Theo nguyên lý Đi-Rich-Lê thì với 4 người bất kỳ luôn có hai người thuộc cùng một nhóm. Hai người này không quen nhau[r]
Trang 1UBND HUYỆN YÊN LẠC
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HDC ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 9 CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2015- 2016 MÔN: TOÁN
1
2đ
a,
1đ Ta có 2015 x 2 xy yz zx x 2 x y x z 0,25
Tương tự 1 y2 y z y x ;1 z2 z x z y 0,25 Vậy
0,25
Suy ra PM5, nhưng P không chia hết cho 25 Do đó P không phải là số chính phương
0,25
b,
1đ
Ta có
0,5
2 6 11 2 6 10 1
2015
Q
Vậy Q không phụ thuộc vào x 0,25
2
1,5đ
Từ giả thiết ta có a1 a2 a n 2015
- Trong các số a i phải có ít nhất một số lẻ, giả sử là
9
0,25
- Trong các số a i i 1,2, ,n 1 là hợp số
4; 1,2, , 1
i
0,5
- Suy ra
2010
4
0,5
- Với n=502 ta có
500 / 4
4 4 4 6 9 2015
c s
Vậy n lớn nhất bằng 502
0,25
3
2đ
a,
1đ
b,
1đ ĐKXĐ
1 8
x
0,25
Từ đó ta có
2 3
0,25
Trang 2Với y=2x-1, ta có
2
1
x
0,25
Với y= -2x-3, ta có 8x 1 2x 3 , giải phương trình ta thấy vô nghiệm
Vậy nghiệm của phương trình là x=3
0,25
4
2,5đ
a,
1,5đ
G
N M
D H
C B
A
Gọi G là giao điểm của BN và CM, tia AG cắt BC tại D
Kẻ AH vuông góc với BC
0,5
Xét hai tam giác vuông AHB và AHC có
0,5
b,
1đ
(d)
M C
A D
Qua A kẻ đường thẳng vuông góc với AB cắt đường thẳng (d) tại D
Do OA=OB=OM suy ra tam giác BMA vuông tại M
0,25
Do vậy ACD BMA g c g 0,25 Suy ra AD=AB, do đó D cố định 0,25 Vậy đường thẳng d vuông góc với AM tại C luôn đi qua một
điểm cố định
0,25
5
2,0đ
a,
1đ
Xét 100 người chia làm 3 nhóm A,B,C Mỗi nhóm A,B có 33 người, nhóm C có 34 người sao cho: Mỗi người trong mỗi
0,5
Trang 3nhóm chỉ quen những người trong các nhóm khác
Theo nguyên lý Đi-Rich-Lê thì với 4 người bất kỳ luôn có hai người thuộc cùng một nhóm Hai người này không quen nhau
0,25
Vậy không phải lúc nào cũng tồn tại 4 người đôi một quen nhau
0,25
b,
1đ Ta chứng minh BĐT phụ sau
3 2
1 4 1
a
a
Thật vậy BĐT (*)
2 2
Tương tự ta có
3 2
1 4 1
b
b
3 2
1 4 1
c
c
0,25
1
P a b c
Vậy GTNN của P bằng ¼ khi và chỉ khi a=b=c=1/3
0,25 0,25