2/ Nếu thí sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa phần đó.[r]
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẮK LẮK KỲ THI LẬP ĐỘI TUYỂN DỰ THI QUỐC GIA NĂM HỌC 2015 - 2016
MÔN: TOÁN (Thời gian: 180 phút, không kể phát đề)
Ngày thi: 23/10/2014 ĐÁP ÁN, BIỂU ĐIỂM VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM
(gồm 4 trang)
A ĐÁP ÁN – BIỂU ĐIỂM
1 Cho tập hợp 3
1; ; |2 3 i , 1,2,3
x x x x i
Với mọi x x x x 1; ;2 3;
1; ;2 3
y y y y thuộc 3 ta xác định
1
1
i
2 , 1,2,3 i i
i
d x y Max y x
3
1
i
d x y y x
Chứng minh rằng tồn tại các số thực dương , , sao cho
d x y d x y d x y d x y
5
Ta có
2 2
1 1 1,2,3
3
2
1
3 3 1,2,3
3
i i i
i
i i i
y x Max y x
y x Max y x
3
2
1,2,3 1
3
i
y x Max y x
d x y1 , 3d x y2 , 1
1
Dễ thấy 1,2,3 3 2 3
1
i
i
Max y x y x d x y d x y
1
i i i
1
i
y x d x y d x y d x y
1
Từ 1 , 2 , 3 ta có d x y1 , 3d x y2 , 3d x y3 , 3d x y3 , 1 Vậy 3, 3, 3 suy ra điều phải chứng minh 1
2
Cho dãy số thực xn xác định bởi
1
*
2015
1
n n
n
x
x
x
Tìm
5
Trang 2lim n
n x
Dễ thấy x n 3, n *
1 1
n n
n n
x
x x
nên dãy x n bị chặn
1
Xét hàm số 3 2 , 3; 3 2
1
x
x
2
1
1
x
2 2
2 2
x
1
Xét phương trình
2
1
x
x
1
1
1
1
n
x x f x f x
1
Vậy im 3 15
2
l n o
3 Cho tứ diện đều ABCD, M là điểm nằm phía trong của tứ diện Gọi
1; ; ;2 3 4
M M M M lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên các mặt
phẳng (BCD CDA DAB ABC);( );( );( )
Chứng minh rằng: 1 2 3 4 4
3
MM MM MM MM MG
5
Qua M dựng các mp song song với các mặt
(BCD CDA DAB ABC);( );( );( )
Các mặt phẳng đó cắt (BCD) theo giao là các giao tuyến
1 2, 2 3, 3 1
N N N N N N lần lượt song song BC, CD, DB nên tam giác
1 2 3
N N N đều
Tương tự các tam giác PP P1 2 3,Q1 2 3Q Q K K K, 1 2 3 là các tam giác đều
1
Trang 3Các tứ diện MN N N1 2 3,MPP P1 2 3,MQ1 2 3Q Q ,MK K K1 2 3 là các tứ diện đều
Do vậy M M M M1; ; ;2 3 4 là tâm các tam giác đều
1 2 3
N N N ,PP P1 2 3,Q1 2 3Q Q K K K, 1 2 3
1
Nên ta có:
1
3
1 3 1 3 1 3 1 3
1
3
1
1
3
1
3
4
3
MM MM MM MM
MN MP MQ MP MQ MK
MG
1
3
MM MM MM MM MG
1
4 Tìm các số tự nhiên a a a1; ; ; ;2 3 an thỏa mãn
a a a a sao cho biểu thức P a a a a 1 2 3 n lớn nhất
có thể
5
Ta chứng tỏ trong các số a a a1; ; ; ;2 3 an cần tìm không có số 1 1
Trang 4Thật vậy: giả sử tồn tại một số bằng 1, chẳng hạn là a 1 1, khi đó trong
các số còn lại phải có số a j 2, ta giả sử là a 2 2, vì ngược lại dễ thấy
điều vô lý
Khi đó ta thay a 1 bởi số 2 và a 2 bởi a 2 1 2
2
n
a
Vi phạm P a a a a 1 2 3 n lớn nhất có thể
1
Ta chứng tỏ trong các số a a a1; ; ; ;2 3 an không có số nào lớn hơn 4
Thật vậy giả sử a 1 5
Khi đó ta thay a 1 2 a 1 2
Mâu thuẫn với P a a a a 1 2 3 n lớn nhất có thể
1
Suy ra trong n số tự nhiên cần tìm a a a1; ; ; ;2 3 an chỉ nhận các giá trị 2,
3, 4
Tuy nhiên 4=2.2 và 4=2+2 nên thay số 4 bởi hai số 2
Trong n số có nhiều nhất là hai số 2 vì nếu giả sử có 3 số 2 thì
2 2 2 6
3 3 6
2.2.2 8 3.3 9
Tức là có thể thay ba số 2 thành hai số 3 để có tích lớn hơn
Lại có 2015=3.671+2
1
Từ đó suy ra có 672 số a a a1; ; ; ;2 3 a672 trong đó có 671 số 3 và một số 2
thì tích bằng 3 2 671 đạt giá trị lớn nhất có thể 1
B HƯỚNG DẪN CHẤM
1/ Điểm của bài làm theo thang điểm 20, là tổng điểm của thành phần và không làm tròn số
2/ Nếu thí sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa phần đó
-Hết -