ngoại tiếp V BCD. Từ đó CI đi qua giao điểm thứ hai J của hai đường tròn này.. Với mỗi cách đặt ta cho tương ứng với số điểm bằng tổng số các hàng, các cột, các đường chéo chứa số lẻ c[r]
Trang 1Câu Phương pháp - Kết quả Điểm
1
Cho dãy số u n xác định bởi 4 2 *
2013
4026
n n
u
3 1
1 , 2013
n n
u
¥ Tính limv n
5.0
3
2013
n n
u u
Từ đó bằng quy nạp ta chứng minh được *
2013,
n
u ¥n
1.0
3
n
u
Do đó
1
n n
v
1.5
Ta chứng minh limu n
*
2013
4026 2013
0,
n
u
Suy ra u n là dãy tăng, ta có 2014 u1 u2
1.5
Giả sử ngược lại u n bị chặn trên và u n là dãy tăng nên limu n a thì a 2014 Khi
đó
3
2013 4026
a a
a a
a 20132014 (vô lý) Suy ra u n không bị chặn trên, do đó limu n
Vậy
1
1
2013
n
k
v
u
1.0
2
Cho tam giác ABC cân tại A Gọi D là trung điểm AC Đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD
giao với phân giác góc ·BAC tại E nằm trong tam giác ABC Đường tròn ngoại tiếp tam giác
ABE giao với BD tại F (khác B), AF giao với BE tại I CI giao với BD tại K Chứng minh rằng
I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABK
5.0
Trang 2J D'
K I
F
E
D
M
A
Gọi D' là trung điểm của AB và M là trung điểm cạnh BC
Ta có D' nằm trên đường tròn ngoại tiếp VBCD Do tính đối xứng nên suy ra ¼D E' »ED suy
ra ·ABI D BE·' EBD· IBK·
Suy ra I nằm trên phân giác góc ·ABK hay BI là tia phân giác góc · ABK 1
1.0
DFA BFA BEAMEB CEB CDB
suy ra VAFD cân tại D và tam giác AFC vuông tại F
2.0
Do IA.IF=IE.IB nên I thuộc trục đẳng phương của đường tròn đường kính AC và đường tròn
ngoại tiếp VBCD
Từ đó CI đi qua giao điểm thứ hai J của hai đường tròn này
1.0
Ta có DCJ· ·DJCDBC· nên DA2DC2 DK DB
Suy ra ·DAK ·DBA hay ·FAD FAK· DFA FAB· · Từ đó ·FAK ·BFA
Ta có (đpcm)
1.0
3
Tìm tất cả các hàm số :f ¡ ¡ thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau đây
1 f x y f x f y với mọi ,x y ¡
2 f x với mỗi e x 1 x ¡
4.0
0 0 0 0
f x f x f f và bởi vì 0
f cho nên e f 0 0 0.5
2
0 1
x
Dùng quy nạp theo n 1, 2, ta CM được 2 2n 1
x n
1.0
Trang 3Cố định x ¡0 ta có 0
2
x n
Xét dãy
0
2
x n n
ta có:
0
2
0
1
2
n
x
n
n
e
x
Vậy f x 0 x0 ¡x0 2
1.5
Vậy f x f x x x 0 3
Kết hợp (1) và (3) ta được f x f x 0
Từ (2) f x x f x x 4 Kết hợp (2) và (4) ta được f x ¡ Thử lại x x
f x ta thấy đúng x
1.0
4
Giải hệ phương trình sau:
2
3
y
Điều kiện 1
2
x ; 2
0
x x y ; #x y
Từ phương trình thứ nhất suy ra y và x - y cùng dấu mà 1
2
y x y x nên y Ta có 0
y = 0 từ phương trình thứ nhất suy ra x = 1 mà (1;0) không thỏa mãn pt thứ 2 nên y 0
0.75
2
3
2
1
0 1
1
y
x y
x y
1,75
Thay vào phương trình thứ hai ta được
2
Đặt t 2x1 ta được t4 3t 10 0 t 2
Từ đó tìm được 5 3
2 2
1đ
5
Trên bảng ô vuông 3 3 , người ta đặt một số viên sỏi sao cho mỗi ô vuông có không quá một
viên sỏi Với mỗi cách đặt ta cho tương ứng với số điểm bằng tổng số các hàng, các cột, các
đường chéo chứa số lẻ các viên sỏi trên đó Bảng không có sỏi ứng với 0 điểm
a) Tồn tại hay không cách đặt sỏi sao cho ô chính giữa bảng không có sỏi và số điểm
tương ứng với cách đặt đó là 8
2.0
Trang 4b) Chứng minh rằng số cách đặt sỏi với điểm số là một số chẵn bằng số cách đặt sỏi với điểm số là một số lẻ
a) Giả sử ô chính giữa không có sỏi và điểm số của cách đặt là 8 Như vậy 3 hàng, 3 cột và hai
đường chéo đều có một số lẻ viên sỏi Gọi a,b,c,d là số sỏi trong các ô như hình vẽ, a,b,c,d
0,1
Khi đó các ô đối xứng với a,b,c,d qua tâm sẽ có số sỏi tương ứng là a',b',c',d' sao cho
a+a'=b+b'=c+c'=d+d'=1
Từ đó (a+b+c)+(a'+b'+c')=3 suy ra một trong hai tổng a+b+c hoặc a'+b'+c' là một số chẵn Khi
đó dòng thứ nhất hoặc dòng thứ ba có tổng số sỏi là một số chẵn, mâu thuẫn với giả thiết ban
đầu
Vậy không tồn tại cách đặt sỏi thỏa mãn điều kiện bài toán
a b c
0 d
a b c d' 0 d c' b' a'
1.0
b) Ta gọi hai cách đặt sỏi là liên hợp với nhau nếu ô trên cùng bên trái của chúng có số sỏi
khác nhau và các ô còn lại tương ứng có số sỏi như nhau
(B) (B')
Như vậy, các cách đặt sỏi chia thành từng cặp đôi một liên hợp với nhau
Xét hai cách đặt liên hợp với nhau (B) và (B') Tổng số sỏi ở dòng 1, cột 1 và 1 đường chéo cả
hai bảng đôi một khác nhau về tính chẵn lẻ Các dòng, cột và đường chéo còn lại của hai bảng
có số sỏi như nhau Do đó điểm số của (B) và (B') khác nhau 3 đơn vị, suy ra số điểm của (B)
và (B') có tính chẵn lẻ khác nhau
Vậy hai cách đặt liên hợp với nhau, một cách xếp có điểm số chẵn, cách đặt còn lại có điểm
số là một số lẻ suy ra điểu phải chứng minh
a b c
f e d
g h i
a' b c
f e d
g h i
1.0