Dưới mỗi cột ta viết tích tất cả các số trong cột đó, về bên phải của mỗi hàng ta viết tích của tất cả các số trong hàng đó.. Chứng minh rằng tổng tất cả 2n tích vừa viết là một số kh[r]
Trang 1UBND THỊ XÃ SƠN TÂY ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CÁC MÔN VĂN HÓA LỚP 9 PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO MÔN: TOÁN
Năm học: 2020 – 2021
Ngày thi: 4/11/2020, thời gian làm bài 150 phút
Bài 1 (4,0 điểm)
a) Rút gọn biểu thức: 3 5 3 5
b) Cho x y z, , là các số thực dương thỏa mãn xyyzzx10 Tính giá trị của biểu thức:
Bài 2 (4,0 điểm)
a) Giải phương trình:
37
b) Đa thức f x( ) chia cho x thì được dư là 2 3, nếu f x( ) chia cho x thì được dư là 4 Tìm dư trong phép 3 chia f x( ) cho x2x3
Bài 3 (4,0 điểm)
a) Tìm các số tự nhiên n sao cho 26292n là số chính phương
b) Cho x y, là các số thực khác 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2 x y 3 x y 5
P
Bài 4 (6,0 điểm)
Cho đường tròn tâm O với đường kính AB cố định Điểm M di động trên đường tròn O sao cho không M
không trùng với A và B Lấy C là điểm đối xứng của O qua A Đường thẳng vuông góc với AB tại C cắt
đường thẳng AM tại N Đường thẳng BN cắt đường tròn O tại điểm thứ hai E Các đường thẳng BM và
CN cắt nhau tại F
a) Chứng minh các điểm A E F, , thẳng hàng
b) Chứng minh tích AM AN không đổi
c) Chứng minh A là trọng tâm của tam giác BNF khi và chỉ khi NF ngắn nhất
Bài 5 (2,0 điểm)
Trong mỗi ô của bảng ô vuông kích thước n n (n là số nguyên dương, n lẽ) ta viết một trong hai số là 1 hoặc
là 1, một cách tùy ý Dưới mỗi cột ta viết tích tất cả các số trong cột đó, về bên phải của mỗi hàng ta viết tích của tất cả các số trong hàng đó Chứng minh rằng tổng tất cả 2n tích vừa viết là một số khác 0
-Hết -
Trang 2ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI CHI TIẾT Bài 1 (4,0 điểm)
a) Rút gọn biểu thức: 3 5 3 5
b) Cho x y z, , là các số thực dương thỏa mãn xyyzzx10 Tính giá trị của biểu thức:
Lời giải
2
2
2
2
Do đó: A 2 22 2
x x xyyzzx xy xz
Tương tự 2
10
y yx y và z 2
z z x zy
2 2
10
Tương tự: 2 2
2
10
y
2
10
z
Từ đó: B2xyyzzx20
Bài 2 (4,0 điểm)
a) Giải phương trình:
37
b) Đa thức f x( ) chia cho x thì được dư là 2 3, nếu f x( ) chia cho x thì được dư là 4 Tìm dư trong phép 3 chia f x( ) cho x2x3
Lời giải
a) Điều kiện: x Đặt a x 2019, phương trình đã cho trở thành:
Trang 3
2 2
2 2
2
2
2
37
1 13
3 3 1 37
4
3
a
a
Với a 4, ta có x 2023
Với a 3, ta có x 2016
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: x2023, x2016
b) Ta có x2x có bậc là 3 2 nên dư có bậc tối đa là 1
Đặt ax là dư trong phép chia b f x( ) cho x2x3
Khi đó f x( )h x x( ) 2x 3 ax Ta có: b
1
3 4
a b
a b f
Vậy f x( ) chia x2x dư 3 x 1
Bài 3 (4,0 điểm)
a) Tìm các số tự nhiên n sao cho 26292n là số chính phương
b) Cho x y, là các số thực khác 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2 x y 3 x y 5
P
Lời giải
a) Giả sử: 26292nk2 với k * Phương trình tương đương:
24 2n 24 24 2 n
Do k 24 và k 24 cùng tính chẵn lẽ mà tích hai số lại là số chẵn nên hai số này là số chẵn Lại có k24 k 24 nên từ đây phương trình tương đương:
24 2
24 2
a
a n a
n a
k k
*
a
Do 2a k 2416 nên phương trình tương đương: a 4,
2a 2n a 3
Trang 4Hai vế khác tính chẵn lẽ nên phương trình vô nghiệm
Suy ra không tồn tại n thỏa mãn yêu cầu đề bài
b) Đặt t x y
y x
suy ra
2
t
Do đó t hoặc 2 t 2
P t t t t
Nếu xy 0 thì t 2 Khi đó ta có: 2
P t t t t t t
Nếu xy 0 thì t Khi đó ta có: 2 2
2 3 9 2 3 9 5
P t t t t Suy ra: P với mọi 7 x y, khác 0 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x y 0
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là đạt được khi 7 x y 0
Bài 4 (6,0 điểm)
Cho đường tròn tâm O với đường kính AB cố định Điểm M di động trên đường tròn O sao cho không M
không trùng với A và B Lấy C là điểm đối xứng của O qua A Đường thẳng vuông góc với AB tại C cắt
đường thẳng AM tại N Đường thẳng BN cắt đường tròn O tại điểm thứ hai E Các đường thẳng BM và
CN cắt nhau tại F
a) Chứng minh các điểm A E F, , thẳng hàng
b) Chứng minh tích AM AN không đổi
c) Chứng minh A là trọng tâm của tam giác BNF khi và chỉ khi NF ngắn nhất
Lời giải
F
E
N
O
B M
Trang 5a) Ta có 0
NMBNCB BC NM là đường cao của tam giác BFN
Mà BC cắt MN tại A nên A là trực tâm tam giác BFN
Do đó FABN Mà AEBN do E nằm trên đường tròn đường kính AB
Suy ra A F E, , thẳng hàng
b) Ta có: ACN AMB AN AC AN AM AB AC
Do A B C, , cố định nên AN AM không đổi
c) Ta có: CFA CBN CF CA CF CN CA CB
Áp dụng bất đẳng thức AM – GM, ta có: 2 2
Suy ra: NF2 AB AC
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi CFCN hay C là trung điểm của NF Khi đó tam giác BNF có BC vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến nên tam giác BNF cân tại B Mặt khác 2
3
BA
BC hay là A là trọng tâm của của tam giác BNF Nói cách khác tam giác BNF là tam giác đều khi NF nhỏ nhất
Vậy NF nhỏ nhất bằng 2 AB AC khi A là trọng tâm của của tam giác BNF
Bài 5 (2,0 điểm)
Trong mỗi ô của bảng ô vuông kích thước n n (n là số nguyên dương, n lẽ) ta viết một trong hai số là 1 hoặc
là 1, một cách tùy ý Dưới mỗi cột ta viết tích tất cả các số trong cột đó, về bên phải của mỗi hàng ta viết tích của tất cả các số trong hàng đó Chứng minh rằng tổng tất cả 2n tích vừa viết là một số khác 0
Lời giải
Trước hết, chú ý rằng mỗi tích chỉ nhận một trong hai giá trị là 1, 1
Xét tích của tất cả n số viết dưới mỗi cột, ta thấy đó là tích P của tất cả các số trên bảng Tương tự nếu xét tích
tất cả n số trên mỗi hàng, ta cũng có P Suy ra tích của 2n số đã cho là 2
0
P Suy ra trong 2n số đó, có chẵn
số là 1 và chẵn số là 1
Giả sử tổng của 2n số bằng 0 thì phải có đúng n số 1 và n số 1 Chú ý rằng n lẻ (giả thiết) nên tích của tất
cả 2n số này là 1n 1n0, mâu thuẫn với ở trên