Các bài toán Bất đẳng thức - Cực trị trong đề thi vào chuyên Toán năm 2020 - 2021

Mặt khác, theo giả thiết thì dấu đẳng thức trong bất đẳng thức tren phải xảy ra.. Thử lại, ta thấy thỏa mãn..[r]

Bài 7

Cho x y z, , là các số thực không âm thỏa mãn x z2 2y z2 2 1 3 z

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Tin TP Hà Nội năm 2020 – 2021

Trích đề thi thử vào lớp 10 chuyên Toán trường Archimedes năm 2020 – 2021

b) Với a b c, , là những số thực dương thỏa mãn a   Chứng minh rằng: b c 3.

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A18x1 7 y1 2020 z1 

Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Tin tỉnh Thanh Hóa năm 2020 – 2021

Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức: M  x 2 y

Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Toán tỉnh Quảng Ninh năm 2020 – 2021

Bài 39

Cho x y z, , là các số thực dương thỏa mãn xyyzzx3xyz Chứng minh rằng:

2 2 2 2 2 2

3

y z xyz  z x xyz  x y xyz 

Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Tin tỉnh Phú Thọ năm 2020 – 2021

Bài 40

Cho x y z , , 0 Chứng minh rằng bất đẳng thức:

21

2P2 xy yz zx xyz xy yz zx x yy zz x2xyz xy yz zx

Suy ra    

.2

Suy ra P 4 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x yz1

Vậy giá trị lớn nhất của P là 4 đạt được khi xyz1

https://thuvientoan.net/

Mặt khác

3

2 2 2 2 2 2 3

a b c abbcca  Từ đây ta có điều phải chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1, 0

2

a b c và các hoán vị của chúng

Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 4 đạt được khi xy.

Cho x y z, , là các số thực không âm thỏa mãn x z2 2y z2 2 1 3 z

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b.

Áp dụng bất đẳng thức trên liên tiếp, ta có:

Dẫn đến P36 Q Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 3 a   b c 1.

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 3 đạt được khi a   b c 1

 Nếu m  thì 2  1 2 11n3 11 Do 5 2 2 6

11 2

11

n m   n nên  1 đúng

Tóm lại trong mọi trường hợp ta có điều phải chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi m3,n1

b) Ta chứng minh abbcca   a b c abc Thật vậy bất đẳng thức cần chứng minh tương đương:

Từ đó suy ra: abbcca   a b c abc Do đó 4 P 4

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b 2, c0 và các hoán vị

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 4 đạt được khi a b 2,c0 và các hoán vị

Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Tin TP Hà Nội năm 2020 – 2021

Lời giải

Vậy có duy nhất một bộ số ( , , )a b c thỏa mãn yêu cầu là (3, 5, 2).

b) Không mất tính tổng quát, giả sử a b c

Từ giả thiết, ta có (a b c  )2 4ab Từ đó, với chú ý a b c  0, ta có a b c  2 ab

Từ đây, sử dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có:

3

( ) 2 2 2 2 3 2

a b c   a b c   c ab c ab ab c abc

Đây chính là kết quả cần chứng minh

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

Trích đề thi thử vào lớp 10 chuyên Toán trường Archimedes năm 2020 – 2021

.0; 4

Từ đây ta có điều phải chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi có một trong ba số bằng 0, hai số còn lại khác 0

https://thuvientoan.net/

Bài 15

Xét a b c, , là các số thực dương thỏa mãn a 1 b 1 c  1 6

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P a2abb2  b2bcc2  c2caa2

Trích đề thi vào lớp 10 môn Toán chung tỉnh Nam Định năm 2020 – 2021

Lời giải

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwars, ta có:

36 a 1 b 1 c1 3 a     1 b 1 c 1 3 a  b c 3 Suy ra a   b c 9

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x5, y2 hay a  b 1.

Vậy ta có điều phải chứng minh

Vậy bất đẳng thức đã cho là đúng, ta có điều phải chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ab c 1

2 2 2 2 2

2 2 2

2 2

22

2

20

Bất đẳng thức cuối đúng nên ta có điều phải chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b

Đẳng thức xảy ra khi và chi khi a2,b1

Vậy giá trị nhỏ nhất của Q là 16 đạt được a2,b1

Cho a b c, , là các số thực dương thỏa mãn 1 1 1 2020.

xy yz zx Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

2 2 2

2 11

1 3 3 1 2 1

a a

ab bc ca P

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi abc

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 30 đạt được khi ab c 1

Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Tin tỉnh Thanh Hóa năm 2020 – 2021

Nếu ac  thì một trong hai số a hoặc c cùng dấu với 0 b Không mất tính tổng quát giả sử ab 0 Khi đó:  2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 1 1 3

P a b  ab b c  c  ab b  c b    

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ab0, b2 1,c2  hay 1 a0,b1,c 1

Tóm lại trong mọi trường hợp giá trị nhỏ nhất của P là 3 đạt được khi a và c là hoán vị của 0; 1  và 1

b 

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ab2,c1

Vậy giá trị lớn nhất của P là 8 đạt được khi ab2, c1

Bài 35

Cho x y, là các số thực thỏa mãn x25y24xy3x4y27

Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức: Px2 y

Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Toán tỉnh Quảng Ninh năm 2020 – 2021

Vậy giá trị lớn nhất của x2y là 4 đạt được khi x2, y1

Giá trị nhỏ nhất của x2y là  đạt được khi 7 x 9, y1

b c a b cb c và 2

4 1 1 1

.2020

c

ca b c cca

Cộng các bất đẳng thức trên vế theo vế ta được điều phải chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 2020

Không mất tính tổng quát giá giử cmina b c, , 0 c 1 Khi đó ta có:

Q xy    xy  Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x y2

Vậy giá trị nhỏ nhất của Q là 1 đạt được khi xy2

Bài 39

Cho x y z, , là các số thực dương thỏa mãn xyyzzx3xyz Chứng minh rằng:

2 2 2 2 2 2

3

y z xyz  z x xyz  x y xyz 

Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Tin tỉnh Phú Thọ năm 2020 – 2021

Lời giải

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ab hay c x 1 z.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a1,b2, c9

Vậy giá trị nhỏ nhất của M là 14 đạt được khi a1,b2,c9

Suy ra điều phải chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a2b2c2d2 e

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi xyz1 hay ab c 1

Ta có điều phải chứng minh