + 1 +
√
x + 3
3 −√
x, với x ≥ 0, x 6= 9.
a) Rút gọn biểu thức
b) Tìm x để P là số nguyên
e e e e e e e
fgggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggh Bài giải
√
x − 27 (√
x + 1)(√
x − 3)+
24 (√
x + 1)(√
x − 3)− 2(
√
x − 3)
√
x + 1 +
√
x + 3
3 −√ x
= (
√
x − 3)(x + 3√
x + 9) (√
x + 1)(√
x − 3) + 6
1
√
x − 3 −√ 1
x + 1
−2(
√
x + 1 − 4)
√
√
x − 3 + 6
3 −√ x
=√
x + √ 7
x + 1 + 2 + 6
1
√
x − 3− √ 1
x + 1
− 2 + √ 8
x + 1 − 1 − √ 6
x − 3
=√
x − 1 + √ 9
x + 1. Lúc đó ta có
√
x = P −
√
P2+ 4P − 32
Hoặc là
√
x = P +
√
P2+ 4P − 32
Điều này chứng tỏ rằng tồn tại vô số biến x ≥ 0 để P nguyên tùy ý với P ≥ 4
abbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbc d
d
d
d
d
d
d
d
Câu 2 (1.5 điểm)
Cho hàm số y = −3
4x + 3 có đồ thị (d).
a) Vẽ đồ thị (d)
b) Gọi A là giao điểm của (d) với trục tung Oy; B là giao điểm của (d) với trục hoành
Ox Tính chu vi tam giác OAB và khoảng cách từ O đến đường thẳng (d)
e e e e e e e e
fgggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggh Bài giải
A = (d) ∩ (Oy) nên ta có A(0, 3), B = (d) ∩ (Ox) nên ta có A(4, 0) Áp dụng Pythagorean ta có
AB =√
OA2+ OB2 = 5 Vậy nên chu vi tam giác OAB bằng 2P = 3 + 4 + 5 = 12
Khoảng cách từ O đến AB bằng dO,AB)) = OA.OB
3 · 4
12
5 .
Trang 2−1 1 2 3 4 5 1
2 3
4 A
B O
abbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbc d
d
d
d
Câu 3 (1 điểm)
Cho phương trình m(m2x − m − 2) = 8x + 4 với m là tham số, m 6= 2
Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có nghiệm nhỏ hơn -2
e e e e
fgggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggh Bài giải
Viết lại phương trình như sau
(m − 2)(m2+ 2m + 4)x = m2+ 2m + 4
Vì m 6= 2 và m2+ 2m + 4 = (m + 1)2+ 3 > 0, nên
m − 2. Theo yêu vầu bài toán thì
1
m − 2 < −2, hay là
2m − 3
m − 2 < 0.
Giải bất phương trình trên ta đươc 3
2 < x < 2.
abbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbc d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
Câu 4 (2.5 điểm)
Cho đường tròn tâm (O) có AB là đường kính Vẽ đường kính CD không trùng với
AB Tiếp tuyến tại A của đường tròn (O) cắt các đường thẳng BC và BD lần lượt
tại E và F Gọi Q là trung điểm của AF
a) Chứng minh rằng ACBD là hình chữ nhật
b) Chứng minh QO//BF và ∆BQC là tam giác cân
c) Chứng minh rằng EB.EC + F B.F D ≥ 2CD2
e e e e e e e e e e
fgggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggh Bài giải
a) Vì AB và CD là đường kính nên ∠ACD = ∠CBD = ∠BDA = ∠DAC = 900 nên ACBD là hình chữ nhật
b) AO
AB =
AQ
AF =
1
2 Vậy nên QO//BF Từ đây ta có QO⊥CB suy ra QO là đường trung trực của
CB Do đó QB = QC, ∆BQC là tam giác cân
c) Áp dụng AM-GM, ta có
EB.EC + F B.F D ≥ 2√
EB.EC.F B.F D = 2AE.AF = 2AB2 = 2CD2
Trang 3A
D
B
C
F Q
E
abbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbc d
d
d
d
Câu 5 (1 điểm)
Cho đa giác đều 24 cạnh A1.A2 A24 Có tất cả bao nhiêu tam giác vuông nhưng
không phải là tam giác vuông cân được tao thành từ các đỉnh của đa giác trên
e e e e
fgggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggh Bài giải
1 đường chéo qua tâm nối với 1 trong 22 điểm còn lại tạo thành tam giác vuống Vậy nên số tam giác vuông là 22.12 = 264 tam giác
1 đường chéo qua tâm sẽ tồn tại 2 điểm tạo ra 2 tam giác vuông cân Vậy nên số tam giác vuông cân là 2.12 = 24
Vậy nên yêu cầu bài toán là 264 − 24 = 240
abbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbc d
d
d
d
d
d
d
d
d
Câu 6 (1 điểm)
Cho các số thực a, b, c sao cho a ≥ 0, b ≥ 3
2, c ≥ 5 và a
2+ b
2
2 +
c2
9 ≤ 12 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
M =√
2ab − 3a +√
ca + 8c + 2√
c − 5
e e e e e e e e e
fgggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggh Bài giải
Áp dụng bất đẳng thức trung bình cộng và trung bình nhân cho 2 số không âm (cho 3 bất đẳng thức liên tục)
a + (2b − 3) ≥ 2√
2ab − 3a
c + (a + 8) ≥ 2√
ca + 8c
(c − 5) + 4 ≥ 4√
c − 5
Vâỵ nên cộng vế theo vế cùng chiều, ta được
M ≤ a + b + c + 2
Lại có
(a2+ b2/2 + c2/9)(1 + 2 + 9) ≥ (a + b + c)2 Vậy nên M ≤ 14 Từ đây ta có Mmax = 14 Đẳng thức xảy ra khi (a, b, c) ∼ (1, 2, 9)
Trang 4d
d
d
d
d
d
Câu 7 (1 điểm)
Cho ∆ABC có AB < AC Gọi O, H, G lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp, trực
tâm, trọng tâm của tam giác trên Gọi E là 1 điểm tùy ý sao cho luôn tạo thành
∆EHG và ∆EOG Chứng minh rằng S∆EHG
S∆EOG không phụ thuộc vào điểm E.
e e e e e e
fgggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggh
Bài giải
Theo Euler ta có H, G, O thẳng hàng và 3 điểm này hoàn toàn phân biệt do AB < AC Nếu gọi M
là trung điểm của BC thì chúg ta sẽ thấy ngay GH = 2GO do AH = 2OM Vậy nên nếu tồn tại điểm E như bài toán thì
S∆EHG
S∆EOG =
1/2 · d(E,OH)· GH 1/2 · d(E,OH)· GO =
2
1. Không phụ thuộc vào E
—– HẾT —–
Thí sinh không được sử dụng tài liệu Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh: ; Số báo danh:
Lời giải được trình bày bởi khanhsy, trang facebook
https://www.facebook.com/Amgm.Cauchyschwarz