Đề thi HSG môn toán lớp 9 và lời giải chi tiết huyện Diên Khánh năm 2020 - 2021

Chứng minh rằng trong các điểm đã cho có thể tìm được 3 điểm lập thành tam giác có diện tích không lớn hơn 1.. 32.[r]

UBND HUYỆN DIÊN KHÁNH ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CÁC MÔN VĂN HÓA LỚP 9 PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO MÔN: TOÁN

Năm học: 2020 – 2021

Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian phát đề

Câu 1

a) Cho biểu thức  1

1

P



  với a  và 0 a 1.

Rút gọn rồi tính giá trị của P tại a 2021 2

b) Cho biểu thức An33n2 n 3 Chứng minh rằng A chia hết cho 48 với mọi n là số tự nhiên lẻ

Câu 2

a) Giải phương trình:

2

x x x x

b) Cho x y là hai số dương thỏa mãn , xy 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

M

x y x y

Câu 3

Cho đa thức   4 3 2

P x x x x axb và   2

2

Q x x  x

Xác định a b, để P x  chia hết cho Q x 

Câu 4

Ông An hỏi ông Bình: “Bố mẹ ông năm nay bao nhiêu tuổi?” Bình trả lời: “Bố tôi hơn mẹ tôi 4 tuoir Trước đây khi tổng số tuổi của bố mẹ tôi là 104 thì tuổi của hai anh em chúng tôi là 16 và 14 tuổi Hiện nay tổng số tuổi của

bố mẹ tôi gấp hai lần tổng số tuổi của hai anh em tôi” Tính xem năm nay tuổi của bố mẹ ông Bình là bao nhiêu?

Câu 5

Cho tam giác ABC vuông tại A AB AC, kẻ đường cao AH và AD là tia phân giác của góc  BAH D BH a) Chứng minh rằng

AB AC

BH  CH

b) Chứng minh tam giác ACD cân và DH DC BD HC

c) Gọi M là trung điểm của AB E, là giao điểm của hai đường thẳng MD và AH Chứng minh CE AD

Câu 6

Trong hình vuông cạnh bằng 1 cho 33 điểm bất kỳ Chứng minh rằng trong các điểm đã cho có thể tìm được 3

điểm lập thành tam giác có diện tích không lớn hơn 1

32

-HẾT -

ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI CHI TIẾT Câu 1

a) Cho biểu thức  1

1

P



  với a  và 0 a 1.

Rút gọn rồi tính giá trị của P tại a 20212

b) Cho biểu thức An33n2 n 3 Chứng minh rằng A chia hết cho 48 với mọi n là số tự nhiên lẻ

Lời giải

a) Ta có:

1

Thay a 20212 vào P, ta có: P  20212  1 2020

Vậy P 2020với a 2021 2

An  n   n n n n

Vì n lẻ nên n2k1,k  Khi đó, ta có:

A k k k  k k k

Vì k k 1k1 là ba số tự nhiên liên tiếp nên k k 1k 1 6.

Suy ra 8k k 1k1  8 6  hay A48

Câu 2

a) Giải phương trình:

2

x x x x

b) Cho x y là hai số dương thỏa mãn , xy 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

M

x y x y

Lời giải

a) Điều kiện xác định: x2; x 4 Phương trình đã cho tương đương:

Phương trình tương đương: 2x44x2 x 0 (thỏa điều kiện)

Vậy tập nghiệm của phương trình là S {0}

b) Áp dụng bất đẳng thức 2 2

2 ,

a b  ab ta có

2

x y x y

x y x y x y x y x y

Tương tự, ta có: 2 4 1

2

y

x y 

 ( vì x0, y0 và xy 1)

M

x y x y





     





Vậy giá trị lớn nhất của M  khi 1 x y 1

Câu 3

Cho đa thức   4 3 2

P x x x x axb và   2

2

Q x x  x

Xác định a b, để P x  chia hết cho Q x 

Lời giải

Q x x    x x x

Gọi H x  là thương của phép chia P x  cho Q x , khi đó ta có:

P x x x ax b x x H x

Chọn x 1, ta có: a   hay b 1 b  1 a 1

Chọn x  2, ta có 2a  b 4 2  

Từ (1) và (2) suy ra       2a 1 a 4 3a     3 a 1

Thay a  vào (1), ta có 1 b   2

Vậy a  và 1 b   2

Câu 4

Ông An hỏi ông Bình: “Bố mẹ ông năm nay bao nhiêu tuổi?” Bình trả lời: “Bố tôi hơn mẹ tôi 4 tuoir Trước đây khi tổng số tuổi của bố mẹ tôi là 104 thì tuổi của hai anh em chúng tôi là 16 và 14 tuổi Hiện nay tổng số tuổi của

bố mẹ tôi gấp hai lần tổng số tuổi của hai anh em tôi” Tính xem năm nay tuổi của bố mẹ ông Bình là bao nhiêu?

Lời giải

Gọi số nằm kề từ “trước đây” đến thời điểm hiện tại là x (năm), điều kiện x 0

Khi đó:

Tổng số tuổi của bố và mẹ ông Bình hiện này là 1042x (tuổi)

Tổng số tuổi của hai anh em ông Bình hiện nay là: 16142x2x30 (tuổi)

Theo đề bài, ta có phương trình:

1042x2 2x30 2x44 x 22 (thỏa mãn) Suy ra tổng số tuổi của bố và mẹ ông Bình hiện nay là:

104 2 22148 (tuổi)

Vì bố ông Bình hơn mẹ ông Bình 4 tuổi nên tuổi của bố ông Bình là:

1484 : 2 76 (tuổi)

Và tuổi của mẹ ông Bình là 76 4 72 (tuổi)

Câu 5

Cho tam giác ABC vuông tại A AB AC, kẻ đường cao AH và AD là tia phân giác của góc  BAH D BH a) Chứng minh rằng

AB AC

BH  CH

b) Chứng minh tam giác ACD cân và DH DC BD HC

c) Gọi M là trung điểm của AB E, là giao điểm của hai đường thẳng MD và AH Chứng minh CE AD

Lời giải

a) Xét HAB và HCA, ta có:   0

90

AHBCHA và ABHCAH (cùng phụ HAB)

Suy ra HAB HCA g g AH BH AB AB22 BH AB2 AC2

CH AH AC AC CH BH CH

Vậy

AB AC

BH  CH

N

E

M

H D

A

b) Ta có:   90o

DACDAB và   0

90

ADCDAH  mà DABDAH (AD là phân giác BAH)

Suy ra DACADC ADC cân tại C

Xét ABH, ta có AD là tia phân giác (giả thiết), suy ra:

DH AH

DB  AB mà AH CH

AB  AC vì AH AB

CH  AC

Suy ra DH CH CH

DB  AC CDvì ADC cân tại C DH CD BD CH

c) Dựng N là điểm đối xứng của D qua M Khi đó tứ giác ADHN là hình bình hành Suy ra:

DH HE

AN  AE (vì DHAN )

Ta lại có: DH DH

AN  BD (vì AN BD) mà DH CHcmt

DB  CD

AE  CD  AE EHCD CH

HE CH

AH  DH

Xét HCE và HDA, ta có CHEDHA90o gt và HE CH cmt

AH DH

Suy ra: CEH  HDA c  g c

CEH DAH CE AD

    (vì CEH và DAH so le trong)

Vậy CE AD

Câu 6

Trong hình vuông cạnh bằng 1 cho 33 điểm bất kỳ Chứng minh rằng trong các điểm đã cho có thể tìm được 3

điểm lập thành tam giác có diện tích không lớn hơn 1

32

Lời giải

Chia hình vuông đã cho thành 16 hình vuông con như hình vẽ

Dễ dàng tính được, cạnh của một hình vuông con là 1

4 và diện tích là

1

16

Gieo 33 điểm đã cho vào hình vuông ban đầu, 33 điểm đó sẽ nằm trong 16 hình vuông con

Vì 3316 2  nên theo nguyên tắc Dirichlet, tồn tại 3 điểm nằm trong cùng 1 hình vuông con 1

Khi đó diện tích của tam giác lấy 3 điểm đã cho làm đỉnh sẽ không lớn hơn 1

2diện tích hình vuông con, tức là

không lớn hơn 1

32